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专题三 电场与磁场
3.3 带电粒子在复合场中的运动
【命题分析】
1. 实际应用情境化
o 题目常以科技前沿为背景（如等离子体控制、粒子治疗仪），要求抽象出
物理模型。
o 示例：2022 年全国乙卷第24 题结合“磁约束核聚变”考查复合场中粒子的运
动边界。
2. 综合性与创新性增强
o 多场叠加：电场、磁场、重力场同时存在时的平衡或复杂运动（如带电微
粒在叠加场中的螺旋运动）。
o 动态场变化：电场或磁场随时间/空间变化（如交变电场中的周期性运动）。
3. 跨模块知识融合
o 与能量、动量结合：电场力做功与动能定理、碰撞中的动量守恒综合考查。
o 与电路关联：如霍尔效应中电势差与电流、磁场的关系计算。
【素养要求】
1. 基础模型深化考查
o 典型组合场：电场与磁场的分区域组合（如先加速后偏转）、叠加场（如
速度选择器）。
o 经典应用模型：质谱仪、回旋加速器、磁流体发电机、霍尔效应等原理的
定量分析。
o 关键能力：受力分析（电场力、洛伦兹力、重力）、运动轨迹的几何关系
（如圆周运动半径、偏转角度）。
2. 动态与临界问题
o 边界条件：粒子能否通过场区、是否发生碰撞等临界问题（如磁场最小面
积、电场强度临界值）。
o 多过程衔接：粒子在不同场区的运动阶段转换（如电场中直线加速→磁场
中圆周偏转）。
3. 数学工具综合应用
o 几何方法：利用圆、三角形、对称性分析轨迹（如磁场中多角度入射的粒
子束）。
1
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o 函数与图像：推导物理量间的函数关系（如动能与磁场强度的关系）并分
析图像。
1．（2025·浙江·高考真题）同位素
相对含量的测量在考古学中有重要应用，其测量系
统如图1 所示。将少量古木样品碳化、电离后，产生的离子经过静电分析仪ESA-I、磁体-I
和高电压清除器，让只含有三种碳同位素
、
、
的
离子束（初速度可忽略不
计）进入磁体-Ⅱ．磁体-Ⅱ由电势差为U 的加速电极P，磁感应强度为B、半径为R 的四分
之一圆弧细管道和离子接收器F 构成。通过调节U，可分离
、
、
三种同位素，其
中
、
的
离子被接收器F 所接收并计数，它们的离子数百分比与U 之间的关系曲线
如图2 所示，而
离子可通过接收器F，进入静电分析仪ESA-Ⅱ，被接收器D 接收并计算。
(1)写出中子与
发生核反应生成
，以及
发生
衰变生成
的核反应方程式：
(2)根据图2 写出
的
离子所对应的U 值，并求磁感应强度B 的大小（计算结果保留两
位有效数字。已知
，原子质量单位
，元电荷
）；
(3)如图1 所示，ESA-Ⅱ可简化为间距
两平行极板，在下极板开有间距
的两
小孔，仅允许入射角
的
离子通过。求两极板之间的电势差U：
2
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(4)对古木样品，测得
与
离子数之比值为
；采用同样办法，测得活木头中
与
的比值为
，由于它与外部环境不断进行碳交换，该比例长期保持稳定。试计
算古木被砍伐距今的时间（已知
的半衰期约为5700 年，
）
【答案】(1)
，
(2)
，
(3)
(4)
【解析】（1）中子与
发生核反应生成
的核反应方程式为
发生
衰变生成
的核反应方程式为
（2）在加速电场中，由动能定理得
解得
磁场中，洛伦兹力提供向心力
联立解得
，
相比
，
的比荷更大，通过圆形管道所需要的电压更大，通过图2 可知当电压为
3
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时，
与
的离子数百分比为
，故
的
离子所对应的U 值为
。
根据
整理得
（3）由题意知，
粒子在板间做类斜抛运动，水平方向有
，
竖直方向有
，
，
联立解得
（4）古木中
与
比值是活木头中的
，说明经过衰变后
只剩下
，已知经过一个
半衰期剩下
，设经过n 个半衰期，则有
解得
则砍伐时间
2．（2024·贵州·高考真题）如图，边长为L 的正方形
区域及矩形
区域内均存在电
4
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场强度大小为E、方向竖直向下且与
边平行的匀强电场，
右边有一半径为
且与
相切的圆形区域，切点为
的中点，该圆形区域与
区域内均存在磁感应强度大小
为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b 点斜向上射入电场后沿图中曲线运
动，经
边的中点进入
区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸
面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求：
(1)粒子沿直线通过
区域时的速度大小；
(2)粒子的电荷量与质量之比；
(3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）带电粒子在
区域做直线运动，则有电场力与洛伦兹力平衡，可知粒子
带正电，经
边的中点速度水平向右，设粒子到达
