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专题三 电场与磁场
3.2 磁场
【命题分析】
1. 基本概念与定律
o 磁感应强度定义（B=F/IL）
o 安培定则判断磁场方向
o 左手定则应用（受力方向判断）
o 磁感线分布特征（条形/蹄形磁铁、通电导线）
2. 带电粒子运动
o 洛伦兹力公式（f=qvB）及圆周运动规律
o 轨道半径公式 r = mv
qB 与周期公式 T = 2πm
qB
o 临界问题（边界磁场、速度方向约束）
o 复合场问题（电磁叠加场中的直线/曲线运动）
3. 电磁仪器原理
o 速度选择器（v = E / B 的推导）
o 质谱仪（比荷计算）
o 回旋加速器（交变电场频率与磁场关系）
4. 安培力应用
o 通电导线受力计算（F=ILBsinθ）
o 导体棒平衡问题（与力学综合）
o 电磁炮/磁电式仪表工作原理
【素养要求】
近年趋势：
o 增加真实情境命题（如2023 年全国卷结合粒子治疗仪）
o 强化几何能力考查（轨迹圆心定位、弦切角关系）
o 注重多过程分析（磁场与电场交替作用）
典型难点
o 圆形/三角形边界的偏转问题
o 周期性运动分析（如交替磁场中的螺旋运动）
o 动态圆法处理临界值问题
1
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1．（2024·甘肃·高考真题）如图，相距为d 的固定平行光滑金属导轨与阻值为R 的电阻相
连，处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中长度为L 的导体棒ab 沿导
轨向右做匀速直线运动，速度大小为v。则导体棒ab 所受的安培力为（ ）
A．
，方向向左
B．
，方向向右
C．
，方向向左
D．
，方向向右
【答案】A
【解析】导体棒ab 切割磁感线在电路部分得有效长度为d，故感应电动势为
回路中感应电流为
根据右手定则，判断电流方向为b 流向a。故导体棒ab 所受的安培力为
方向向左。
故选A。
2．（2024·福建·高考真题）（多选）如图，用两根不可伸长的绝缘细绳将半径为的半圆
形铜环竖直悬挂在匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向外，铜环两
端
、
处于同一水平线。若环中通有大小为
、方向从
到
的电流，细绳处于绷直状态，
则（ ）
2
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A．两根细绳拉力均比未通电流时的大
B．两根细绳拉力均比未通电流时的小
C．铜环所受安培力大小为
D． 铜环所受安培力大小为
【答案】AC
【解析】方法一：微元法
AB．如图，取通电半圆形铜环的一小段
，可将其视为直导线，根据左手定则可知，改小
段导线受到的安培力方向如图所示，其大小
根据对称性苛刻的，如图所示，对称的两小段所受的安培力在水平方向的分力大小相等，
方向相反，相互抵消，则通电后半圆形铜环受到的安培力竖直向下，根据受力分析可知，
通电后两绳拉力变大，故A 正确，B 错误；
CD．对每小段导线所受安培力在竖直方向的分力求和，可得
故C 正确，D 错误。
故选AC。
方法二：等效法
通电半圆形铜环可等效为等效长度为直径
，电流方向
，根据左手定则可知半圆形
铜环受到的安培力方向竖直向下，大小
根据受力分析可得，通电后，绳子拉力
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两根细绳拉力均比未通电流时的大。
故选AC。
重点一 磁场的基本性质 安培力
1.磁场的产生与叠加
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2.安培力的分析与计算
方向
左手定则
电流间的作用力：同向电流相互吸引，异向电
流相互排斥
大小
直导
线
F=BILsin θ ，θ=0 时F=0 ，θ=90° 时
F=BIL
导线
为
曲线
时
等效为ac 直线电流
受力
分析
根据力的平衡条件或牛顿运动定律列方程
例题1. 如图所示，B、C、D 处放置三根长为L 的通电导线，其中B、C 处电流大小均为
I，D 处电流大小为2I，A 在BD 的延长线上，
，其中
B、D 处电流的方向均垂直于纸面向外，C 处电流的方向垂直于纸面向里。已知电流产生磁
场的磁感应强度B 的大小与电流I、距离r 的关系为
，k 为常数；若B 处电流在C 处
5
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产生的磁感应强度的大小为
，C 处导线位于绝缘水平地面上且处于静止状态，关于C 处
导线受到的摩擦力
的大小和方向，下列正确的是（ ）
A．
，水平向右
B．
，水平向右
C．
，水平向左
D．
，水平向左
【答案】B
【解析】设AC 长度为r，根据几何关系有BC 长度为
CD 长度为
因电流产生磁场的磁感应强度与距离成反比，且B 处电流在C 处产生的磁感应强度的大小
