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专题06 对称法
高中物理对称法是一种基于对称性原理的思维方法，广泛应用于解决各种物理问题，对称法往往从时
间和空间两个维度去考查物理过程。
常用于等量同种电荷电场、等量异种电荷电场、抛体运动、简谐运动、有界磁场问题、几何光学中，
这些问题和运动形式，往往在空间上、规律上具有对称性，可以利用其的特点，简化问题，提高解题效率。
方法一：电场中的对称法
【方法演练1】如图，水平面内一绝缘细圆环的左、右半圆分别均匀分布着等量异种电荷。过圆心与环面
垂直的轴线上A 点有一质量为m 电量为
小球在外力F 的作用下恰能沿轴线运动，则（ ）
1
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A．O 点场强方向水平向左
B．由A 至O 点场强先变大后变小
C．小球运动过程电势能不变
D．小球运动过程电势能变大
【答案】C
【详解】A．根据对称性和电场叠加原理可知，O 点场强方向水平向右，A 错误；
B．可将水平面内一绝缘细圆环的左、右半圆分别均匀分布着等量异种电荷等效成等量异种点电荷的电场，
根据等量异种点电荷电场的对称性可知，由A 至O 点场强变大。B 错误；
C D．过圆心与环面垂直的轴线是等势线，则小球沿轴线运动过程中电势能不变，C 正确， D 错误。
故选C。
方法二：磁场中的对称法
【方法演练2】4．中空的圆筒形导体中的电流所产生的磁场，会对其载流粒子施加洛伦兹力，可用于设计
能提供安全核能且燃料不虞匮乏的核融合反应器。如图所示为筒壁很薄、截面圆半径为R 的铝制长直圆筒，
电流I 平行于圆筒轴线稳定流动，均匀通过筒壁各截面，筒壁可看作n 条完全相同且平行的均匀分布的长
直载流导线，每条导线中的电流均为
，n 比1 大得多。已知通电电流为i 的长直导线在距离r 处激发的
磁感应强度
，其中k 为常数。下列说法正确的是（ ）
A．圆筒内部各处的磁感应强度均不为0
2
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B．圆筒外部各处的磁感应强度方向与筒壁垂直
C．每条导线受到的安培力方向都垂直筒壁向内
D．若电流I 变为原来的2 倍，每条导线受到的安培力也变为原来的2 倍
【答案】C
【详解】A．圆筒轴线处的磁场为n 条通电导线激发磁场的矢量和，由安培定则和对称性可知，圆筒轴线
处的磁场刚好抵消，磁感应强度为0，故A 错误；
B．各条通电导线在圆筒外部P 处激发的磁场如图所示
由对称性可知，合磁场方向在垂直轴线的平面内且与筒壁切线平行，故B 错误；
C．某条通电导线受到的安培力是受除它之外的
条通电导线激发的合磁场施加的，由对称性可知通电
导线处合磁场沿圆周切线方向，由左手定则判断，这条通电导线受到的安培力垂直筒壁方向指向轴线，故
C 正确；
D．若电流I 变为原来的2 倍，由磁场的叠加，某条通电导线所在处的磁感应强度变为原来的2 倍，由安培
力公式
，可知通电导线受到的安培力变为原来的4 倍，故D 错误。故选C。
方法三：抛体运动中的对称法
【方法演练3】如图所示，一小球从A 点以初速度
水平抛出，在平抛运动过程中与竖直挡板在
点发生
碰撞，最终落在
点。已知碰撞的瞬间竖直方向速度的大小和方向都不变，水平方向速度的大小不变而方
向反向，若仅增大平抛初速度
，则（ ）
3
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A．小球与挡板碰撞的点可能在
点的上方也可能在
的下方
B．小球的落地点仍可能在
点
C．小球的落地点一定在
点的左边
D．小球落地时重力做功的瞬时功率可能增大
【答案】C
【详解】A．当平抛起点与竖直挡板的水平距离一定时，初速度越大，打到挡板上的时间越短，竖直位移
越小，故与挡板碰撞的点将在
上方，故A 错误；
BC．依题意，小球与挡板碰撞的过程只是改变了水平方向的运动，没有改变平抛运动的轨迹特征，相当于
把与挡板碰撞后的运动轨迹由右边转到左边，故平抛初速度越大，水平位移越大，小球将落在
点的左边，
故B 错误，C 正确；
D．竖直总高度不变，小球下落到地面所用时间不变，故重力做功的情况不变，小球落地时重力做功的瞬
时功率
则小球落地时重力做功的瞬时功率不变，故D 错误。故选C。
方法四：简谐运动中的对称法
【方法演练4】一根竖立且处于原长的轻弹簧，下端固定在地面，上端在O 点。现在O 点处静止释放质量
为m（可视为质点）的小球，小球在B 点时速度刚好为零，A 点的速度最大，AB 长度为c，OA 长度为d，
弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，忽略一切阻力。 下列说法正确的是（ ）
4
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A．两段长度关系有c=d=
B．O 到B 点的过程中小球的回复力一直变大
C．A 到B 的过程中，系统的重力势能与弹性势能之和变小
D．若提高到O 点正上方较近处静止释放该小球，小球的最大加速度为g
【答案】A
【详解】A．在A 点时受力平衡，则
；
由对称性可知
选项A 正确；
B．由简谐振动的特点可知，O 到B 点的过程中小球的回复力先减小后变大，选项B 错误；
C．系统的机械能守恒，则A 到B 的过程中，系统的动能减小，则重力势能与弹性势能之和变大，选项C
错误；
D．小球从O 点释放时，在O 点小球的加速度为g，到达B 点时加速度也为g；若提高到O 点正上方较近处
静止释放该小球，则最低点的位置在B 点下方，可知此时小球的最大加速度大于g，选项D 错误。故选
A。
方法五：光学中的对称法
【方法演练5】如图，一玻璃砖的截面由等腰三角形PMQ 和半径为R 的半圆组成，
，O 为圆
心，其右侧放置足够长的竖直平面镜，镜面与PQ 平行，A 处的光源发射一束光从MP 中点B 射入玻璃砖，
光束与MP 夹角θ=30°，经折射后光线与PQ 垂直。A、M、O 三点共线，光在真空中的传播速度为c，不考
虑光束在玻璃砖内的反射。
（i）求玻璃砖的折射率n；
（ii）若光束从光源A 发射经平面镜一次反射后恰能回到光源A 处，求光束在全过程中的传播时间t。
【答案】（i）
；（ii）
【详解】（1）光路图如图所示
5
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根据几何关系可知，入射角
折射角
由折射定律
解得
（2）光路图如图所示
由对称性可得
；
；
又
所以光束在全过程中的传播时间为
1．如图所示，a、b、c、d、e、f 是以O 为球心的球面上的点，球面的半径为r，平面aecf 与平面bedf 垂直，
分别在b、d 两点放上等量同种点电荷
，静电力常量为k，则下列说法正确的是（ ）
6
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A．a、c、e、f 四点电势不同
B．a、c、e、f 四点电场强度相同
C．电子沿直线a→O→c 运动过程中，电势能先减少后增加
D．若在球心O 处放一电荷量为
的负电荷，可使a 点的场强为
【答案】C
【详解】A．a、e、c、f 四点在同一等势面上，电势相同，故A 错误；
B．等量同种点电荷中垂线上，关于O 点对称的点的电场强度大小相等，方向相反，故B 错误；
C．电子沿直线a→O→c 运动过程中，静电力先做正功后做负功，则电势能先减小后增大，故C 正确；
D．b、d 到a 点得距离为
则在球心O 处放一电荷量为
的负电荷，可使a 点的场强为
故D 错误。故选C。
2．均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面
上均匀分布正电荷，总电荷量为
，球面半径为
，
为通过半球顶点与球心
的轴线，在轴线上有
、
两点，
已知
点的场强大小为
，则
点的场强大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【详解】设半球面
有一相对于球心
对称的相同半球面，相当于将带电量为
的球面放在
处，由题
意可知均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。则等效球面在
、
点所产生的电场大小均为
由题知半球面在
点的场强大小为
，根据对称性可知，
图中半球面在
点的场强大小为
故选A。
3．如图所示，从O 点正上方高H 处的一点先后平抛两个小球1 和2，球2 直接恰好越过高为h 的竖直挡板
A 落到水平地面上的B 点，球1 则与地面碰撞一次后，也恰好越过竖直挡板A，而后也落在B 点。设球1
与地面碰撞时水平分速度大小方向都不变，竖直分速度大小不变方向相反，球与地面碰撞的时间忽略不计，
不计空气阻力，则以下说法正确的是（ ）
A．挡板的高度为
B．两小球的水平初速度之比为
C．两小球越过挡板前在空中运动的时间之比为
D．A 点到O 点和A 点到B 点的水平距离之比为
【答案】A
【详解】B．根据平抛运动的特征，竖直高度决定时间，设两小球从平抛开始到落点B 点所用时间分别为
