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专题10 等效重力场模型
1.等效重力场
物体在匀强电场和重力场中的运动，可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可
形象称之为“等效重力场”。
2.方法应用
(1)求出重力与静电力的合力，将这个合力视为一个等效重力。
(2)将a＝视为等效重力加速度。
(3)小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效最高点”。
注意：这里的最高点不一定是几何最高点。
(4)将物体在重力场中的运动规律迁移到“等效重力场”中分析求解。
3.“等效最高点”和“等效最低点”示意图
如图所示，ABCD 为表示竖直放在场强为E＝104 V/m 的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其
中轨道的BCD 部分是半径为R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A 为水平轨道的一点，
而且AB＝R＝0.2 m。把一质量m＝100 g、带电荷量q＝10－4 C 的小球，放在水平轨道的A 点
由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。(g＝10 m/s2)求：
1
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(1)它到达C 点时的速度是多大？
(2)它到达C 点时对轨道压力是多大？
(3)小球所能获得的最大动能是多少？
【方法介绍】
等效思维法就是要在保持效果或关系不变的前提下，对复杂的研究对象、背景条件、过程进
行有目的的分解、重组、变换或替代，使它们转换为我们所熟知的、更简单的理想化模型，
从而达到简化问题的目的。
【思路分析】
1.等效重力场：重力场、电场等叠加而成的复合场；等效重力：重力、电场力的合力
2.处理思路：①受力分析，计算等效重力(重力与电场力的合力)的大小和方向。
②在复合场中找出等效最低点、最高点。
③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理。
【答案】 (1)2 m/s (2)3 N (3) J
【详细分析】
(1)设小球在C 点的速度大小是vC，对轨道的压力大小为NC，则对于小球由A→C 的过程中，
应用动能定理列出：
qE·2R－mgR＝mv－0
解得vC＝＝2 m/s
(2)在C 点的圆轨道径向应用牛顿第二定律，有：
NC－qE＝m
得NC＝5qE－2mg＝3 N
根据牛顿第三定律知，小球在C 点对轨道的压力大小为3 N。
(3)因为mg＝qE＝1 N
所以合场的方向垂直于B、C 点的连线BC，从B 到D 由动能定理
Ekm＝qER(1＋sin 45°)－mg·R(1－cos 45°)＝ J
【方法感悟】
有些物理问题用常规思维方法求解很繁琐，而且容易陷入困境，如果我们能灵活地采用等效
变换思维方法，则往往可以化繁为简。
2
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一、单选题
1．（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，竖直平面内有水平向左匀强电场，在匀强电场中
有一根长为L=0.5m 的绝缘细线，细线一端固定在O 点，另一端系一质量为m=2kg 的带电小球，电量大小
为q=0.1C。小球静止时细线与竖直方向成θ=37°角，此时让小球获得初速度且恰能绕O 点在竖直平面内沿
逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不考虑空气阻力。下列说法正
确的是（ ）
A．小球带正电
B．匀强电场的电场强度120N/C
C．小球做圆周运动过程中动能的最小值为6.25J
D．小球从初始位置开始，运动到竖直面圆周最高点的过程中机械能变化量为4.5J
【答案】C
【详解】A．根据平衡条件，小球带负电，故A 错误；
B．对小球进行受力分析，如图所示
由平衡关系可知
解得
3
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故B 错误；
C．小球静止时细线与竖直方向成
角，则A 点为小球绕O 点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动的等
效最高点
A 点时小球的速度最小，动能最小，由牛顿第二定律可知
动能
故C 正确；
D．由机械能守恒定律可知，机械能的变化量等于除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功，此处即电场力
