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高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练
专题10 三大力场中竖直面内圆周运动模型
特训目标
特训内容
目标1
重力场中的竖直面内圆周运动的绳（或轨道内侧）模型（1T—6T）
目标2
重力场中的竖直面内圆周运动的杆（或管）模型（7T—12T）
目标3
电磁场中的竖直面内圆周运动模型（13T—18T）
【特训典例】
一、重力场中的竖直面内圆周运动的绳（或轨道内侧）模型
1．如图a，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC，小球以一定的初速度从最低点A 冲上轨道，图b
是小球在半圆形轨道上从A 运动到C 的过程中，其速度平方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点
C 受到轨道的作用力为2.5N，空气阻力不计，B 点为AC 轨道中点，重力加速度g 取10m/s2，下列说法正确
的是（ ）
A．图b 中
B．小球质量为0.2kg
C．小球在A 点时重力的功率为5W
D．小球在B 点受到轨道作用力为8.5N
【答案】ABD
【详解】A．小球在光滑轨道上运动，只有重力做功，故机械能守恒，有
解得
即
，A 正确；
B．依题意小球在C 点，有
又
，
解得
，B 正确；
C．小球在A 点时重力方向竖直向下，速度水平向右，二者夹角为
，根据
可知重力的瞬时
1
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功率为零，C 错误；
D．由机械能守恒，可得
又因为小球在B 点受到的在水平方向上的合外力提供向心力，
可得
联立，可得
，D 正确。故选ABD。
2．如图甲所示，一长为R 的轻绳，一端系在过O 点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个
装置绕O 点在竖直面内转动，小球通过最高点时，绳对小球的拉力F 与其速度平方v2的关系图像如图乙所
示，图线与纵轴的交点坐标为a，下列判断正确的是（ ）
A．利用该装置可以得出重力加速度，且
B．绳长不变，用质量较大的球做实验，得到的图线斜率更大
C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线与纵轴的交点坐标不变
【答案】CD
【详解】A．由图乙知当
时，
，则有
解得
故A 错误；
BC．在最高点，根据牛顿第二定律得
整理得
图线的斜率为
可知绳长不变，小球的质量越小，斜率越大，故B 错误，C 正确；
D．由表达式
可知，当
时，有
可知图线与纵轴的交点坐标与小球质量无关，
故D 正确。故选CD。
3．如图所示，杂技演员做水流星表演时，用一绳系着装有水的小桶在竖直平面内绕O 点做圆周运动，整
个运动过程中水没有流出。已知小桶内水的质量为
，O 点到水面的距离为
，水面到桶底的距离为
，
小桶直径远小于
，重力加速度大小为
。则小桶转到最低点时水对桶底的压力大小可以为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】整个运动过程中水没有流出，则在最高点最小速度时，最靠近圆心那一层水
刚好没有流出，
设此时角速度为
，则有
可得
设最低点桶和水运动的角速度为
，从最高点到最低
点的过程，根据机械能守恒有
在最低点，根据牛顿第二
定律有
联立解得
根据牛顿第三定律可知，小桶转到最低点时水
对桶底的压力至少为
。故选BC。
4．如图甲所示为某款自行车气嘴灯，在快速骑行时灯会发光。图乙为其内部控制开关示意图，弹簧一端
固定，另一端栓接小物块，当车轮高速旋转时，小物块由于离心运动拉伸弹簧后使触点M、N 接触，从而
接通电路使灯发光。当自行车匀速前行时，下列说法正确的是（ ）
A．小物块受到重力、弹力和离心力的作用
B．灯运动至最高点时弹簧一定处于伸长状态
C．增大小物块质量可使灯在较低转速下也能发光
D．若灯转到最高点时能发光，则在最低点时也一定能发光
3
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【答案】CD
【详解】A．嘴灯做圆周运动时，重物受到重力、弹力的作用，合力提供向心力，故A 错误；
B．灯运动至最高点时若由灯的重力提供向心力有
若灯动至最高点时的速度大于
，则弹簧将
处于压缩状态，故B 错误；
C．灯在最低点时
解得
因此增大重物质量可使LED 灯在较低转速下也能发光，
故C 正确；
D．灯在最低点时
灯在最高点时
匀速行驶时，在最低点时弹簧对重物的弹力大于
在最高点时对重物的弹力，因此匀速行驶时，若LED 灯转到最高点时能发光，则在最低点时也能发光，故
D 正确。故选CD。
5．某物理实验兴趣小组探究竖直面内小球做圆周运动对轨道压力的变化规律。如图所示，在竖直面内固
