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专题三 电场与磁场
3.2 磁场
【命题分析】
1. 基本概念与定律
o 磁感应强度定义（B=F/IL）
o 安培定则判断磁场方向
o 左手定则应用（受力方向判断）
o 磁感线分布特征（条形/蹄形磁铁、通电导线）
2. 带电粒子运动
o 洛伦兹力公式（f=qvB）及圆周运动规律
o 轨道半径公式 r = mv
qB
与周期公式 T = 2πm
qB
o 临界问题（边界磁场、速度方向约束）
o 复合场问题（电磁叠加场中的直线/曲线运动）
3. 电磁仪器原理
o 速度选择器（v = E / B 的推导）
o 质谱仪（比荷计算）
o 回旋加速器（交变电场频率与磁场关系）
4. 安培力应用
o 通电导线受力计算（F=ILBsinθ）
o 导体棒平衡问题（与力学综合）
o 电磁炮/磁电式仪表工作原理
【素养要求】
近年趋势：
o 增加真实情境命题（如2023 年全国卷结合粒子治疗仪）
o 强化几何能力考查（轨迹圆心定位、弦切角关系）
o 注重多过程分析（磁场与电场交替作用）
典型难点
o 圆形/三角形边界的偏转问题
o 周期性运动分析（如交替磁场中的螺旋运动）
o 动态圆法处理临界值问题
1
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1．（2024·甘肃·高考真题）如图，相距为d 的固定平行光滑金属导轨与阻值为R 的电阻相
连，处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中长度为L 的导体棒ab 沿导
轨向右做匀速直线运动，速度大小为v。则导体棒ab 所受的安培力为（ ）
A．
，方向向左
B．
，方向向右
C．
，方向向左
D．
，方向向右
2．（2024·福建·高考真题）（多选）如图，用两根不可伸长的绝缘细绳将半径为的半圆
形铜环竖直悬挂在匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向外，铜环两
端
、
处于同一水平线。若环中通有大小为
、方向从
到
的电流，细绳处于绷直状态，
则（ ）
A．两根细绳拉力均比未通电流时的大
B．两根细绳拉力均比未通电流时的小
C．铜环所受安培力大小为
D． 铜环所受安培力大小为
2
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重点一 磁场的基本性质 安培力
1.磁场的产生与叠加
2.安培力的分析与计算
方向
左手定则
电流间的作用力：同向电流相互吸引，异向电
流相互排斥
大小
直导F=BILsin θ ，θ=0 时F=0 ，θ=90° 时
3
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线
F=BIL
导线
为
曲线
时
等效为ac 直线电流
受力
分析
根据力的平衡条件或牛顿运动定律列方程
例题1. 如图所示，B、C、D 处放置三根长为L 的通电导线，其中B、C 处电流大小均为
I，D 处电流大小为2I，A 在BD 的延长线上，
，其中
B、D 处电流的方向均垂直于纸面向外，C 处电流的方向垂直于纸面向里。已知电流产生磁
场的磁感应强度B 的大小与电流I、距离r 的关系为
，k 为常数；若B 处电流在C 处
产生的磁感应强度的大小为
，C 处导线位于绝缘水平地面上且处于静止状态，关于C 处
导线受到的摩擦力
的大小和方向，下列正确的是（ ）
A．
，水平向右
B．
，水平向右
4
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C．
，水平向左
D．
，水平向左
训练1. 两根相同的弹性导线平行放置，分别通有方向相反的电流
和
，且
。下列
图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
重点二 带电粒子在匀强磁场中的运动
1.分析带电粒子在匀强磁场中运动的方法
基本
思路
(1)画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画
出轨迹
(2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度
相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，
运动时间与周期相联系
(3)用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规
律，特别是周期公式和半径公式
基本
公式
qvB=mv
2
r
，T=2π r
v
重要
结论
r=mv
qB ，T=2π m
qB
圆心的
确定
(1)轨迹上的入射点和出射点的速度方向的垂线
的交点为圆心，如图(a)
(2)轨迹上入射点速度方向的垂线和入射点、出
射点两点连线中垂线的交点为圆心，如图(b)
(3)沿半径方向距入射点距离等于r 的点，如图(c)
5
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(当r 已知或可算)
半径的
确定
方法一：由物理公式求，由于Bqv=mv
2
r
所以半径r=mv
qB
方法二：由几何关系求，一般由数学知识(勾股
定理、三角函数等)通过计算来确定
时间的
求解
方法一：由圆心角求，t= θ
2π ·T
方法二：由弧长求，t= s
v
2.带电粒子在有界匀强磁场中运动的三个重要结论
(1)粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角(如图甲，θ1=θ2=θ3)。
