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专题01 平衡问题七类热点模型
目录
【模型一】 三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知的静态平衡模型.............................1
【模型二】三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知的静态平衡模型...............................................................4
【模型三】三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知但存在几何边长的变化关系的静态平衡模型。...........7
【模型四】应用矢量三角形法类解的动态态平衡模型。......................................................................................9
【模型五】应用相似三角形法求解的动态态平衡模型。....................................................................................11
【模型六】应用单位圆或正弦定理法求解的动态态平衡模型。........................................................................14
【模型七】“衣钩”模型-----“Y”字型平衡模型。...............................................................................................18
【模型一】 三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知的静态平衡模型
1.模型情境联想
2.解决该类模型常用的方法有以下三种
①力的合成法
②力的正交分解法
③正弦定理（力的三角形）法
【模型演练1】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，
为球心，一质量为
的小滑块，在水平
力
的作用下静止
点。设滑块所受支持力为
。
与水平方向的夹角为
。下列关系正确的是（
）
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】 A
【解析】 解法一 力的合成法
滑块受力如图甲，由平衡条件知：＝tan θ⇒F＝，
FN＝。
解法二 力的分解法
将滑块受的力水平、竖直分解，如图丙所示，mg＝FNsin θ，F＝FNcos θ，
联立解得：F＝，FN＝。
解法三 力的三角形法（正弦定理）
如图丁所示，滑块受的三个力组成封闭三角形，解直角三角形得：F＝，FN＝。
【点睛】通过例题不难发现针对此类题型应采用“力的合成法”解决较为容易。
【模型演练2】（2019·全国·高考真题）用卡车运输质量为m 的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将
其置于两光滑斜面之间，如图所示．两斜面I、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°．重力加速度为g．
当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面I、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对圆筒进行受力分析知圆筒处于三力平衡状态，受力分析如图，由几何关系可知，
，
．解得
，
由牛顿第三定律知
2
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，故D 正确
【模型演练3】【多选】（2023·河南·统考二模）如图所示，所受重力大小为G 的物体A 静止在倾角
的固定斜面上，现用水平力推A，在水平力由零逐渐增加至G 再逐渐减为零的过程中，物体A 始终
保持静止。取
，
。在水平力变化的过程，下列说法正确的是（ ）
A．A 对斜面的压力的最大值为
B．A 对斜面的压力的最小值为零
C．A 所受摩擦力的最大值为
D．A 所受摩擦力的最小值为零
【答案】AD
【详解】A．在水平力由零逐渐增加至G 时，A 对斜面的压力的最大，最大值为
A 正确；
B．在水平力为零时，A 对斜面的压力的最小，最小值为
B 错误；
C．在水平力为零时，A 所受摩擦力方向沿斜面向上，大小为
在水平力为G 时，A 所受摩擦力方向沿斜面向下，大小为
可知，A 所受摩擦力的最大值为
，C 错误；
3
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D．根据上述，当水平推力沿斜面向上的分力与重力沿斜面向下的分力大小相等时，A 相对斜面没有运动
趋势，此时A 所受摩擦力的最小值为零，D 正确。
故选AD。
【模型二】三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知的静态平衡模型
1.模型情境联想
2.解决该类模型常用的方法有以下二种
①力的正交分解法
②正弦定理（力的三角形）法
【模型演练1】（2023 春·山西·高三校联考阶段练习）如图所示，在演示带电体间的相互作用时发现，用
绝缘细线悬挂在支架上质量为m 的带电小球B，在均匀带电小球A 的作用下保持静止。且知细线与竖直方
向夹角
，两球心连线与水平方向所成角
，重力加速度为g，则下列判断正确的是（ ）
A．细线中张力的大小为
mg
B．小球A 所受静电力的大小为
mg
C．细线中张力的大小为
mg
D．小球A 对小球B 的引力要大于小球B 对小球A 的引力
【答案】B
【详解】AC．小球B 受力分析如图
4
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由平衡条件可得
解得细线中的张力大小为
故A、C 错误；
BD．而A 对B 的静电力大小为
且“A 对B 的引力”与 “B 对A 的引力”为一对相互作用力，由牛顿第三定律可知其等大反向，故B 正
确，D 错误。
故选B。
【模型演练2】（2023 春·贵州·高三校联考阶段练习）如图所示，a、b 两个小球穿在一根与水平面成
角
的光滑固定杆上，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接，当两球静止时，
段绳与杆的夹角也为
，
段
绳沿竖直方向。已知a 球质量为m，重力加速度为g，不计所有摩擦，则下列说法正确的是（ ）
A．a 受到2 个力的作用
B．b 受重力、绳子的拉力、杆的支持力
C．b 的重力为
D．绳子对b 的拉力等于
【答案】C
【详解】B．对b 进行受力分析，因为
段绳沿竖直方向，故b 只受竖直向下的重力和竖直向上的绳子拉
5
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力而平衡，有
故B 错误。
A．细绳对b 有拉力，对a 也有等大的拉力，对a 进行受力分析，如图
所以a 需受3 个力才能平衡，故A 错误。
D．在a 的受力分析图中，
垂直杆向上，它与竖直方向的夹角为
，
沿绳方向，故它与竖直方向的夹
角
故
和
的合力与a 的重力大小相等，由正弦定理
解得
故D 错误。
C．因为
所以b 的重力为
，故C 正确。
【模型演练3】如图所示，四分之一光滑圆弧面AB 与倾角为60°的光滑斜面AC 顶部相接，A 处有一光滑的
6
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定滑轮，跨过定滑轮用轻质细绳连接质量分别为m1、m2的两小球，系统静止时连接的绳子与水平方向的夹
角为60°.两小球及滑轮大小可忽略，则两小球质量的比值m1∶m2为( )
A．1 2∶ B．3 2∶ C．2 3
∶
D. 2∶
【答案】 B
【解析】 对m1、m2受力分析如图所示，
对m1有：
m1g＝2FTcos 30°＝
FT，
解得FT＝m1g，
对m2有：
FT＝m2gsin 60°＝
m2g，
解得m1∶m2＝3 2.
