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专题12 磁偏转模型中的关键几何条件
目录
一．磁偏转的基本规律..............................................................................................................................................1
二．带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动的常见几何图形..............................................................................1
类型(一) 直线边界的磁场...............................................................................................................................1
类型(二) 平行直线边界的磁场....................................................................................................................... 2
类型(三) 三角形边界的磁场...........................................................................................................................2
类型(四) 矩形边界的磁场...............................................................................................................................2
类型(五) 圆形边界的磁场...............................................................................................................................3
类型六 带电粒子在匀强磁场中运动的多解图景............................................................................................3
一．磁偏转的基本规律
1．带电粒子垂直射入匀强磁场中，洛伦兹力提供向心力：
(1)向心力公式：qvB＝。
(2)半径公式：r＝。
(3)周期公式：T＝。
2．对带电粒子在匀强磁场中运动的两点提醒：
(1)带电粒子在匀强磁场中运动时，若速率变化，引起轨道半径变化，但运动周期并不发生变化。
(2)微观粒子在发生碰撞或衰变时常满足系统动量守恒，但因m、q、v 等的改变，往往造成轨道半径和运动
周期的改变。
二．带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动的常见几何图形
类型(一) 直线边界的磁场
1．粒子进出直线边界的磁场时，常见情形如图所示：
2．带电粒子(不计重力)在直线边界匀强磁场中运动时具有两个特性：
(1)对称性：进入磁场和离开磁场时速度方向与边界的夹角相等。
(2)完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的半径相等而且两个圆
弧轨迹恰好构成一个完整的圆，两圆弧所对应的圆心角之和等于2π。
类型(二) 平行直线边界的磁场
1．粒子进出平行直线边界的磁场时，常见情形如图所示：
1
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2．粒子在平行直线边界的磁场中运动时存在临界条件，如图a、c、d 所示。
3．各图中粒子在磁场中的运动时间：
(1)图a 中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝。
(2)图b 中粒子在磁场中运动的时间t＝。
(3)图c 中粒子在磁场中运动的时间
。
(4)图d 中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝。
类型(三) 三角形边界的磁场
带电粒子在三角形边界的磁场中运动时常常涉及临界问题。如图所示，正△ABC 区域内有匀强磁场，
某正粒子垂直于AB 方向从D 点进入磁场时，粒子有如下两种可能的临界轨迹：
(1)粒子能从AB 边射出的临界轨迹如图甲所示。
(2)粒子能从AC 边射出的临界轨迹如图乙所示。
类型(四) 矩形边界的磁场
带电粒子在矩形边界的磁场中运动时，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题，如图所示。
类型(五) 圆形边界的磁场
带电粒子在圆形边界的磁场中运动的两个特点：
(1)若粒子沿着边界圆的某一半径方向射入磁场，则粒子一定沿着另一半径方向射出磁场(或者说粒子射出
磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心)，如图甲所示。
2
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(2)若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径
夹角一定也为θ，如图乙所示。
类型六 带电粒子在匀强磁场中运动的多解图景
1 带电粒子的电性不确定形成多解
如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度
下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v 垂
直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。
2 磁场方向不确定形成多解
有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不
确定而形成的多解。
如图所示，带正电粒子以速率v 垂直进入匀强磁场，若B 垂直纸面向里，其轨迹为
a；若B 垂直纸面向外，其轨迹为b。
3 临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下在有界磁场中运动时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也
可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图所示。