边的中点速度大小为
，带电荷量
为
，质量为
，由平衡条件则有
解得
（2）粒子从b 点到
边的中点的运动，可逆向看做从
边的中点到b 点的类平抛运动，
5
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设运动时间为，加速度大小为
，由牛顿第二定律可得
由类平抛运动规律可得
联立解得粒子的电荷量与质量之比
（3）粒子从
中点射出到圆形区域做匀圆周运动，设粒子的运动半径为
，由洛伦兹力
提供向心力可得
解得
粒子在磁场中运动轨迹图如图所示，由图可知，粒子沿半径方向射入，又沿半径方向射出，
设粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角为
，由几何关系可知
可得
则有
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重点一 带电粒子在组合场中的运动
1.带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较
垂直进入磁场(磁偏转)
垂直进入电场(电偏转) 进入电场时速度方向与电场
有一定夹角
情景图
受力
FB=qv0B，FB 大小不变，
方向变化，方向总指向
圆心，FB为变力
FE=qE，FE 大小、方向
均不变，FE为恒力
FE=qE，FE 大小、方向均不
变，FE为恒力
运动规律匀速圆周运动
类平抛运动
类斜抛运动
7
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r=m v0
Bq
，T=2π m
Bq
vx=v0，vy= Eq
m t
x=v0t，y= Eq
2mt2
vx=v0sin θ，vy=v0cos θ-qE
m t
x=v0sin θ·t ，y=v0cos θ·t-
1
2
qE
m t2
2.常见运动及处理方法
例题1. 如图所示，粒子源不断地产生氢的三种同位素原子核（
、
和
），三种粒
子飘入（初速度可忽略不计）电压为
的加速电场，经加速后从小孔沿平行金属板、
的中心线射入偏转电场。cd 两板间的电压为
，在偏转电场的右侧存在范围足够大的有界
匀强磁场，磁场左边界
与
板右端重合，磁场方向垂直纸面向里。三种粒子通过偏转
电场后从
进入磁场，之后又从
边界射出磁场，平行金属板、
的中轴线与
边界
交于
点。整个装置处于真空中，加速电场与偏转电场均视为匀强电场，不计粒子重力及
粒子间的相互作用力。下列说法错误的是（ ）
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A．
、
和
三种粒子从同一位置射入磁场
B．
、
和
三种粒子从同一位置射出磁场
C．
、
和
三种粒子射出磁场时速度方向相同
D．仅增大
，则
射入磁场的位置和射出磁场的位置之间的距离不变
【答案】B
【解析】A．粒子在加速电压中有
在偏转电场中，设板长为L，间距为d，有
，
其中
解得
则
、
和
三种粒子从同一位置射入磁场，故A 正确，不符合题意；
BCD．设速度偏转角为
，位移的偏转角为
，则满足
可知粒子进入磁场的速度方向相同，则三种粒子射入磁场时速度方向相同；
假设射入磁场的速度大小为
进入磁场后有
入射与出射点的距离为
解得
三种粒子带比荷不同，则
、
和
三种粒子不会从同一位置射出磁场，仅增大
，
则
射入磁场的位置和射出磁场的位置之间的距离不变，故B 错误，符合题意，CD 正确，
不符合题意。
9
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本题选择错误选项；
故选B。
训练1.如图所示，三个同心圆a、b、c 的半径分别为r、2r、
，在圆a 区域内存在垂直
纸面向外的匀强磁场B1，在圆a 和圆b 间的环形区域存在背向圆心的辐向电场，在圆b 和
圆c 间的环形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B2，一质量为m、电荷量
为q（q>0）的粒子，从圆a 边界上的A 点沿半径方向以速度v0射入圆a 内，第一次从圆a
边界射出时速度方向偏转60°，经过辐向电场加速后，从圆b 边界上进入外环区域，粒子恰
好不会从圆c 飞离磁场，已知磁感应强度
，不计粒子的重力，则粒子在圆a 内
磁场中和圆c 与圆b 两边界间磁场中做圆周运动半径之比（ ）
A．3:2
B．2:3
C．
D．
【答案】A
【解析】粒子的运动轨迹如图所示
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根据几何关系有
所以
故选A。
重点二 带电粒子在叠加场中的运动
1.三种典型情况
(1)若只有两个场，所受合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。例如电场与磁场叠
加满足qE=qvB 时，重力场与磁场叠加满足mg=qvB 时，重力场与电场叠加满足mg=qE 时。
(2)若三场共存，所受合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F=qvB 的方向与速
度v 垂直。