∶
【模型三】三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知但存在几何边长的变化关系的静态平衡
模型。
1.模型情境联想
2.解决该类模型常用的方法有以下二种
①相似三角形法法
②解析法
7
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【模型演练1】如图所示，表面光滑为R 的半球固定在水平地面上，球心O 的正上方Oˊ 处有一个无摩擦定
滑轮，轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为
l2=2.4 R ，
l1=2.5 R .则这两个小球的质量之比m1∶m2为(不计小球大小)
A．24 1∶
B．25 1
∶
C．24 25
∶
D．25 24
∶
【答案】：C．
【解析】先以左侧小球为研究对象，分析受力情况：重力
、绳子的拉力T 和半球的支持力N，作出受
力图．由平衡条件得知，拉力T 和支持力N 的合力与重力mg 大小相等、方向相反．设OO′=h，根据三角
形相似得：
得
…①
同理，以右侧小球为研究对象，得
…②
由①：②得
【模型演练2】如图所示，质量均为m 的小球A、B 用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B 球用长为L 的细绳悬
于O 点，A 球固定在O 点正下方L 处，当小球B 平衡时，绳子所受的拉力为FT1，弹簧的弹力为F1；现把
A、B 间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，
8
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此时绳子所受的拉力为FT2，弹簧的弹力为F2.下列关于FT1与FT2、F1与F2大小之间的关系，正确的是( )
A. FT1>FT2 B. FT1＝FT2 C. F1<F2 D. F1＝F2
【答案】BC
【解析】
【详解】以小球B 为研究对象，进行受力分析．由平衡条件可知，弹簧的弹力F 和绳子的拉力FT的合力F
合与重力mg 大小相等，方向相反，即F 合＝mg，如图所示：
由三角形相似得：
，
又OA＝OB＝L，得FT=mg
故绳子的拉力FT只与小球B 的重力有关，与弹簧的劲度系数无关，所以FT1=FT2，当弹簧的劲度系数变大
时，弹簧的压缩量减小，故长度x 增加，F2>F1，故BC 正确，AD 错误。
【模型四】应用矢量三角形法类解的动态态平衡模型。
1.模型情境联想
2.该类模型的基本特点
（1）、三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
（2）、另一个力方向不变，大小可变，
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（3）、第三个力大小方向均可变，
方法：矢量三角形法分析第三个力的方向变化引起的物体受力的动态变化情况。
【模型演练1】【多选】（2019·全国·高考真题）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定
滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N．另一端与斜面上的物块M 相连，系统处于静止状态．现用水
平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N 的细绳与竖直方向成45°．已知M 始终保持静止，则在此过程中（
）
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M 所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
【答案】BD
【详解】如图所示，以物块N 为研究对象，它在水平向左拉力F 作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方
向夹角为45°的过程中，水平拉力F 逐渐增大，绳子拉力T 逐渐增大；
对M 受力分析可知，若起初M 受到的摩擦力f 沿斜面向下，则随着绳子拉力T 的增加，则摩擦力f 也逐渐
增大；若起初M 受到的摩擦力f 沿斜面向上，则随着绳子拉力T 的增加，摩擦力f 可能先减小后增加．故
本题选BD．
【模型演练2】．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）如图所示，用OA、OB 两根轻绳将花盆悬
于两竖直墙之间。开始时OB 绳处于水平状态。现保持O 点位置不变，只通过改变OB 绳长使绳右端由B
点缓慢上移至
点，此时
与OA 之间的夹角
。设此过程中OA、OB 绳的
拉力分别为
、
，下列说法正确的是（ ）
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A．
先增大后减小
B．
先减小后增大
C．
先增大后减小
D．
先减小后增大
【答案】B
【详解】
、
的合力竖直向上，等于重力，
与OA 之间的夹角增大的过程中，如图
始终减小，
先减小后增大。
故选B。
【模型演练3】如图所示，一铁球用一轻绳悬挂于O 点，用力F 拉住小球，要使轻绳与竖直方向保持60°
角不变，且F 最小，则F 与竖直方向的夹角θ 应为( )
A. 90° B. 60° C. 30° D. 0°
【答案】C