和
，则有
由水平方向做匀速直线运动可得
解得
故选项B 错误；
C．两小球越过挡板时水平位移相等，则两小球越过挡板前两小球在挡板上方的时间为
，挡板下方的时
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间为
，则
所以
，球1 越过挡板前在空中运动的时间
球2 越过挡板前
在空中运动的时间
则两小球越过挡板前在空中运动的时间也为
故C 错误；
A．在竖直方向自由落体有
所以
故选项A 正确；
D．由球2 越过挡板前后两段时间相等，故前后两段的水平位移相等，故A 在
的中点，D 错误。故选
A。
4．若某次投掷时，如图乙石片在距离水面高h 处，以速度v 水平抛出，若石片与水面碰撞时，水平速度不
变，但碰后反弹高度都是前一次的
，不计空气阻力，重力加速度为g，则石片从抛出到停止跳动的过程
中通过的总水平距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】第1 次石片从抛出到接触水面做平抛运动，时间为
石片每次接触水面后反弹到再接触水
面做斜抛运动，可看作两个平抛运动，则第1 次石片从上升到第2 次接触水面的时间为
第2 次石片从上升到第3 次接触水面的时间为
第3 次石片从上升到第4 次接触水面的时间为
第n 次石片从上升到第
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n＋1 次接触水面的时间为
则石片从抛出到停止跳动的过程中通过的总时间为t＝t0＋t1＋t2
＋t3＋…＋tn 根据数学知识有
则石片从抛出到停止跳动的过程中通过的水平距离为
故选B。
5．如图甲所示，质量为
的物体
放在水平面上，通过轻弹簧与质量为
的物体
连接，现在竖直方向
给物体
一初速度，当物体
运动到最高点时，物体
与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时，
物体
的位移随时间的变化规律如图乙所示，已知重力加速度为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
时间内，物体
的速度与加速度方向相反
B．物体
在任意一个
内通过的路程均为
C．物体
的振动方程为
D．物体
对水平面的最大压力为
【答案】D
【详解】A.
的时间内，物体
由负的最大位移向平衡位置运动，回复力指向平衡位
置，即物体
的速度与加速度方向均沿
轴正方向，故A 错误；
B.物体
由特殊位置（平衡位置或最大位移处）开始计时，在任意一个
内，质点通过的路程等
于振幅的5 倍，除此外在
的时间内通过的路程不等于振幅的5 倍，故B 错误；
C.由图乙可知振幅为
周期为
角速度为
规定向上为正方向，
时刻位移
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为
，表示振子由平衡位置上方
处开始运动，所以初相为
则振子的振动方程为
单位错误，故C 错误；
D.由物体
在最高点时，物体
与水平面间的作用力刚好为零，此时弹簧的拉力为
对于物体
有
解得
当物体
运动到最低点时，物体
对水平面的压力最大，由简谐
运动的对称性可知，物体
在最低点时加速度向上，且大小等于
，由牛顿第二定律得
解得
由物体
的受力可知，物体
对水平面的最大压力为
故D 正确。
故选D。
6．如图所示，轻弹簧一端连接质量为
的物体A，另一端固定在光滑的固定的斜面底端，A 通过轻绳跨过
光滑的定滑轮与质量为
的物体B 连接，绳、弹簧与斜面平行。将A 由弹簧原长处静止释放，已知轻绳
始终有力，重力加速度为
，则A 的位移
、速度和弹簧弹力
、绳子张力
与时间或位移
的关系图
像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】A．将A 由弹簧原长处静止释放，设A 的位移为
，对整体，由牛顿第二定律
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可知A 先沿斜面向上做加速度逐渐减小的加速运动，当
增大到某值时
减小到零，然后向上做加速度反
向增大的减速运动，A 运动到最高点时速度减小到零；然后A 沿斜面向下先做加速度减小的加速运动，后
做加速度增大的减速运动，由系统机械能守恒可知，A 运动到释放位置时速度刚好减小到零。由于加速度
与
成线性关系，故A 在斜面上做以某点（速度最大加速度为零位置）为中心的简谐运动。
图像切
线的斜率表示瞬时速度，由上述分析知A 不可能先做减速后做加速运动，A 错误；