(3)若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg=qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周
运动，即qvB=mv
2
r 。
2.速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件都是带电粒子在相互正交的电场和
磁场组成的场中的运动平衡问题，所不同的是速度选择器中的电场是带电粒子进入前存在
的，是外加的；磁流体发电机、电磁流量计和霍尔元件中的电场是粒子进入磁场后，在洛
伦兹力作用下带电粒子打在两极板后才产生的。
3.分析
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例题2. 如图所示，带电平行板中匀强电场E 的方向竖直向上，匀强磁场B 的方向垂直纸面
向里，一带电小球从光滑绝缘轨道上的A 点自由滑下，经P 点进入板间后恰好沿水平方向
做直线运动。现使小球从较低的C 点自由滑下，经P 点进入板间，不计空气阻力则小球在
板间运动过程中（ ）
A．动能将会减小
B．电势能将会减小
C．机械能将会减小
D．小球带负电
【答案】C
【解析】小球从A 点滑下进入复合场区域时沿水平方向做直线运动，则小球受力平衡，判
断可知小球带正电，则有mg＝qE＋qvB
从C 点滑下刚进入复合场区域时，其速度小于从A 点滑下时的速度，则有
小球向下偏转，重力做正功，静电力做负功，因为mg>qE，则合力做正功，小球的电势能
和动能均增大，根据能量守恒可知，机械能减小。
故选C。
训练2. 如图所示，竖直平面内固定一足够长绝缘直杆，倾角为
，杆处在匀强磁场中，
磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为
，杆上套一个带负电的环，电荷量为
，
质量为
，环与绝缘直杆间的动摩擦因数
。将环由静止释放向下滑动，
取
，则小环的最大速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【解析】环由静止释放向下滑动时，对环受力分析由平衡条件、滑动摩擦力大小公式及牛
顿第二定律可得
小环的速度增大，加速度也随之增大，杆对小环的支持力逐渐减小直至反向（垂直杆向
下），此时，再对小环受力分析可得
随着小环的速度增大，加速度减小，当小环加速度减小至0 时，小环的速度取最大值，对
小环受力分析及平衡条件可得
代入数据解得
故选D。
难点一 “配速法”解决摆线问题
1.摆线
摆线是指一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称圆滚线、旋轮线。
当圆滚动的方向与圆心匀速移动的方向一致时，圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的一
拱。每一拱的拱高为2a(即圆的直径)，拱宽为2πa(即圆的周长)。
2.配速法
(1)若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，
合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，轨迹常为摆线。我们可以把初速度分解成两
个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平
衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可
以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。
(2)配速法适用条件：
①在叠加场中；
②合力不为零。
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(3)规律：
把速度分解成两个速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力、或重力和静电
力的合力)平衡，使粒子在这个方向上做匀速直线运动。
①初速度为零时，速度分解为两个等大、反向的速度；
②初速度不为零时，按矢量分解法则分解。
(4)常见的“配速法”的应用
常见情况
处理方法
BG 摆线：初速度
为0，有重力
把初速度0 分解为一个向左的速度v1
和一个向右的速度v1。
BE 摆线：初速度
为0，不计重力
把初速度0 分解为一个向左的速度v1
和一个向右的速度v1。
BEG 摆线：初速
度为0，有重力
把初速度0 分解为一个斜向左下方的
速度v1和一个斜向右上方的速度v1。
BGv 摆线：初速
度为v0，有重力
把初速度v0分解为速度v1和速度v2。
例题3. 如图甲所示，曲线OP 上方有沿
方向的匀强电场，其场强大小为
，曲线左侧有
一粒子源AB，B 端位于x 轴上，能够持续不断地沿
方向发射速度为
，质量为m、电荷
量为q 的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过O 点，已知从A 点入射粒子恰好从P
点进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。
