专题04带电粒子在组合场中运动模型（教师版）_04-物理-高考总复习_专项复习_2025年_2025年高中高考物理模型与方法_资料_3高中（全册）_选择性必修第二册

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专题04 带电粒子在组合场中运动模型
模型(一)  带电粒子在三类组合场中的运动
1．组合场：电场与磁场各自位于一定的区域内且不重叠。
2．分析带电粒子在组合场中运动的方法
3．“电偏转”与“磁偏转”的比较
垂直电场线进入匀强电场(不计
重力)
垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力)
受力情况
电场力FE＝qE，其大小、方向
不变，与速度v 无关，FE是恒力
洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方
向随v 而改变，FB是变力
轨迹
抛物线
圆或圆的一部分
运动轨迹示例
求解方法
利用类平抛运动的规律求解：
vx＝v0，x＝v0t
vy＝·t，
y＝··t2
偏转角φ 满足：
tan φ＝＝
半径：r＝
周期：T＝
偏移距离y 和偏转角φ 要结合圆的几
何关系利用圆周运动规律讨论求解
运动时间
t＝
t＝T＝
动能
变化
不变
类型一　先电场后磁场
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运
动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。
1
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(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求
粒子进入磁场时的速度。
类型二  先磁场后电场
对于粒子从磁场进入电场的运动，有两种常见情况：
(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动
能定理或运动学公式列式求解。
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，利用平抛运动知
识分析。
类型三 先后多个电磁场
“5 步”突破带电粒子在组合场中的运动问题
模型(二)　带电粒子在交变电磁场中的运动
1．交变场的三种常见的类型
(1)电场周期性变化，磁场不变。
2
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(2)磁场周期性变化，电场不变。
(3)电场、磁场均周期性变化。
2．基本解题思路
模型(三) STSE 中的组合场模型
类型(一) 质谱仪
(1)构造：如图所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。
(2)原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2。
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m。
由以上两式可得r＝ ，m＝，＝。 
类型(二) 回旋加速器
(1)构造：如图所示，D1、D2是半圆形金属盒，D 形盒的缝隙处接交流
电源，D 形盒处于匀强磁场中。
(2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，
由qvB＝，得Ekm＝，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度B 和D 形盒半径R 决定，
与加速电压无关。 
【模型演练1】（2024 上·广东深圳·高二校考期末）某实验小组分别用匀强电场和匀强磁场设计电子偏转
装置。一带正电的粒子，重力不计，电量与质量之比为k，以平行于Ox 轴的速度v0从y 轴上的A 点水平射
入第一象限区域，并从x 轴的B 点射出，如图（甲）和（乙）所示。已知OA=s，∠ABO=α，
，
（1）若第一象限只存在平行于Oy 的电场，如图（甲），求该电场强度大小；
（2）若第一象限只存在垂直xOy 平面的匀强磁场，如图（乙），求该磁感应强度的大小。
（3）在第（1）问中，带电粒子到达B 点后撤销电场，同时在整个空间中施加垂直xOy 平面的匀强磁场，
3
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要求粒子能回到A 点，求所施加磁场的磁感应强度B。（忽略磁场变化过程带来的电磁扰动）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，方向磁场垂直纸面向外
【详解】（1）正电子从A 点射入，做类平抛运动
解得
（2）设粒子在磁场中圆周运动的半径为R
根据勾股定理
解得
4
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根据带电粒子在磁场中运动
所以
联立两式，得
所以
（3）第（1）问中粒子到达B 点时
入射角度为
θ=45°
合速度为
    
如果磁场垂直纸面向外，粒子轨迹如图，向下偏转，设圆周运动半径为R，则
解得
根据圆周运动动力学方程
解得
5
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当磁场方向垂直平面向里，则粒子逆时针方向运动，跟y 轴的交点坐标一定大于OB，由于OA 小于OB，
故不可能经过A 点。
【模型演练2】．（2024 上·江苏南京·高二校联考期末）如图所示，第一象限内存在沿x 轴负方向、场强大
小为E 的匀强电场，第二、三、四象限存在垂直xOy 平面向里的匀强磁场。把一个质量为m、电荷量为q
的带正电粒子由A 点静止释放，A 点到x 轴和y 轴的距离均为d，粒子从y 轴上的P 点第一次进入磁场偏转
后，垂直x 轴再次进入电场，在电场的作用下又从y 轴上的Q 点（图中未标出）第二次进入磁场，粒子重
力不计。求：
（1）粒子到达P 点的速度大小及匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