为
，即
可知D 处电流在C 处产生的磁感应强度的大小为
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B 对C 的安培力为
D 对C 的安培力
两安培力在水平方向分力的合力为
方向水平向左。
C 处导线处于静止状态，则在水平面上所受安培力与摩擦力大小相等，即摩擦力大小为
方向水平向右。
故选B。
训练1. 两根相同的弹性导线平行放置，分别通有方向相反的电流
和
，且
。下列
图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由安培定则可知方向向下的电流
在方向向上的电流
处磁场垂直向外，由左手
定则可知
受力向右；同理可知
受力向左，即两导线相互排斥，由牛顿第三定律可知两
力大小相等；两根相同的弹性导线形变量相同，故C 正确，ABD 错误。
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故选C。
重点二 带电粒子在匀强磁场中的运动
1.分析带电粒子在匀强磁场中运动的方法
基本
思路
(1)画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画
出轨迹
(2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度
相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，
运动时间与周期相联系
(3)用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规
律，特别是周期公式和半径公式
基本
公式
qvB=mv
2
r
，T=2π r
v
重要
结论
r=mv
qB ，T=2π m
qB
圆心的
确定
(1)轨迹上的入射点和出射点的速度方向的垂线
的交点为圆心，如图(a)
(2)轨迹上入射点速度方向的垂线和入射点、出
射点两点连线中垂线的交点为圆心，如图(b)
(3)沿半径方向距入射点距离等于r 的点，如图(c)
(当r 已知或可算)
半径的
确定
方法一：由物理公式求，由于Bqv=m v
2
r
所以半径r=mv
qB
方法二：由几何关系求，一般由数学知识(勾股
定理、三角函数等)通过计算来确定
时间的
求解
方法一：由圆心角求，t= θ
2π ·T
方法二：由弧长求，t= s
v
2.带电粒子在有界匀强磁场中运动的三个重要结论
(1)粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角(如图甲，θ1=θ2=θ3)。
(2)沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时亦沿半径方向(如图乙，两侧关于两圆心连线
OO'对称)。
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(3)粒子速度方向的偏转角等于其轨迹对应的圆心角(如图甲，α1=α2)。
3.带电粒子在磁场中运动的多解成因
(1)磁场方向不确定形成多解；
(2)带电粒子电性不确定形成多解；
(3)速度不确定形成多解；
(4)运动的周期性形成多解。
例题2. 圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、
b、c 以不同的速率沿着
方向对准圆心O 射入磁场，其运动轨迹如图所示。若带电粒子
只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（ ）
A．a 粒子速率最大
B．c 粒子的洛伦兹力最小
C．a 粒子在磁场中运动的时间最长
D．它们做圆周运动的周期
【答案】C
【解析】AB．粒子的轨迹如图所示
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根据洛伦兹力提供向心力可得
解得
由于三个带电粒子的质量、电荷量均相同，在同一个磁场中，c 粒子的轨道半径最大，所
以c 粒子速率最大，c 粒子的洛伦兹力最大，故AB 错误；
CD．粒子做圆周运动的周期为
由于三个带电粒子的质量、电荷量均相同，在同一个磁场中，所以它们做圆周运动的周期
根据
由于a 粒子转过的圆心角最大，则a 粒子在磁场中运动的时间最长，故C 正确，D 错误。
故选C。
训练2. 如图，直角三角形ABC 区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC 边
长为l，∠B 为
，一群比荷为
的带负电粒子以相同速度从C 点开始在一定范围垂直AC
边射入，射入的粒子恰好不从AB 边射出，已知从BC 边垂直射出的粒子在磁场中运动的时
间为
，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为2t0，则下列说法中不正确的是
（ ）
A．磁感应强度大小为