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（1）写出匀强电场边界OP 段的边界方程（粒子入射点的坐标y 和x 间的关系式）：
（2）若第四象限内存在边界平行于坐标轴的矩形匀强磁场
（未画出），磁场方向垂直
纸面向外。自O 点射入的粒子束，经磁场偏转后均能够返回y 轴，若粒子在第四象限运动
时始终未离开磁场，求磁场的最小面积；
（3）若第一象限与第四象限间存在多组紧密相邻的匀强磁场
和匀强电场
（如图乙），
电磁场边界与y 轴平行，宽度均为d，长度足够长。匀强磁场
，方向垂直纸面向
里，匀强电场
，方向沿x 轴正方向，现仅考虑自A 端射入的粒子，经匀强电场
偏转后，恰好与y 轴负方向成
从O 点射入，试确定该粒子将在第几个磁场区域拐弯
（即速度恰好与y 轴平行）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）3
【解析】（1）粒子在电场E1区域做类平抛运动，则
解得
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（2）设粒子经过O 点的速度为v，与y 轴的夹角为θ，则
由
可得
粒子在磁场中运动时，在y 轴上的偏移量
∆y 恒定，故所有粒子均击中y 轴上的同一位置，即
处；在x 轴上从B 端射入的粒子到达的x 轴上坐标的最远距离为
得磁场的最小面积
（3）粒子经过O 点时与y 轴负方向成
角，可得粒子的速度为
设粒子在第n+1 个磁场区域拐弯，则电场中共加速n 次：由动能定理
可得
在y 轴方向上由动量定理
可得
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可得
解得
由于n 只能取整数，故n 只能取2，即粒子将在第3 个磁场区域拐弯。
训练3. 利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，
平面（纸
面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x 轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域存在磁
感应强度大小为
的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为
的磁场，方向均垂直纸面
向里，区域Ⅱ的下边界与x 轴重合。位于
处的离子源能释放出质量为m、电荷量为
q、速度方向与x 轴夹角为
的正离子束，沿纸面射向磁场区域．不计离子的重力及离子
间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度
及其在磁场中的运动时间t；
（2）若
，求能到达
处的离子的最小速度
；
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）离子恰不进入区域Ⅱ时的速度为离子不进入区域Ⅱ的最大速度，作出其此时
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的运动轨迹，如图所示。
由轨迹图中的几何关系得
解得
根据洛伦兹力提供向心力有
解得离子不进入区域Ⅱ的最大速度
由几何关系可得运动轨迹所对圆心角为
则离子在磁场中的运动时间为
（2）当离子运动到
处时的速度方向水平向右时，速度最小，运动轨迹如图所示。
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根据洛伦兹力提供向心力
则
由几何关系可知
设
，在
中
由几何关系可知
解得
能到达
处的离子的最小速度为
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（建议用时：30 分钟）
一、单选题
1．如图所示，某质谱仪由电压为
的加速电场，半径为
且圆弧中心线（虚线所示）处电
场强度大小为
的均匀辐射电场和磁感应强度为
的半圆形磁分析器组成。质量为
、电
荷量为
的正电粒子（不计重力）从
板由静止加速后，沿圆弧中心线经过辐射电场，再
从
点垂直磁场边界进入磁分析器后打在胶片上
点。下列说法正确的是（ ）
A．辐射电场中，沿电场线方向电场减弱B．辐射电场的电场力对该粒子做正功
C．加速电压
D．
点与
点的距离为
【答案】D
【解析】AB．辐射电场中，沿电场线方向，电场线逐渐变密，故电场是增强的，又因为指
向圆心的电场力提供向心力，电场力对该粒子不做功，故AB 错误；
C．在加速电场中，有
在偏转电场中，满足
联立解得
故C 错误；
D．带电粒子在匀强磁场中运动时，根据牛顿第二定律有
联立解得P 点与Q 点的距离等于
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故D 正确。
故选D。
2．如图所示，真空区域有同心圆a 和b，半径分别为R 和2R，O 为圆心，圆a 内和圆b 外
足够大的区域均存在有垂直圆面的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，方向相反；a、b 之
间充满辐向电场，电场方向均指向圆心O。质量为m，电荷量为
的带电粒子从圆a 上的
P 点沿PO 方向射入，入射速度大小为