4 运动的周期性形成多解
带电粒子在组合场或交变场中运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。
【模型演练1】（2024·四川内江·四川省资中县球溪高级中学校考模拟预测）如图所示，在0≤x≤7d 的区域
内存在垂直xOy 平面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。一带电粒子从坐标原点O 与x 轴正方向成θ=
53°垂直磁场射入，从磁场右边界上点P（7d，d）离开。已知粒子的质量为m，带电量为q，重力不计，取
sin53°= 0.8，cos53°=0.6.下列说法正确的是（ ）
3
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A．该带电粒子带正电
B．粒子的发射速度大小为
C．粒子从P 点射出时的速度方向与x 轴正方向的夹角为37°
D．若只改变粒子的入射方向，则粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】BC
【详解】A．根据粒子轨迹的方向结合左手定则知，带电粒子带负电，故A 错误；
B．根据题意画出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，做入射速度的垂线，连接OP 作中垂线，两线相交与
A 点，A 点即为轨迹的圆心，设OP 与x 轴夹角为α，由几何关系有
，
所以得到
4
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由牛顿第二定律得
得
故B 正确；
C．根据以上分析知
故
设粒子射出磁场的速度与x 轴正向夹角为β，速度的偏转角与粒子运动轨迹所对应的圆心角相等，由几何
关系可知出射速度方向与x 轴的夹角为37°，故C 正确；
D．由于
故粒子在磁场中不能完成半个圆周运动，运动时间不能达到
，若改变粒子的入射方向，在磁场中
运动时间半个周期对应的粒子的入射速度方向是沿着y 轴正方向进入磁场的粒子，此时粒子在磁场中运动
的时间
，故D 错误。
故选BC。
【模型演练2】．（2023 上·四川资阳·高三统考期末）如图所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的
宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量为q 的粒子，沿图示方向以速
度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由R=
知，粒子的入射速度v0越大，R 越大，当粒子的径迹
和边界QQ′相切时，粒子刚好不从QQ′射出，此时其入射速度v0应为最大。若粒子带正电，其运动轨迹如
图a 所示（此时圆心为O 点），根据几何关系有
R1cos45°＋d=R1
且
R1=
联立解得
v0=
若粒子带负电，其运动轨迹如图b 所示（此时圆心为O′点），根据几何关系有
R2＋R2cos45°=d
且
R2=
联立解得
6
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v0=
故选BC。
【模型演练3】．（2023 上·高三课时练习）长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，
磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电，现有质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），
从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是
（ ）
A．使粒子的速度v＜
B．使粒子的速度v＞
C．使粒子的速度v＞
D．使粒子的速度v 满足
＜v＜
【答案】AB
【详解】若带电粒子刚好打在极板右边缘，有
又因
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解得
若粒子刚好打在极板左边缘时，有
解得
欲使粒子不打在极板上，使粒子的速度
或者
。
故选AB。
【模型演练4】（2024 上·河南信阳·高三统考期末）如图所示，相距为
、足够长的直线边界
、
之
间有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为
。磁场左边界上
点处有一个粒子源，
直线垂直于边
界。某一时刻粒子源向磁场内沿纸面发射出大量质量为
、电荷量为
的粒子（此后不再发射粒子），
所有粒子的速率相同，方向与左边界的夹角分布在
范围内。已知沿
方向发射的粒子甲刚好从磁
场边界上
点离开磁场。不计粒子的重力，
到
的距离为
。求：
（1）匀强磁场的方向及粒子在磁场中做圆周运动的半径
；
（2）粒子甲出磁场时还在磁场中的粒子到
点的最近和最远距离（可用根式表示）
（3）从粒子甲出磁场到全部粒子离开磁场所用的时间。
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【答案】（1）方向垂直纸面向外，
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）由粒子偏转方向及左手定则知：磁场方向垂直纸面向外，粒子甲的轨迹如图甲，由几何关
系得
解得
（2）依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到
点距离相同，仍在磁场中的粒子应位于以
点为圆心、
为半径的弧
上，如图乙所示，则恰经过
边界上
点的粒子离
点最近，由几何关系知
恰经过
边界上
点的粒子离
点最远
由几何关系知
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解得
（3）设粒子在磁场中做圆周运动的周期为
，则有：
则
粒子甲在磁场中运动的时间
在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图丙所示。
由几何关系可知，粒子轨迹对应的圆心角为
，在磁场中运动时间为
则从甲粒子出磁场到全部粒子离开磁场所用的时间：
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解得
一、单选题
1．（2024 上·江苏南京·高三南京师大附中校考期末）如图所示，OACD 是一长为
的矩形，其内存
在垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、带电量为q 的粒子从О 点以速度
垂直射入磁场，速度方向与
OA 的夹角为
，粒子刚好从A 点射出磁场，不计粒子的重力，则（ ）
A．粒子一定带正电
B．矩形磁场的宽度最小值为
C．粒子从О 到A 所需的时间为