（2）O、Q 两点间的距离；
（3）粒子从A 点开始，到第2024 次进入磁场时运动的总时间。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）由题意可知，粒子在电场中做匀加速直线运动，由动能定理可得
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解得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图
由洛伦兹力提供向心力
由几何关系可知
联立可得，匀强磁场的磁感应强度的大小为
（2）粒子再次进入匀强电场中做类平抛运动，x 轴方向有
其中
在y 轴方向有
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联立可得，O、Q 两点间的距离为
（3）粒子从A 点运动到P 点 
解得
粒子从P 运动第一次返回电场
粒子从第二次进入磁场为开始为周期性运动，运动周期
则粒子从A 到2024 次进入磁场的总时间为
【模型演练3】（2024 上·江苏盐城·高二江苏省建湖高级中学校考期末）在如图所示的坐标系中，第一象
限和第二象限（包括y 轴的正半轴）内存在磁感应强度大小为B、方向垂直xOy 平面向里的匀强磁场；第
三和第四象限内存在平行于y 轴正方向、大小未知的匀强电场。p 点为y 轴正半轴上的一点，坐标为
；
n 点为y 轴负半轴上的一点，坐标未知。现有一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子由p 点沿y 轴正方向
以一定的速度射入匀强磁场，该粒子经磁场偏转后以与x 轴正半轴成
角的方向进入匀强电场，在电场
中运动一段时间后，该粒子恰好垂直于y 轴经过n 点。粒子的重力忽略不计。求：
（1）粒子在p 点的速度大小；
（2）第三和第四象限内的电场强度的大小；
（3）带电粒子通过x 轴的时刻t。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）第一次
，第二次
，第三次
【详解】（1）带电粒子的运动轨迹如图所示，由几何关系可得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，设粒子在p 点的速度大小为v0，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律
可得
解得
（2）粒子进入电场，在第三象限的运动可看做逆过程类平抛运动，设粒子经x 轴的坐标为（-x1，0），粒
子射入电场到经n 点的时间为t2，由几何关系可得
在n 点有
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由类平抛运动的规律，x 轴方向可得
y 轴方向可得
联立解得
（3）粒子在磁场中做圆周运动的周期
粒子第一次在磁场中运动时间
由对称性可知，粒子在电场中运动时间为
粒子在第一象限磁场中运动时间
带电粒子从开始到通过x 轴的时刻为：第一次
第二次
第三次
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【模型演练4】（2023 上·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）在如图甲所示的平面直角坐标系xOy
（其中Ox 水平，Oy 竖直）内，矩形区域OMNP 充满磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场
（边界处有磁场），其中
，
，P 点处放置一垂直于x 轴的荧光屏，现将质量为m、电荷
量为q 的带正电的粒子从OM 边的中点A 处以某一速度垂直于磁场且沿与y 轴负方向夹角为45°的方向射入
磁场，不计粒子重力。
（1）若粒子打在荧光屏上形成的光点与A 点等高，求粒子速度的大小；
（2）求粒子能从OM 边射出磁场的最大速度及其对应的运动时间；
（3）若规定垂直纸面向外的磁场方向为正方向，磁感应强度B 的变化规律如图乙所示（图中
已知），
调节磁场的周期，满足
，让粒子在
时刻从坐标原点O 沿与x 轴正方向成
角的方向以一定
的初速度射入磁场，若粒子恰好垂直打在屏上，求粒子的可能初速度大小及打在光屏上的位置。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
（
，，
），
【详解】（1）要使粒子恰好能打在荧光屏上与A 等高的点，则粒子速度方向偏转了90°，轨迹如图所示
由几何关系可得
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由洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
（2）当粒子的轨迹恰好与MN 相切时，对应的速度最大，如图所示
由几何关系可得
由洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
可知轨迹对应圆心角为
，粒子在磁场中的运动周期为
故对应的运动时间为
（3）由题意可知，磁场的周期满足
可知每经过
，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角均为
，运动轨迹如图所示
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粒子打在荧光屏上的Q 点，由几何关系可得
则有
设粒子在磁场中运动的轨道半径为
，每次偏转对应的圆心角均为
，粒子恰好垂直打在屏上，由几何
关系可得
（
，，
）
由洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
（
，，
）
【模型演练5】（2024 上·天津·高二天津市蓟州区第一中学校联考期末）现有一可以测定有机化合物分子
结构的质谱仪，其结构示意图如图所示。样品室内的有机物气体分子先通过离子化室，离子化成初速度可
以忽略不计的正离子，再经过电压为U 的高压电源区加速后，穿过半径为R，磁场方向垂直纸面的圆形匀
