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第 77 讲 带电粒子在磁场中的动态圆模型
1．（2021•乙卷）如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为 m、电荷量为q（q＞0）
的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为 v ，
1
离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v ，离开磁场时速度方向偏转60°。
2
不计重力。则v 为（ ）
1
v
2
1 √3 √3
A． B． C． D．√3
2 3 2
【解答】解：根据题意，粒子两次射入磁场的运动轨迹如图所示：
设磁场的圆形区域半径为r，由几何关系可知，两次轨迹圆的半径分别为：
R ＝r，
1
r
R = =√3r
2
tan30°
v2
由洛伦兹力提供向心力可知：qvB=m
R
qBR
则粒子的速度：v=
m则粒子两次的入射速度之比为：v R ，解得：v √3，故B正确，ACD错误；
1= 1 1=
v R v 3
2 2 2
故选：B。
一.知识回顾
1．模型构建
此类模型较为复杂，常见的磁场边界有单直线边界、双直线边界、矩形边界和圆形边界等。因
为是有界磁场，则带电粒子运动的完整圆周往往会被破坏，可能存在最大、最小面积，最长、最短
时间等问题。
2．模型条件
(1)在匀强磁场中做匀速圆周运动。(2)磁场有一定范围。
3．模型分类
(一)动态放缩法
粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入
速度方向一定、大小不同 匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动
的轨道半径与粒子速度大小有关
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越
大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁
适用条 场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线
件 PP′上
轨迹圆圆心共线
界定方
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临
法
界条件，这种方法称为“放缩圆”法
带电粒子在矩形有界匀强磁场中运动的临界问题
带电粒子在矩形有界匀强磁场中运动的特点：
(1)若粒子射入的初速度方向和矩形磁场某边界垂直，如图甲所示。
①当粒子速度较小时，粒子将在磁场中做半个圆周运动后从原边界射出磁场区域；
②当粒子速度在某一范围内时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从侧面边界飞出磁场；
③当粒子速度较大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从对面边界飞出磁场。(2)若粒子射入的初速度方向和矩形磁场某边界成一夹角，如图乙所示。
①当粒子速度较小时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从原边界飞出磁场；
②当粒子速度在某一范围内时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从上侧面边界飞出磁场；
③当粒子速度较大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从右侧面边界飞出磁场；
④当粒子速度更大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从下侧面边界飞出磁场。
综合以上分析可知，求解带电粒子在矩形有界匀强磁场区域运动的时间范围、速度范围等的问
题时，寻找“相切或相交”的临界点是解决问题的关键；另外可知在磁场边界上还有粒子不能达到
的区域即“盲区”。
(二)定圆旋转法
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入
匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相
同，若射入初速度大小为v，则圆周运动半径为r
0
＝，如图所示
速度大小一定，方向不同
适用条
件
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点
轨迹圆圆心共圆
O为圆心、半径r＝的圆上
界定
将半径为r＝的轨迹圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种
方法
方法称为“旋转圆”法
(1)解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定
临界状态，根据粒子的速度方向，找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心
建立几何关系。粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。
(2)要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、
直观。
(三)平移圆法
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不
同但在同一直线上的带电粒子，它们进入匀
强磁场时，做匀速圆周运动的半径相同，若
适用条 速度大小一定，方向一定，但入射 入射速度大小为v，则运动半径r＝，如图
0
件 点在同一直线上 所示带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在
轨迹圆圆心共线
同一直线
界定方
将半径为r＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
法
二.例题精析
题型一： 动态放缩圆
（多选）例1．如图所示，在正方形区域abcd内有方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀
强磁场．在t＝0时刻，位于正方形中心O的离子源向平面abcd内各个方向发射出大量带正电的