D．匀强磁场的磁感应强度为
【答案】D
【详解】A．由左手定则可知，粒子一定带负电，选项A 错误；
B．轨迹半径
矩形磁场的宽度最小值为
选项B 错误；
C．粒子从О 到A 所需的时间为
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选项C 错误；
D．根据
可得匀强磁场的磁感应强度为
选项D 正确。
故选D。
2．（2024 上·湖北襄阳·高三校联考期末）如图，在半径为
的半圆内有垂直纸面向外的匀强磁场，半径
与半径
的夹角为
。现有一对质量和电荷量均相等的正、负粒子，从
点沿
方向射入磁场中，
一个从A 点离开磁场，另一个从
点离开磁场。粒子的重力及粒子间的相互作用力均不计，则下列说法中
正确的是（ ）
A．从A 点射出磁场的是带正电的粒子
B．正、负粒子在磁场中运动的速度大小之比为
C．正、负粒子在磁场中运动的时间之比为
D．正、负粒子在磁场中运动的周期之比为
【答案】C
【详解】A．由左手定则知A 点射出的粒子带负电，故A 错误；
B．如图
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作出正、负电荷圆心分别为O1、O2 ，由几何关系得
根据牛顿第二定律
解得
故
故B 错误；
CD．周期
两圆心角之比为
联立解得
故C 正确，D 错误。
故选C。
3．（2024 上·山西朔州·高三统考期末）如图所示，与
轴的夹角为
的直线
将
平面的第一象限
分成两个区域Ⅰ、Ⅱ，Ⅰ区域内存在磁感应强度大小为
、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场，Ⅱ区域为
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真空。在
时刻，一质量为
、电荷量为
的粒子，以速度从点
沿
轴正方向垂直磁场进入Ⅰ
区域；在
时刻，撤去磁场，最终粒子恰好沿两个区域的分界线
运动且通过
点.不计粒子的重力及空
气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子在磁场中运动的半径为
B．在
时刻，撤去磁场
C．带电粒子在第一象限运动的时间为
D．带电粒子通过
点时的速度大小为
【答案】C
【详解】A．设带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，其运动轨迹如图所示
根据几何知识有
解得
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故A 错误；
B．带电粒子在磁场中做圆周运动的周期
撤去磁场的时刻
故B 错误；
C．带电粒子在第一象限运动的时间
故C 正确；
D．由于洛伦兹力不做功，故带电粒子通过O 点时的速度大小为v，故D 错误。
故选C。
4．（2024 上·海南海口·高三海南中学校考期末）如图，坐标原点O 有一粒子源，能向坐标平面一、二象
限内发射大量质量为m、电量为q 的正电粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在
，半
径为R 的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．磁场右侧有一长度为R，平
行于y 轴的光屏，其中心位于
。已知初速度沿y 轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，
则（ ）
A．粒子速度大小为
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B．所有粒子均能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x 轴夹角满足
【答案】C
【详解】A．因为初速度沿y 轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，可知在磁场中的运动半径
为R，则根据
解得
选项A 错误；
B．画出任意粒子从O 点射出时的轨迹如图，由几何关系可知，四边形OO1PO2为菱形，则PO2平行y 轴，
则从磁场中射出的粒子垂直于y 轴，即凡是能射到屏上的粒子均能垂直射在光屏上，但是并不是所有粒子
都能射到屏上，选项B 错误；
C．达到屏的最上端的粒子在磁场中运动的时间最长，由几何关系可知
在磁场中运动的圆心角为120°，则最长时间为
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选项C 正确；
D．由几何关系可知，能射在光屏上的粒子初速度方向与x 轴夹角满足
，选项D 错误。
故选C。
5．（2024 上·湖南邵阳·高三统考期末）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界
如图中虚线所示，
为半圆，ac，bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆半径的
。一束质量为m、电
荷量为
的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相
互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据牛顿第二定律和圆周运动规律有
可得粒子做匀速圆周运动的周期为
如图所示，过c 点做半圆边界的切线，切点为e。设半圆边界的圆心为O，粒子运动轨迹的圆心为O′。根
据几何关系可知，当粒子从e 点射出时，粒子转过的圆心角最大，运动时间最长，设
，则
可得
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所以
即粒子转过的圆心角为254°，可得运动时间为
故选B。
6．（2024 上·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）如图（a）是一种防止宇宙射线危害字航员的装置，在
航天器内建立半径分别为R 和
的同心圆柱，圆柱之间加上沿轴向方向的磁场，其横截面如图（b）所
示。宇宙射线中含有大量的质子，质子沿各个方向运动的速率均为
，质子的电荷量为e、质量为m。下
列说法中正确的是（ ）
A．若沿任何方向入射的质子都无法进入防护区，则磁感应强度大小至少为
B．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则磁感应强度大小为
C．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则该情况下质子从进入磁场到离开磁场的总时
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间为
D．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则该情况下质子在磁场中的轨迹对应的圆心角
