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专题三 电场与磁场
3.4 带电粒子在交变场和立体空间中的运动
【命题分析】
1. 情境创新与实际应用结合
o 以科技应用为背景（如等离子体约束、粒子加速器、磁流体发电机），考
查抽象建模能力。
o 融入现代物理思想，如多级加速、动态平衡等。
2. 综合性与数学工具强化
o 多过程衔接：交变场导致粒子运动状态多次突变，需分阶段列式并衔接边
界条件。
o 几何与代数工具：三维几何关系（如圆柱体磁场边界、圆锥摆轨迹）、三
角函数、参数方程的应用。
o 极值与范围问题：通过求导或几何关系分析临界值（如最小时间、最大位
移）。
【素养要求】
1.掌握带电粒子在交变电、磁场中运动问题的分析方法，熟悉带电粒子运动的常见模型。
2.会分析带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，
转换视图角度，充分利用分解的思想降维处理相关问题。
1．（多选）如图甲所示，某多级直线加速器由n 个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其
中心轴线在同一直线上，各金属圆筒依序接在交变电源的两极M、N 上，序号为0 的金属
圆板中央有一个质子源，质子逸出的速度不计，M、N 两极加上如图乙所示的电压：
，
一段时间后加速器稳定输出质子流。已知质子质量为m、电荷量为e，质子通过圆筒间隙
的时间不计，且忽略相对论效应，以下说法正确的是（ ）
1
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A．质子在各圆筒中做匀速直线运动
B．各金属筒的长度之比为
C．质子进入第n 个圆筒时的瞬时速度为
D．加速器筒长和加速电压不变，若要加速荷质比更大的粒子，则要调大电压的周期
2. 如图甲所示，一个棱长为
的立方体空间中存在着磁感应强度大小为
，沿
轴负方向
的匀强磁场，质量为
、电量为
的带正电的粒子从左侧面的中心
沿
轴正方向射入立
方体空间，粒子重力忽略不计。
（1）若粒子的速度大小任意取值，求粒子在磁场中运动的最长时间；
（2）若粒子从
面射出，求粒子速度大小的取值范围；
（3）如图乙所示，将磁场撤掉，在立方体空间中加上沿
轴正方向的匀强电场，粒子射出
时的速度方向偏转了
。如图丙所示，保持粒子的入射速度不变，再将立体空间分成左
右相等的两个区域，左侧区域保持电场不变，右侧区域加上沿
轴负方向的匀强磁场，磁
感应强度大小为
。粒子先后穿过电场和磁场区域，垂直
面射出，求电场强度
。
2
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重点一 带电粒子在交变场中的运动
此类问题是场在时间上的组合，电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期
性。这种情况下要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清楚带电粒子在每一时间
段内在电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹，确定带
电粒子的运动过程，选择合适的规律进行解题。
例题1. （多选）医用回旋加速器工作原理示意图如图甲所示，其工作原理是：带电粒子在
磁场和交变电场的作用下，反复在磁场中做回旋运动，并被交变电场反复加速，达到预期
所需要的粒子能量，通过引出系统引出后，轰击在靶材料上，获得所需要的核素。
时，
回旋加速器中心部位O 处的灯丝释放的带电粒子在回旋加速器中的运行轨道和加在间隙间
的高频交流电压如图乙所示（图中为已知量）。若带电粒子的比荷为k，忽略粒子经过间
隙的时间和相对论效应，则（ ）
A．被加速的粒子带正电
B．磁体间匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子被加速的最大动量大小与D 形盒的半径有关
D．带电粒子在D 形盒中被加速次数与交流电压有关
训练1. （多选）如图甲所示，水平放置的平行金属板A、B 间加如图乙所示的交变电场，