【解析】如图所示，小球受三个力而处于平衡状态，重力G 的大小和方向都不变，绳子拉力T 方向不变，
因为绳子拉力T 和外力F 的合力等于重力，通过作图法知，当F 的方向与绳子方向垂直时，由于垂线段最
短，所以F 最小，则由几何知识得
90
60
30
，C 正确．
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【模型五】应用相似三角形法求解的动态态平衡模型。
1.模型情境联想
2.该类模型的基本特点
（1）三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
（2）其余两个力方向、大小均在变
（3）有明显长度变化关系
方法：相似三角形法
【模型演练1】．（2023·云南大理·统考一模）如图所示，木板B 放置在粗糙水平地面上，O 为光滑铰链。
轻杆一端与铰链O 固定连接，另一端固定连接一质量为m 的小球A。现将轻绳一端拴在小球A 上，另一端
通过光滑的定滑轮
由力F 牵引，定滑轮位于O 的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F 的大小使
小球A 和轻杆从图示位置缓慢运动到
正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中
（ ）
A．外力F 大小不变
B．轻杆对小球的作用力大小变小
C．地面对木板的支持力逐渐变小
D．地面对木板的摩擦力逐渐减小
【答案】D
【详解】A．对小球A 进行受力分析，三力构成矢量三角形，如图所示
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根据几何关系可知两三角形相似，因此
缓慢运动过程
越来越小，则F 逐渐减小，故A 错误；
B．由于OA 长度不变，杆对小球的作用力大小不变，故B 错误；
CD．对木板，由于杆对木板的作用力大小不变，方向向右下，但杆的作用力与竖直方向的夹角越来越小，
所以地面对木板的支持力逐渐增大，地面对木板的摩擦力逐渐减小，故C 错误，D 正确。
故选D。
【模型演练2】．（2023·山东·校联考模拟预测）如图所示，质量为100g 的带电小球A 和不带电滑环B 用
绕过光滑定滑轮的不可伸长的轻绳连接，滑环B 套在与竖直方向成
的粗细均匀的固定杆上，滑环和
杆间的动摩擦因数
，连接滑环B 的绳与杆垂直并在同一竖直平面内，杆下端固定带电小球C，
，由于空气潮湿小球带电量逐渐减小为零，滑环B 始终静止。设滑环和
杆间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，带电小球可看作点电荷。（
）
则（ ）
A．绳子拉力逐渐变小
B．滑环B 的质量不超过0.05kg
C．固定杆给滑环B 的弹力方向垂直于杆向上 D．滑环B 受到的摩擦力逐渐变小
【答案】B
【详解】对小球A：根据三角形相似
可得
拉力不变；
滑环B：N 方向向下
则要想静止N 必须大于
，则有
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可得
故选B。
【模型演练3】如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC 是质量不计的撑杆，A 端与竖直墙用铰链连接，
一滑轮固定在A 点正上方，C 端吊一重物。现施加一拉力F 缓慢将重物P 向上拉，在AC 杆达到竖直前，
下列说法正确的是（ ）
A．BC 绳中的拉力FT越来越大 B．BC 绳中的拉力FT越来越小
C．AC 杆中的支撑力FN越来越大 D．AC 杆中的支撑力FN越来越小
【答案】B
【解析】 以C 点为研究对象，分析受力：重物的拉力T(等于重物的重力G)。
轻杆的支持力FN和绳子的拉力FT做出受力图如右图所示，由平衡条件知：FN与FT的合力与G 大小相等，
方向相反，根据三角形相似可得：＝＝
解得：FN＝G，FT＝G
由于AC 不变，所以FN不变，BC 减小，FT减小，故选项B 正确。
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【模型六】应用单位圆或正弦定理法求解的动态态平衡模型。
1.模型情境联想
2.该类模型的基本特点
（1）三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
（2）其余两个力方向、大小均在变
（3）有一个角恒定不变
【模型演练1】【多选】（2017·全国·高考真题）如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一
重物，用手拉住绳的另一端N．初始时，OM 竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α（
）．
现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α 不变．在OM 由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN 上的张力逐渐增大
B．MN 上的张力先增大后减小
C．OM 上的张力逐渐增大
D．OM 上的张力先增大后减小
【答案】AD
【详解】以重物为研究对象，受重力mg，OM 绳上拉力F2，MN 上拉力F1，由题意知，三个力合力始终为
零，矢量三角形如图所示，
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在F2转至水平的过程中，MN 上的张力F1逐渐增大，OM 上的张力F2先增大后减小，所以A、D 正确；