B．粒子运动的轨道半径为
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C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子在磁场中扫过的面积为
【答案】B
【解析】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直BC 边射出的粒子在磁场中运动的时
间是
，由
可得
解得
故A 正确，不符题意；
B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有
又由
得
画出该粒子的运动轨迹如图。
设轨迹半径为R，由几何知识得
＋Rcos30°=l
可得
故B 错误，符合题意；
C．粒子射入磁场的速度大小为
故C 正确，不符题意；
D．射入的粒子恰好不从AB 边射出，粒子在磁场中扫过的面积为
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故D 正确，不符题意。
故选B。
重点三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界与极值问题
1.解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，利用动态圆思想
寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设
条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。
2.粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。
例题3. 如图所示是一个圆心在
点、半径为R 的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为
，
磁感应强度方向垂直纸面向里。大量同种带电粒子从圆上A 点以不同的方向沿纸面射入磁
场，速度大小均为，带电粒子的质量均为
，所带电荷量均为
，粒子重力均忽略不计，
下列说法错误的是（ ）
A．若
，则粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若
且粒子在磁场中运动时间最长，则粒子的入射速度方向与
之间的
夹角为
C．若
，则粒子射出磁场时的速度方向均垂直于
方向
D．若
，粒子能打在圆形磁场边界上的范围是三分之一个圆周长
【答案】D
【解析】AB．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力可得
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解得
若
则
粒子在磁场中运动时间最长时，磁场区域的直径是轨迹的一条弦，轨迹如图
由几何关系可知
解得
则粒子的入射速度方向与
之间的夹角为
又
粒子在磁场中运动的最长时间为
故AB 正确，与题意不符；
C．由AB 选项分析可知，若
，则
即粒子的轨迹半径等于圆形磁场的半径，根据轨迹“磁聚焦”原理逆向分析可知，沿不同
方向射入磁场的粒子，出磁场时的速度方向相同，均垂直于OA 方向，如图所示
故C 正确，与题意不符；
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D．由AB 选项分析可知，若
，则
粒子打到圆周上的最远位置距离入射点为
轨迹如图
由几何关系可知，最大距离所对应的磁场圆的圆心角为60°，即粒子能打在圆形磁场边界上
的范围是六分之一个圆周长，故D 错误，与题意相符。
本题选错误的，故选D。
训练3. 如图所示，S 为一离子源，MN 为足够长的荧光屏，S 到MN 的距离为SP=L，MN 左
侧区域有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。某时刻离子源S
一次性沿平行纸面各个方向均匀地喷发大量的质量为m、电荷量为q、速率为
的正离
子（此后不再喷发），不计离子重力，不考虑离子之间的相互作用力。则（ ）
A．打中荧光屏的最短时间为
B．打中荧光屏的最长时间为
C．打中荧光屏的宽度为2
L
D．打到荧光屏的离子数与发射的离子数比值为2:1
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【答案】A
【解析】A．根据洛伦兹力提供向心力
则离子轨道半径
离子轨迹对应弦长最短时运动时间最短，即离子恰好打中P 点，如图所示
根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角为60°，能打中荧光屏的最短时间为
故A 正确；
BC．如图所示
离子速度为v1从下侧回旋，刚好和边界相切于B 点，离子速度为v2时从上侧回旋，刚好和
上边界相切于A 点，打中荧光屏的最长时间为
