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计算题培优练 4 带电粒子在组合场中的运动
1.(14分)(2024·河北省适应性测试)如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限半径为R的圆形区域内存
在磁感应强度大小为B 、垂直纸面向外的匀强磁场，圆形区域与x、y坐标轴均相切，圆心为O ，第二象
1 1
限内存在电场强度大小为E、沿y轴负方向的匀强电场，第三象限内有垂直纸面向里的匀强磁场。质量为
m、带电量为+q的粒子从A点以初速度v 沿AO 方向射入圆形区域，粒子穿过y轴后进入第二象限的匀强
0 1
电场，然后粒子从P点(-14R，0)(图中未画出)进入第三象限，粒子从y轴离开第三象限时速度方向与y轴
3mv
正方向成45°。已知B = 0，不计粒子重力，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。求：
1 4qR
(1)(6分)匀强电场的电场强度E；
(2)(8分)粒子从进入圆形磁场区域到离开第三象限所用的时间t。
2.(16分)(2024·湖南娄底市一模)如图所示，在真空坐标系xOy中，第二象限内有边界互相平行且宽度均为d
的六个区域，交替分布着方向竖直向下的匀强电场和方向垂直纸面向里的匀强磁场，调节电场和磁场大小，
可以控制飞出的带电粒子的速度大小及方向。现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P点处由静
止释放，粒子恰好以速度大小为v 、方向与y轴负方向的夹角为θ=45°从坐标原点O进入x>0区域，x>0区
0
mg
域存在磁感应强度大小B = 、方向垂直xOy平面向里的匀强磁场(图中未画出)，不计粒子重力，重力加
1 qv
0
速度为g。求：
(1)(9分)第二象限中电场强度大小E 与磁感应强度大小B 的比值；
0 0
(2)(7分)粒子从坐标原点O第1次经过x轴到第2次经过x轴的时间。答案精析
2mv 2 71 74π 35π R
1.(1) 0 (2)( + + )
25qR 4 135 4 v
0
解析 (1) 粒子的运动轨迹如图所示，
粒子从C点离开磁场区域，从y轴上的D点进入第二象限，粒子在圆形磁场区域运动过程中有
v 2
qvB =m 0
1
r
1
mv 4
0
解得r = = R
1 qB 3
1
由几何关系可知
r 4
tan ∠O O A= 1=
2 1 R 3
则∠O O A=∠O O D=53°
2 1 2 1
由几何关系可知粒子进入第二象限时与y轴正方向的夹角为53°，设粒子在第二象限运动的时间为t ，由运
3
动的合成与分解规律有
14R=v sin 53°·t
0 3
1 Eq
-(R+Rtan 37°)=v cos 53°·t - · t 2
0 3 2 m 3
2mv 2 35R
解得E= 0 ，t =
25qR 3 2v
0
(2)粒子在圆形磁场中运动的时间
∠AO C 2πm 74πR
t = 2 · =
1 360° qB 135v
1 0
粒子出了圆形磁场区域后在第一象限中运动的时间
R
CD -R R
t = =sin53° =
2 v 4v
0 v 0
0
粒子进入第三象限时沿y轴方向的速度
Eq 4
v=v cos 53°- t =- v
y 0 m 3 5 0
所以粒子进入第三象限时速度大小4√2
v= v
5 0
速度方向与x轴的夹角为45°
由几何关系可知粒子在第三象限运动的半径
r =7√2R
2
粒子在第三象限运动的时间
1 2πr 35πR
t = × 2=
4 2 v 4v
0
粒子从进入圆形磁场区域到离开第三象限所用的时间
71 74π 35π R
t=t +t +t +t =( + + ) 。
1 2 3 4 4 135 4 v
0
√2 πv
2.(1) v (2) 0
2 0 2g
1
解析 (1)粒子从P到Q，静电力做正功，洛伦兹力不做功，由动能定理得3E qd= mv 2
0 2 0
mv 2
解得E = 0
0
6qd
根据题意粒子速度与y轴负方向的夹角为
θ=45°
粒子在经过磁场时的水平方向上，由动量定理
∑B qvt=mΔv
0 y x
即B q×3d=mv sin 45°
0 0
√2mv
解得B = 0
0
6qd
E √2
0
故第二象限中电场强度大小E 与磁感应强度大小B 的比值为 = v
0 0 B 2 0
0
(2)粒子在x>0区域做匀速圆周运动，根据运动的对称性知，粒子从坐标原点O第1次经过x轴到第2次经
过x轴偏转的圆心角为φ=90°
2πm 2πv
周期为T= = 0
qB g
1
经过的时间
φ πv
t= ×T= 0 。
360° 2g