B、C 错误．
【模型演练2】．【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别
系于固定环上的M、N 两点，O 点下面悬挂一小球。细线OM、ON 与竖直方向夹角分别为
、
。用
、
分别表示OM、ON 的拉力，将两绳同时缓慢顺时针转过45°，并保持两绳之间的夹角
始终不变，且小球始终保持静止状态，则在旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．
在逐渐增大
B．
先增大再减小
C．
与
的水平分量大小相等
D．
与
的竖直分量大小相等
【答案】AC
【分析】物体始终保持静止，合力为零，对物体受力分析，受到mg、F1、F2三个力，这三个力构成一个封
闭的矢量三角，在旋转过程中，对矢量三角形动态分析即可。
【详解】AB．物体始终保持静止，合力为零，所以mg、F1、F2构成封闭的矢量三角形如图所示，由于重
力不变，以及F1和F2夹角为90°不变，矢量三角形动态图如右图所示，mg 始终为圆的直径，两绳同时缓
慢顺时针转过45°过程中，F1一直增大，F2一直减小，故A 正确，B 错误；
CD．
与
的水平分量大小相等，竖直分量的合力与重力大小相等，故C 正确，D 错误。
故选AC。
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【点睛】题以共点力的平衡为命题背景考查学生的推理能力和分析综合能力，解题的关键的画出矢量三角，
结合几何关系分析力的变化，难度适中。
【模型演练3】．【多选】（2023·全国·高三专题练习）粗糙水平地面上有一质量为M、倾角为30°的粗糙
楔形物体C，斜面上有一个质量为
的物块B，B 与一轻绳连接，且绕过一固定在天花板上的定滑轮，另
一端水平与一结点连接一个质量为m 的小球A，右上方有一拉力F，初始夹角
，如图所示。现让
拉力F 顺时针缓慢转动90°且保持α 角大小不变，转动过程B、C 始终保持静止。已知B 与滑轮间的细绳与
斜面平行，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．拉力F 一直减小
B．BC 间的摩擦力先减小再增大
C．物体C 对地面的压力先减小再增大
D．物体C 对地面的摩擦力的最大值为
【答案】AC
【详解】A．对题图右侧结点处受力分析，α 角大小不变，可以使用辅助圆方法判断力的动态变化情况，
如图所示
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通过分析可得
先增大再减小，F 一直减小，A 正确；
B．初始状态，对A 分析可得绳子拉力
，对B 分析，可发现
即一开始B 与C 间的静摩擦力为零，故当绳子拉力
从
先增大再减小到
，B、C 间的静摩擦力方向
一直沿斜面向下且先增大再减小，B 错误；
CD．将B、C 看成整体，竖直方向有
由于
先增大再减小，故
先减小再增大，故物体C 对地面的压力先减小再增大，故C 正确；
D．水平方向上有
当
最大时，即此时F 水平，对A 分析可计算得
所以
故D 错误。
故选AC。
【模型七】“衣钩”模型-----“Y”字型平衡模型。
1.模型情境联想
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2.模型识别
(1).一根绳子绕过光滑的滑轮或者光滑挂钩下挂一个物体，呈现“Y”字型结构特征。
(2).物体处于平衡状态。
3.模型构建
(1).受力大小特征—无论绕过光滑的滑轮、圆环、挂钩，只要是一根绳子，张力大小处处相等。
(2).受力方向特征—“Y”字型平衡模型，等大的两个拉力关于竖直方向对称。
4.经典情景如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N 上的a、b 两点，悬挂衣服的衣
架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。
设两杆间距离为d，绳长为l，Oa、Ob 段长度分别为la和lb，则l＝la＋lb，两部分绳子与竖直方向夹角分别
为α 和β，受力分析如图所示。
绳子中各部分张力相等，Fa＝Fb＝F，则α＝β。
平衡条件2Fcos α＝mg，
d＝lasin α＋lbsin α＝lsin α，即sin α＝，
F＝，绳的右端上移到b′，d 和l 均不变，则sin α 为定值，α 为定值，cos α 为定值，绳子的拉力保持不变，
将杆N 向右移一些，d 增大，则sin α 增大，cos α 减小，绳子的拉力增大；若换挂质量更大的衣服，d 和l
均不变，绳中拉力增大，但衣服的位置不变。
5.建模感悟
(1)该平衡模型首先形状上呈现Y 字形，应用力学对称思想。对称思想是物理学习中最重要的思想方法之一，
运动学中竖直上抛模型就具有空间的对称性，根据对称性我们研究其一半运动，就可以化繁为简。同理后
边我们还要学习能量守恒、动量守恒，他们具有关系对称，掌握了对称性，就掌握了一把打开物理殿堂的
金钥匙。另外大多数对称模型属于见“形”起“意”，见“形”思“迁”，学习画图，根据图形特征，选
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择对应的解题技巧，是学习物理的重要方法。
6.“Y”字型平衡模型解决问题的两个要点
①绕过光滑的滑轮、圆环、挂钩，只要是一根绳子，张力大小处处相等
②平衡条件：