B．由上述分析可知，A 做简谐运动，其
图像应是正弦函数图像，B 错误；
C．A 刚释放时，弹簧弹力等于零，此时A 的加速度
，A 运动到最高点时，根据
简谐运动的对称性，加速度
与
等大反向，则
解得
，C 错误；
D．对A 物体，由牛顿第二定律
得
将
与
及对应的弹簧弹力分
别代入可知，A 上滑过程中，
随
均匀增加，最小值是
，最大值是
，D 正确。故选D。
7．如图所示，两个匀强磁场的方向相同，磁感应强度分别为
、
，虚线MN 为理想边界。现有一个质
量为m、电荷量为e 的电子以垂直于边界MN 的速度v 由P 点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为
的
匀强磁场中，其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线，以下说法正确的是（ ）
A．电子的运动轨迹为
B．电子运动一周回到P 点所用的时间
C．
D．电子在
区域受到的磁场力始终不变
【答案】AC
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【详解】A．由左手定则可知，电子在P 点所受的洛伦兹力的方向向上，轨迹为
，故A 正确；
BC．电子在磁场中做匀速圆周运动有
；
解得
，
由图知
，则
电子运动一周回到P 点所用的时间为
故B 错误、C 正确；
D．电子在磁场中受洛伦兹力始终与速度垂直，方向时刻改变，故D 错误。故选AC。
8．如图所示，三个半径均为R 的圆形磁场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ两两相切，圆心分别为
、
、
，区域Ⅰ、
Ⅲ内存在垂直纸面向里匀强磁场，磁感应强度均为
，一带电粒子以速度
沿
连线方向从区域Ⅰ的边
界进入磁场，通过三个区域后沿
方向从区域Ⅲ边界射出，已知粒子电量为e，质量为m，粒子从进入
磁场到出磁场过程，始终在磁场内运动，粒子重力不计，则以下说法正确的是（ ）
A．区域Ⅱ磁场方向垂直纸面向里
B．区域Ⅱ磁感应强度大小为
C．粒子在区域Ⅱ中速度方向改变了60°角
D．粒子从进入磁场到离开磁场所用时间为
【答案】BD
【详解】A．粒子运动的轨迹如图
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由左手定则可知，粒子带负电，区域Ⅱ磁场方向垂直纸面向外，选项A 错误；
B．粒子在磁场Ⅰ中运动的轨道半径
粒子在磁场Ⅱ中运动的轨道半径
则
根据
可得
可得
选项B 正确；
C．由图可知，粒子在区域Ⅱ中速度方向改变了120°角，选项C 错误；
D．粒子从进入磁场到离开磁场所用时间为
选项D 正确。故选BD。
9．如图所示为半径为R 的透明玻璃球切去底面半径
的球冠后剩余的球冠。一束半径
的圆
形光束垂直球冠的切面照射到球冠上，进入球冠的光线有部分从球面射出而使球面发光，已知玻璃的折射
率
，光在真空中的传速速度为c，球冠（不含底面）的表面积公式为
，R 为球的半径，h 为
球冠的高度。不考虑光在球冠内的反射。求：
（1）光束正中间的光线通过球冠的时间；
（2）能发光的球面的面积。
【答案】（1）
；（2）
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【详解】（1）由几何知识可得，剩余球冠的高度为
光线在球冠中的速度为
则光束正中间的光线通过球冠的时间为
（2）根据全反射公式
可得光线在球冠中发生全反射的临界角的为
光线在球冠中发生
全反射的临界情况对应的光路如下图所示
则根据几何知识可得，能发光的球冠部分的高度为
则能发光的球面的面积为
10．如图所示为一透明玻璃球过球心O 的截面图，半径为R，球的右半部分涂有反光材料。一束单色光平
行于水平直径AB，以60°的入射角射入玻璃球。从玻璃球射出的光线平行于入射光线，不考虑光线在玻璃
球内的多次反射。已知光在真空中的传播速度大小为c。求：
（1）玻璃球对该单色光的折射率；
（2）光线在玻璃球内的传播时间。
【答案】（1）
；（2）
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【详解】（1）从玻璃球射出的光线平行于入射光线，不考虑光线在玻璃球内的多次反射，作出光路图如
图：
在B 点的反射光线与入射光线DB 关于AB 对称，由光路图知
解得
由折射定律得
（2）入射点D 与出射点P 间的距离为
则该条光线在玻璃球中的路程
光在玻璃球中的速度
所以光线在玻璃球内的传播时间
16