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离子打中荧光屏的范围总长度为图中的AC 长度，由几何关系可知
故BC 错误；
D．离子恰好打到MN 上的临界运动轨迹如图所示
离子速度为v1从下侧回旋，刚好和边界相切，离子速度为v2时从上侧回旋，刚好和上边界
相切，打到N′点的离子离开S 时的初速度方向和打到M′点的离子离开S 时的初速度方向夹
角
能打到荧光屏上的离子数与发射的粒子总数之比
故D 错误。
故选A。
难点一 常见的动态圆
示意图
适用条件
应用方法
放缩圆
(轨迹圆的圆心在P1P2直线上)
粒子的入射点位置相
同，速度方向一定，
速度大小不同
以入射点P 为定点，将
半径放缩作轨迹圆，粒
子恰好不射出磁场的临
界状态是粒子运动轨迹
与磁场边界相切
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旋转圆
(轨迹圆的圆心在以入射点P 为圆
心、半径R=m v0
qB 的圆上)
粒子的入射点位置相
同，速度大小一定，
速度方向不同
将一半径为R=m v0
qB
的
圆以入射点为圆心进行
旋转，从而探索出临界
条件
平移圆
(轨迹圆的所有圆心在一条直线上)
粒子的入射点位置不
同，速度大小、方向
均一定
将半径为R=mv0
qB 的圆
进行平移
例题4. 如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足
够长的平面感光板MN，点a 为MN 与水平直线ab 的交点，MN 与直线ab 的夹角为
，
ab 间的距离为
。在b 点的点状的电子源向纸面内各个方向发射电子，电子做圆周
运动的半径为
，不计电子间的相互作用和重力，
，则MN 上被电子打中
的区域的长度为（ ）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
【答案】C
【解析】电子从b 点射出后，在磁场中沿顺时针方向做圆周运动，
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如图所示的两个圆分别表示电子打在板上的两个临界情况，一个打在a 点，一个打在C 点，
打在C 点的电子轨迹恰好与板相切，过b 点做MN 的垂线bD，过O1做bD 垂线O1E，由几
何知识可得
又因
所以
可得
所以MN 上被电子打中的区域的长度为
故选C。
训练4. 长度为L 的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，
从距水平板中心正上方
的P 点处以水平向右的速度
释放一个质量为m、电荷量为e 的
电子，若电子能打在水平板上，速度
应满足（ ）
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A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【解析】电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
根据分析，当半径很小或者半径很大时，电子均不能够到达水平板上，两个临界点轨迹分
别与水平板相切、轨迹恰好经过水平板两端点，如图所示
根据几何关系可知
，
解得
或
则有
故选C。
难点二 磁聚焦与磁发散
磁聚焦
与
磁发散
粒子速度大小相同，
轨迹圆半径等于区域
圆半径
带电粒子平行射入圆形
有界匀强磁场，则粒子
从磁场边界上同一点射
出，该点切线与入射方
向平行——磁聚焦，从
边缘某点以不同方向入
射时平行出射——磁发
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磁聚焦 磁发散
散
例题5. （多选）如图所示，半径为R 的一圆形区域，O 为圆心，P 为边界上的一点，区域
内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。电荷量为-q、质量为m 的相同带电
粒子a、b（不计重力）从P 点先后以大小相等的速率
射入磁场，粒子a 正对圆心
射入，粒子b 射入磁场时的速度方向与粒子a 射入时的速度方向夹角为
。下列说法
正确的是（ ）
A．两粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R
B．a 粒子在磁场中运动的时间为
C．b 粒子在磁场中运动的时间为
D．a、b 粒子离开磁场时的速度方向夹角为30°
【答案】AC
【解析】A．由洛伦兹力提供向心力，有
解得
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故A 正确；
BC．粒子在磁场中的运动轨迹如图所示
粒子a、b 在磁场中的运动周期均为
由轨迹图可知
，
则a、b 粒子在磁场中的运动时间分别为
，
故B 错误，C 正确；
D．由图中轨迹可知，a、b 粒子离磁场时的速度方向都与OP 方向垂直，即a、b 粒子离开
磁场时的速度方向平行，故D 错误。