t=0 时刻，O 处粒子源水平向右发射速度相同的a、b 两粒子，穿过极板后水平向右垂直进
入有竖直边界的匀强磁场；磁场方向垂直纸面向外，a 粒子恰好不从磁场右边界飞出，a、
b 两粒子的运动轨迹交于C 点，且在C 处时a、b 速度方向垂直，C 到左右磁场边界的距离
相等，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
3
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A．a、b 在电场中运动的时间可能不同
B．a、b 穿过极板的时间均为
的偶数倍
C．a、b 粒子的比荷为
D．a、b 穿过极板竖直方向上的位移大小之比为1：2
重点二 带电粒子在立体空间中的运动
1．基本思路：根据物体所处的状态(静止或者匀速直线运动)，受力分析，结合平衡条件列
式．
2．主要方法：力的合成法和正交分解法．
带电粒子在立体空间中的运动问题，往往通过降维思想进行简化，常见示例及解题策略如
下表：
运动类型
解题策略
在三维坐标系中运
动，每个轴方向都
是常见运动模型
将粒子的运动分解为三个方向的运
动
一维加一面，如旋
进运动
旋进运动将粒子的运动分解为一个
轴方向的匀速直线运动或匀变速直
线运动和垂直该轴所在面内的圆周
运动
运动所在平面切
换，粒子进入下一
区域偏转后曲线不
在原来的平面内
把粒子运动所在的面隔离出来，转
换视图角度，把立体图转化为平面
图，分析粒子在每个面的运动
例题2. 高能微粒实验装置，是用以发现高能微粒并研究和了解其特性的主要实验工具。为
了简化计算，一个复杂的高能微粒实验装置可以被最简化为空间中的复合场模型。如图甲
所示，三维坐标系中，yOz 平面的右侧存在平行z 轴方向周期性交化的磁场B（图中未画
出）和沿y 轴正方向竖直向上的匀强电场E。有一个质量为m、电荷量为q 的带正电的高能
微粒从xOy 平面内的P 点沿x 轴正方向水平射出，微粒第一次经过x 轴时恰好经过O 点，
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此时速度大小为v0，方向与x 轴正方向的夹角为45°。已知电场强度大小
，从微粒
通过O 点开始计时，磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示，已知
，
，
规定当磁感应强度沿z 轴正方向时为正，重力加速度大小为g。
（1）求抛出点P 到x 轴的距离y；
（2）求微粒从通过O 点开始做周期性运动的周期T；
（3）若
时撤去yOz 右侧的原电场和磁场，同时在整个空间加上沿y 轴正方向
的匀强磁场，求微粒向上运动到离xOz 平面最远时的坐标。
训练2. 高能粒子实验装置是用以发现高能粒子并研究和了解其特性的主要实验工具。为了
简化计算，一个复杂的高能粒子实验装置可以被简化为空间中的复合场模型。如图甲所示，
三维坐标系中
平面的右侧（
空间）存在平行于z 轴方向周期性变化的磁场B（图
中未画出）和沿y 轴正方向竖直向上的匀强电场。现将一个质量为m、电荷量为q 的带正
电的高能粒子从
平面内的P 点，沿x 轴正方向水平抛出，粒子第一次经过x 轴时恰好经
过O 点，此时速度大小为
，方向与x 轴正方向的夹角为45°。已知电场强度大小
，
从粒子通过O 点开始计时，磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示，规定当磁场方向沿
5
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z 轴正方向时磁感应强度为正。已知
，重力加速度大小为g。
（1）求抛出点P 的坐标；
（2）求粒子从第1 次经过x 轴到第2 次经过x 轴的路程；
（3）求粒子第4 次经过x 轴时的x 坐标值；
（4）若
时撤去
右侧的匀强电场和匀强磁场，同时在整个空间加上沿y 轴正方向竖
直向上的匀强磁场
，求粒子向上运动到离
平面最远时的坐标。
重点三 交变电场+恒定磁场
o
例：粒子在交变电场中周期性加速后进入磁场偏转，求最终轨迹或速度分布。
o