强磁场区。从高压电源区离开的离子，其初速度指向磁场区的圆心O 且水平，最终打在总长度为2R、水
平放置的平板记录仪上，通过测量可得出离子比荷，从而推测有机物的分子结构。已知打在记录仪的中点
上的离子在磁场中的运动时间为t，
点正好位于O 点正下方，记录仪两端为磁场区半径延长线上的点，
长度为
。不计离子重力和离子间的相互作用。求：
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（1）打在
点的离子的速度大小v；
（2）圆形磁场区的磁感应强度大小B 和圆形磁场区内匀强磁场的方向；
（3）求记录仪上能收集到的离子的比荷范围。
【答案】（1）
；（2）
，垂直纸面向外；（3）
【详解】（1）打在O′点离子在磁场中运动的周期
T＝4t 
由①②得
 
（2）由左手定则可知磁场方向垂直纸面向外
由图1，可知打在
点的离子，由动能定理得
由洛伦兹力提供向心力有
解得
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（3）由图2、3 结合几何关系，可知能打在记录仪上的离子的最大偏转角为120°，最小偏转角为60°
偏转角为
时，轨迹半径
由动能定理得
可得
偏转角为
时，轨迹半径
可得
则记录仪上能收集到的离子的比荷范围为
【模型演练6】（2024 上·北京丰台·高二统考期末）某回旋加速器的工作原理如图所示。
和
是两个中
空的、半径为R 的半圆型金属盒，两盒之间窄缝的宽度为d，它们之间有一定的电势差，大小为U。两个
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金属盒处于与盒面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，
盒的中央A 处的粒子源可以产生质量为
m、电荷量为
的粒子，控制两盒间的电势差，改变电场方向，使粒子每次经过窄缝都会被电场加速，之
后进入磁场做匀速圆周运动，经过若干次加速后，粒子从金属
盒边缘离开。忽略粒子的初速度、粒子的
重力、粒子间的相互作用及相对论效应。
（1）求粒子离开加速器时获得的最大动能
；
（2）忽略粒子在两盒间的电场加速的时间，计算粒子从A 点开始运动到离开加速器的时间；
（3）已知该回旋加速器金属盒的半径
，窄缝的宽度
。请通过计算分析，说明在解决
（2）问时忽略粒子在两盒间的电场加速时间的原因。
【答案】（1）
；（2）
；（3）过程见解析
【详解】（1）粒子从金属盒D1边缘离开，由洛伦兹力提供向心力可得
解得粒子的最大速度为
则粒子离开加速器时获得的动能为
（2）设粒子在电场中被加速N 次，由动能定理可得
解得
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粒子每在电场中被加速两次，粒子在磁场中运动一周，则粒子从A 点开始运动到离开加速器的时间
（3）粒子在电场中加速过程
解得
则
说明在磁场中运动时间远大于在电场中加速时间，故忽略粒子在两盒间的电场加速时间。
1．（2024 上·辽宁葫芦岛·高二统考期末）如图所示，在平面直角坐标系第一象限中，
的区域有竖
直向上的匀强电场，
的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，一质量为m、带电量为
的粒子（不计
重力）自O 点以速度
沿x 轴正方向射入电场，然后在
上某一点（图上没标出）射出，并与
线成
进入磁场。经过一段时间粒子第一次经过x 轴上的P 点且垂直x 轴进入第四象限。粒子到达P 点瞬
间原来向外的磁场全部消失，粒子在第四象限运动一段时间后进入一矩形匀强磁场（该磁场方向垂直纸面
向里，磁感应强度大小为原向外磁场的2 倍）区域，粒子再次到达x 轴时方向恰好沿x 轴负方向，且能第
二次经过P 点。求：
（1）求电场强度E 的大小；
（2）求从O 点开始第一次到x 轴所用的时间；
（3）求矩形磁场的最小面积。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，水平方向
竖直方向
由牛顿第二定律
由几何关系
联立解得
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（2）带电粒子在磁场中做圆周运动速度为v，由几何关系得
由几何关系，带电粒子在原向外磁场中做圆周运动的半径
做圆周运动的周期
由几何关系，带电粒子在向外磁场中运动的时间
从O 点开始第一次到x 轴所用的时间
解得
（3）由（2）可知在磁场运动速度为
且大小不变，进入第四象限进入矩形磁场做圆周运动
得轨道半径
由几何关系，当矩形磁场为图示虚线矩形时的面积最小
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则矩形的两个边长分别为
所以矩形磁场的最小面积
2．（2023 上·四川广元·高二四川省苍溪中学校校考阶段练习）如图，在xoy 平面第一象限整个区域分布一
匀强电场，电场方向平行y 轴向下。在第四象限内（包括x、y 轴）存在一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向
外。一质量为m、带电量为
的粒子从y 轴上p 点以初速度
垂直y 轴射入匀强电场，在电场力作用下从
x 轴上Q 点以与x 轴正方向成45°角进入匀强磁场。已知
，不计粒子重力。求：
（1）p 与O 两点间的距离；
（2）要使粒子能再进入电场，磁感应强度B 的取值范围；
（3）在满足第（2）问的条件下，且磁感应强度取最小值时，粒子从P 点开始到第二次过x 轴所经历的时
间。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设粒子进入磁场时y 方向的速度为
，则有
设粒子在电场中运动时间为t，则有
联立解得
p 与O 两点间的距离为
（2）作出粒子刚好能再进入电场的轨迹如图所示
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设此时的轨迹半径为r，由几何关系有
粒子在磁场中的速度为
根据牛顿定第二定律可得
联立解得
要使粒子能再进入电场，磁感应强度B 的范围为
（3）在满足第（2）问的条件下，且磁感应强度取最小值时，则此时磁感应强度为