【模型演练1】．（2023·北京·统考模拟预测）某课外活动小组设计了如图所示的实验装置，光滑水平轻杆
固定在竖直杆的O 点，在水平轻杆上离O 点为L 处固定一个小的轻质定滑轮P，现
将长为3L 的光滑轻细线一端固定在O 点，另一端通过轻质滑轮P 与质量为m 的滑
块A 相连，在轻细线上通过轻的光滑滑轮Q 挂上滑块B，装置静止时，三角形
OPQ 刚好构成一个等边三角形，下列说法正确的是（ ）
A．可求得滑块B 的质量为mB=m
B．若将O 点处的线端沿水平杆向右缓慢移动
L，则细线拉力大小减小，滑块A 下降
C．若将O 点处的线端沿竖直杆向下缓慢移动
L，则细线拉力大小不变，滑块A 上升
D．若将O 点处的线端沿竖直杆向下缓慢移动
L，则细线拉力大小不变，滑块A 高度不变
【答案】D
【详解】A．对物块A 受力分析可知细线上的拉力大小为
对滑轮Q 受力分析可知
解得
A 错误；
B．若将O 点处的线端沿水平杆向右缓慢移动
L，物块A 处于平衡状态，则细线拉力大小不变，B 错误；
20
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CD．若将O 点处的线端沿竖直杆向下缓慢移动
L，物块A 处于平衡状态，则细线拉力大小不变，由于细
线拉力不变，则滑轮两侧细绳间的夹角不变，如图所示
根据几何关系知
，PM 的长度就代表了P 轮左侧绳子的总长
因为夹角不变，MN 之间的距离不变，则PM 绳子总长不变，所以物体A 的高度没有发生变化，C 错误，D
正确；
故选D。
【模型演练2】．（2016·全国·高考真题）如图，两个轻环a 和b 套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一
细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m 的小球。在a 和b 之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b 间
的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为（ ）
A．
B．
C．m
D．2m
【答案】C
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【详解】设悬挂小物块的点为
，圆弧的圆心为O，由于ab=R，所以三角形
为等边三角形。
根据几何知识可得
，而每一条绳子上的张力大小相等，故有
小物块受到两条绳子的拉力作用大小相等，夹角为120°，故小物块受到绳子拉力的合力等于mg，因为小
物块受到绳子的拉力和重力作用，且处于平衡状态，故拉力的合力等于小物块的重力为mg，所以小物块
的质量为m。
故选C。
【点睛】解决本题关键是能根据题目给出的几何关系确认拉小物块的两绳夹角为120°，再根据两个大小相
等互成120°两力的合成结论求解即可。
【模型演练3】．(2023·江西省横峰中学、铅山一中等校联考)有甲、乙两根完全相同的轻绳，甲绳A、B 两
端按图甲的方式固定，然后将一挂有质量为M 的重物的光滑轻质动滑轮挂于甲轻绳上，当滑轮静止后，设
甲绳子的张力大小为FT1；乙绳D、E 两端按图乙的方式固定，然后将同样的定滑轮且挂有质量为M 的重物
挂于乙轻绳上，当滑轮静止后，设乙绳子的张力大小为FT2.现甲绳的B 端缓慢向下移动至C 点，乙绳的E
端缓慢向右移动至F 点，在两绳的移动过程中，下列说法正确的是( )
A．FT1、FT2都变大 B．FT1变大、FT2变小 C．FT1、FT2都不变
D．FT1不变、FT2变大
【答案】 D
【解析】 设绳子总长为L，两堵竖直墙之间的距离为s，左侧绳长为L1，右侧绳长为L2.由于绳子上的拉力
处处相等，所以两绳与竖直方向夹角相等，设为θ，则由几何知识，得：s＝L1sin θ＋L2sin θ＝(L1＋L2)sin
θ，又L1＋L2＝L
得到sin θ＝；设绳子的拉力大小为FT，重物的重力为G.以滑轮为研究对象，根据平衡条件得2FTcos θ＝
G，
解得：FT＝；可见，对题图甲，当绳子右端慢慢向下移时，s、L 没有变化，则θ 不变，绳子拉力FT1不变；
对题图乙，当绳子的右端从E 向F 移动的过程中，由于绳子的长度不变，所以两个绳子之间的夹角θ 增大，
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cos θ 减小，则绳子拉力FT2增大，故A、B、C 错误，D 正确
1.（2023 秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）如图所示，顶端有定滑轮的斜面体A 固定在水
平面上，跨过滑轮细绳一端接物块B，另一端与竖直杆相连，另有轻质动滑轮跨过细绳与重物C 相连，整
个系统处于静止状态。现缓慢地向右移动竖直杆，B 保持不动，下列说法正确的是（ ）
A．细绳的拉力先增大再减小
B．B 受到的摩擦力可能一直增大
C．B 受到的摩擦力一直减小
D．B 受到的摩擦力可能先增大后减小
【答案】B
【详解】A．斜面体A 和物块B 均不动，设定滑轮右侧绳子长度为L 不变，杆到斜面体间距离d，绳子与
竖直方向的夹角为
。由几何关系可知
缓慢地向右移动竖直杆，杆到斜面体间距离d 增大，则
增大。
选动滑轮为研究对象，进行受力分析，由平衡关系可知
增大则F 增大，故A 错误；
BCD．物块B 原来平衡时，B 与斜面间摩擦力情况有三种，可能不受摩擦力，可能受沿斜面向上摩擦力，