(2)沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时亦沿半径方向(如图乙，两侧关于两圆心连线
OO'对称)。
(3)粒子速度方向的偏转角等于其轨迹对应的圆心角(如图甲，α1=α2)。
3.带电粒子在磁场中运动的多解成因
(1)磁场方向不确定形成多解；
(2)带电粒子电性不确定形成多解；
(3)速度不确定形成多解；
(4)运动的周期性形成多解。
例题2. 圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、
b、c 以不同的速率沿着
方向对准圆心O 射入磁场，其运动轨迹如图所示。若带电粒子
只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（ ）
6
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A．a 粒子速率最大
B．c 粒子的洛伦兹力最小
C．a 粒子在磁场中运动的时间最长
D．它们做圆周运动的周期
训练2. 如图，直角三角形ABC 区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC 边
长为l，∠B 为
，一群比荷为
的带负电粒子以相同速度从C 点开始在一定范围垂直AC
边射入，射入的粒子恰好不从AB 边射出，已知从BC 边垂直射出的粒子在磁场中运动的时
间为
，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为2t0，则下列说法中不正确的是
（ ）
A．磁感应强度大小为
B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子在磁场中扫过的面积为
重点三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界与极值问题
1.解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，利用动态圆思想
寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设
条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。
7
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2.粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。
例题3. 如图所示是一个圆心在
点、半径为R 的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为
，
磁感应强度方向垂直纸面向里。大量同种带电粒子从圆上A 点以不同的方向沿纸面射入磁
场，速度大小均为，带电粒子的质量均为
，所带电荷量均为
，粒子重力均忽略不计，
下列说法错误的是（ ）
A．若
，则粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若
且粒子在磁场中运动时间最长，则粒子的入射速度方向与
之间的
夹角为
C．若
，则粒子射出磁场时的速度方向均垂直于
方向
D．若
，粒子能打在圆形磁场边界上的范围是三分之一个圆周长
训练3. 如图所示，S 为一离子源，MN 为足够长的荧光屏，S 到MN 的距离为SP=L，MN 左
侧区域有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。某时刻离子源S
一次性沿平行纸面各个方向均匀地喷发大量的质量为m、电荷量为q、速率为
的正离
子（此后不再喷发），不计离子重力，不考虑离子之间的相互作用力。则（ ）
8
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A．打中荧光屏的最短时间为
B．打中荧光屏的最长时间为
C．打中荧光屏的宽度为2
L
D．打到荧光屏的离子数与发射的离子数比值为2:1
难点一 常见的动态圆
示意图
适用条件
应用方法
放缩圆
(轨迹圆的圆心在P1P2直线上)
粒子的入射点位置相
同，速度方向一定，
速度大小不同
以入射点P 为定点，将
半径放缩作轨迹圆，粒
子恰好不射出磁场的临
界状态是粒子运动轨迹
与磁场边界相切
旋转圆
(轨迹圆的圆心在以入射点P 为圆
心、半径R=mv0
qB 的圆上)
粒子的入射点位置相
同，速度大小一定，
速度方向不同
将一半径为R=mv0
qB 的
圆以入射点为圆心进行
旋转，从而探索出临界
条件
平移圆
(轨迹圆的所有圆心在一条直线上)
粒子的入射点位置不
同，速度大小、方向
均一定
将半径为R=m v0
qB
的圆
进行平移
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例题4. 如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足
够长的平面感光板MN，点a 为MN 与水平直线ab 的交点，MN 与直线ab 的夹角为
，
ab 间的距离为
。在b 点的点状的电子源向纸面内各个方向发射电子，电子做圆周
运动的半径为
，不计电子间的相互作用和重力，
，则MN 上被电子打中
的区域的长度为（ ）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
训练4. 长度为L 的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，