。粒子
在电场中运动时间为
由几何关系可知，再磁场中转过的角度为
其中
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则在磁场中运动时间为
故粒子从P 点开始到第二次过x 轴所经历的时间为
3．（2023·全国·高二专题练习）如图所示。研究员在研究带电粒子的受控轨迹时。设置了以下场景，空间
中存在
平面直角坐标系。其第一象限内存在方向沿y 轴负向的匀强电场。电场强度为 E；第四象限内
有一条分界线ON 与x 轴正方向的夹角为： 
在
 轴与ON 间存在垂直纸面向外的匀强磁场。研究员
将一带正电的粒子从y 轴上的距原点O 距离d 的P 点，以速度v0垂直y 轴打入电场，经电场偏转后经 
轴
进入磁场，在磁场中运动一段时间后从ON 上以垂直于y 轴的速度方向射出。已知粒子的比荷为
，不
计粒子重力。求：
（1）粒子从 
轴打出点到原点的距离以及粒子过该点时的速度 大小；
（2）磁场的磁感应强度 B 的大小；
（3）若改变磁感应强度 B 的大小，使粒子第一次进入磁场后轨迹恰好与ON 相切再次打入电场。求粒子
第三次进入磁场时距离 O 点的距离
。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
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【详解】（1）粒子在电场中有
经过
轴打出点时的速度大小
联立可得
（2）粒子离开电场时与x 轴夹角
既
如图
根据几何关系可得
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联立可得
由
可得
（3）粒子第一次进入磁场后轨迹恰好与ON 相切，则粒子第一次在磁场中转过的圆心角为
，根据
几何关系
粒子在磁场中轨迹半径
第一次出磁场点在A 点左侧距离为
出磁场后，粒子在电场中做类斜抛运动，该过程，根据对称性，有
联立解得在第二次在电场中向右的位移大小为
根据类斜抛运动对称性，第二次进入磁场时速度方向仍与第一次进入磁场方向相同，故第二次出磁场时相
比较第二次进磁场时位置向左偏转
，然后第三次在电场中向右运动
后第三次进入磁场，故粒子
第三次进入磁场时距离 O 点的距离
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4．（2024 上·广东茂名·高二统考期末）如图所示，平面直角坐标系xOy 中，在第I 象限内存在方向沿y 轴
负方向的匀强电场，在第IV 象限内
区域存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量
为
的带电粒子以初速度v0从y 轴上P（0，h）点沿x 轴正方向开始运动，经过电场后从x 轴上的点
进入磁场，粒子恰好不能从磁场的下边界离开磁场。不计粒子重力。求：
（1）粒子在Q 点位置的速度vQ和速度方向与x 轴正方向夹角θ；
（2）匀强磁场磁感应强度大小B；
（3）粒子从P 点开始运动至第一次到达磁场下边界所需要的时间。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）设粒子从P 到Q 的过程中，加速度大小为a，运动时间为t，在Q 点进入磁场时速度大小为
vQ，方向与x 轴正方向间的夹角为θ，vQ沿y 轴方向的大小为vy，则水平方向上
竖直方向上
，
解得
Q 点的合速度大小为
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速度方向与x 轴正方向夹角正切值为
解得
（2）设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，据洛伦兹力提供向心力
解得
粒子运动轨迹如图所示
根据几何关系得
解得
（3）根据几何关系，粒子在磁场中转过的圆心角为
在磁场中运动的周期
在磁场中运动的时间
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粒子运动总的时间
5．（2024 上·河南新乡·高二统考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，第三象限内存在沿y 轴正方向的
匀强电场，第一象限某区域内存在垂直于坐标平面向里的圆形匀强磁场（图中没有画出）。一质量为m，
电荷量为q 的带正电粒子从电场中的Q 点以大小为
的速度平行于x 轴正方向射出，粒子经坐标原点О 射
入第一象限时与x 轴正方向的夹角为θ=45°，运动一段时间后进入圆形匀强磁场区域，最后射出磁场时与y
轴正方向的夹角也为θ=45°。已知匀强磁场的磁感应强度大小
，Q 点与y 轴的距离为l，不计粒
子受到的重力。求：
（1）匀强电场的电场强度大小E；
（2）粒子在磁场中运动的时间t；
（3）圆形匀强磁场区域的最小面积。
  
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，有
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联立解得
（2）设粒子从О 点射入第一象限时的速度大小为v，在磁场中运动轨迹所对应的圆心角等于90°，则运动
时间
又有
联立解得
（3）粒子在匀强磁场区域内的运动轨迹如图所示
由几何关系可知，当进入磁场的点和射出磁场的点的连线是圆形磁场区域的直径2r 时，磁场区域面积S 最
小
Rsin45°=r
联立解得
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6．（2024 上·陕西渭南·高二渭南市华州区咸林中学校考期末）如图所示，在直角坐标系的第一象限中分布
着沿y 轴负方向的匀强电场，在第四象限中分布着方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷
量为+q 的微粒，在A 点
以初速度
平行x 轴正方向射入电场区域，然后从电场区域进入磁
场，又从磁场进入电场，并且先后只通过x 轴上的P 点
和Q 点
各一次。已知该微粒的比荷
为
，微粒重力不计，求：
（1）微粒从A 到P 所经历的时间和加速度的大小；