也可能受沿斜面向下的摩擦力，当F 增大时，物块B 的摩擦力对应三种情况，可能增大，可能减小，也可
能先减小后增大，故B 正确，C、D 错误。
故选B。
2．（2023 秋·河南三门峡·高三统考阶段练习）如图所示，倾角为
、质量为
的斜面
置于粗糙的水平
面上，斜面上放有质量为
的物体B，一被压缩的轻弹簧水平夹在B 与竖直墙壁之间。已知
与
间，
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与地面间的动摩擦因数分别为
和
，最大静摩擦力等于动摩擦力，重力加速度为
，弹簧处于弹性限度
内。若
、B 始终保持静止，则（ ）
A．A 一定受到5 个力作用
B．A 受到地面对其水平向左的摩擦力
C．弹簧的弹力一定为
D．A 受到地面的摩擦力大小一定为
【答案】B
【详解】A．A 一定会受到重力，B 对A 的压力，地面的支持力和地面的摩擦力，B 对A 是否有摩擦与弹
簧弹力大小有关，如果弹簧的弹力合适，可能B 对A 恰好没有摩擦，因此A 可能受4 个力作用，A 错误；
B．将A、B 作为一个整体，可知地面对A 的摩擦力水平向左，与弹簧对B 的弹力等大反向，B 正确；
C．若A、B 之间恰好没有摩擦力，对物体B 进行受力分析可知
此时的弹力
若弹力稍大，则物体B 有上滑的趋势，受斜面的摩擦力沿斜面向下，因此弹簧的弹力不一定为
，
C 错误；
D．由于A 与地面之间是静摩擦力，不能按滑动摩擦力公式计算，摩擦力的大小是由弹簧的弹力大小决定
的，D 错误。
故选B。
3．（2023 春·全国·高三校联考阶段练习）如图所示，倾角为
的斜面体c 置于水平地面上，质量为
的小
物块b 置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与沙桶a 连接，连接物块b 的一段细绳与斜面平行，现给a
中缓慢加入沙子，a、b、c 始终处于静止状态，沙桶a 和沙子的总质量
为
，重力加速度为g。则
A．c 对b 的摩擦力一直增大
B．地面对c 的支持力先增大后减小
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C．当
时，c 对地面的摩擦力方向水平向左
D．当
时，地面对c 的摩擦力为
【答案】D
【详解】A．对小物块b 受力分析，若开始
，c 对b 的摩擦力方向沿斜面向下，有
当
增大时，
变大；若开始
，c 对b 的摩擦力方向沿斜面向上，有
当
增大时，
先减小后反向增大，故A 错误；
BC．对b、c 整体受力分析，有
地面对c 的支持力N 一直减小，地面对c 的摩擦力方向始终水平向左，则c 对地面的摩擦力方向水平向右，
故BC 错误；
D．当
时，有
故D 正确。
故选D。
4.【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图（a）所示，将一右端固定有光滑定滑轮的轻杆固定在竖直挡
板上，轻绳ABC 跨过光滑的定滑轮悬吊质量为m1=1kg 的物块；如图（b）所示，将一轻杆用转轴固定在竖
直挡板上，两段轻绳DE、EF 系在杆的右端并悬吊质量为m2=1.5kg 的物块。已知两杆均水平，且绳子的倾
斜部分与水平方向的夹角均为30°，重力加速度g 取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．图（a）中AB 绳的拉力大小为10N
B．图（b）中DE 绳的拉力大小为15N
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C．图（a）中轻杆对滑轮的支持力大小为10N
D．图（b）中轻杆对结点的支持力大小为15N
【答案】AC
【详解】A．对（a）、（b）两图中的B、E 点分别进行受力分析，如图甲、乙所示
图甲中轻绳ABC 跨过定滑轮拉住质量为m1的物块，物块处于平衡状态，轻绳AB 的拉力大小为
FAB=FBC=m1g=10N
故A 正确；
BD．图乙中由于杆可自由转动，因此杆对结点的作用力方向一定沿杆的方向，则由平衡条件可知
FDEsin30°=FEF
FDEcos30°=F 乙
又
FEF=m2g
代入数据解得轻绳DE 的拉力为
FDE=30N
轻杆对结点的支持力大小为
故BD 错误。
C．由于图甲中的杆为固定的杆，因此杆对滑轮的作用力不一定沿杆的方向，因为AB 绳与BC 绳的夹角为
120°，故分析可得轻杆对滑轮的支持力大小为
F 甲=FAB=FBC=10N
故C 正确。
故选AC。
5．（2023 春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）如图所示，倾角为
的固定细杆上套有一小
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球P，另一个小球Q 通过细线与小球P 连接，对小球Q 施加一个水平向右的作用力F，系统静止时，两小
球之间的细线恰好与细杆垂直，已知小球
的质量分别为m、
，重力加速度为g，下列说法正确的
是（ ）
A．作用力F 的大小为
B．细杆对小球P 的摩擦力
的大小为
C．细线张力
的大小为
D．细杆对小球P 的弹力
的大小为
【答案】B
【详解】AC．设细线张力大小FT，对小球Q 受力分析，水平方向
竖直方向
解得
故AC 错误；
BD．对小球P 受力分析，沿细杆方向
垂直细杆方向
故B 正确，D 错误。
故选B。
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6．（2023·全国·高三专题练习）春节期间人们都喜欢在阳台上挂一些灯笼来作为喜庆的象征。如图所示，