从距水平板中心正上方
的P 点处以水平向右的速度
释放一个质量为m、电荷量为e 的
电子，若电子能打在水平板上，速度
应满足（ ）
A．
B．
C．
D．
或
难点二 磁聚焦与磁发散
磁聚焦
与
磁发散
粒子速度大小相同，
轨迹圆半径等于区域
圆半径
带电粒子平行射入圆形
有界匀强磁场，则粒子
从磁场边界上同一点射
出，该点切线与入射方
向平行——磁聚焦，从
边缘某点以不同方向入
射时平行出射——磁发
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磁聚焦 磁发散
散
例题5. （多选）如图所示，半径为R 的一圆形区域，O 为圆心，P 为边界上的一点，区域
内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。电荷量为-q、质量为m 的相同带电
粒子a、b（不计重力）从P 点先后以大小相等的速率
射入磁场，粒子a 正对圆心
射入，粒子b 射入磁场时的速度方向与粒子a 射入时的速度方向夹角为
。下列说法
正确的是（ ）
A．两粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R
B．a 粒子在磁场中运动的时间为
C．b 粒子在磁场中运动的时间为
D．a、b 粒子离开磁场时的速度方向夹角为30°
训练5. 如图所示，相距为d=0.5R 的MN、PQ 边界间存在垂直纸面向外的匀强磁场，且边
界足够长，PQ 下方存在与其相切的、半径为R 的圆形匀强磁场区域，方向垂直纸面向里，
有一长度为2R、与PQ 垂直的粒子发射板S 能均匀地沿PQ 方向发射速率均为v，质量均为
m，电荷量均为q 的带电粒子，且所有粒子均能从边界相切点O 进入PQ 上方磁场区域，不
计粒子间的相互作用及粒子的重力，两磁场区域内的磁感应强度大小相等。求：
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(1)带电粒子的电性及磁感应强度B 的大小；
(2)正对圆形区域圆心的粒子在磁场中运动的总时间t；
(3)在MN 边界上多宽范围内有粒子逸出，以及从MN 边界上射出的粒子所占总发射数的比
例。
（建议用时：30 分钟）
一、单选题
1．小飞同学研究甲、乙、丙、丁四种情况导体棒受到的安培力大小，其中磁感应强度均为
，方向垂直纸面向里，纸面内放置水平光滑导轨，间距均为d，且左端接一个相同的电
阻R，导体棒速度大小均为v，甲、丁图中速度方向水平向右，乙图中速度与竖直方向夹角
为
，丙图导体棒与水平方向夹角为
，不计导轨以及导体棒的阻值。则导体棒受到安
培力最大的是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
2．电磁弹射技术是一种新兴的直线推进技术，2022 年6 月17 日上午，中国第三艘航空母
舰福建舰下水，并配置电磁弹射。其工作原理可以简化如下图，光滑固定导轨CD，EF 与
导电飞翔体MN 构成一驱动电流回路，恒定驱动电流
产生磁场，且磁感应强度
与导轨
中的电流
及空间某点到导轨的距离的关系式为
，磁场对处在磁场中的导电飞翔
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体产生了安培力F，从而推动飞翔体向右做匀加速直线运动。下列说法正确的是（ ）
A．CMNF 回路内的磁场方向与驱动电流的方向无关
B．飞翔体
所受安培力F 的方向与CMNF 回路中驱动电流的方向有关
C．驱动电流
变为原来的2 倍，飞翔体
受的安培力将变为原来的2 倍
D．如果飞翔体在导轨上滑过的距离保持不变，将驱动电流
变为原来的2 倍，飞翔体
最终的弹射速度将变为原来的2 倍
3．如图所示，两根长直导线竖直插入粗糙绝缘水平桌面上的A、B 两小孔中，CD 虚线为
AB 连线的中垂线，O 为A、B 连线的中点，连线上a、b 两点关于O 点对称。导线中通有大
小相等、方向相反的电流。已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度
，式中k
是常数、I 是导线中的电流、r 为点到导线的距离。一带正电的小滑块以初速度
从a 点出
发在桌面上沿连线CD 运动到b 点。关于上述过程，下列说法正确的是（ ）
A．小滑块做匀速直线运动
B．小滑块做匀减速直线运动
C．小滑块做加速度逐渐增大的减速直线运动
D．小滑块做加速度先增大后减小的减速直线运动
4．两个完全相同的超导金属环水平平行放置，圆心在同一竖直线上，两环中有等大反向电
流，电流方向如图所示，另一个与环半径相同的绝缘光滑管道平行两环固定在两环之间，
管道面与两环面距离相等，金属环与管道的圆心在同一竖直线上。在管道内有一个带正电
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的球，其直径略小于管道内径，且可以视作质点。给小球沿管切向方向初速度，小球在管
道内运动，下列说法正确的是（ ）
A．小球的速度逐渐减小
B．小球的速度逐渐增加
C．小球受到管道的弹力不一定指向圆心
D．小球受到管道的弹力可能沿管的半径向外
5．如图，直角三角形ACD 区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向内的匀强磁
场，
，
。质量为m、电荷量为q 且均匀分布的带正电粒子以相同的速度沿纸
面垂直AD 边射入磁场，若粒子的速度大小为
，不考虑重力及粒子间的作用，
，则粒子经磁场偏转后能返回到AD 边的粒子数占射入到AD 边总粒子数的百分
比为（ ）
A．40%
B．47.3%
C．52.7%
D．60%
6．直角三角形abc 中
，ab 边长为