，已知带电粒子第二次经过圆b 外匀强磁场区
域后，再经电场恰好回到P 点并沿PO 方向射入。不计粒子重力，忽略边界效应，则圆a、
b 之间电势差为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】作出粒子的运动轨迹，如图所示
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由题知，带负电的粒子在a 圈内的匀强磁场以速度
向下偏转，从
处进入环形
电场，粒子所受电场力方向与速度方向相同，故粒子从
到
做加速运动，然后粒子以速
度
从
点进入圆b 外足够大的匀强磁场。则带负电的粒子在a 圈内的匀强磁场做匀速圆
周运动，则有
解得
根据几何关系可得
解得
根据几何关系可得
在直角三角形
中，根据几何关系有
22
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粒子在圆b 外足够大的匀强磁场做匀速圆周运动，则有
解得
粒子从
到
做加速运动，根据动能定理有
解得
故选C。
3．如图所示，粒子源不断地产生氢的三种同位素原子核（
、
、
），三种粒子飘
入（初速度可忽略不计）电压为
的加速电场，经加速后从小孔沿平行金属板、
的中
心线射入偏转电场。
两板间的电压为
，在偏转电场的右侧存在范围足够大的有界匀
强磁场，磁场左边界
与
板右端重合，磁场方向垂直纸面向里。三种粒子通过偏转电
场后从
进入磁场，之后又从
边界射出磁场，平行金属板、
的中轴线与
边界交
于
点。整个装置处于真空中，加速电场与偏转电场均视为匀强电场，不计粒子重力及粒
子间的相互作用力。下列说法错误的是（ ）
A．
、
和
三种粒子从同一位置射入磁场
B．
、
和
三种粒子从同一位置射出磁场
C．
、
和
三种粒子射出磁场时速度方向相同
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D．仅增大
，则
射入磁场的位置和射出磁场的位置之间的距离不变
【答案】B
【解析】A．粒子经过加速电场
，根据动能定理可得
解得
粒子进入偏转电场后做类平抛运动，则有
，
，
联立解得粒子离开偏转电场的侧向位移为
，
可知粒子离开偏转电场的侧向位移与粒子的比荷无关，则三种离子都从同一点离开偏转电
场，进入磁场且进入磁场时速度方向相同，故A 正确；
B．粒子离开电场后，进入磁场，由洛伦兹力提供向心力可得
又入射点和出射点之间的距离
，
所以
由于三种离子的比荷不同，则三种离子分别从三个点离开偏转磁场，故B 错误；
C．因为
所以进入磁场时速度方向相同，由几何关系可知粒子射入磁场和射出磁场时的速度与磁场
边界的夹角相同，所以，粒子射出磁场时速度方向相同，故C 正确；
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D．因为
该值与
无关，故D 正确；
故选B。
4．如图所示，已知匀强电场方向向下，边界为矩形ABGH，匀强磁场方向垂直纸面向里，
边界为矩形BCDG，GD 长为L，磁感应强度为B。电量为q，质量为m 的粒子，从AH 中点
以垂直电场的速度
（未知量）进入电场，然后从边界BG 进入磁场，轨迹恰好和磁场另外
三个边界相切，运动
个圆周后返回电场。不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子一定带正电
B．AB 长为2L
C．
D．若电场强度减弱，粒子在磁场中运动时间将变长
【答案】B
【解析】A．由题意可知，若粒子带正电，运动轨迹如图所示，若粒子带负电，由对称性，
粒子在电场中向上偏转，磁场中运动的圆轨迹与正粒子圆轨迹相重合，故不论带何种电荷，
都符合题意，A 错误；
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B．如图所示，取正粒子运动轨迹，轨迹恰好和磁场另外三个边界相切，运动
个圆周后返
回电场,所以圆弧对应的圆心角为
，可知图中设定的
，设粒子在磁场中运动
轨道半径为r,由几何关系
设P 点速度为
,根据速度的分解可得
，
粒子在电场中做类平抛运动，设粒子在电场中运动时间为，则有
，
由几何关系
联立解得
B 正确；
C．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦磁力提供向心力，可得
代入数据解得
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C 错误；
D．若电场强度减弱，粒子进入磁场的偏转角减小，粒子在磁场中运动的轨道半径减小，
圆轨道对应的圆心角变小，所以在磁场中运动时间将变短，D 错误。
故选B。
5．如图，在
区域内有垂直于xOy 平面内的匀强磁场和平行于x 轴的匀强
电场，x 轴和y 轴所表示的单位长度相同。一不计重力的带电粒子每次均从坐标原点O 以一
定的速度沿y 轴正方向射入。若电场、磁场均存在，粒子恰好沿直线运动；若仅撤去磁场，
粒子将从点
射出；若仅撤去电场，粒子将（ ）
A．从点
射出
B．从点
射出
C．从点
射出
D．从点
射出
【答案】B
【解析】设粒子的初速度为
，电场、磁场均存在，粒子恰好沿直线运动，可得
撤去磁场后，粒子在电场中做类平抛运动，可得
，
又