为60°
【答案】A
【详解】A．为使所有速度为v0的粒子都不进入防护区，半径最大的粒子轨迹如图
则粒子的半径最大为
由洛伦兹力提供向心力
解得磁感应强度至少为
故A 正确；
BCD．设正对防护区圆心入射的质子的轨迹半径为r，粒子运动轨迹如图
由几何关系得
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解得
由洛伦兹力提供向心力得
解得
则
质子在磁场中的轨迹对应的圆心角为120°，质子从进入磁场到离开磁场的总时间为
故BCD 错误。
故选A。
7．（2024·河南·统考一模）2023 年4 月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装置创造了新的
世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为
和
的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强
磁场，磁场方向垂直纸面向里，
。假设氘核
沿内环切线向左进入磁场，氚核
沿内环切线向
右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则
和
的速度之比为（
）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【详解】由题意可知，根据左手定则，作图如图所示
由几何关系可知，氘核
的半径为
，有
则
由几何关系可知，氚核
的半径为
，有
则
即
由洛伦兹力提供向心力
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可得
由题意可知，氘核
和氚核
的比荷之比为
故
和
的速度之比为
故选A。
8．（2024 上·四川攀枝花·高三统考期末）如图所示，水平直线边界
的上方空间内有方向垂直纸面向外、
磁感应强度大小为
的匀强磁场，长为
、与
平行的挡板
到
的距离为
，边界
上的点处
有一电子源，可在纸面内向
上方各方向均匀的发射电子。已知电子质量为
、电荷量为，速度大小均
为
，N、S 的连线与
垂直，不计电子之间的作用力，则挡板
的上表面没有被电子击中部分的长
度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
22
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得
做出粒子从不同方向射出的 轨迹，如图
则挡板
的上表面被电子击中部分为CD，根据几何关系可得
所以没有被电子击中部分的长度为
故选D。
9．（2024 上·河北保定·高三河北省保定市清苑区清苑中学校考期末）如图所示，边长为
的正方形
区域内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为
、带电量为
的带负电的粒子从
点以速度
沿
方向射入磁场，之后从
边的中点射出磁场，不计粒子的重力，磁场的磁感应强度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】粒子在磁场中的运动轨迹如图所示
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根据几何关系可得
解得
由洛伦兹力提供向心力可得
解得磁场的磁感应强度大小为
故选B。
10．（2023 上·河北邢台·高二校联考期中）如图所示，边长为L 的等边三角形ABC 内有垂直于纸面向里、
磁感应强度大小为
的匀强磁场，D 是AB 边的中点，一质量为m、电荷量为
的带电的粒子从D
点以速度v 平行于BC 边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子可能从B 点射出
B．若粒子垂直于BC 边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为
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C．若粒子从C 点射出，则粒子在磁场中运动的时间为
D．若粒子从AB 边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短
【答案】C
【详解】A．带负电的粒子从D 点以速度v 平行于BC 边方向射入磁场，由左手定则可知，粒子向下偏转，
由于BC 边的限制，粒子不能到达B 点，故A 错误；
B．粒子垂直于BC 边射出，如图甲所示
则粒子做匀速圆周运动的半径等于D 点到BC 边的距离，即
故B 错误；
C．粒子从C 点射出，如图乙所示
根据几何关系可得
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解得
则粒子轨迹对应的圆心角的正弦值为
则
粒子在磁场中运动的时间为
故C 正确；
D．由
，可知
若粒子从AB 边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图丙所示
粒子从AB 边射出时的圆心角相同，其在磁场中运动的时间相同，故D 错误。
故选C。
11．（2023 上·辽宁大连·高二统考期末）地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围
地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O 为地球球心、R 为地球半径，假设地磁场只分
布在半径为R 和2R 的两边界之间的圆环区域内（边界上有磁场），磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面
向外。宇宙射线中含有一种带电粒子，其质量为m、电荷量为q，忽略引力和带电粒子间的相互作用，下
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列说法正确的是（ ）
A．从A 点沿垂直地面方向射入的该种粒子，速率为
的粒子可达到地面
B．从A 点沿垂直地面方向射入的该种粒子，速率为
的粒子可达到地面
C．从A 点沿平行地面方向射入的该种粒子，速率为
的粒子可达到地面
D．从A 点沿平行地面方向射入的该种粒子，速率为
的粒子可达到地面
【答案】C
【详解】AB．从A 点沿垂直地面方向射入的该种粒子，轨迹与地面相切时，根据几何关系可知
根据
解得到达地面最小速度
故AB 错误；
CD．从A 点沿平行地面方向射入的该种粒子，到达地面最小轨迹半径
对应最小速度
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最大轨迹半径
对应最大速度
故C 正确D 错误。
故选C。
12．（2024 上·云南曲靖·高二统考期末）如图所示，半径为R 的圆形区域内存在一垂直于纸面向外的匀强