，其内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小
为
的匀强磁场。在ac 边的中点
有一粒子源，能平行纸面向磁场内各个方向发出速率
、质量为
、电荷量为
的正粒子。不考虑粒子间的相互作用，则（ ）
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A．从bc 边射出的粒子，在磁场中运动的时间可能是
B．从bc 边射出的粒子，在磁场发生的位移最大为
C．bc 边有粒子射出的区域的长度是
D．从点射出的粒子，射出时速度方向与射入时速度方向相反
7．如图，空间存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），
、
、
、
、
为磁场中
的五个点，
为
的中点，
为
中垂线上的一点，且
，
平行于
。一束带正电的同种粒子（不计重力）垂直
由
点沿纸面向上射入磁场，各粒子速
度大小不同，用
、
、
、
分别表示第一次到达
、
、
、
四点的粒子所经历的
时间，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，
为上表面水平的正方体区域，整个正方体空间内存在竖直向上的
匀强磁场。abcd 表面的正中央有一小孔P。粒子源S 发射了两个速度大小相同、比荷不同
的粒子M、N（重力不计），从P 孔垂直于abcd 表面射入后，M 打在bc 边上，N 打在
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边上，则粒子M、N 的比荷之比为（ ）
A．2 1∶
B．1 2∶
C．5 1∶
D．1 5∶
二、多选题
9．如图所示，等腰直角三角形
内有一垂直纸面向里的匀强磁场（
边界无磁场），
边长为
，磁场磁感应强度大小为B。ab 边中点的粒子源
垂直
以不同速率向磁场内
发射带负电的粒子，粒子质量为
，电荷量为
，不计粒子重力及粒子间相互作用。下列
说法正确的是（ ）
A．粒子可能从
点飞出磁场
B．粒子可能从点飞出磁场
C．能从
边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为
D．能从
边界飞出的粒子在磁场中运动的最小速度为
10．如图，在xOy 平面内y≥0 区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。在
处放置一平行于y 轴的足够长的挡板。O 点处的粒子源在xOy 平面第一象限0~90°范
围内发射大量质量为m、电荷量为q（q>0）、速度大小相等的粒子，所有粒子恰好都能打
在挡板上，并立即被挡板吸收。不计粒子重力和粒子间相互作用，下列说法正确的是（
）
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A．粒子的速度大小为
B．粒子在磁场中运动的最短时间为
C．沿不同方向射出的粒子在磁场中运动的时间可能相同
D．一定会有两个不同方向射出的粒子打在挡板上y=1.5a 处
三、解答题
11．用磁场实现对微观粒子的控制在高能物理、材料科学、核磁共振、微流控芯片等领域
有着广泛的应用。如图所示为一种能够实现用磁场控制微观粒子的装置内部磁场分布图，
轴上方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小
，
轴下方存在方
向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小
；在坐标原点
处有一粒子源，可以
同时发射速度大小为
、方向分别沿
轴正、负方向的两个带电粒子
、
。已知带电粒
子质量均为
，电荷量均为
，粒子相遇时两者的运动互不影响，不计粒子重力及粒子间
的相互作用。
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(1)若
、
两粒子同时经过
点，求该情况下
的最小值；
(2)若
，且在
坐标系内的磁场为矩形磁场，为使两粒子发射后能够在磁场中相遇
次，求矩形磁场的最小面积；
(3)两粒子发射后的运动轨迹会有很多交点，若
，且两粒子发射时间不同，为使两粒
子能相遇在横坐标最小的轨迹交点处，求两粒子发射的时间差
。
12．电子枪是显像设备的核心元件，由其阴极发射电子并经电场加速，可使出射的电子束
获得速度。某兴趣小组为定量研究磁偏转对运动的带电粒子轨迹的影响，设计了如下问题
情境：
如图所示，可上下平移的电子枪能向右发射质量为
、电荷量大小为的电子。电子枪内
部的加速电压可调，从阴极发射的电子初速度可视为0。电子枪右侧有半径为
的圆形匀
强磁场区域Ⅰ，其内部的磁感应强度大小为
、方向垂直于纸面向里。圆形磁场边界最右
端切线的右侧，有足够大的匀强磁场区域Ⅱ，磁感应强度大小为
（可调，未知）、方向
垂直于纸面向外。不计粒子重力和粒子间的相互作用。现进行一些连续操作，试求解相关
问题。
(1)将电子枪正对区域Ⅰ的圆心发射电子，调节加速电压，使电子通过圆形磁场后速度偏转
，求此时的加速电压
；
(2)之后将电子枪向上移动一段距离，调节加速电压为
，使电子在圆形磁场中的运动时间
最长，求电子枪上移的距离
；
(3)在第（2）问的条件下，电子在区域Ⅱ中形成偏转轨迹
。在第（1）问的条件下，撤去
区域Ⅰ的磁场，粒子进入区域Ⅱ，形成偏转轨迹
。为保证轨迹
和轨迹
不相交，求区域
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Ⅱ中磁感应强度
的最小值。（结果可用根式表示）
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