做的功。小球从初始位置开始，运动到竖直面圆周最高点的过程中电场力做功
故D 错误。
故选C。
2．（24-25 高二上·北京东城·阶段练习）如图，在水平方向的匀强电场中，一质量为m、电量为+q 的小球，
栓在一长为L 的轻绳一端，在水平绝缘光滑桌面上绕O 点做圆周运动，小球运动到B 点时的速度方向恰与
电场方向垂直，小球运动到与B 点在同一直径上的A 点时，球与绳间刚好没有拉力作用，则（ ）
A．小球在B 点时的速度
4
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B．小球在B 点时的速度
C．小球在B 点时绳上的拉力大小为
D．小球运动向心加速度的最大值是最小值的6 倍
【答案】B
【详解】AB．小球运动到A 点时球与绳间刚好没有拉力作用，说明了电场力提供向心力，则
解得
B 到A 的过程中电场力做功，由动能定理得
解得
故A 错误，B 正确；
C．小球在B 点时绳上的拉力大小与电场力的合力提供加速度，得
解得
故C 错误；
D．球所受向心力的最大值
而最小值是qE，即小球所受向心力的最大值是最小值的5 倍，根据牛顿第二定律可知小球运动向心加速度
的最大值是最小值的5 倍，故D 错误。
故选B。
3．（24-25 高二上·云南红河·开学考试）真空中存在空间范围足够大的水平向右的匀强电场，在电场中，
一个质量为m、带电的小球在B 点静止时细线与竖直方向的夹角为37°，小球所带的电荷量为q，细线的长
5
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度为l，重力加速度为g，
，
。下列说法正确的是（ ）
A．小球带负电
B．电场强度的大小
C．若将小球从A 点由静止释放，则小球从A 点运动到C 点的过程中电势能增加了0.75mgl
D．若将小球从A 点由静止释放，则小球运动到C 点受到细线的拉力大小为3mg
【答案】C
【详解】AB．小球在B 点处于静止状态，对小球进行受力分析，如图所示
小球所受电场力方向与电场强度方向相同，可知小球带正电，根据平衡条件有
解得
故AB 错误；
C．若将小球从A 点由静止释放，小球将做圆周运动到达C 点，电场力做负功，电势能增加了
故C 正确；
D．根据动能定理有
6
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小球在C 点，根据牛顿第二定律有
解得
故D 错误。
故选C。
二、多选题
4．（24-25 高二上·河北衡水·阶段练习）近日，街头有一种新型游戏，参与者借助游戏工具给一带电小球
瞬时冲量，使其获得某一初速度进入暗盒，暗盒中加以电场，小球最后从暗盒顶部水平抛出，然后落地，
落地小球越近者获胜。现将上述情景，简化成如图模型，一半径为R 的光滑绝缘半圆弧轨道固定在竖直平
面内，其下端与光滑绝缘水平面相切于B 点，整个空间存在水平向右的匀强电场。一质量为m 的带电小球
从A 点以某一初速度向左运动，恰好能经过P 点且此时对圆弧轨道没有压力。已知轨道上的M 点与圆心O
等高，
与竖直方向夹角为
，取
，
，重力加速度大小为g，则小球
（ ）
A．带电小球经过P 点的速度大小为
B．带电小球所受电场力大小为
C．带电小球经过C 点的速度为
D．带电小球经过M 点时对圆弧轨道的压力大小为
【答案】BCD
【详解】AB．根据题意可知，小球经过P 点时做圆周运动的向心力由电场力和重力的合力提供向心力，且
合力指向圆心，如下图所示
7
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由几何关系知
解得
在P 点，由牛顿第二定律得
解得
故A 错误，B 正确；
C．小球从P 点到C 点过程，根据动能定理可得
解得
故C 正确；
D．小球从M 点到P 点过程，根据动能定理可得
小球在M 点，根据牛顿第二定律有
联立解得
8
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根据牛顿第三定律可得，小球对圆弧轨道的压力大小为
，故D 正确。
故选BCD。
5．如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，一内壁光滑、半径为R 的绝缘圆轨道固定在竖直平面内，
AB 为圆轨道的水平直径，CD 为竖直直径。一质量为m、电荷量为q 的带正电小球从轨道的最低点C 获得
一定的初速度
后，能够在轨道内做圆周运动，已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度
，不
计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到D 点时的动能最小
B．小球运动到B 点时的机械能最大
C．小球所受重力和电场力的合力方向与竖直方向夹角的正切值为
D．若
，小球恰好能够沿着轨道做圆周运动
【答案】BD