关键点：电场变化周期与粒子运动时间的匹配（类似回旋加速器条件）。
例题3. 1932 年劳伦斯发明了回旋加速器，巧妙地利用了带电粒子在磁场中运动特点，解
决了粒子的加速问题。装置原理图如图所示，D 型盒半径为R，处在匀强磁场中；狭缝间
距为d，两电极间接高频交变电源，从而在狭缝间产生周期性变化的电场。粒子源位于图
中O 处，能发出质量为m、电量为+q 的粒子。
实际中，带电粒子在回旋加速器中所能达到的最大动能受很多因素制约。在忽略粒子重力
且不考虑相对论效应的条件下，回答以下问题：
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(1)若磁感应强度大小为B，则要维持粒子持续加速，所加交变电源的频率f 是多少？粒子
所能达到的最大动能Ek是多少？
(2)若考虑粒子在电场中加速运动的时间，则从t = 0 时刻开始被加速的粒子，分别在以下两
种不同波形的交变电场加速下所能达到的最大动能分别是多少？已知交变电场的周期为T
且与粒子在磁场中圆周运动的周期相同，交变电压的最大值U0。（假设粒子在达到最大速
度前未离开加速器）
(3)若装置所能提供的磁场的磁感应强度的最大值为Bm，交变电源频率的最大值为fm（波形
如图1 所示），那么粒子加速后所能达到的最大动能是多少？
训练3. 如图甲所示，水平放置的平行金属板P 和Q，间距为d，长度为2d，两板间存在垂
直纸面向里的匀强磁场。
时刻，一质量为m、电荷量为
的粒子（不计重力），以初
速度
由P 板左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间。
（1）若粒子恰好从Q 板右侧射出磁场，求磁感应强度B；
（2）若极板间仅存在如图乙所示的交变磁场，
时刻磁场垂直纸面向里，且
。
粒子经一段时间恰能垂直打在Q 板上（不考虑粒子反弹），求交变磁场的周期T。
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难点一 三维复合场中的运动分解
o
例：磁场沿z 轴方向，电场在x-y 平面，粒子初速度斜向，求轨迹的螺旋参数及投影方
程。
o
关键点：分解速度的平行与垂直分量，分别分析匀速圆周运动与匀加速直线运动的合
成。
例题4. 某款电子偏转仪器由边长为L 的立方体空间OABC-O1A1B1C1构成，如图所示。电子
发射器位于顶部A1O1的中点M，可向O1A1B1C1平面内各个方向均匀射出速率均为v 的电子。
在立体空间任意两个对立面可放置两块面积较大、与电源相连的金属板，从而实现在立方
体空间内产生匀强电场，以控制电子的运动。已知电子质量为m、电荷量大小为e，电子
打在金属板上将被吸收不再反弹进入电场，不计电子重力及电子间的相互作用力。问：
(1)当两块金属板分别放置在ABB1A1面和OCC1O1面时，若恰好无电子运动到OCC1O1面，
则与金属板相连的电源电压U1是多少？
(2)当两块金属板分别放置在OABC 面和O1A1B1C1面时，若恰好有电子打在底部BC 的中点
Q，则与金属板相连的电源电压U2是多少？
(3)在（2）的基础上，设电子从发射器射出的速度与中线MP 的夹角为θ，求电子从M 点运
动到立体空间边缘的过程，电场力做功W 与θ 的函数关系。
训练4. 如图，在三维立体空间内有一个长
、宽
的长方体区域，长方体对
角平面
左侧有竖直向上的匀强磁场，大小
，右侧有竖直向下的匀强磁场，
大小
；一比荷
的带负电粒子从
轴上的
点以初速度
，
沿
轴正方向射入匀强磁场中，不计粒子重力，
，求∶
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（1）粒子在磁场
中的运动半径大小；
（2）粒子离开磁场的点距
边的距离的大小；
（3）粒子在磁场
和磁场
中运动的时间之比。
难点二 动态场与边界问题
o
例：磁场区域边界随时间变化，粒子在交变场中多次进出磁场，求总位移或运动时间。
o
关键点：利用几何关系确定每次进出磁场的轨迹半径和圆心角。
例题5. 如图所示，在y 轴左侧半径为R 的圆形区域（以x 轴上的P 点为圆心）内，有磁感
应强度大小为B1（未知）、方向垂直于xOy 平面向外的匀强磁场；紧靠着y 轴右侧宽度为