磁场，粒子源M 位于磁场边界上，可平行于纸面沿各个方向向磁场区域内射入速率均为v 的同种带正电的
粒子，在磁场中运动时间最长的粒子速度方向偏转了
。已知粒子的质量为m、电荷量为q，不计粒子
重力及粒子之间的相互作用。则匀强磁场的磁感应强度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】如图所示
28
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设圆形磁场区域圆心为O，过O 点作直径
的垂线，与过M 点速度方向的垂线交于
点，
即粒子轨
迹的圆心，已知粒子速度偏转角为
，故轨迹圆心角为
，可知
，由几何关系可知粒子
轨迹半径
由洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
故选B。
13．（2023·云南·统考二模）如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为R 的圆形磁场区域，磁感应强度的
大小为B，方向垂直于纸面向里。由距离O 点
处的P 点沿着与
连线成
的方向发射速率大小
不等的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力且不考虑电子间的相互作用。为使电子
不离开圆形磁场区域，则电子的最大速率为（ ）
29
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图
当电子的运动轨迹与磁场边界相切时，根据
得
电子运动半径最大，速度最大。电子圆周运动的圆心与圆形磁场的圆心以及切点共线，过电子圆周运动的
圆心做OP 的垂线，由几何关系得
得
则最大速率为
故选C。
二、多选题
14．（2023 上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期末）边长为a 的正三角形区域存在匀强磁场，磁场方
向垂直三角形平面，磁感应强度大小为B，在三角形中心有一个粒子源，在三角形平面内
时刻向各个
方向均匀一次性发射速率大小相等的同种粒子，粒子的电量为
，质量为m，与边AB 平行向左射出的粒
子，经过t 时间刚好垂直于AB 边射出磁场边界，下列说法正确的是（ ）
30
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A．粒子在磁场中的运动周期为2t
B．粒子在磁场中运动的最短时间为
C．t 时刻仍在磁场中运动的粒子数与发射出粒子的总数之比为
D．
时间内在磁场中有粒子达到区域的面积为
【答案】BCD
【详解】A．与边AB 平行向左射出的粒子，经过t 时间刚好从AB 边离开磁场边界，所以粒子向下偏转根
据左手定则可知，磁场方向垂直直面向里，且正好偏转
周期，所以粒子在磁场中的运动周期为4t，如图
故A 错误；
B．由数学知识可得正三角形中点O 到三边的距离
粒子从正三角形边的中点射出时，粒子在磁场中运动的时间最短，粒子偏转的圆心角
最短时间
故B 正确；
31
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C．在三角形中心的粒子源，同时向各个方向均匀发射速率大小相等的同种粒子，当速度方向在阴影部分
出射时（见下图），t 时刻还在磁场内，由几何关系可知每块阴影部分初速度最大夹角为30°，则t 时刻仍
在磁场中运动的粒子数与发射出粒子的总数之比为
故C 正确；
D．以O 为圆心，OE 为半径画圆，如图所示
由几何关系可知，圆与三角形重合部分为有粒子到达的地方，其中
圆与三角形外侧扇形面积为
则
时间内在磁场中有粒子达到区域的面积为
32
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故D 正确。
故选BCD。
15．（2024·陕西西安·校考一模）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，边界
分别是半径为R 和2R 的同心圆，O 为圆心。在圆心O 处有一粒子源（图中未画出），在纸面内沿各个方
向发射出比荷为
的带负电的粒子，速度连续分布且粒子间的相互作用力可忽略不计，这些带电粒子受到
的重力也可以忽略不计，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。若所有的粒子都不能射出磁场，则下列说法正确的
是（ ）
A．粒子速度的最大值为
B．粒子速度的最大值为
C．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为
（不考虑粒子再次进入磁场
的情况）
D．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为
（不考虑粒子再次进入磁场的
情况）
【答案】AC
【详解】AB．根据洛伦兹力提供向心力
可得粒子的运动半径为
可知粒子速度最大时，运动半径最大，做出粒子的运动轨迹如图所示。
33
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根据几何关系有
联立解得
，
故A 正确，B 错误；
CD．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，即粒子速度最大时，根据几何关系有
解得
其在磁场中运动的时间为
故C 正确，D 错误。
故选AC。
16．（2024 上·山西大同·高三统考期末）圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，O 为其圆心，
、
和
为其三条直径，其中
和
的夹角
，两个比荷大小相等，带有异种电荷的粒子
和
先后在
a 点沿
的连线方向以不同的初速度射入磁场，分别从c 点和d 点离开磁场，两粒子在磁场中的运动半径
分别为
和
，运动时间分别为
和
，不计粒子重力，以下说法正确的是（ ）
34
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A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】AB．粒子沿半径入射必沿半径出射，作辅助线如图所示
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
其周期有
设圆心角为
，在磁场中运动时间有
整理有
35
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因为
，可得两个粒子入射时的弦切角分别为
，
，因为圆心角等于圆周角一半，可以
知道从c 点射出的粒子的偏转角为106°，同理，从d 点射出的粒子的偏转角为74°，又因为粒子的比荷相
同，所以两粒子的周期相同，则
故A 正确，B 错误；
CD．结合上述分析，以及几何关系，由几何关系可得半径之比为
故C 错误，D 正确。