粒子，所有粒子的初速度大小均相同，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形的边长，
不计粒子的重力以及粒子间的相互作用力．已知平行于 ad方向向下发射的粒子在t＝t 时刻刚好
0
从磁场边界cd上某点离开磁场，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在该磁场中匀速圆周运动的周期为6t
0
π
B．粒子的比荷为
6Bt
0
C．粒子在磁场中运动的轨迹越长，对应圆弧的圆心角越大
D．初速度方向正对四个顶点的粒子在磁场中运动时间最长
【解答】解：粒子在磁场中做匀速圆周运动，初速度平行于 ad方向发射的粒子运动轨迹如图，
其圆心为O ．设正方形边长为L，由几何关系得：
1
L
sin∠OO k 2 1 ①
1 = = ⋯
L 2
π
得：∠OO k=
1
6
π
则t＝t 6 T ②
0= = ⋯
2π 12
2πm
又T= ⋯③
qBq π
解得： = ；故B正确；
m 6Bt
0
由②式得：T＝12t ，故A错误；
0
由于粒子的初速度大小相等，所有粒子的轨迹半径相等，运动轨迹最长的粒子转过的圆心角最
大，在磁场中运动时间也最长，故C正确D错误；
故选：BC。
题型二：旋转圆
（多选）例2．如图所示，在荧屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离
荧屏d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电荷量为 q，质量为m的带正
电粒子，不计粒子的重力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则（ ）
A．粒子能打到板上的区域长度为2√3d
πd
B．能打到板上最左侧的粒子所用的时间为
v
πd
C．粒子从发射到达到绝缘板上的最长时间为
v
7πd
D．同一时刻发射的粒子打到绝缘板上的最大时间差
6v
【解答】解：A、粒子受到的洛伦兹力充当向心，粒子运动的半径：R＝d
粒子运动到绝缘板的两种临界情况如图，设SC垂直于MN与C点，由几何关系可知，左侧最远
处与S之间的距离恰好是圆的直径，则左侧最远处A离C距离为√3d，右侧离C最远处为B，距离为d，所以粒子能打在板上的区域
长度是（√3+1）d，故A错误；
B、左侧最远处与 S之间的距离恰好是圆的直径，所以 S到A的时间恰好是半个周期，则：
T 2πR πd
t = = = ，故B正确；
1 2 2v v
C、在磁场中运动时间最长和最短的粒子运动轨迹示意图如下：
2πd
粒子做整个圆周运动的周期T=
v
1 πd
由几何关系可知最短时间：t = T=
2 6 3v
3 3πd
如图所示粒子在磁场中最长时间：t = T=
1 4 2v
7πd
△t=t -t = ，故C错误，D正确
1 2 6v
故选：BD。
题型三：平移圆
（多选）例3．如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），
π
AB边长度为d，∠B= ．现垂直AB边射入一质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的
6
带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t ，而运动时间最长的粒子在磁
0
4
场中的运动时间为 t （不计重力）．则下列判断中正确的是（ ）
0
3A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t
0
πm
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
2qt
0
2
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 d
5
√3πd
D．粒子进入磁场时速度大小为
7t
0
【解答】解：A、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时
1 1
间是 T，即为： T＝t ，则得周期为：T＝4t ，故A正确；
0 0
4 4
mv 2πR
B、由 T＝4t ，R= ，T= ，
0
qB v
2πm πm
得：B= = ，故B正确；
qT 2qt
0
π R
+ =
C、运动时间最长的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据几何关系有：Rsin6 π d，
sin
6
2
解得：R= d，故C正确；
5
2πR 2
D、根据粒子在磁场中运动的速度为：v= ，周期为：T＝4t ，半径为：R= d，联立可得：
0
T 5
πd
v= ，故D错误。
5t
0
故选：ABC。三.举一反三，巩固练习
1. 如图所示，在直角坐标系xoy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁
场方向垂直于纸面向外。许多质量为m、电荷量为+q的粒子，以相同的速率v沿纸面内，由x
轴负方向与y轴正方向之间各个方向从原点O射入磁场区域。不计重力及粒子间的相互作用。
mv
下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中 R= ，正确的图是
qB
（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：粒子在磁场中做匀速圆周运动，以x轴为边界的磁场，粒子从x轴进入磁场后在离
mv
开，速度v与x轴的夹角相同，根据左手定和R= ，
qB
知沿x轴负轴的刚好进入磁场做一个圆周，沿y轴进入的刚好转半个周期，如图，在两图形的相
交的部分是粒子不经过的地方，故D正确；故选：D。
2. （2020•新课标Ⅰ）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边
界如图中虚线所示，a^b为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质
量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种
速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
7πm 5πm 4πm 3πm
A． B． C． D．