故选AC。
训练5. 如图所示，相距为d=0.5R 的MN、PQ 边界间存在垂直纸面向外的匀强磁场，且边
界足够长，PQ 下方存在与其相切的、半径为R 的圆形匀强磁场区域，方向垂直纸面向里，
有一长度为2R、与PQ 垂直的粒子发射板S 能均匀地沿PQ 方向发射速率均为v，质量均为
m，电荷量均为q 的带电粒子，且所有粒子均能从边界相切点O 进入PQ 上方磁场区域，不
计粒子间的相互作用及粒子的重力，两磁场区域内的磁感应强度大小相等。求：
(1)带电粒子的电性及磁感应强度B 的大小；
(2)正对圆形区域圆心的粒子在磁场中运动的总时间t；
(3)在MN 边界上多宽范围内有粒子逸出，以及从MN 边界上射出的粒子所占总发射数的比
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例。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【解析】(1)根据左手定则可知，粒子带正电；
任取一粒子研究，依题意作出粒子运动的轨迹图如图甲所示，O1为圆形磁场区域的圆心，
O2为粒子轨迹的圆心，由几何关系可知，四边形O1KO2O 为菱形，故
r=R
粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力得
联立解得
(2)粒子正对圆心射入磁场，由(1)可知，粒子将垂直于PQ 从O 点进入平行边界磁场，对应
圆心角为α=90°
如图乙所示，由几何关系可知，粒子在MN 与PQ 间运动的圆心角为 θ，则有
解得
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θ=30°
故粒子在磁场中运动的总时间
(3)粒子经过圆形磁场区域后，能从O 点在0°~180°范围内向MN 与PQ 间射入，将粒子运动
的轨迹旋转半周如图丙所示，能从MN 边界逸出的粒子如图丁所示，由几何关系有
sinθ1=sinθ2=sinθ3=
O3K=2Rcosθ1=
R
EF=Rsinθ2=0.5R
故粒子在MN 边界逸出的宽度为
O3K=
R
能在MN 边界逸出的粒子所占总发射数的比例为
n=
=
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（建议用时：30 分钟）
一、单选题
1．小飞同学研究甲、乙、丙、丁四种情况导体棒受到的安培力大小，其中磁感应强度均为
，方向垂直纸面向里，纸面内放置水平光滑导轨，间距均为d，且左端接一个相同的电
阻R，导体棒速度大小均为v，甲、丁图中速度方向水平向右，乙图中速度与竖直方向夹角
为
，丙图导体棒与水平方向夹角为
，不计导轨以及导体棒的阻值。则导体棒受到安
培力最大的是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】C
【解析】甲图中根据法拉第电磁感应定律有
电流为
安培力大小为
乙图中根据法拉第电磁感应定律有
电流为
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安培力大小为
丙图中根据法拉第电磁感应定律有
电流为
安培力大小为
丁图中的有效长度与速度的夹角不垂直，结合上述分析可知安培力小于丙图导体所受安培
力，所以丙图的安培力最大。
故选C。
2．电磁弹射技术是一种新兴的直线推进技术，2022 年6 月17 日上午，中国第三艘航空母
舰福建舰下水，并配置电磁弹射。其工作原理可以简化如下图，光滑固定导轨CD，EF 与
导电飞翔体MN 构成一驱动电流回路，恒定驱动电流
产生磁场，且磁感应强度
与导轨
中的电流
及空间某点到导轨的距离的关系式为
，磁场对处在磁场中的导电飞翔
体产生了安培力F，从而推动飞翔体向右做匀加速直线运动。下列说法正确的是（ ）
A．CMNF 回路内的磁场方向与驱动电流的方向无关
B．飞翔体
所受安培力F 的方向与CMNF 回路中驱动电流的方向有关
C．驱动电流
变为原来的2 倍，飞翔体
受的安培力将变为原来的2 倍
D．如果飞翔体在导轨上滑过的距离保持不变，将驱动电流
变为原来的2 倍，飞翔体
最终的弹射速度将变为原来的2 倍
【答案】D
【解析】A．根据安培定则可知回路内磁场方向与电流方向有关，故A 错误；
B．CMNF 回路中驱动电流的方向改变，根据安培定则，磁场方向相反，因为MN 中电流方
向也相反，根据左手定则，安培力F 的方向不变，故B 错误；
C．驱动电流I 变为原来的2 倍，磁感应强度B 变为原来的两倍，安培力
变为原来
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的4 倍，故C 错误；
D．驱动电流I 变为原来的2 倍，飞翔体MN 受的安培力F 变为原来的4 倍，飞翔体的加速
度a 变为原来的4 倍，由
得
所以速度变为原来的2 倍，故D 正确。
故选D。
3．如图所示，两根长直导线竖直插入粗糙绝缘水平桌面上的A、B 两小孔中，CD 虚线为