【详解】A．小球除受重力外，还受到水平向右的电场力，根据等效重力场的思想，D 点并非等效最高点，
故小球运动到D 点时的动能并非最小，A 错误；
B．小球具有机械能和电势能，且机械能和电势能之和保持不变，B 点电势最低，小球带正电，电势能也
最小，因此小球在B 点机械能最大，B 正确；
C．小球所受电场力为
设重力与电场力的合力方向与竖直方向的夹角为
，则
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C 错误；
D．为使小球恰好能够沿着轨道做圆周运动，需要小球恰好能够经过等效最高点M 点，如图所示
对小球处于M 点时进行分析，根据牛顿第二定律得
对小球从C 到M 的过程分析，根据动能定理得
联立解得
D 正确。
故选BD。
6．如图，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L 的绝缘细线，细线一端固定
在O 点，另一端系一质量为m 带电量为q 的小球。小球静止时细线与竖直方向成θ 角，此时让小球获得初
速度且恰能绕O 点在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g。则（ ）
A．匀强电场的电场强度大小为
B．小球获得初速度的大小为
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C．小球从初始位置运动至轨迹的最左端增加的机械能为
D．小球从初始位置在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
【答案】AB
【详解】A．小球静止时细线与竖直方向成
角，对小球受力分析如图
小球受重力、拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条件，有
解得
A 正确；
B．小球恰能绕O 点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A 由重力和电场力的合力提供向心力，根据
牛顿第二定律，有
则小球从初始位置运动到A 点的过程中，由动能定理可得
联立解得小球获得初速度的大小为
B 正确；
C．由功能关系和能量守恒定律可得小球从初始位置运动至轨迹的最左端电场力做负功，故机械能减小，
减小的机械能为
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C 错误；
D．小球从初始位置开始在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，电场力先做负功，后做正功，再做负功，
则其电势能先增大后减小再增大，D 错误。
故选AB。
7．如图所示，在水平向左且足够大的匀强电场中，一长为L 的绝缘细线一端固定于O 点，另一端系着一
个质量为m、电荷量为q 的带正电小球，小球静止在M 点．现给小球一垂直于OM 的初速度
，使其在竖
直平面内绕
点恰好做完整的圆周运动，
为圆的竖直直径．知匀强电场的场强大小为
，重力加
速度为
．当小球第二次运动到
点时细线突然断裂，则下列说法正确的是（ ）
A．小球做完整的圆周运动时，动能的最小值为
B．细线断裂后，小球动能的最小值为
C．从细线断裂到小球的动能与在
点时的动能相等的过程中，电势能增加了
D．从细线断裂到小球的电势能与在
点时的电势能相等的过程中，重力势能减少了
【答案】BD
【详解】A．小球所受重力与电场力的合力为
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解得等效重力加速度为
恰好做完整的圆周运动时在等效最高点小球有最小动能，初始状态下，小球静止在
点，则该点就是小球
的等效最低点，在等效最高点速度最小且满足
则最小动能为
故A 错误；
B．设小球在
点时细线与竖直方向的夹角为
，则有
即
小球运动到
点时，由能量守恒定律得
解得
细线断裂后小球做类斜上抛运动，沿合力方向速度为0 时，速度最小，速度的最小值为
最小动能
故B 正确；
C．细线断裂后，沿合力方向和垂直合力方向建立坐标系，沿合力方向做匀减速直线运动，设小球从
点
运动到与
点动能相等的位置所需时间为，由
得运动时间
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垂直合力方向做匀速直线运动，位移大小为
电场力做功
故电势能增加了
，故C 错误；
D．水平方向只受电场力，小球先做减速运动，后做加速运动，水平方向位移为0 时，小球的电势能与
点电势能相等，设所用时间为
，以水平向右为正方向，则有
解得
竖直方向只受重力，则有
故D 正确。
故选D。
8．（22-23 高二上·广东江门·阶段练习）如图所示，绝缘光滑圆轨道竖直放置，其所处空间存在竖直向上
的匀强电场，圆轨道的半径为R，在圆轨道的最高点A 处静止着一个质量为m、电荷量为+q 的小球。现给