是由六根等长的轻质细绳悬挂起五个质量相等的灯笼1、2、3、4、5，中间的两根细绳BC 和CD 的夹角
，下列选项中正确的是（ ）
A．MA 的延长线能平分1 灯与绳AB 之间的夹角
B．AB 的延长线不能平分2 灯与绳BC 之间的夹角
C．绳AB 与绳BC 的弹力大小之比为
D．绳MA 与绳AB 的弹力大小之比为
【答案】D
【详解】BC．对灯笼3 受力分析可知
解得
设AB 绳与竖直方向成夹角为
，对灯笼2 受力分析可知
解得
由数学知识可知AB 的延长线能平分2 灯与绳BC 之间的夹角，且有
故BC 错误；
AD．设MA 绳与竖直方向成夹角为
，对灯笼1 受力分析可知
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解得
由数学知识可知MA 的延长线不能平分1 灯与绳AB 之间的夹角，且有
故A 错误，D 正确。
故选D。
7．（2023·山东·统考二模）为庆祝全国两会胜利召开，某景区挂出34 个灯笼（相邻两个灯笼之间用轻绳
等距连接），灯笼上依次贴着“高举中国特色社会主义伟大旗帜，为全面建设社会主义现代化国家而团结
奋斗”的金色大字，从左向右依次标为1、2、3、……、34。无风时，灯笼均自然静止，与“全”字灯笼
右侧相连的轻绳恰好水平，如图所示。已知每个灯笼的质量均为
，取重力加速度
，悬挂
灯笼的轻绳最大承受力
，最左端悬挂的轻绳与竖直方向的夹角为θ。
，
。下列说法正确的是（ ）
A．夹角θ 的最大值为45°
B．当夹角θ 最大时，最底端水平轻绳的拉力大小为
C．当
时，最底端水平轻绳的拉力大小为204N
D．当
时，第4 个灯笼与第5 个灯笼之间的轻绳与竖直方向的夹角为45°
【答案】B
【详解】A．分析可知，当绳子拉力达到最大时，夹角θ 的值最大，以整体为研究对象，根据平衡条件竖
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直方向有
解得
可得
A 错误；
B．当夹角θ 最大时，以左边17 个灯笼为研究对象，水平方向
解得
B 正确；
C．当
时，以左边17 个灯笼为研究对象，根据几何关系可得
解得
C 错误；
D．当
时，以左边第5 个灯笼到17 个灯笼为研究对象，根据几何关系可得
解得
可知第4 个灯笼与第5 个灯笼之间的轻绳与竖直方向的夹角不为45°，D 错误。
故选B。
8.【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，质量为m = 5kg 的物体放在水平面上，物体与水平面
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间的动摩擦因数
，g 取10m/s2。当物体做匀速直线运动时，下列说法正确的是（ ）
A．牵引力F 的最小值为25N
B．牵引力F 的最小值为
C．最小牵引力F 与水平面的夹角为30°
D．最小牵引力F 与水平面的夹角为45°
【答案】AC
【详解】对物体受力分析，如图所示
由共点力的平衡条件可知，在水平方向上有
Fcosθ－Ff= 0，Ff= μFN
在竖直方向上有
Fsinθ＋FN－mg = 0
联立解得
设tanφ = μ，则
所以
当
cos(θ－φ) = 1
即
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θ－φ = 0
时，F 取到最小值
而
φ = 30°
θ = 30°
故选AC。
9.(2023·广东百校联盟)质量为M 的半圆柱体P 放在粗糙的水平地面上，其右端固定一个竖直挡板AB，在
P 上放两个大小相同的光滑小球C 和D，质量均为m，整个装置的纵截面如图所示．开始时P、C 球心连线与
水平面的夹角为θ，点P、D 球心连线处于竖直方向，已知重力加速度为g.则下列说法正确的是
( )
A．P 和挡板对C 的弹力分别为和 B．地面对P 的摩擦力大小为零
C．使挡板缓慢地向右平行移动，但C 仍在P 和挡板AB 作用下悬于半空中，则地面对P 的摩擦力将不断增
大
D．使挡板绕B 点顺时针缓慢转动，P 始终保持静止，则D 一定缓慢下滑
【答案】：C
【解析】：对D 受力分析，受到重力mg 和P 的支持力FN；对C 受力分析，受到重力mg、挡板AB 的支持
力FN1和P 对C 的支持力FN2，如图所示，根据平衡条件，得FN1＝，FN2＝，选项A 错误；以P、C、D 整
体为研究对象，进行受力分析，受到三者的重力、挡板AB 的支持力FN1，地面的支持力FN3，地面的静摩
擦力f，根据共点力平衡条件，有FN3＝(M＋2m)g，f＝FN1，选项B 错误；使挡板缓慢地向右平行移动，由
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于θ 不断减小，故f 不断增大，选项C 正确；由于P、D 球心连线处于竖直方向，当使挡板绕B 点顺时针缓
慢地转动时，小球D 可继续保持静止，选项D 错误．
10.(2023·商丘模拟)如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔．质量为m 的小球
套在圆环上．一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住．现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在
移动过程中手对线的拉力F 和轨道对小球的弹力FN的大小变化情况是 ( )