（2）求出微粒到达P 点时速度方向与x 轴正方向的夹角；
（3）电场强度磁感应强度B 的大小。
【答案】（1）0.05s，
；（2）
；（3）1.2T
【详解】（1）微粒从平行x 轴正方向射入电场区域，由A 到P 做类平抛运动，微粒在x 轴上做匀速直线运
动，则有
微粒沿y 轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，有
解得
，
（2）微粒进入磁场时竖直方向的分速度
30
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设微粒到达P 点时速度方向与x 轴正方向的夹角为
，则
解得
（3）粒子的运动轨迹如图所示。
设微粒从P 点进入磁场以速度v 做匀速圆周运动，根据运动的合成得
根据洛伦兹力提供向心力
根据几何关系可得
联立解得
7．（2023 上·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图所示，在y0 的区域存在匀强电场
E5102N/C，场强沿y 轴负方向；在y0 区域存在匀强磁场，磁感应强度B0.1T，磁场方向垂直xOy 平面
向外。一电荷量为q2107C、质量为m41014kg 的带正电粒子，从y 轴上y2cm 处的
点以速率
v01104m/s 沿x 轴正方向射入电场，紧接着从
点射入磁场（不计粒子重力）。求：
（1）求粒子从
点射入磁场时的速度；
（2）该粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径R 的大小；
31
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（3）粒子从
开始计时直到第五次经过x 轴所用的时间。
【答案】（1）
104m/s；（2）2
10-2m；（3）（20+6
）10-6s
【详解】（1）根据题意，粒子在电场中做类平抛运动，由牛顿第二定律有
Eq=ma
由类平抛规律竖直方向有
竖直方向有
粒子从
点射入磁场时的速度为
联立解得
t=4 10-6s，v=
104m/s
（2）设粒子进入磁场时与x 轴的夹角为
，则有
tan
＝
可得
=45°
由牛顿第二定律有
qvB＝m
代入解得
32
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R＝2
10-2m
（3）设带电粒子在磁场中运动周期为T，则
T＝
=
根据题意分析可知，粒子在磁场运动了两个偏转270°的过程，时间为
t 磁=2
T=6π×4×10−6s
粒子在电场中经过了一次平抛，两次斜抛过程，运动的时间为
t 电=5t=5 4 10-6s=2.0 10-5s
粒子从P1开始计时直到第五次经过x 轴所用的时间
t= t 磁+ t 电=6π 10-6s+2.0 10-5s=（20+6
）10-6s
8．（2023 上·辽宁大连·高二统考期末）在如图所示的平面直角坐标系
中，第一象限区域内有沿y 轴负
方向的匀强电场，第三象限和第四象限区域内有垂直于
平面（纸面）向里的匀强磁场，第三象限的磁
场的磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为
的粒子，以初速度
从坐标为
的A
点沿x 轴负方向进入匀强电场后，恰好从坐标原点O 进入第三象限，继而经y 轴上的P 点（未画出）进入
第四象限，然后又垂直于x 轴进入第一象限，不计粒子的重力，求：
（1）第一象限内匀强电场的电场强度大小E；
（2）P 点坐标；
（3）粒子在第四象限运动的时间t。
【答案】（1）
；（2）（0，
）；（3）
【详解】（1）如图所示，粒子在第一象限，在电场力作用下做类平抛运动，则
x 轴方向方向
33
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y 轴方向竖直方向
代入得
（2）如图所示，当粒子从O 点进入第三象限磁场，粒子做圆周运动，设速度为v，则
由类平抛关系式
联立得
由几何关系知图中角
等于45°，设进入第三象限粒子做圆周运动半径为r，则
由几何关系，P 点y 轴距离为
代入得
则P 点坐标为（0，
）
（3）当粒子以
从第三象限射出进入第四象限，并垂直从x 轴射出，如图所示，设第四象限磁场强度
为B1，做圆周运动半径为R，周期为T，则
34
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根据几何关系知
代入得
由周期公式知
则由角度关系知，运动时间为
9．（2024 上·广东广州·高二校考期末）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。2023 年6 月
从中国电子科技集团有限公司获悉，该集团旗下中电科电子装备集团有限公司（简称电科装备）已实现国
产离子注入机28 纳米工艺制程全覆盖，有力保障我国集成电路制造行业在成熟制程领域的产业安全。如图
所示是离子注入简化工作原理的示意图。静止于A 处的离子，经电压为U 的加速电场加速后，沿图中半径
为R 的虚线通过
圆弧形静电分析器（静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场）后，从P 点沿竖直方向
进入半径为r 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向外。该圆形磁场区域的直径PQ 与竖直方向夹
角为15°，经磁场偏转，离子最后垂直打在竖直放置的硅片上。已知离子的质量为m、电荷量为q，不计重
力。求：
（1）离子进入圆形匀强磁场区域时的速度大小；
（2）静电分析器通道内虚线处电场强度的大小E；
（3）匀强磁场的磁感应强度B 的大小。
35
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子通过加速电场，根据动能定理得
解得
（2）离子经过静电分析器，根据牛顿第二定律和运动学公式得
解得
（3）离子在磁场运动的轨迹如图所示
O1、O2分别为磁场圆和轨迹圆的圆心，M 为射出点，PM 为公共弦，连接O1O2，则
,
为
等腰直角三角形，则
36