小球一个
的初速度，小球刚好能通过圆轨道的最低点B。已知重力加速度为g，则下列说法正确
的是（ ）
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A．匀强电场的电场强度大小为
B．匀强电场的电场强度大小为
C．从A 运动到B 的过程，小球电势能的增量为4mgR
D．从A 运动到B 的过程，小球动能减少了4mgR
【答案】AC
【详解】AB．设匀强电场的电场强度大小为E，将小球受到的电场力和重力的合力等效为
小球从A 点运动到B 点过程中，根据动能定理有
小球恰好能到达最低点B，有
解得
，
故A 正确，B 错误；
C．小球从A 点运动到B 点过程中，电场力做的功
故小球电势能的增量为4mgR，故C 正确；
D．小球从A 点运动到B 点过程中，合力做的功
故小球的动能减少了2mgR，故D 错误。
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故选AC。
9．（23-24 高二下·四川眉山·期末）如图所示，在水平向左的匀强电场中，一长为L 的绝缘细线一端固定
于O 点，另一端系着一个质量为m、电荷量为q 的带正电小球，小球静止在M 点。现给小球一垂直于OM
的初速度v0，使其在竖直平面内绕O 点恰好做完整的圆周运动，AB 为圆的竖直直径。已知匀强电场的场
强大小为
，重力加速度为g。当小球第二次运动到B 点时细线突然断裂，则下列说法正确的是
（ ）
A．小球做完整的圆周运动时，粒子初速度的最小值
B．细线断裂后，小球速度的最小值为
C．从细线断裂到小球的动能与B 点动能相等的过程中，电势能增加了
D．从细线断裂到小球的电势能与B 点电势能相等的过程中，重力势能减少了2mgL
【答案】AB
【详解】A．由题意等效最高点在OM 连线的反向延长线与圆周的交点上，如图
设为N，则电场力和重力的等效合力为
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所以
从M 点到N 点由动能定理
解得粒子初速度的最小值
故A 正确；
B．电场力和重力的合力方向与水平方向的夹角为
可知
从M 点到B 点，由动能定理
解得
解得细线断裂后，小球做类平抛运动，当速度最小时到达“最高点”，则速度的最小值为
故B 正确；
C．细线从B 点断裂，当到达
连线上某点动能与B 点动能相等，因为到达圆周上的
点时，克服电场
力做功为
所以实际小球的电势能增加不是
，故C 错误；
D．细线从B 点断裂，当到达与A 点在同一竖直线上时，小球的电势能与
点电势能相等，则该过程中经
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过的时间
此过程中小球下落的竖直高度
重力势能减少了
故D 错误。
故选AB。
10．（23-24 高二下·陕西汉中·期末）如图所示，空间内存在方向水平向右的匀强电场，一根长为
，不可
伸长的绝缘细绳的一端连着一个质量为
、带电荷量为
的小球（视为质点），另一端固定于
点。
初始时细绳（张紧状态）与电场线平行，由静止释放小球，小球摆到
点正下方时速度为零，重力加速度
大小为
，下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度大小为
B．摆动过程中小球的最大速度为
C．摆动过程中小球所受的最大拉力为
D．摆动过程中小球减少的重力势能与增加的电势能始终相等
【答案】AC
【详解】A．设匀强电场的电场强度大小为
，小球由静止释放至最低点的过程中，根据动能定理有
解得
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故A 正确；
B．将电场力与重力合成，则有
合力方向与竖直方向成
斜向右下，将合力看成一个等效重力，找出等效最低点
，则
与竖直方向
成
斜向右下，小球由静止运动到
点的过程，根据动能定理有
解得摆动过程中小球的最大速度为
故B 错误；
C．小球在
点时受到的拉力最大，设拉力为
，根据牛顿第二定律有
解得
故C 正确；
D．摆动过程中小球减少的重力势能等于小球的动能增加量和电势能的增加量之和，故D 错误。
故选AC。
11．如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为＋q 的小球，系在一根长为d 的
绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O 点做圆周运动。AB 为圆周的水平直径，CD 为竖直直径。已知重力
加速度为g，电场强度
，下列说法正确的是（ ）
A．若小球能在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则它运动到B 点动能最大