故选AD。
17．（2024 上·安徽芜湖·高二统考期末）如图所示，等腰直角三角形
区域内（包含边界）有垂直纸面
向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为
，在
的中点
处有一粒子源，沿与
平行的方向发射速率不
同，质量为
，电荷量为
的带负电粒子，已知这些粒子都能从
边离开
区域，
，不计粒子重
力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．速度的最大值为
B．速度的最大值为
C．在磁场中运动的最长时间为
D．在磁场中运动的最长时间为
【答案】AD
【详解】粒子从ab 边离开磁场时的临界运动轨迹如图所示
36
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AB．设粒子最大轨迹半径为
，由图中几何关系可得
解得
根据洛伦兹力提供向心力可得
可得速度的最大值为
故A 正确，B 错误；
CD．由图可知粒子在磁场中运动轨迹对应的最大圆心角为
，则粒子在磁场中运动的最长时间为
故C 错误，D 正确。
故选AD。
18．（2024 上·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）如图所示，在荧光板MN 的上方分布了水平方向的匀强
磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。距荧光板距离为d 处有一粒子源S。能够在纸面内不断均
匀地向各个方向发射速度大小为
、电荷量为q、质量为m 的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒
子源发射粒子的总个数为N，则（ ）
37
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A．从粒子源出发到板的最短时间为
B．同一时刻发射的粒子打到荧光板上的最大时间差为
C．粒子能打到板上的区域长度为2d
D．打到板上的粒子数为
【答案】BD
【详解】A．在磁场中运动时间最长和最短的粒子运动轨迹示意图如下，粒子做整个圆周运动的周期
由几何关系可知最短时间
故A 错误；
B．粒子在磁场中最长时间
故B 正确；
C．粒子运动的半径
38
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粒子运动到绝缘板的两种临界情况如图：设SC 垂直于MN 与MN 交于C 点，由几何关系可知，左侧最远
处与S 之间的距离恰好是圆的直径，则左侧最远处A 离C 距离为
，右侧离C 最远处为B，距离为d，
所以粒子能打在板上的区域长度是
，故C 错误；
D．当向垂直于板竖直方向左侧发射时，均可打到板上，而向垂直于板竖直方向右侧发射时，均打不到板
上，所以打到板上的粒子数为
，故D 正确。
故选BD。
19．（2024 上·山西阳泉·高三统考期末）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，磁感应强度为
B，筒上P 点开有一个小孔，过P 的横截面是以O 为圆心的圆，圆的半径为R。如图所示，一质量为m、
电荷量为q 的粒子从P 点沿PO 方向射入，与筒壁发生碰撞后反弹。假设粒子每次碰撞前、后动能不变，
碰撞时间极短，电荷量不变，重力不计。下列说法正确的是（ ）
A．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
B．粒子能从小孔射出的最短时间为
C．调节射入小孔时粒子速度大小，粒子运动轨迹可能通过圆心
D．从小孔射出的粒子的速度大小可能超过
【答案】BD
【详解】A．速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数会可能增多，粒子运动时间不一定减少，A
39
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错误；
B．如图所示
由题意可知粒子射出磁场以后的圆心组成的多边形应该为以筒壁的内接圆的多边形，最少应该为三角形，
如上图所示，最少经过2 次碰撞，粒子就可能从小孔射出，由周期公式知
则运动时间为
B 正确；
C．假设粒子运动过程过O 点，则过P 点的速度的垂线和OP 连线的中垂线是平行的不能交于一点确定圆
心，由圆形对称性撞击筒壁以后的A 点的速度垂线和AO 连线的中垂线依旧平行不能确定圆心，则粒子不
可能过圆心O。C 错误；
D．如图所示
当速度为
时
40
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由几何关系知，半径越大，粒子轨迹越接近O 点
（
）
解得
当
小于
时，从小孔射出的粒子的速度大小可能超过
。D 正确；
故选BD。
20．（2024·安徽·统考一模）如图所示，圆形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸
面向里。质量为m、电荷量为q 的带电粒子由A 点沿平行于直径
的方向射入磁场，经过圆心O，最后
离开磁场。已知圆形区域半径为R，A 点到
的距离为
，不计粒子重力。则（ ）
A．粒子带负电
B．粒子运动速率为
C．粒子在磁场中运动的时间为
D．粒子在磁场中运动的路程为
【答案】AD
【详解】A．由于粒子经过圆心O，最后离开磁场，可知，粒子在A 点所受洛伦兹力向下，根据左手定则，
四指指向与速度方向相反，可知，粒子带负电，故A 正确；
B．由于圆形区域半径为R，A 点到
的距离为
，令粒子圆周运动的半径为r，根据几何关系有
解得
41
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粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
故B 错误；
C．根据上述，作出运动轨迹，如图所示
由于圆形区域半径为R，A 点到
的距离为
，根据上述，粒子圆周运动的半径也为R，则
与
均为等边三角形，则轨迹所对应的圆心角为
，粒子圆周运动的周期
则粒子在磁场中运动的时间为
故C 错误；
D．结合上述可知，粒子在磁场中运动的路程为
故D 正确。
故选AD。
21．（2024·云南昆明·统考一模）如图所示，边长为L 的等边三角形
区域外存在垂直于
所在平面向
42
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里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P、Q 两点分别为
边的三等分点。
时刻，带负电的粒子在
平面内以初速度
从a 点垂直于
边射出，从P 点第一次进入三角形
区域。不计粒子重力，下列说法
正确的是（ ）
A．粒子的比荷为
B．粒子可以运动到Q 点
C．粒子第一次到达c 点的时间为
D．粒子第一次回到a 点的时间为