AB 连线的中垂线，O 为A、B 连线的中点，连线上a、b 两点关于O 点对称。导线中通有大
小相等、方向相反的电流。已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度
，式中k
是常数、I 是导线中的电流、r 为点到导线的距离。一带正电的小滑块以初速度
从a 点出
发在桌面上沿连线CD 运动到b 点。关于上述过程，下列说法正确的是（ ）
A．小滑块做匀速直线运动
B．小滑块做匀减速直线运动
C．小滑块做加速度逐渐增大的减速直线运动
D．小滑块做加速度先增大后减小的减速直线运动
【答案】B
【解析】根据右手螺旋定则，结合磁场的合成可知C、D 之间的磁场方向沿CD 向里，磁
场感应强度大小先增大后减小，根据左手定则可知，带正电的小滑块以初速度
从a 点出
发在桌面上沿连线CD 运动到b 点过程中，带正电的小球不受洛伦兹力，沿CD 方向只受到
滑动摩擦力作用，方向沿DC 向外，滑动摩擦力不变，根据牛顿第二定律可知小滑块的加
速度不变，所以小滑块做匀减速直线运动。
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故选B。
4．两个完全相同的超导金属环水平平行放置，圆心在同一竖直线上，两环中有等大反向电
流，电流方向如图所示，另一个与环半径相同的绝缘光滑管道平行两环固定在两环之间，
管道面与两环面距离相等，金属环与管道的圆心在同一竖直线上。在管道内有一个带正电
的球，其直径略小于管道内径，且可以视作质点。给小球沿管切向方向初速度，小球在管
道内运动，下列说法正确的是（ ）
A．小球的速度逐渐减小
B．小球的速度逐渐增加
C．小球受到管道的弹力不一定指向圆心
D．小球受到管道的弹力可能沿管的半径向外
【答案】C
【解析】AB．两平行圆环是两平行导线弯成，平行导线通反向电流时中点处的磁场与两导
线面垂直，则图示的两通电圆环在中点处（圆管）的磁场垂直圆环沿半径方向向里。带正
电小球在管道中运动时，受到竖直向下重力，竖直向上洛伦兹力，圆管对小球的弹力，洛
伦兹力不做功，小球做匀速圆周运动，故AB 错误；
CD．圆管对小球弹力的水平分力指向圆心，提供向心力，若洛伦兹力大小等于重力大小，
弹力竖直分力为零，则弹力方向指向圆心，若洛伦兹力大小小于重力大小，弹力竖直分力
向上，则弹力斜向内上方，若洛伦兹力大小大于重力大小，弹力竖直分力向下，则弹力斜
向内下方，C 正确，D 错误。
故选C。
5．如图，直角三角形ACD 区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向内的匀强磁
场，
，
。质量为m、电荷量为q 且均匀分布的带正电粒子以相同的速度沿纸
面垂直AD 边射入磁场，若粒子的速度大小为
，不考虑重力及粒子间的作用，
，则粒子经磁场偏转后能返回到AD 边的粒子数占射入到AD 边总粒子数的百分
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比为（ ）
A．40%
B．47.3%
C．52.7%
D．60%
【答案】C
【解析】粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力
可得
当粒子的轨迹与
边相切时为粒子经磁场偏转后能返回到AD 边的右侧临近点，设此时入
射点为
，则
当粒子的轨迹与
边相切时为粒子经磁场偏转后能返回到AD 边的左侧临近点，设此时入
射点为
，则
则粒子经磁场偏转后能返回到AD 边的入射点的长度为
所以，粒子经磁场偏转后能返回到AD 边的粒子数占射入到AD 边总粒子数的百分比为
故选C。
6．直角三角形abc 中
，ab 边长为
，其内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小
为
的匀强磁场。在ac 边的中点
有一粒子源，能平行纸面向磁场内各个方向发出速率
、质量为
、电荷量为
的正粒子。不考虑粒子间的相互作用，则（ ）
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A．从bc 边射出的粒子，在磁场中运动的时间可能是
B．从bc 边射出的粒子，在磁场发生的位移最大为
C．bc 边有粒子射出的区域的长度是
D．从点射出的粒子，射出时速度方向与射入时速度方向相反
【答案】A
【解析】A．由题意，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由左手定则知，从bc 边射出的粒子
顺时方向运动到bc 边，根据
得半径
结合几何关系，可知从bc 边射出的粒子在中运动轨迹与ab 相切时，对应在磁场中运动的
时间最长，由几何知识求得轨迹对应圆心角为
，从c 点射出时，时间最短，轨迹对应圆
心角为
，运动轨迹如图所示
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根据
，
，所以从bc 边射出的粒子，在磁场中运动的时间满足
故A 正确；