撤去电场后，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有
联立，解得
若仅撤去磁场，粒子将从点
射出，可知粒子受洛伦兹力时与电场力方向相反，结合几
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何关系可知轨迹圆的圆心位置为（-1,0），则粒子从点
射出。
故选B。
6．如图a、b、c 为三个完全相同的带负电的小球，在真空中从相同高度由静止下落。在下
落过程中，a 球始终处在水平匀强电场中，b 球始终处在水平匀强磁场中，c 球始终处在竖
直匀强磁场中。已知三小球落地时间分别为ta、tb、tc，落地时速率分别为va、vb、vc，则（
）
A．tb>ta=tc，va>vb=vc
B．ta=tb=tc，va>vb>vc
C．tb>ta=tc，va=vb=vc
D．ta=tb=tc，va>vb=vc
【答案】A
【解析】a 球受竖直向下的重力、水平向左的电场力，在水平方向做匀加速直线运动，竖
直方向做自由落体运动，重力和电场力均做正功；b 球除重力之外还受到垂直纸面向里的
洛伦兹力作用，在洛仑兹力的作用下，小球的轨迹将为曲线，且竖直方向的加速度小于
g，下落时间变长，由于只有重力做功，所以小球落地速度较小；c 球只受重力，只有重力
做功，其落地速度的大小与b 球速度大小相等，下落时间与a 球相等，即
，
故选A。
7．如图所示，竖直面内有正交的匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与水平方向的夹角
为
。一带电油滴以一定的初速度
沿电场方向射入，恰好做直线运动。已知磁感应强度
为
，油滴的质量为
、电荷量为
，重力加速度为
。则下列判断正确的是（ ）
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A．油滴带负电
B．带电油滴做匀加速直线运动
C．初速度
的大小为
D．电场强度
的大小为
【答案】C
【解析】A．根据左手定则可知，油滴受洛伦兹力方向斜向左上，可知油滴带正电，选项A
错误；
B．带电油滴做直线运动，洛伦兹力不变，则一定是匀速直线运动，选项B 错误；
CD．由平衡可知
，
解得初速度的大小为
电场强度的大小为
选项C 正确，D 错误。
故选C。
8．空间中存在磁感应强度为B 的匀强磁场（未画出），两相同极板A 与B 竖直放置在磁场
中，极板间的电压为U，间距为d，其中极板A 带正电。一带电微粒由A 板附近的M 点沿
直线运动到B 板附近的N 点，如图所示。下列说法正确的是（ ）
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A．微粒带负电
B．磁场方向垂直于纸面向里
C．微粒运动的速度大小
D．同时减小微粒的速度大小和极板间的距离，其他条件不变，微粒仍有可能在A、B
板间沿直线运动
【答案】B
【解析】AB．极板A 带正电，电场方向水平向右，粒子受到重力、电场力与洛伦兹力作用
做直线运动，则粒子一定做匀速直线运动，合力为0，若粒子带负电，粒子所受重力方向
竖直向下，电场力方向一定水平向左，根据左手定则可知，当磁场垂直于纸面向里时，洛
伦兹力方向垂直于MN 斜向右下方，此时，合力一定不为0，当磁场垂直于纸面向外时，
洛伦兹力方向垂直于MN 斜向左上方，此时，合力也一定不为0，可知，粒子一定带正电，
重力方向竖直向下，电场力方向水平向右，根据左手定则可知，当磁场垂直于纸面向里时，
洛伦兹力方向垂直于MN 斜向左上方，此时，合力可能为0，当磁场垂直于纸面向外时，
洛伦兹力方向垂直于MN 斜向右上方，此时，合力一定不为0，结合上述，粒子带正电，
磁场垂直于纸面向里，故A 错误，B 正确；
C．令粒子质量为m，结合上述，根据平衡条件有
解得
故C 错误；
D．结合上述可知，重力、电场力与洛伦兹力的合力为0，重力为一个恒力，根据平衡条件
可知，三个力能够构成一个直角三角形，其中重力对应的直角边一定，若同时减小微粒的
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速度大小和极板间的距离，即减小洛伦兹力，增大电场力，由于电场力方向不变，则这三
个力不可能再构成一个闭合的直角三角形，即合力不可能为0，微粒不可能在A、B 板间沿
直线运动，故D 错误。
故选B。
二、多选题
9．医院中X 光检测设备的核心器件为X 射线管。如图所示，在X 射线管中，电子（质量为
m、电荷量为-e，初速度可以忽略）经电压为U 的电场加速后，从P 点垂直磁场边界水平射
入匀强磁场中。磁场宽为2L，磁感应强度大小可以调节。电子经过磁场偏转后撞击目标靶。
已知水平放置的目标靶MN 长为2L，Q 为MN 中点，PM 长为L，不计电子重力、电子间相
互作用力及电子高速运行中辐射的能量。则（ ）
A．电子进入磁场的速度大小
B．垂直撞击在目标靶的电子在磁场中运动的时间
C．撞击在Q 点与撞击在N 点的电子在磁场中运动时间之比为3:2
D．能使电子撞击在Q 点与撞击在N 点所加磁场的磁感应强度大小之比为5:2
【答案】AD
【解析】A．电场经电场加速过程，根据动能定理有
解得
B．垂直撞击在目标靶的电子在磁场中运动轨迹为四分之一圆周，根据半径为L，则圆周运