2R 的区域内，有电场强度大小分别为
和
，方向分别沿着y 轴正（y>0 区域）、
负方向（
区域）的匀强电场；电场右边界线a 与x 轴垂直相交于Q 点，边界线a 右侧
有方向垂直于xOy 平面向里的匀强磁场。现有两个质量均为m、电荷量分别为
、
（q>0）的带电粒子，分别从M、N 两点以大小均为v0、方向平行于y 轴的速度同时射入圆
形磁场中，并从同一点离开此圆形磁场，其中从M 点射入的粒子恰好能经右侧磁场到达Q
点，已知MP 与x 铀垂直，NP 与x 轴负方向的夹角为45°，圆形磁场边界与y 轴相切于O 点，
不计粒子重力及粒子间的相互作用。
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(1)求圆形区域内磁场的磁感应强度大小；
(2)求从N 点射入的粒子从右侧磁场返回电场经过边界线a 时的位置与Q 点的距离；
(3)若从N 点射入的粒子进入右侧磁场后，受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，该
粒子的运动轨迹呈螺旋状，并恰好能与该磁场左边界相切。求该粒子从射入该磁场到第一
次到达切点所用的时间。
训练5. 如图甲所示，xoy 平面内有两条平行直线MN、KL 相距为d，在两平行直线之间分
布着沿y 轴的匀强电场（图中未画出），在MN、KL 两侧分布着垂直xoy 平面的匀强磁场
（图中未画出）。
时刻，一质量为m，电荷量为q 的带正电粒子从O 点以初速度
垂直MN 进入电场，随后在电场和磁场的作用下在xoy 平面内运动，其速度可用图乙所示
的直角坐标系内一点
表示，
、
分别表示粒子速度在两个坐标轴上的分量。
在图乙中，粒子初始时P 点位于图乙中a 点
，随后粒子在电场作用下P 点沿线段移
动到b 点
，之后粒子离开电场进入磁场Ⅰ，P 点沿以O 为圆心的圆弧移动至c 点
，然后粒子再次回到电场中，P 点沿线段移动到d 点
，之后粒子再次离开电
场进入磁场Ⅱ，P 点沿以O 为圆心的圆弧回到a 点。此后P 点将沿图乙中的曲线
一直运动下去。已知任何相等的时间内P 点沿图乙中闭合曲线通过的
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曲线长度都相等，不计重力。求：
(1)
、KL 间的电场强度E 的大小和方向；
(2)磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度
和
的大小和方向；
(3)从O 点出发后带电粒子由电场进入磁场Ⅱ时经过x 轴的位置坐标和相应的时刻。
（建议用时：30 分钟）
1．在如图甲所示的平面直角坐标系中，虚线
和光屏
均平行于
轴，在
上方，
区域内有平行于
轴，持续周期性变化的匀强电场，电场强度随时间变化的关系
如图乙所示，电场强度的正方向与
轴的正方向相同。以
点为圆心，半径为
的
圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
；虚线
平行于
轴与磁
场边界相切于
点，
与磁场边界相切于
点，
和光屏间的距离为
，在
和光
屏之间有与
轴正方向夹角为
的匀强电场，电场强度大小未知。在坐标原点
处的粒
子源不停地发射质量均为
，电荷量均为
（
）的粒子，所有粒子的初速度大小相等，
方向均沿着
轴正方向，
时刻射出的粒子在
时刻经过
。不计粒子的重力和粒
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子间的相互作用。
(1)求粒子源在
时刻射出的粒子经过
时的纵坐标
；
(2)求
上有粒子经过的区域长度；
(3)求粒子在磁场中运动的最短时间；
(4)粒子击中光屏
时会发光并被立即吸收，测得光屏上发光区域的长度为
，这些粒子到
达光屏时的速度相比较，求其中速度的最大值。
2．有一研究粒子运动的设备，内部构造如图甲所示。电极
不断释放出带负电的粒子
（初速度为零，不计重力），经电压为
的
、
间电场加速后，能沿着
板的下边缘
射入正对的两极板
、
之间。当
、
两极未加电压时，测得粒子穿过两板间区域的
运动时间为