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，
,
设带电粒子在磁场中轨迹圆的半径为
，则
根据牛顿第二定律和运动学公式得
解得
10．（2023 上·天津南开·高二统考期末）如图所示装置中，区域I 中有竖直向上的匀强电场，电场强度为
E，区域Ⅱ内有垂直向外的水平匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、带电量为 
的带电粒子（不计
重力）从左边界O 点正上方的M 点以速度 
水平射入电场，经水平分界线OP 上的A 点与 OP 成 
角
射入Ⅱ区域的磁场，并垂直竖直边界CD 射出匀强磁场。求：
（1）粒子在区域Ⅱ匀强磁场中运动的轨迹半径；
（2）粒子在匀强磁场中运动的时间
；
（3）匀强磁场区域OP 的宽度
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设粒子过A 点时速度为v，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。由牛顿第二定律可得
37
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由类平抛运动可得
可得粒子在区域Ⅱ匀强磁场中运动的轨迹半径为
（2）粒子在区域Ⅱ匀强磁场中运动的时间为
其中
解得
（3）粒子在区域I 中做类平抛运动，则有
 
 
联立解得
由几何关系可知
解得
38
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可得匀强磁场区域OP 的宽度
11．（2024 上·内蒙古赤峰·高二统考期末）如图所示，在 xOy 平面的第一象限有一匀强电场，电场的方向
平行于 y 轴向下； 在 x 轴和第四象限的射线OC 之间有一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直
于纸面向外。有一质量为m，带有电荷量+q 的质点由电场左侧平行于 x 轴射入电场。质点到达 x 轴上A 
点时，速度方向与x 轴的夹角为φ，A 点与原点O 的距离为d。接着，质点进入磁场，并垂直于OC 飞离
磁场。不计重力影响。若OC 与x 轴的夹角也为φ， 求：
（1） 将正电荷质点在磁场中的运动轨迹画在答题卡上；
（2） 粒子在磁场中运动速度的大小；
（3） 匀强电场的场强大小。
    
【答案】（1） 
   ；（2）
；（3）
【详解】（1）质点在磁场中的运动电荷轨迹如下图所示
39
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（2）由几何关系得
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得
解得
（3）质点在电场中做类平抛运动，设质点射入电场中的初速度为
，在电场中的加速度为a，运动时间为
t，则有
解得
设电场场强为E，由牛顿第二定律得
联立解得
12．（2024 上·河北张家口·高二统考期末）如图所示的平行板电容器中，存在相互垂直的匀强磁场和匀强
电场，磁场的磁感应强度大小B1=0.20T，方向垂直纸面向里，电场强度E1=1.0×105V/m，PQ 为板间中线。
40
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紧靠平行板右侧边缘xOy 坐标系的第一象限内，边界AO 与y 轴的夹角∠AOy=45°，边界线的上方有垂直纸
面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B2=0.25T，边界线的下方有竖直向上的匀强电场，电场强度
E2=5.0×105V/m。一带电量q=8.0×10-19C，质量m=8.0×10-26kg 的正离子从P 点射入平行板间，沿中线PQ 做直
线运动，穿出平行板后从y 轴上坐标为（0，0.4m）的Q 点垂直y 轴射入磁场区，多次穿越边界线OA。不
计离子重力，
取3.14，求：
（1）离子运动的速度；
（2）离子从通过y 轴进入磁场到第二次穿越边界线OA 所用的时间；
（3）离子第四次穿越边界线OA 时的速度（最后结果保留两位有效数字）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在相互垂直的匀强磁场和匀强电场区域内沿着PQ 做直线运动，则可知粒子在该区域内
所受电场力与洛伦兹力大小相等方向相反，粒子处于平衡状态，沿着PQ 做匀速直线运动，则根据平衡条
件有
解得
（2）粒子进入
磁场区后在洛伦兹力的作用下做圆周运动，设其做圆周运动的轨迹半径为，则根据洛
伦兹力充当向心力有
可得
代入数据解得
41
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做出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示
粒子磁场中做圆周运动的周期
可知粒子从Q 点到第一次穿越OA 所用的时间
粒子穿越OA 后进入电场做匀减速直线运动直至速度减为零，然后反向加速，以第一次穿过OA 的速度大
小反向穿过OA，设粒子在电场中运动的时间为
，则根据速度时间关系可得
解得
如此可知，离子从通过y 轴进入磁场到第二次穿越边界线OA 所用的时间
（3）根据粒子的运动轨迹图像分析可知，粒子第二次穿越OA 后在磁场中做圆周运动到第三次穿越OA 所
用时间等于
，第三次穿越OA 后在电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速
直线运动，其位移的偏向角等于
，则有
42
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解得
则第四次穿过OA 时竖直方向的分速度
由此可得离子第四次穿越边界线OA 时的速度
13．（2023 上·重庆九龙坡·高二统考期末）如图所示，真空中某平面内的xOy 坐标系，在
区域有方向
垂直纸面向外的匀强磁场，在第一象限内有沿y 轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为