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动周期
结合上述解得，垂直撞击在目标靶的电子在磁场中运动的时间
故B 错误；
C．结合上述，撞击在Q 点的电子在磁场中运动的周期为
根据几何关系可知，撞击在Q 点的电子在磁场中运动的轨迹有
解得
则撞击在Q 点的电子在磁场中运动的周期为
令撞击在Q 点的电子在磁场中轨迹对应的圆心角为
，根据几何关系有
解得
撞击在Q 点与撞击在N 点的电子在磁场中运动时间分别为
，
解得
故C 错误；
D．根据
解得
结合上述可知，电子撞击在Q 点与撞击在N 点所加磁场的磁感应强度大小分别为
，
解得
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故D 正确。
故选AD。
10．如图所示的xOy 坐标系中，第一象限存在与xOy 平面平行的匀强电场E，且与y 轴负方
向的夹角θ=30°，第二象限存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带正电
粒子自O 点射入第二象限，速度v 与x 轴负方向的夹角θ=30°，粒子经磁场偏转后从y 轴上
的P 点进入第一象限，并由x 轴上的M 点（未画出）离开电场。已知OM 距离为3L，粒子
的比荷为
，不计粒子重力。则（ ）
A．OP 两点的距离
B．OP 两点的距离为
C．粒子在磁场中运动的时间
D．粒子在磁场中运动的时间
【答案】AC
【解析】AB．带电粒子在第二象限内做匀速圆周运动，轨迹如图，圆心为C
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由牛顿第二定律得
解得
由几何关系得
则
故A 正确，B 错误；
CD．粒子在磁场中的运动周期
粒子偏转120°，即在磁场中运动时间
解得
故C 正确，D 错误。
故选AC。
11．如图，在平面直角坐标系xOy 的第一象限内有匀强电场图中未画出，第二象限内除
区域外都有匀强磁场，其方向垂直坐标平面向外，磁感应强度大小为 B。一束带电
粒子从AC 边界以相同方向的速度进入匀强磁场，结果都从y 轴上的C 点平行x 轴向右飞出
磁场，其中从A 入射的粒子到达x 轴上的D 点图中未标出时，速度方向斜向右下与
夹角为
，且大小与A 点速度相等，已知带电粒子质量为m，电量为
，AC 边界与x 轴
夹角
，C 点坐标为
，电场中D 点到O 点的电势差为U，不计粒子的重力和粒
子间的相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子在磁场中运动的时间不相等
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B．带电粒子从AC 边界入射的速度大小与其入射点y 坐标的关系为
C．第一象限内匀强电场的场强大小为
D．从A 入射的粒子在第一象限电场中的最小速度大小为
【答案】BD
【解析】A．由直线单边界磁场规律可知，带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心角都为
，
故时间
，相等，A 错误；
B．如图，由几何关系：弦长
，
，
解得带电粒子的速度大小v 与其入射点y 坐标的关系为
B 正确；
C．根据粒子到达x 轴上的D 点时，速度方向斜向右下与
夹角为
，且速度与其初速度
等大，可知连接CD 即为匀强电场中的一条等势线，粒子在C 点速度与等势线的夹角与D 点
速度与等势线的夹角应相等，如图可得
，故匀强电场的场强大小为
C 错误；
D．从A 入射的粒子速度大小为
（B 选项关系式
代入即可），C 点速度与A 点一样大，在第一象限电场中做类斜抛运
动，当速度方向与电场力方向垂直时，速度最小，其大小为速度沿CD 方向的分量
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D 正确。
故选BD。
12．现代科学研究中，经常用磁场和电场约束带电粒子的运动轨迹，某次一粒子源于A 处
不断释放质量为m，带电量为＋q 的离子，离子静止释放，经电压为U 的电场加速后，沿
半径为
的
圆弧形虚线通过均匀辐射的电场，从P 点沿直径PQ 方向进入半径为
的圆
形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向外，最后垂直打在平行PQ 放置且与PQ 等高的收
集屏上，收集屏到PQ 的距离为
，不计离子重力，下列说法正确的是（ ）
A．离子进入圆形匀强磁场区域时的速度大小为
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B．圆弧形虚线处的电场强度大小为
C．磁感应强度大小为
D．离子运动轨迹不变，改变加速电压和对应虚线处辐射电场大小，使所有离子都能打
到收集屏上，加速电压的范围应控制在
～3U 之间
【答案】ACD
【解析】A．离子通过加速电场，由动能定理得
解得
可知离子进入圆形匀强磁场区域时的速度大小为
，故A 正确；
B．离子经过静电分析器，电场力提供向心力可得
解得圆弧形虚线处的电场强度大小为
故B 错误；
C．离子最后垂直打在平行PQ 放置且与PQ 等高的收集屏上，由几何知识可知