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B．若小球恰能在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则它运动的最小速度为
C．若小球在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则小球运动到A 点时的机械能最小
D．若在A 点给小球竖直向下的初速度
，则小球运动到B 点的速度小于
【答案】BCD
【详解】A．若小球恰能在竖直平面内绕O 点做圆周运动，等效重力即电场力和重力的合力，小球受到水
平向右的电场力
合力为
方向斜向右下方，与竖直方向夹角为
，设等效合力方向与
弧的交点为
，则它运动到等效最低点
动能最大，故A 错误；
B．小球受到水平向右的电场力
合力为
设小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最小速度为v，有
解得
故B 正确；
C．机械能的增加量等于除重力弹力外其他力做的功，要想机械能最小，则电场力做负功且最多，即小球
运动到A 点，电场力做的负功最多，机械能最小，故C 正确；
D．若小球做圆周运动，由动能定理
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可得
但是由于
小于做圆周运动的最小速度，故先做一段曲线近心运动，后绳子绷直，有动能损失，故B 点速
度小于
，故D 正确。
故选BCD。
12．（23-24 高二上·吉林延边·阶段练习）如图所示，竖直平面内的固定光滑圆形绝缘轨道的半径为R，
A、B 两点分别是圆形轨道的最低点和最高点，圆形轨道上C、D 两点的连线过圆心O 且OC 与竖直向下方
向的夹角为60°。空间存在方向水平向右且平行圆形轨道所在平面的匀强电场，一质量为m 的带负电小球
（视为质点）恰好能沿轨道内侧做完整的圆形轨道运动，且小球通过D 点时的速度最小。重力加速度大小
为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球受到的电场力大小为2mg
B．小球通过C 点时所受轨道的作用力大小为12mg
C．小球通过D 点时的速度大小为
D．小球在运动过程中的最大速度为
【答案】BC
【详解】A．小球在通过D 点时的速度最小，则在该点电场力与重力的合力沿半径方向，D 点为等效最高
点，C 点为等效最低点，如图所示
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根据几何关系可得，小球受到的电场力大小
故A 错误；
BC．在“最高点”有最小速度，即
解得
小球从D 到C 的过程中，根据动能定理得
解得
在C 点，由牛顿第二定律
解得
故BC 正确；
D．小球通过等效最低点C 的速度最大，即最大速度为
故D 错误。
22
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故选BC。
13．（23-24 高二下·河北·阶段练习）如图所示，光滑绝缘的圆形轨道固定在竖直平面内，处在水平向右的
匀强电场中的，轨道半径为r，圆心为O、最低点A、最高点B。电场强度大小为E，将一个质量为m、带
负电的小球放到轨道上的C 点，小球恰好处于静止状态。已知OC 与OA 的夹角θ＝60°，重力加速度为g。
（ ）
A．小球所带电荷量大小为
B．小球做完整圆周运动的最小速度
C．若使小球恰能做完整的圆周运动，则小球在A 点的初速度大小为
D．若取A 点为重力势能和电势能的零势能面的交汇点，则小球恰能做完整的圆周运动过程中的最大
机械能为
【答案】BCD
【详解】A．小球在C 点时速度最大，则电场力与重力的合力沿DC 方向，如图
所以小球受到的电场力
Eq＝mgtan 60°＝√3mg
解得
23
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故A 错误；
B．小球做完整圆周运动经过D 点时的速度最小，即在D 点小球对圆轨道的压力恰好为零，有
解得
故B 正确；
C．在小球从圆轨道上的A 点运动到D 点的过程中，有
解得
故C 正确；
D．电势能最小的位置，机械能最大，有
故D 正确。
故选BCD。
三、解答题
14．如图所示，水平向右的匀强电场中有一半径为r 的光滑绝缘圆轨道，轨道平面与电场方向平行，a、b
为轨道水平直径的两端。一电荷量为q（q>0）、质量为m 的小球沿轨道内侧在竖直平面内运动，经过最低
点c 时速度大小为v。已知a、b 两点间的电势差
，重力加速度大小为g。求：
(1)小球运动到b 点时对轨道的压力大小；
(2)小球运动过程中的最大速度。（结果可用根号表示）
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【答案】(1)
(2)
【详解】（1）从c 点到b 点，由动能定理得
在b 点，由牛顿第二定律得
解得