6qB 4qB 3qB 2qB
【解答】解：粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由粒子在磁场中运动轨迹对应圆心角
θ
决定，即t= T；
2π
方法一：设a^b半圆的半径为R，采用放缩法如图所示：
粒子垂直ac，则圆心必在ac直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大，在r≤0.5R和r≥1.5R时，
粒子从ac、bd区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期；当0.5R＜r＜1.5R时，粒子从半圆边界射出，逐渐将轨迹半径从0.5R逐渐放大，粒子射出位置从半圆顶端向下移动，
轨迹圆心角从 逐渐增大，当轨迹半径为R时，轨迹圆心角最大，然后再增大轨迹半径，轨迹
π
π 4
圆心角减小，因此当轨迹半径等于R时轨迹圆心角最大，即θ=π+ = π；
3 3
方法二：O点为半圆弧的圆心，过c点做半圆弧的切线，与圆弧相切与e点，由于co＝2R，oe＝
R，且ce⊥eo，故∠oce＝30°，因为只有ce与圆弧相切时，∠oce为最大，如果不相切，∠oce
小于30°，ce为轨迹圆的一条弦，则此时弦切角最大为90°+30°＝120°，根据圆心角等于弦切角
的2倍，所以最大圆心角为 ＝2×120°＝240°；
θ 4
π 4 π
即θ=π+ = π，粒子运动最长时间为 θ 3 2πm 4πm，故C正确，ABD错误。
3 3 t= T= × =
2π 2π qB 3qB
故选：C。
3. （2020•浙江）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形
EFGH、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板CD平行于HG水平放
置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以
相同速度持续从边界EH水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运
动后从下边界HG竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子
数均为N，离子束间的距离均为0.6R，探测板CD的宽度为0.5R，离子质量均为m、电荷量均
为q，不计重力及离子间的相互作用。
（1）求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界HG时与H点的距离s；
（2）求探测到三束离子时探测板与边界HG的最大距离L ；
max
（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到
HG距离L的关系。
v2
【解答】解：（1）根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m
RqBR
解得：v=
m
设c束离子运动轨迹对应的圆心为 O，从磁场边界HG边的Q点射出，根据几何关系可得：OH
＝0.6R
c束中的离子射出磁场边界HG时与H点的距离s 0.8R；
=√R2-(0.6R) 2=
（2）（2）a束中的离子运动轨迹对应的圆心为O'，从磁场边界HG边射出时距离H点的距离为
x，由几何关系可得：
HO'＝aH﹣R＝0.6R，x 0.8R，
=√R2-HO'2=
即a、c束中的离子从同一点Q射出，如图所示；
离开磁场的速度分别与竖直方向的夹角为 、 ，由几何关系可得： ＝ ，探测到三束离子，则
c束中离子恰好达到探测板的D点时，探测β板与α边界HG的距离最大，α 根β据几何关系可得：
R-s OH 0.6R 3
tan = = = =
L s 0.8R 4
max
α
4
解得：L = R；
max
15
（3）a或c束中每个离子动量的竖直分量：P ＝Pcos ＝0.8qBR，根据动量定理可得：
x
4 α
当0＜L≤ R时，F ＝NP+2NP ＝2.6NqBR
1 x
15
4
当 R＜L≤0.4R时，F ＝NP+NP ＝1.8NqBR
2 x
15当L＞0.4R时，F ＝NP＝NqBR。
3
qBR
答：（1）离子速度v的大小为 ，c束中的离子射出磁场边界HG时与H点的距离为0.8R；
m
4
（2）探测到三束离子时探测板与边界HG的最大距离为 R；
15
4 4
（3）当0＜L≤ R时，F ＝2.6NqBR；当 R＜L≤0.4R时，F ＝1.8NqBR；当L＞0.4R时，F
1 2 3
15 15
＝NqBR。
4. 如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，
大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率
为v ，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为 v ，相应的出
1 2
射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则这两种情况下带电粒子
从P点射入到距P点最远处射出，其在磁场中所经历的时间比t ：t 为（ ）
1 2
A．1：2 B．2：1 C．√3：1 D．1：1
【解答】解：粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
qvB＝m4π2r mv2，
=
T2 r
mv 2πm
解得：r= ，T= ，
qB qB
可知粒子在磁场中运动的周期均相同，通过旋转圆可知，这两种情况下带电粒子从P点射入到
距P点最远处射出，入射点和最远射出点连线应是轨迹圆的直径，轨迹所对圆心角均为 ，在磁
场中所经历的时间比t ：t ＝1：1，故D正确，ABC错误。 π
1 2
故选：D。
5. 真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向
与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电
子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圈围成的区域内，
磁场的磁感应强度最小为（ ）3mv mv 3mv 3mv
A． B． C． D．
2ae ae 4ae 5ae