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
故C 正确；
D．要让离子全部打在收集屏上，其临界状态的轨迹如图所示
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设圆心分别为
，半径分别为
，由几何关系可知，
恰为收集屏的最低点，根
据几何关系有
设圆心为
的离子在磁场中做圆周运动的圆心角为
，根据几何关系有
解得
根据几何关系有
解得
根据
，
将“
”用“
”和“
”替换可得，要使所有离子都能打到收集屏上，加速电压的范围
应控制在
故D 正确。
故选ACD。
三、解答题
13．如图1 所示，直角坐标系第二象限内水平放置长为2d、间距为d、下极板沿x 轴的平
行金属板，两金属板中心线左端点
处有一粒子源，沿
方向持续均匀发射初速度为
、
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电荷量为
、质量为m 的粒子，在两板间存在如图2 所示的交变电场，板间电场强度向下
为正，粒子打到极板上立即被吸收。曲线OP 过点
，其上方y 轴左侧区域内有沿
方向的匀强电场
（场强大小未知）。从两金属板间射出的粒子进入曲线OP 上方的匀
强电场，偏转后均能够通过O 点，不计粒子重力及粒子间的相互作用。
(1)求
时刻进入两金属板之间的粒子在电场中运动的时间；
(2)求
时间内射入电场的粒子中，能从两金属板间射出的粒子数与射入总粒子数的比
值；
(3)写出匀强电场边界OP 的曲线方程；
(4)若第四象限内某些区域存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为
B。自O 点射入y 轴右侧的粒子，经磁场偏转后均能够返回y 轴，粒子在第四象限内的运动
始终未离开磁场，求磁场区域的最小面积。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）粒子在电场中运动的加速度大小为
假设
时刻粒子进入电场后，在竖直方向上始终沿一个方向做匀加速直线运动，且最终
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打在极板上，则有
解得
所以假设成立，则粒子在电场中运动的时间为
（2）在
时间内，设
时刻进入的粒子刚好不打在下极板上，则有
解得
设
时刻进入的粒子，刚好不打在上极板上，则有
解得
综上分析可知，在
时间内射入电场的粒子，从
时间内射入电场的粒子可以
从两板间射出，则能从两板间射出的粒子数占总粒子数与射入总粒子数的比值为
（3）所有从两板之间射出的粒子速度均为
，方向沿
方向，粒子在电场
区域做类平
抛运动，则有
，
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联立解得
将Q 点坐标
代入方程得
，
（4）设粒子经过O 点的速度为v，与y 轴的夹角为
，则有
洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得
解得
粒子在磁场中运动时，在y 轴上的偏移量
恒定，故所有粒子均击中y 轴上的同一位置，即
处。经Q 点射入的粒子到达
O 点时与x 轴的夹角为
，则有
半径
沿x 轴射入O 点的粒子半径为
得磁场区域的最小面积
14．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条
曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替如图
所示，曲线上的A 点的曲率圆定义为：通
过A 点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A 点的曲率圆，
其半径
叫做A 点的曲率半径．在场强为B 的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q 的
小球在O 点静止释放，小球的运动曲线如图所示已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到
x 轴距离的2 倍，重力加速度为
求：
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（1）小球运动到任意位置
处的速率v．
（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离
．
（3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为
的匀强电场时，小球从O 静止释放
后获得的最大速率
．
【答案】(1)
；(2)
；(3)
．
【解析】(1)洛仑兹力不做功，由动能定理得：
，
解得：
；
(2)设在最大距离
处的速率为
，
小球做圆周运动，由牛顿第二定律得：
，
可知：
由及
解得：
；
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(3)小球运动轨迹如图所示：
由动能定理得：
，
小球做圆周运动，由牛顿第二定律的：
，
由及
，解得：
。
43