由牛顿第三定律知，小球运动到b 点时对轨道的压力大小为
（2）由于
所以小球的平衡位置在bc 中点，可知小球运动到
中间位置时，速度最大，从c 点到
中间位置的过程，
由动能定理得
解得
15．一条绝缘轻绳一端固定在O 点，一端连着一个带电小球，初始时小球在一竖直向下的匀强电场中保持
静止，轻绳沿水平方向，如图所示。小球的质量为
，电场强度
，轻绳长度
，g 取
。
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(1)小球带何种电荷？电荷量为多少？
(2)现将电场方向调整到水平向右，且E 大小不变，小球在P 点由静止释放，则之后小球做什么运动？
(3)在（2）条件下，小球电势能最小时的速度大小为多少？
【答案】(1)带负电，
(2)见解析 (3)
【详解】（1）以小球为研究对象，根据受力平衡可知，小球受到的电场力竖直向上，与电场方向相反，
则小球带负电，由
解得电荷量为
（2）
现将电场方向调整到水平向右，且E 大小不变，则小球受到的电场力水平向左，大小仍为
可知小球受到电场力和重力的合力斜向下偏左，与竖直方向的夹角θ 满足
解得
建立等效重力场，如图所示
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可知小球先沿等效重力方向做匀加速直线运动，当轻绳刚好拉直时，小球沿绳方向的速度突变为0，小球
开始以绳长为半径，绕O 点做往复的圆周运动。
（3）根据几何关系可知，当轻绳刚好拉直时，小球运动到最低点，则小球从静止开始运动到最低点一直
沿等效重力方向做匀加速直线运动，等效重力大小为
根据动能定理可得
解得小球运动到最低点时的速度大小为
此时小球沿绳方向的速度突变为θ，垂直绳方向的速度
之后，小球以
的速度在等效重力场中绕O 点做往复的圆周运动；由于小球电势能最小时所处位置与
小球运动最低点关于等效最低点与O 点连线对称，故小球电势能最小时的速度大小为
。
16.如图所示，一质量为m、电荷量为q（
）的带正电小球用一根长为L 的轻绳悬挂于O 点，处在水平
向右的匀强电场中。小球静止时轻绳与竖直方向成
角。已知重力加速度为g，
。求：
(1)匀强电场的场强大小；
(2)若此时给小球一垂直轻绳斜向上的初速度
，使小球恰好可以绕O 点做完整的圆周运动，则
的大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）小球静止时，受竖直向下的重力、水平向右的电场力以及绳子拉力，由平衡条件可得
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解得
（2）小球从开始到等效“最高点”的过程，由动能定理可得
小球恰好到达等效“最高点”时，由牛顿第二定律可得
联立解得
17．如图所示，空间存在水平向左的匀强电场，一个质量为m、电荷量为q 的带正电小球用长为L 的绝缘
细线悬于电场中的O 点。将小球拉至与O 点等高的A 点，给小球一个竖直向下的初速度，小球在竖直面内
做圆周运动，恰好能到达C 点，OC 与竖直方向的夹角为37°，重力加速度为g，已知电场强度大小
，
，小球可视为质点，求：
(1)小球在A 点的初速度大小；
(2)小球运动到圆弧最低点B 时，细线的拉力大小；
(3)若小球向左运动到速度最大的位置时细线刚好断开，此后当小球运动的速度沿水平方向时，小球的速度
大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设小球在A 点的初速度大小为
，从A 点C 点过程，根据动能定理可得
解得
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（2）小球A 点B 点过程，根据动能定理可得
解得
小球运动到圆弧最低点B 时，根据牛顿第二定律可得
解得细线拉力大小为
（3）小球受到电场力和重力的合力大小为
电场力和重力的合力方向与竖直方向的夹角满足
可得
设小球向左运动到D 位置速度最大，此时
与竖直方向的夹角为
，则从C 点到D 点过程，根据动能
定理可得
解得
此时细线刚好断开，当小球运动的速度沿水平方向时，竖直方向有
小球的速度大小为
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其中
联立可得
18．（24-25 高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中
有一根长为L 的绝缘细线，细线一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的带电小球，小球电荷量大小为
q。小球静止时细线与竖直方向成θ 角，此时让小球获得初速度且恰能绕O 点在竖直平面内顺时针做圆周
运动，重力加速度为g。
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)求小球动能的最小值；