的粒子从
点A（0，
）垂直于y 轴以速度
射入第三象限，之后从点C 穿过y 轴射入第一象限，并从点D 穿过x
轴进入第四象限。已知
区域内的磁感应强度大小为
，第一象限内的电场强度大小为
，不考
虑粒子的重力。
（1）求C 点到O 点的距离；
（2）求D 点到O 点的距离以及粒子经过D 点时的速度；
（3）若粒子经过D 点后立即进入一个矩形匀强电场区域，在该电场的作用下可以返回A 点并沿固定路线
做周期性运动，请确定该电场存在的最小区域的面积及场强的大小和方向（场强方向用与x 轴的夹角的正
切值表示）。
【答案】（1）L；（2）2L，
，方向与x 轴正方向呈
角斜向右下方；（3）
，方向
43
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斜向左上方，
【详解】（1）带电粒子在磁场中做圆周运动，其洛伦兹力提供向心力，有
解得
由于A 点的坐标是（0，
），所以有几何关系可知，坐标原点为粒子在磁场中运动的轨迹圆的圆心，由
于其轨迹圆的半径也为L，所以C 点距离原点的距离也为L。
（2）由几何关系可知，粒子在C 点进入第一想象，其速度方向水平向右，带电粒子刚进入电场中，其速
度为水平向右，电场力的方向为竖直向下，所以带电粒子在第一象限做类平抛运动，水平方向有
竖直方向有
由牛顿第二定律有
解得
竖直方向速度有
粒子在D 点的速度大小
其与水平方向的夹角为
，有
解得
（3）若要使该粒子可以返回A 点并沿固定路线做周期性运动，则应满足：
的水平分量
需反向且大小
44
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为
，
的竖直分量
需减小为零。
由（2）可知，
，
，设该磁场的电场强度为
，由题意可知该电场为匀强电场，所以带电粒
子在第四象限做匀变速运动，设粒子在x 轴方向加速度大小为
。位移为
，在y 轴方向加速度大小为
，
位移为
，水平方向有
竖直方向有
水平方向位移为
竖直方向位移为
水平方向由牛顿第二定律有
竖直方向由牛顿第二定律有
则电场强度为
45
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其夹角为
解得
，
（如图所示）
粒子到达电场最右端时与D 点的水平的距离为s，有
解得
匀强电场为矩形区域，四个顶点分别为（2L，0），（
，0），（2L，
），（
，
），则该电
场存在的最小区域面积为
14．（2023 上·湖北武汉·高二武汉市第三中学校考阶段练习）如图所示，在绝缘光滑水平桌面上有一正方
形区域MNPQ 内分布有E=10N/C 的匀强电场和B=1T 的匀强磁场，对角线MP 是电磁场的分界线，现有一
质量为m=2×10-5kg、电荷量为q=+2×10-5C 的小球从M 点以v=1.5m/s 的速度沿MN 射入，从MP 上一点进入
电场，经过电场发生偏转后，恰能到达P 点。求：
（1）小球从M 运动至P 的总时间；
（2）正方形对角线MP 的长度。
46
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据小球进入磁场后做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得
代入数据解得轨道半径为
粒子的轨迹如图所示
由几何关系可得粒子在磁场中运动的时间为
小球进入电场后做类平抛运动，则有
由于竖直与水平方向发生的位移一样，故有
代入数据解得
则粒子从M 到P 的总时间为
（2）由几何关系得正方形对角线MP 的长度为
15．（2024 上·云南玉溪·高二统考期末）如图所示，平面直角坐标系
的第一象限内有沿
轴负方向的
47
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匀强电场，第四象限内有垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为
、带电量为
的粒子从
轴上的
点以初速度
沿
轴正方向射入电场，在电场中偏转后从
点射出电场进入磁场，经磁场
偏转后从
点射出磁场，粒子重力不计。求：
（1）匀强电场的电场强度；
（2）粒子在磁场中运动的速率；
（3）匀强磁场的磁感应强度大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，可得
其中
解得
（2）据类平抛运动的规律可得
48
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解得
（3）作出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示。设粒子进入磁场时速度与
轴正向成
角，则
设粒子射出磁场时速度与
轴正向成
角，据几何关系可得
解得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供圆周运动的向心力
解得
16．（2023 上·江苏扬州·高二统考阶段练习）如图甲所示，在直角坐标系中的0≤x≤L 区域内有沿y 轴正方
向的匀强电场，右侧有以点（2L，0）为圆心、半径为L 的圆形磁场区域，与x 轴的交点分别为M、N。在
xOy 平面内，从电离室产生的质量为m、带电荷量为e 的电子以几乎为零的初速度从P 点飘入加速电场中，
加速后以速度v0经过右侧极板上的小孔Q 点沿x 轴正方向进入匀强电场，已知O、Q 两点之间的距离为
49
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，电子飞出电场后从M 点进入圆形磁场区域，进入磁场时取t=0，在圆形区域内加如图乙所示变化的
磁场（以垂直于纸面向外为正方向，图中B0是未知量），最后电子从N 点飞出，不考虑电子的重力。求：
（1）加速电场的电压U；
（2）电子运动到M 点时的速度大小和方向；
（3）磁场变化周期T 满足的关系式。
【答案】（1）
；（2）2v0，方向与x 轴正方向的夹角为60°；（3）
（n=1，2，3…）
【详解】（1）在加速电场中，从P 点到Q 点，由动能定理得
可得
（2）电子从Q 点到M 点做类平抛运动，有
电子运动至M 点时
解得
解得