A．F 不变，FN增大 B．F 不变，FN减小 C．F 减小，FN不变
D．F 增大，FN减小
【答案】 C
【解析】 小球沿圆环缓慢上移可看作处于平衡状态，对小球进行受力分析，作出受力示意图如图所示，
由图可知△OAB∽△GF′A 即：＝＝，当A 点上移时，半径不变，AB 长度减小，故F 减小，FN不变，故C 正
确．
11．（2022·浙江·统考高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m 的石墩，石墩与水平地面
间的动摩擦因数为
，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为
，
则下列说法正确的是（ ）
A．轻绳的合拉力大小为
B．轻绳的合拉力大小为
C．减小夹角
，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
【答案】B
【详解】AB．对石墩受力分析，由平衡条件可知
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联立解得
故A 错误，B 正确；
C．拉力的大小为
其中
，可知当
时，拉力有最小值，即减小夹角
，轻绳的合拉力不一定减小，故C 错
误；
D．摩擦力大小为
可知增大夹角
，摩擦力一直减小，当
趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩
的摩擦力不是最小，故D 错误；
故选B。
12.（2017·全国·高考真题）一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80cm 的两点上，弹性绳
的原长也为80cm；将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100cm；再将弹性绳的两端缓慢
移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为（弹性绳的伸长始终处于弹性限度内）（ ）
A．86cm
B．92cm
C．98cm
D．104cm
【答案】B
【分析】本题属于共点力平衡问题，首先对物体进行受力分析，再根据正交分解法将各个力分解成两个方
向上的力，然后列式求解；如果物体受到三力处于平衡状态，可根据矢量三角形法，将三个力移动到一个
三角形中，然后根据正弦定理列式求解。前后两次始终处于静止状态，即合外力为零，在改变绳长的同时，
绳与竖直方向的夹角跟着改变。
【详解】设弹性绳的劲度系数为k，左、右两半段绳的伸长量
由共点力的平衡条件可知，钩码的重力
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将弹性绳的两端缓慢移至天花板上同一点时，钩码的重力
G = 2kL′
解得
L′ = 0.6L = 6cm
则弹性绳的总长度变为
80cm + 2L′ = 92cm
故选B。
13．【多选】（2016·全国·高考真题）如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO'悬挂于O 点；另一细绳跨过滑轮，
其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F 向右上方拉b，整个系统处于静止状
态。若F 方向不变，大小在一定范围内变化，物块b 仍始终保持静止，则（ ）
A．绳OO'的张力也在一定范围内变化
B．物块b 所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a 和b 的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b 与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
【答案】BD
【详解】AC．物块b 仍始终保持静止，可知物块a 也始终保持静止，滑轮两侧绳子的夹角也不变，可知连
接a 和b 的绳的张力等于物块a 的重力，所以连接a 和b 的绳的张力保持不变，夹角不变，所以绳OO'的张
力也不变，故AC 错误；
BD．对b 进行受力分析可知，当若F 方向不变，大小在一定范围内变化时，而重力mg 和绳子的拉力FT保
持不变，所以物块b 所受到的支持力也在一定范围内变化，物块b 与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化，
故BD 正确。
故选BD。
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14.(2023·黑龙江省齐齐哈尔市调研)重力都为G 的两个小球A 和B 用三段轻绳按如图所示连接后悬挂在O
点上，O、B 间的绳子长度是A、B 间的绳子长度的2 倍，将一个拉力F 作用到小球B 上，使三段轻绳都伸
直且O、A 间和A、B 间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F 的最小值为( )
A.G B.G C．G D.G
【答案】 A
【解析】 对A 球受力分析可知，因O、A 间绳竖直，则A、B 间绳上的拉力为0.对B 球受力分析如图所示，
则可知当F 与O、B 间绳垂直时F 最小，Fmin＝Gsin θ，其中sin θ＝＝，则Fmin＝G，故A 项正确．
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