(3)若小球恰好能够完成圆周运动，求小球运动过程中对绳的最大拉力的大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）如图所示，小球静止时细线与竖直方向成θ 角，受重力、拉力和静电力，三力平衡，根据平
衡条件，有
mgtanθ=qE
解得
E=
（2）小球恰能绕O 点在竖直平面内做圆周运动，则在等效最高点A 时速度最小，等效重力
F′=mg′=
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根据牛顿第二定律有
则小球动能的最小值为
Ek=
mvA
2=
（3）小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置机械能最小，小球带负电，则小
球运动到圆周轨迹的最左端时机械能最小；从A 点至等效最低点的过程中，由动能定理
mg′ 2L=
mvmax
2-
mvA
2
在等效最低点
FT-mg′=
得
FT=
由牛顿第三定律球对绳的拉力
FT′=
19．（24-25 高二上·湖南株洲·开学考试）地面上方空间存在水平向右的匀强电场，场强为E，不可伸长的
绝缘细线长为L，上端系于O 点，下端系一质量为m、电量为
的小球，现将小球在最低点A 以一定的初
速度水平向左抛出，小球恰能在竖直平面内绕O 点做圆周运动，当小球速度最小时，细线与竖直方向的夹
角
，已知重力加速度为g，求：
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(1)电场强度的大小；
(2)小球在最低点的初速度大小；
(3)若抛出小球的同时剪断细线，小球恰好落在地面上A 点正下方的位置B，求A 点离地的高度。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由小球恰能在竖直平面内绕O 点做圆周运动可知，小球在运动过程中动能最小时仅由重力
和电场力的合力提供向心力，由几何关系有
解得
（2）当小球速度最小时，由牛顿第二定律有
从最低点到小球速度最小过程中，由动能定理有
联立解得
（3）若抛出小球的同时剪断细线，小球在竖直方向上做自由落体运动，在水平方向上先向左减速再向右
加速，水平方向位移为零，设经过t 时间落到地面，A 点离地的高度为h，则有
，
，
联立解得
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20．如图所示，绝缘光滑圆轨道竖直放置在水平方向的匀强电场中，一个质量为m，电荷量为＋q 的小球
位于轨道内侧的最高点A 处。小球由静止释放后沿直线打到与圆心O 等高的B 点，小球可视为质点。已知
圆轨道的半径为R，重力加速度为g。
（1）求匀强电场的电场强度E1的大小；
（2）当给小球一个水平方向的初速度，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动，求小球通过A 点时的
动能Ek。
（3）若电场方向不变，大小变为E1的一半，在A 点给小球一水平向右的初速度，使小球恰好到达B 点。
求初速度的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）对小球受力分析，如图所示
小球由静止释放后沿直线打到与圆心O 等高的B 点，则合力沿AB 方向，有
解得
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（2）根据小球合力方向可知，小球能通过圆轨道等效最高点D 点，由题意可知，D 点位于OD 与OA 夹角
为45°，如图所示
小球能做完整的圆周运动，小球的合力大小为
小球在D 点，根据牛顿第二定律有
D 点到A 的过程，由动能定理有
联立解得
（3）若电场方向不变，大小变为E1的一半，在A 点给小球一水平向右的初速度，使小球恰好到达B 点，
由两分运动的规律有
联立可得
21．在竖直平面内有水平向左、场强为E=1×104N/C 的匀强电场。电场中有一根长L=2m 的绝缘细线，一端
固定在O 点，另一端系质量为1kg 的带电小球，小球静止时细线与竖直方向成37°角，如图所示。给小球
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一个初速度让小球绕O 点在竖直平面内做圆周运动，取小球静止时的位置为电势能和重力势能的零点
（g=10m/s2，
，
），小球视为质点，如果小球恰能做圆周运动，求：
（1）小球所带电量；
（2）小球运动过程中动能的最小值；
（3）小球运动过程中机械能的最小值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球静止时（假设位置为M，如图甲所示），对小球进行受力分析，如图乙所示，可得
解得小球所带电量为