【答案】AD
【详解】A．粒子在磁场中的轨迹如图所示
由图可知，粒子的轨迹半径为
根据洛伦兹力提供向心力
解得
43
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故A 正确；
B．由图知，粒子不能运动到Q 点，故B 错误；
C．粒子从a 点到P 点的时间
粒子从P 点到M 点的时间
粒子从M 点到c 点的时间
粒子第一次到达c 点的时间为
故C 错误；
D．由图可知，粒子第一次回到a 点相当于3 个从a 到c 的时间，则所用的时间为
故D 正确。
故选AD。
22．（2023 上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，在
的区域内存在与
平
面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为
。一束速率等于
的相同带电粒子从原点
发射，速度方向与
轴正方向的夹角等概率的分布在
范围内。其中，沿
轴正方向发射的粒子从磁场右边界上的
点
（图中末标出）离开磁场，其偏向角为
。不计粒子间相互作用和重力，下列说法正确的是（ ）
44
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A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
B．带电粒子的比荷为
C．带电粒子在磁场中运动的最长时间为
D．能从右边界射出的粒子占总粒子数的
【答案】AC
【详解】A．根据题意作出沿
轴正方向发射的带电粒子在磁场中做圆周运动的运动轨迹如图甲所示，圆
心为
，根据几何关系
可知粒子做圆周运动的半径为
故A 正确；
B．由
故B 错误；
C．在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图乙所示，由几何知识得该粒子做圆周运动的圆心角为
，
在磁场中的运动时间
45
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故C 正确；
D．结合甲乙两图可知，能从右边界射出的粒子的速度方向与
轴正方向的夹角等概率的分布在
范
围内，占总粒子数的
，故D 错误。
故选AC。
三、解答题
23．（2024 上·河南信阳·高二统考期末）如图所示，在第一象限内存在着垂直纸面向里的匀强磁场。一个
质量为
、电荷量为
的带电粒子从
轴上的
点垂直磁场射入，射入时速度方向与
轴的夹角为
，并
恰好垂直于
轴射出第一象限。已知磁场磁感应强度大小为
，
点的坐标为
，不计重力。求：
（1）射出点的坐标；
（2）粒子在磁场中运动的时间。
【答案】（1）
；（2）
46
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【详解】（1）根据题意，带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，设圆周运动半径为
由几何关系可得
解得
则射出点的坐标为
（2）粒子在磁场中运动的周期为
粒子在磁场中运动的时间为
解得
24．（2024 上·湖北十堰·高二统考期末）如图所示，有一个磁感应强度
、方向垂直纸面向里的范
围足够大的匀强磁场，在磁场中的O 点有一个粒子源，能向纸面内各个方向连续不断地均匀发射速率
、比荷
的带正电粒子，
是竖直放置且厚度不计的挡板，
足够长，
挡板的P 端与O 点的连线跟挡板垂直，带电粒子受到的重力以及粒子间的相互作用力忽略不计，
（1）为了使带电子不打在挡板上，粒子源到挡板的距离d 应满足什么条件？
（2）若粒子源到挡板的距离
，且已知沿某一方向射出的粒子恰好紧挨P 点通过，再过一段时间后
47
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最终又打在挡板上，求这个粒子从O 点射出时的速度与
连线的夹角；
（3）若粒子源到挡板的距离
，求粒子打到挡板左、右表面上的长度的比值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得
解得
粒子能打在挡板上的临界情形如图所示，所以为了使粒子不打在挡板上
d 应满足
（2）如图乙所示，设粒子的速度方向与
连线的夹角为
（偏右下方）时，粒子恰好经过挡板的P 点后
最终又打在挡板右侧的N 点。由图形的几何关系可知：
为直角三角形，所以
为粒子做圆周运动
的直径，由于
所以由几何关系可得
（3）粒子打在挡板左、右表面的示意图如图所示
48
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由图可知，粒子打到挡板左表面的长度
粒子打到挡板右表面的长度
故粒子打到挡板左、右表面上的长度的比值
25．（2024 上·湖南常德·高三统考期末）如图所示，一质量为m、带电荷量为-q 的粒子，以速度v0从O 点
沿y 轴正方向射入磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，粒子飞出磁场区域后，
从b 点处穿过x 轴，速度方向与x 轴正方向的夹角为
，并进入场强为E、方向沿x 轴正方向的匀强电场
中，之后通过了b 点正下方的c 点（图中未画出），不计粒子重力。求：
（1）b 点与O 点的距离；
（2）圆形匀强磁场区域的最小半径；
（3）b 点到c 点的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
49
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【详解】（1）做b 点速度方向的反向延长线，交
轴于
点，再做
的角平分线，交
轴于
点，
即为粒子做圆周运动轨道的圆心，
即为粒子做圆周运动轨道的半径，运动轨迹交
于a 点，如图
所示
设粒子再磁场中做圆周运动的轨道半径为
，由洛伦兹力充当向心力有
解得
又根据几何关系可得
则
的距离为
（2）最小的圆形磁场区域是以
为直径的圆，如图中阴影部分。设最小的磁场区域半径为，则根据几
何关系有
解得
（3）由牛顿第二定律可得带电粒子在电场中的加速度
50
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将速度沿着
轴正方向和
轴负方向分解，可得两个分速度大小分别为
，
由
轴方向做匀变速直线运动可求得时间为
由
轴方向做匀速直线运动可求得
间的距离
26．（2024·全国·模拟预测）在如图所示的圆形区域内存在着垂直于纸面的匀强磁场。带电粒子a、b 分别
从M、N 两点同时沿着半径方向射入磁场，结果同时到达磁场边界上的P 点。已知O 点为圆心，MON 为
直径，
，a 粒子的电荷量是b 粒子电荷量的2 倍，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。求：
（1）a、b 两粒子的质量之比；