B．由几何知识，可得从bc 边射出的粒子，在磁场发生的位移最大为
故B 错误；
C．bc 边有粒子射出的区域长度为
故C 错误；
D．从点射出的粒子，由几何知识判断知速度方向偏转
，故D 错误；
故选A。
7．如图，空间存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），
、
、
、
、
为磁场中
的五个点，
为
的中点，
为
中垂线上的一点，且
，
平行于
。一束带正电的同种粒子（不计重力）垂直
由
点沿纸面向上射入磁场，各粒子速
度大小不同，用
、
、
、
分别表示第一次到达
、
、
、
四点的粒子所经历的
时间，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】粒子通过B、C、D、E 各点的轨迹如图
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由几何关系可知：从A 到B 和A 到D，粒子运动轨迹对应的圆心角为
；从A 到C 和A
到E，粒子运动轨迹对应的圆心角小于
，且相等；带电粒子垂直进入匀强磁场后做匀
速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即
则
运动周期
周期与速度无关，是粒子从A 点沿纸面向上射入磁场，运动轨迹对应的圆心角越大，运动
时间越长；所以
故选C。
8．如图，
为上表面水平的正方体区域，整个正方体空间内存在竖直向上的
匀强磁场。abcd 表面的正中央有一小孔P。粒子源S 发射了两个速度大小相同、比荷不同
的粒子M、N（重力不计），从P 孔垂直于abcd 表面射入后，M 打在bc 边上，N 打在
边上，则粒子M、N 的比荷之比为（ ）
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A．2 1∶
B．1 2∶
C．5 1∶
D．1 5∶
【答案】C
【解析】根据题意，画出粒子的运动轨迹，从上往下看，如图所示
设正方体的棱长为
，由几何关系有
，
解得
由牛顿第二定律有
可得
由于粒子源S 发射了两个速度大小相同的粒子进入同一磁场中，设粒子M、N 的比荷分别
为
和
，则粒子M、N 的比荷之比为
故选C。
二、多选题
9．如图所示，等腰直角三角形
内有一垂直纸面向里的匀强磁场（
边界无磁场），
边长为
，磁场磁感应强度大小为B。ab 边中点的粒子源
垂直
以不同速率向磁场内
发射带负电的粒子，粒子质量为
，电荷量为
，不计粒子重力及粒子间相互作用。下列
说法正确的是（ ）
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A．粒子可能从
点飞出磁场
B．粒子可能从点飞出磁场
C．能从
边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为
D．能从
边界飞出的粒子在磁场中运动的最小速度为
【答案】AC
【解析】粒子可能的轨迹如图所示
A．如图所示，若粒子沿轨迹1 运动，由几何关系可知，此时的半径为
故A 正确；
B．与
边相切的粒子，轨迹如2，由几何关系可知，半径为
由几何关系可知，切点到
的距离也为
所以切点在点上侧，故粒子不可能过点，故B 错误；
CD．当粒子与
边相切出磁场时，粒子的速度最小，运动时间最长，轨迹如2，由几何关
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系可知，此时的圆心角为
根据牛顿第二定律可知
解得
周期为
运动的时间为
故C 正确，D 错误。
故选AC。
10．如图，在xOy 平面内y≥0 区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。在
处放置一平行于y 轴的足够长的挡板。O 点处的粒子源在xOy 平面第一象限0~90°范
围内发射大量质量为m、电荷量为q（q>0）、速度大小相等的粒子，所有粒子恰好都能打
在挡板上，并立即被挡板吸收。不计粒子重力和粒子间相互作用，下列说法正确的是（
）
A．粒子的速度大小为
B．粒子在磁场中运动的最短时间为
C．沿不同方向射出的粒子在磁场中运动的时间可能相同
D．一定会有两个不同方向射出的粒子打在挡板上y=1.5a 处
【答案】AD
【解析】AB．如图所示，所有粒子恰好都能打在挡板上，则粒子转动的半径
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由
，可得
故A 正确；
B．如上图所示，粒子在磁场中运动的圆心角为
时，运动时间最短。由周期
得最短时间
故B 错误；
C．粒子射出的方向不同则轨迹不同，对应的圆心角不同，也即运动时间不同，故C 错误；
D．如图所示，打到挡板上的最远点坐标为
，1.5a 在
之间，则一定会有两
个不同方向射出的粒子打在挡板上该点，故D 正确。
故选AD。
三、解答题
11．用磁场实现对微观粒子的控制在高能物理、材料科学、核磁共振、微流控芯片等领域