即速度方向与x 轴正方向的夹角为60°；
50
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（3）电子在磁场中的运动具有周期性，轨迹如图所示
电子到达N 点符合要求的空间条件为
（n=1，2，3…）
电子在磁场中做圆周运动的轨道半径
解得
（n=1，2，3…）
电子在磁场变化的半个周期内恰好转过
圆周，同时在MN 间的运动时间是磁场变化周期的整数倍时，可
使粒子到达N 点且速度满足题设要求，应满足的时间条件是
所以T 应满足的条件为
（n=1，2，3…）
17．（2023 上·江西南昌·高二南昌十中校考期末）如图甲所示，M、N 为竖直放置彼此平行的两块平板，
板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、
正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时
间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里为磁场的正方向。有一群正离子在
时垂直于M 板从小孔O 射
入磁场。已知正离子质量为、电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周
期都为
，忽略粒子间的相互作用力和离子的重力。
（1）求磁感应强度
的大小；
51
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（2）若正离子在
时刻恰好从
孔垂直于N 板射出磁场，求该离子在磁场中的运动半径；
（3）要使正离子从
孔垂直于N 板射出磁场，求正离子射入磁场时速度
的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）正离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，即
   
正离子做匀速圆周运动的周期为
       
联立①②解得
   ③
（2）由题意，作出正离子的运动轨迹如图所示，根据几何关系可知正离子的运动半径为
    ④
（3）要使正离子从
孔垂直于N 板射出磁场，根据离子运动轨迹的周期性可知离子在磁场中运动时间满
52
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足
  ⑤ 
则运动半径满足
   ⑥
联立①③⑥解得
   ⑦
18．（2024 上·北京昌平·高二统考期末）质谱仪是一种研究带电粒子的重要工具，它的构造原理如图所示。
粒子源S 产生的带正电粒子首先经M、N 两带电金属板间的电场加速，然后沿直线从缝隙O 垂直于磁场方
向进入磁感应强度为B 的匀强磁场，在磁场中经过半个圆周打在照相底片上的P 点。已知M、N 两板间电
压为U，粒子的质量为m、电荷量为q。若粒子进入电场时的速度、所受重力及粒子间的相互作用力均可
忽略。
（1）求粒子离开加速电场时速度的大小v；
（2）求O、P 两点间的距离L；
（3）有同学认为，若保持M、N 两板间电压不变，增大两板间距离，上述粒子将打在P 点的下方。你认为
这个说法是否正确？简要说明理由。
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）带电粒子在电场中加速，做根据动能定理
解得
53
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（2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其轨道半径为r。根据牛顿第二定律
解得
（3）不正确。由（2）结果可知：当q、m、U、B 不变时，L 不变，与M、N 两板间距无关，故粒子仍打
在照相底片上的P 点。
19．（2023 下·湖南邵阳·高二校考期中）如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U 加
速后在纸面内水平向右运动，自M 点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边
界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N 点射出；乙种离子在MN 的中点射出；
MN 长为L。不计重力影响和离子间的相互作用。求：
（1）磁场的磁感应强度B 的大小。
（2）甲、乙两种离子的比荷之比。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁
感应强度大小为B，由动能定理有
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
由几何关系知
54
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解得，磁场的磁感应强度大小为
（2）设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为
R2。同理有
，
由几何关系知
解得，甲、乙两种离子的比荷之比为
20．（2024 上·河北唐山·高二统考期末）如图所示，回旋加速器两个
形金属盒分别与高频交流电源两极
相接，两盒放在磁感应强度为
的匀强磁场中，回旋加速器右侧存在宽度为
的有界匀强磁场区域，竖直
虚线为磁场边界，磁感应强度大小也为
，方向垂直纸面向里。一电子经回旋加速器加速后，以速度沿
纸面垂直边界进入磁场，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为
，不计重力，求：
（1）电子的比荷；
（2）交流电源频率。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据几何关系可知电子运动轨迹的半径为r，则
55
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解得
电子在磁场中做匀速圆周运动，合力提供向心力，则
解得
（2）电子在回旋加速器中做匀速圆周运动的周期为
交流电源的频率等于电子做匀速圆周运动的频率，则
56