（2）a、b 两粒子的加速度之比。
【答案】（1）1：1；（2）4：3
【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示
51
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设圆形磁场区域的半径为R，b 粒子在磁场中的偏转角度为
，a 粒子在磁场中的偏转角度为
，a、b
两粒子同时到达磁场边界上的P 点，有
解得
由
又
解得
故
（2）对a 粒子，在
中
对b 粒子，在
中
52
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根据
解得
由加速度
解得
27．（2024 上·山东滨州·高二统考期末）如图所示，在
坐标系内存在垂直纸面向里边长为
的OABC
正方形匀强磁场，磁感应强度为B。一束质量为
，电荷量为q 带负电的粒子以不同的初速率从M 点沿与
y 轴成30°的方向射入磁场，已知
，粒子的重力不计。求：
（1）带电粒子在磁场中运动的最长时间；
（2）粒子从
轴上
间穿出磁场的速率范围。
【答案】（1）
；（2）
53
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【详解】（1）粒子从y 轴离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图所示：
由
，
解得
由几何关系得
则粒子在磁场中运动的最长时间
解得
（2）当粒子轨迹与x 由相切时，如图所示
设此时初速度为v1，轨道半径为R1，由几何关系可得
54
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解得
当粒子运动轨迹与右边界相切时，如图所示
设此时初速度为v2，轨道半径为R2，由几何关系可得
解得
粒子从
轴上
间穿出磁场的速率范围
28．（2024 上·山东烟台·高三统考期末）如图所示，S 为一离子源，MN 为荧光屏。由S 到MN 做垂线，垂
足为P，SP=L，整个装置处在范围足够大的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。
某时刻离子源S 一次性沿平行纸面的各个方向均匀地射出大量的正离子，各离子的质量都为m，电荷量都
为q，速率v 均相同，不计离子的重力及离子间的相互作用力。
（1）若所有离子都打不到荧光屏上，求射出离子速率的取值范围；
（2）若荧光屏足够大，当离子的速率
时，求同一时刻发射出的离子达到荧光屏上的最大时间差；
（3）若荧光屏足够大，当离子的速率
时，求荧光屏上被离子打中的区域长度；
（4）当离子的速率
，P 为荧光屏MN 的中点，要便MN 右侧能全部被离子打中，求MN 的长度
55
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应满足怎样的条件？
【答案】（1）
；（2）
；（3）MN<
【详解】（1）分析知只要离子沿平行于MN 方向向下射出时打不到屏上，则所有离子都打不到屏上，如图
所示
所以离子做匀速圆周运动的半径
由
解得
56
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联立解得所有离子都打不到荧光屏上，射出离子速率的取值范围
（2）当
时，由
得
R1=L
离子距离荧光屏最短弦长为SP，对应圆心角最小，离子能打中荧光屏的时间最短，如图所示
由几何关系可得
=60°，可知周期为
离子能打中荧光屏的最短时间为
离子能打中荧光屏在磁场中运动时间最长时轨迹如图所示
57
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轨迹与MN 相切，对应圆心角
=270°，离子能打中荧光屏的最长时间为
同一时刻发射出的离子达到荧光屏上的最大时间差
（3）如图所示，上侧一个圆与MN 相切与A 点，A 为离子能打中的上侧最远点；下侧一个圆以SO 为直径，
Q 就是离子能打中的下侧最远点。
荧光屏上被离子打中的区域长度
58
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（4）当
时，由
得
要使MN 右侧能全部被离子打中，MN 的长度应在如图所示的圆内，如图所示
由几何知识可得：
由于
MN=2PN
即
MN<
能使MN 右侧能全部被离子打中。
29．（2024 上·湖北武汉·高三校联考期末）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的垂直纸面向内、磁感应
强度为B0的匀强磁场。筒上P 点开有一个小孔，过P 的横截面是以O 为圆心半径为R 的圆，如图甲所示。
一带电量为+q，质量为m 的粒子从P 点沿PO 以某一初速度射入圆筒，然后与筒壁发生多次弹性碰撞。碰
撞过程中粒子电荷量不变，不计粒子重力。
（1）若粒子与筒壁经过2 次碰撞从小孔P 射出，求此时粒子的初速度v1；
（2）若保持第（1）问中速度不变，要使该粒子与筒壁经过3 次碰撞从小孔P 射出，则此时磁感应强度B1
应调整为何值？粒子在磁场中的运动时间t1是多大？
（3）如图乙所示，粒子从P 点垂直于磁场方向射入磁场，速度方向与PO 的夹角为
，若磁感应强度B0
保持不变，要使该粒子绕圆心O 仅转动1 周且与筒壁经过7 次碰撞后从小孔P 射出，且每次碰撞沿筒壁切
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线方向分速度不变、垂直筒壁方向分速度大小不变方向相反。求粒子速度的大小（最后结果用三角函数表
示）。
【答案】（1）
；（2）
；
；（3）
【详解】（1）由题意可知粒子经过2 次碰撞从小孔P 射出磁场的圆心组成的三角形应为以筒壁为内接圆的
正三角形。如图所示
粒子圆周运动半径
洛伦兹力提供向心力，有
联立解得
（2）由（1）问可知粒子经过3 次碰撞从小孔P 射出磁场的圆心组成的图形应为以筒壁为内接圆的正方形。
粒子圆周运动半径
洛伦兹力提供向心力，可得
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联立解得
粒子在磁场中做圆周运动的圆心角之和
，所以粒子运动时间
（3）如图所示，粒子绕圆心O 仅转动1 周且经过7 次碰撞从小孔P 射出磁场的圆心组成的图形应为以筒
壁为内接圆的正8 边形，如图
粒子在磁场中做圆周运动每次运动对应圆形磁场区域的圆心角为
根据几何关系，有
解得
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r3，在
中，根据正弦定理，有
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的速度大小为v3，有
联立解得
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