。已知
、
两板的板长和间距均为
，粒子打在极板上会被极板吸收，
不考虑极板电荷量的变化。
(1)求带电粒子的比荷；
(2)若
，粒子能否从两极板的右侧穿出？若不能穿出，计算出粒子落在
极板上
离
端的距离；若能穿出，计算出粒子射出板间时，在垂直于极板方向上的位移大小；
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(3)若
的变化如图乙所示，求哪些时刻射入的粒子恰好不碰到
板。
3．据中科院信息，我国第一台高能同步辐射光源（HEPS）将在2024 年年底辐射出第一束
最强“中国光”，届时可以发射比太阳亮1 万亿倍的光。HEPS 最重要的器件是电场直线加
速器，如图甲所示，由多个金属圆筒（分别标有奇偶序号）依次排列，圆筒分别和电压为
的交变电源两极相连，交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。
时，序号
为1 的圆筒（长度可以忽略）中央一个电子，在圆筒1、2 之间的电场中由静止开始加速，
沿中心轴线冲进圆筒2。电子在每个圆筒内做匀速直线运动的运动时间均为
。为了确保
在每个圆筒之间的间隙中都加速，圆筒长度的设计必须遵照一定的规律。若已知电子的质
量为
、电子电荷量为
、交流电周期为
。忽略电子的重力。
(1)若忽略电子通过每个圆筒间隙的加速时间，求相邻两个金属圆筒的长度之比
（
为圆筒的序号，
）；
(2)电子离开第5 个圆筒后从正中央水平射入偏转电场，如图丙所示。已知P、Q 两个平行
极板的长度为
、距离为。要使电子打不到极板上，求P、Q 两板间所加电压
的取值范
围。
4．中科院高能物理研究所利用电场约束带电粒子的运动，其简化模型如图1 所示，在
平面内的第一象限和第四象限加一沿y 轴正方向的匀强电场
（未知），一粒子发射源固
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定在坐标原点O，该装置可以沿x 轴正方向发射质量为m、电荷量为
的粒子P，粒
子的初速度均为
，刚好能过第一象限内的M 点，已知M 点的横坐标为L，不计粒子的重
力及粒子间相互作用。
(1)已知粒子P 过M 点时速度为
，求匀强电场的场强大小
和M 点的纵坐标；
(2)若将原来的匀强电场替换为另一交变电场，如图2 所示，场强为正值时表示电场方向沿
y 轴正方向，题干中其他条件均不变，
时刻从坐标原点射出的粒子P 仍能过M 点，求
图2 中
与
的比值。
5．上海光源是我国的重大科学装置。该装置中，电子经电场加速，进入波荡器做“蛇形”
运动，产生辐射光。电子的电荷量、质量
、初速度
均已知，不计相对论效应及辐射
带来的动能损失，忽略电子所受的重力。
(1)图甲为直线加速器简化模型，两加速电极中心有正对的小孔。为了使电子从右侧出射时
动能为
，求极板间的加速电压大小。
(2)图乙是波荡器简化模型，匀强磁场均匀分布在多个区域，水平面内沿轴线
方向每一
区域宽
，纵向尺寸足够大。各相邻区域内磁场方向相反并垂直于所示平面。在
点放置
一电子发射装置，使电子以速率，在所示平面内与轴线
成
的范围内均匀发
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散射出。若恰有75%的电子能从I 区域右边界射出。求I 区域磁感应强度大小。
(3)如图丙，电子在磁感应强度为
的匀强磁场中运动时，其轨迹上任意两点间存在规律：
。其中
、
为速度方向角，
为两点沿轴线方向的位移。图丁为更
接近波荡器真实情况的磁场（沿轴线水平向右为
轴正方向，垂直纸面向里为磁场正方
向），若电子从
点沿轴线向右射入，求
处电子速度方向。
6．如图（a）所示，在
空间有一圆形区域磁场，磁感应强度为
，方向垂直纸面向外，
圆与
轴相切于原点
，平行于
轴且与圆相切于
点的电场边界MN 下方有沿
轴正方
向的匀强电场，在
空间有垂直纸面的随时间周期性变化的磁场
随时间变化如图
（b）所示，其中
已知，垂直纸面向外为正方向。足够长的挡板PQ 垂直于
轴放置，挡
板可沿
轴左右平移。质量为
，电荷量为
）的粒子从电场中的
点以速度
沿
轴正方向进入匀强电场，并从