（2）如果小球恰能做圆周运动，在等效最高点N（N 点与M 点关于O 点对称）时动能最小，该位置在平
衡位置的反向延长线上，重力和电场力的合力大小为
则在N 点，有
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小球运动过程中动能最小值
联立，解得
（3）由于总能量保持不变，所以小球在圆上最右侧的P 点时，电势能最大，机械能最小。小球在N 点时
的重力势能
所以小球在N 点的机械能
小球从N 运动到P，电场力做功
小球恰能做圆周运动的机械能最小值
联立，解得
22．如图，水平轨道AB 与半径为R 的竖直半圆弧轨道BCD 在B 点平滑连接，整个装置处于与水平方向成
角斜向上的匀强电场中，场强大小
。质量为m，电荷量为q 的带正电小球从水平轨道上A 点
静止释放后以水平速度
经B 点进入圆弧轨道。不计一切摩擦阻力，重力加速度大小为g。求：
（1）水平轨道AB 之间的距离；
（2）小球运动到圆弧轨道上B 点时所受轨道支持力的大小；
（3）小球在轨道上运动的最大速度；
（4）小球从D 点离开圆弧轨道到第一次返回轨道所经历的时间。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）小球从A 点到B 点过程，根据动能定理可得
代入数据解得水平轨道AB 之间的距离为
（2）小球运动到圆弧轨道上B 点时，根据牛顿第二定律可得
解得小球所受轨道支持力的大小为
（3）小球在圆弧轨道运动时，只有重力和电场力做功，重力和电场力的合力如图所示
可知重力和电场力的合力方向水平向右，大小为
可知小球在轨道上运动到C 点的速度最大，从B 到C 过程，根据动能定理可得
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解得小球在轨道上运动的最大速度为
（4）从B 到D 过程，重力和电场力的合力做功为0，则小球从D 点的速度为
小球从D 点离开的速度水平向左，而重力和电场力的合力水平向右，可知小球从D 点离开先水平向左做匀
减速直线运动，再反向水平向右做匀加速直线运动回到D 点，则有
小球从D 点离开圆弧轨道到第一次返回轨道所经历的时间为
23．如图所示，足够大的匀强电场水平向右，用一根长度为L 的绝缘细绳把一可视为质点且带正电的小球
悬挂在
点，小球的质量为m、电荷量为q，小球可在B 点保持静止，此时细绳与竖直方向的夹角为
。现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放，重力加速度大小为
求：
（1）匀强电场强度的大小E；
（2）小球通过最低点C 时绳子的拉力T；
（3）若在A 点给小球一沿切线方向的初速度
，小球恰好可以在竖直面内做完整的圆周运动，则
多大。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
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【详解】（1）小球受到电场力
、重力
和绳的拉力
的作用下处于静止，
根据共点力的平衡条件有
可得
（2）A 到C 的过程中，根据动能定理
在C 点，由牛顿第二定律
联立可得
（3）由圆周运动规律知
关于
对称的
为小球做圆周运动的等效最高点，设小球刚好可以经过该点时
速度为，则绳子拉力为0，由牛顿第二定律
小球从A 到B 过程中由动能定理得
解得
24．如图所示，长为L 的绝缘细线系一质量为m、电荷量为q 的小球，细线的另一端固定在O 点，由于空
间存在水平向右的电场，小球静止时细线与竖直方向的夹角为37°。当给小球一定的初速度时，小球可绕
O 点在竖直平面内做圆周运动。重力加速度为g。请思考下列问题：
（1）小球所受的静电力为多大？
（2）小球做圆周运动时，在哪个位置速度最小？在哪个位置速度最大？
（3）在小球静止处给小球一个多大的初速度v0，小球刚好能在竖直平面内绕O 做圆周运动？
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【答案】（1）
；（2）见解析；（3）
【详解】
（1）对小球受力分析如图所示
根据平衡条件有
（2）小球静止时，重力与静电力的合力沿细线方向，当小球做圆周运动时，小球无论运动到什么位置，
小球所受静电力与重力的合力总是与竖直方向成
角，大小恒定不变，这与没有电场时小球可以静止在
最低点，无论小球运动到什么位置重力总是竖直向下一样，因此存在电场的情况下，小球可以保持静止的
位置相当于只有重力时的“最低点”，而能保持静止处于圆心对称的位置，相当于只有重力时的“最高
点”，因此小球做圆周运动时在“最低点”速度最大，在“最高点”速度最小。
（3）小球恰好做圆周运动，在“最高点”的速度最小应满足
从“最低点”到“最高点”由动能定理可得
联立解得
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