【解答】解：当电子在磁场中的运动轨迹和外圆相切时，电子在图中实线圆围成的区域内运动
的半径最大，
电子的运动轨迹如图，
令电子的半径为r，根据几何知识有r2+a2＝（3a﹣r）2，
4
所以电子的最大半径为r= a，
3
v2
因为evB=m ，
r
mv
所以B= ，
re
3mv
则磁感应强度的最小值为B= ，故ABD错误，C正确。
4ae
故选：C。
6. （多选）如图所示，在x0y平面的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸
面向里的匀强磁场。两个相同的带电粒子，先后从y轴上的P点（0，a）和Q点（纵坐标b未
知），以相同的速度v 沿x轴正方向射入磁场，在x轴上的M点（c，0）相遇。不计粒子的重
0
力及粒子之间的相互作用，由题中信息可以确定（ ）
A．Q 点的纵坐标bB．带电粒子的电荷量
C．两个带电粒子在磁场中运动的半径
D．两个带电粒子在磁场中运动的时间
【解答】解：粒子在磁场中运动只受洛伦兹力作用，故粒子做匀速圆周运动，轨迹如图所示：
洛伦兹力做向心力，故有： v 2 ①；
Bqv =m 0 ⋯
0 r
AC、根据几何关系可得P点粒子的轨道半径，从而可以求出Q点射出粒子半径及坐标，故AC
正确；
B、由于是同种粒子，比荷相同，无法具体求解电荷量和质量，但可以求出比荷，故B错误；
2πr
D、根据粒子运动轨道半径和粒子转过的圆心角；故根据周期T= ，可求得运动时间
v
0
θ
t= T，故D正确；
2π
故选：ACD。
7. （2021•湖南）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电
粒子流（每个粒子的质量为m、电荷量为+q）以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子
之间的相互作用。对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题。（1）如图（a），宽度为2r 的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A（0，r ）、半径为r 的圆
1 1 1
形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B 的大小；
1
（2）如图（a），虚线框为边长等于2r 的正方形，其几何中心位于C（0，﹣r ）。在虚线框内
2 2
设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r ，并
2
沿x轴正方向射出。求该磁场磁感应强度B 的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出
2
面积最小的证明过程）；
（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r 的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于 r 的正
3 4
方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r 的带电粒子流
3
沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r ，并沿x轴正方向
4
射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀
强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。
【解答】解：（1）利用圆形区域匀强磁场实现对带电粒子流的磁聚焦，需要满足：粒子匀速圆
周运动半径与圆形磁场区域的半径相等，设粒子做匀速圆周运动的半径为R ，则有R ＝r ，
1 1 1
粒子匀速圆周运动所需向心力等于洛伦兹力，则有：qvB ＝mv2
1
R
1
mv
解得：B =
1 qr
1
（2）在磁场B 中汇聚到O点的带电粒子进入磁场B 后，射出后变为宽度为2r 平行粒子束，此
1 2 2
为磁聚焦的逆过程（磁控束），粒子运动轨迹如右图中红色轨迹，则可知需要的区域面积最小
的匀强磁场应为以出射的粒子流的宽度为直径的圆形区域磁场，如右图中蓝色圆形区域，设粒
子匀速圆周运动半径为R ，需要的最小圆形磁场区域半径为r ′，则有R ＝r ′＝r ，
2 2 2 2 2粒子做匀速圆周运动所需向心力等于洛伦兹力，则有：qvB ＝mv2，
2
R
2
mv
解得：B = ，
2 qr
2
带正电粒子在磁场B 中做逆时针匀速圆周运动，由左手定则判断，磁感应强度B 的方向为垂直
2 2
xOy平面向里，
该磁场区域的面积S
=πr'2=πr2
2 2
（3）进入区域Ⅰ的粒子经磁聚焦由O点进入区域Ⅳ经磁控束后离开磁场；同理，进入区域Ⅱ的
粒子经磁聚焦由O点进入区域Ⅲ经磁控束后离开磁场，则可知在区域Ⅰ和区域Ⅱ中的圆形磁场
区域半径为r ，粒子匀速圆周运动半径也为r ，同理，在区域Ⅲ和区域Ⅳ中的圆形磁场区域半径
3 3
1
为r ，粒子匀速圆周运动半径也为r ，如右图所示，各区域中的蓝色 圆弧为最小区域磁场边界，
4 4
4
1
红色 圆弧为入射或出射时离x轴距离最远的粒子运动轨迹，则各区域需要的磁场区域最小面积
4
1 1
为蓝色 圆弧与红色 圆弧围成的区域面积。
4 4
设区域Ⅰ中磁场的磁感应强度为B ，则有：qvB ＝mv2
3 3
r
3
mv
解得：B =
3 qr
3
设区域Ⅲ中磁场的磁感应强度为B ，则有：qvB v2
4 4=m
r
4
mv
解得：B =
4 qr
4
1 1 1
区域Ⅱ中匀强磁场区域的面积S ＝2（ πr2- r2）= (π-2)r2
2 4 3 2 3 2 3
1 1 1
区域Ⅳ中匀强磁场区域的面积S ＝2（ πr2- r2）= (π-2)r2
4 4 4 2 4 2 4
mv
答：（1）该磁场磁感应强度B 的大小为 ；
1 qr
1mv
（2）该磁场磁感应强度B 的大小为 ，方向为垂直xOy平面向里，以及该磁场区域的面积为
2 qr
2
；
πr2
2
mv mv
（3）Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小分别为 和 ，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积分
qr qr
3 4
1 1
别为 (π-2)r2和 (π-2)r2。
2 3 2 4