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有着广泛的应用。如图所示为一种能够实现用磁场控制微观粒子的装置内部磁场分布图，
轴上方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小
，
轴下方存在方
向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小
；在坐标原点
处有一粒子源，可以
同时发射速度大小为
、方向分别沿
轴正、负方向的两个带电粒子
、
。已知带电粒
子质量均为
，电荷量均为
，粒子相遇时两者的运动互不影响，不计粒子重力及粒子间
的相互作用。
(1)若
、
两粒子同时经过
点，求该情况下
的最小值；
(2)若
，且在
坐标系内的磁场为矩形磁场，为使两粒子发射后能够在磁场中相遇
次，求矩形磁场的最小面积；
(3)两粒子发射后的运动轨迹会有很多交点，若
，且两粒子发射时间不同，为使两粒
子能相遇在横坐标最小的轨迹交点处，求两粒子发射的时间差
。
【答案】(1)
(2)
(3)
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【解析】（1）由洛伦磁力提供向心力，有
解得
由洛伦磁力提供向心力，有
解得
若B 最小，说明H 点是P、Q 粒子在x 轴上第一次相遇的点，P、Q 粒子同时从O 点出发，
运动轨迹如图1 所示
可知
解得B 的最小值为
（2）当
时，由洛伦磁力提供向心力，有
解得
由洛伦磁力提供向心力，有
解得
P、Q 两粒子同时发射后，每经过一个周期在x 轴上相遇一次，P 粒子每个周期内轨迹与x
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轴的交点向正方向移动
n 个周期向正方向移动
所以磁场右边界的x 轴坐标为
磁场的左边界x 轴坐标为
磁场沿x 轴方向宽度为
磁场沿y 轴方向宽度为
所加矩形磁场的最小面积
（3）横坐标最小的轨迹交点如图2 中所示的G 点
O1O2之间距离与AO 之间距离相等，易知
可得
=45°
结合
可得
，
P 粒子运动至G 点转过国心角为45°，所用时间
Q 粒子运动至G 点，在x 轴下方转过圆心角为180°，在x 轴上方转过圆心角为135°，所用
时间
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两粒子从O 点出发的时间之差
12．电子枪是显像设备的核心元件，由其阴极发射电子并经电场加速，可使出射的电子束
获得速度。某兴趣小组为定量研究磁偏转对运动的带电粒子轨迹的影响，设计了如下问题
情境：
如图所示，可上下平移的电子枪能向右发射质量为
、电荷量大小为的电子。电子枪内
部的加速电压可调，从阴极发射的电子初速度可视为0。电子枪右侧有半径为
的圆形匀
强磁场区域Ⅰ，其内部的磁感应强度大小为
、方向垂直于纸面向里。圆形磁场边界最右
端切线的右侧，有足够大的匀强磁场区域Ⅱ，磁感应强度大小为
（可调，未知）、方向
垂直于纸面向外。不计粒子重力和粒子间的相互作用。现进行一些连续操作，试求解相关
问题。
(1)将电子枪正对区域Ⅰ的圆心发射电子，调节加速电压，使电子通过圆形磁场后速度偏转
，求此时的加速电压
；
(2)之后将电子枪向上移动一段距离，调节加速电压为
，使电子在圆形磁场中的运动时间
最长，求电子枪上移的距离
；
(3)在第（2）问的条件下，电子在区域Ⅱ中形成偏转轨迹
。在第（1）问的条件下，撤去
区域Ⅰ的磁场，粒子进入区域Ⅱ，形成偏转轨迹
。为保证轨迹
和轨迹
不相交，求区域
Ⅱ中磁感应强度
的最小值。（结果可用根式表示）
【答案】(1)
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(2)
(3)
【解析】（1）电子被加速电压加速过程有
①
电子在圆形磁场中匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有
②
联立得
（2）加速电压变为
，即加速电压变为原来的4 倍，由①②可知，电子进入圆形磁场的
速度变为原来的2 倍，电子在圆形磁场中匀速圆周运动的半径变为原来的2 倍，即
，欲
使电子在圆形磁场中的运动时间最长，则须使电子在圆形磁场中运动的弦长等于圆形磁场
的直径，即
，电子在圆形磁场中的运动轨迹如图所示
由几何关系可知
（3）设电子在第（2）问的条件下射入区域Ⅱ的射入点距圆形磁场与右端虚线的切点的距
离为
，则根据几何关系有
求得
轨迹a、b 的半径之比为
，若偏转轨迹a、b 恰好不相交，即两轨迹相切，则其轨迹如图
所示
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根据余弦定理有
联立解得
③
又
④
联立②③④，得
故区域Ⅱ中磁感应强度
的最小值为
。
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42