点进入圆形区域磁场，接着从原点
进入第一象限（此时
）。已知
两点沿
轴方向的距离为
，沿
轴方向的距离为
，不计粒子重力，
不考虑磁场变化产生的感应电场。求：
(1)匀强电场的电场强度
；
(2)粒子在圆形区域磁场内的运动时间
；
(3)若粒子恰好能垂直击中挡板，则挡板距离
轴的距离
应满足的关系。
7．如图甲所示，三维坐标系中，yOz 平面的右侧存在平行z 轴方向周期性交化的磁场B
（图中未画出）和沿y 轴正方向竖直向上的匀强电场E。有一个质量为m、电荷量为q 的带
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正电的高能微粒从xOy 平面内的P 点沿x 轴正方向水平射出，微粒第一次经过x 轴时恰好
经过O 点，此时速度大小为v0，方向与x 轴正方向的夹角为45°。已知电场强度大小
，从微粒通过O 点开始计时，磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示，已知
，
，规定当磁感应强度沿z 轴正方向时为正，重力加速度大小为g。
（1）求抛出点P 到x 轴的距离y；
（2）求微粒从通过O 点开始做周期性运动的周期T；
（3）若
时撤去yOz 右侧的原电场和磁场，同时在整个空间加上沿y 轴正方向
的匀强磁场，求微粒向上运动到离xOz 平面最远时的坐标。
8．如图所示，空间直角坐标系
内存在直四棱柱空间区域，四棱柱的截面
与
、
两个底面平行，其中N 点的坐标为（1.5L，0，0），M 点的坐标为（0，
2L，0），D 点的坐标为（0，0，L），H 点的坐标为（0，0，
）。四棱柱
空间内有沿z 轴负方向的匀强电场，
空间内有沿z 轴正方向
的匀强磁场。质量为m、电荷量为
的粒子以速度
从D 点沿
方向射入电场，经电场
偏转在
的中点Q 进入匀强磁场，调整磁感应强度的大小，使粒子恰好未从四棱柱的侧
面飞出，不计粒子重力。求：
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(1)电场强度的大小E；
(2)粒子在磁场中运动的时间t 及磁感应强度的大小B；
(3)粒子在
面出射点的坐标。
9．利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图1 所示，
平面左
侧存在沿y 轴负方向的匀强电场，右侧存在沿x 轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷
量为q 的带正电的粒子，从
点以初速度
、沿着x 轴正方向射入电场，恰好
从O 点进入磁场，再次从
点通过x 轴，不计粒子的重力。
(1)求匀强电场的电场强度大小E 和匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)从O 点进入磁场运动时间为
时，求粒子的位置坐标；
(3)如图2 所示，若在
平面左侧再加垂直
平面向里的匀强磁场，将上述带正电粒子
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从
点以初速度
、沿着x 轴正方向射入电磁场，运动轨迹恰好与
x 轴负半轴相切。求所加匀强磁场的磁感应强度大小
。
10．如图所示，在x − y − z 三维坐标系的空间，在x 轴上距离坐标原点x0 = 0.2 m 处，垂
直于x 轴放置一足够大的感光片。在x ≥ 0 空间存在着沿y 轴正方向的匀强电场，电场强度
大小E = 8.0 × 102 V/m。现有一带正电的微粒从O 点沿x 轴正方向射入该空间。微粒所带
电荷量q = 1.6 × 10−16 C，质量m = 3.2 × 10−22 kg。
(1)若微粒初速度v0 = 2.0 × 104 m/s，求微粒打在感光片上的点到x 轴的距离；
(2)若在该空间再添加一个沿y 轴正方向的匀强磁场，磁场强度大小为0.1 T。微粒以不同大
小的初速度从O 点沿x 轴正方向射入。求：该微粒打在感光片上的位置到x 轴的最大距离
（结果保留两位有效数字）。
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