定一个圆周轨道，轨道半径R=0.3m，分别在距离最低点A 高度为0、0.1m、0.2m、0.3m、0.4m、0.5m、
0.6m 处安置压力传感器，一质量为m 的小球从A 点以速度v0开始沿内轨道向右运动，已知小球在最低点A
点和最高点B 点压力传感器示数差为6N，在C 点（与O 点等高的位置）压力传感器示数为10N。小球可视
为质点，小球与圆轨道的摩擦力可忽略不计，g 取10m/s2。由此可判定（ ）
A．m=0.2kg
B．v0=6m/s
C．小球在0.2m 处时压力传感器示数为12N
D．小球在各位置压力传感器示数F 与高度h 的关系
【答案】BD
【详解】AB．小球从A 点到B 点，根据动能定理有
在B 点，根据牛顿第二定律有
4
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在A 点，根据牛顿第二定律有
根据题意可知
联立解得m=0.1kg，
v0=6m/s 故A 错误，B 正确；
C．设小球在0. 2m 处时与圆心的连线与竖直方向的夹角为
，根据几何关系有
小球从A 点到0. 2m 处，根据动能定理有
在0. 2m 处，根据牛顿第二定律有
解得
所以压力传感器示数为11N，故C 错误；
D．设在任意高度h 处小球的速度为v，由动能定理有
在右侧轨道上，设小球在h 处和
圆心的连线与竖直方向的夹角为
，当h≤R 时，由牛顿运动定律有
；
在最低点有
可得
当R＜h≤2R 时该式仍成立，故D 正确。故选BD。
6．如图所示，质量为m 的小球用轻质细绳连接，在倾角为
的光滑固定斜面上绕O 点做半径为R 的圆周
运动，小球恰好能通过最高点，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动过程中的最小速度为
B．绳子拉力的最大值为
C．小球通过最高点时对斜面的压力最小
D．小球通过与O 点等高的位置时，其加速度大小为
【答案】BD
5
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【详解】A．在最高点，据牛顿第二定律可得
解得
故A 错误；
B．小球运动到最低点时绳子拉力最大，从最高点到最低点的过程，据动能定理可得
在最低点有
解得
故B 正确
C．运动过程中，小球对斜面的压力大小始终为
，故C 错误
D．从最高点到与O 点等高的位置，据动能定理可得
向心加速度
联立解得
小球在切线方向的加速度大小为
解得
，故D 正确。
故选BD。
二、重力场中的竖直面内圆周运动的的杆（或管）模型
7．如图甲所示，一轻质杆一端固定在水平转轴O 上，另一端与小球（可视为质点）相粘，小球随轻杆绕
转轴在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时杆对小球的弹力大小为F，小球在
最高点的速度大小为v，重力加速度为
，其
图像如图乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．轻质杆长为
B．小球的质量为
C．当
时，小球受到的弹力方向向上，且大小等于
D．当
时，小球受到的弹力方向向下，且大小等于
【答案】AB
6
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【详解】AB．以向下为正方向，小球在最高点根据牛顿第二定律有
整理得
图象纵坐标的截距为
可得小球的质量为
图象的斜率为
解得轻质杆
长为
故AB 正确；
C．当
时，小球受到的弹力
故小球受到的弹力方向向
上，且大小等于
，故C 错误；
D．．当
时，小球受到的弹力
故小球受到的弹力方
向向下，且大小等于
，故D 错误。故选AB。
8．如图甲所示，轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，现让小球绕定点O 在竖直面内做圆周运动，
小球经过最高点的速度大小为v，此时轻杆对小球的作用力大小为
，
（设竖直向上为正）与速度的平
方
的关系如图乙所示，图像中的a、b 及重力加速度g 均为已知量，不计空气阻力。下列说法正确的是（
）
A．小球的质量等于
B．轻杆的长度为
C．当
时，小球的向心加速度小于g
D．当
时，纵轴坐标值
7
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【答案】AB
【详解】AB．由图可知，当小球在最高点的速度为零时，有
当杆对小球无作用力时
，有
联立两式可解得
，
，AB 正确；
C．当
时，
，小球只受重力，故小球在最高点的向心加速度等于重力加速度g，C 错误；
D．当
时，
解得
负号表示杆对小球的作用力为拉力，且小球受到杆
的弹力与重力大小相等，所以纵轴坐标值
，D 错误。故选AB。
9．如图甲所示，质量为m 的小球与轻杆一端相连，绕杆的另一端点O 在竖直平面内做圆周运动，从小球
经过最高点开始计时，杆对小球的作用力大小F 随杆转过角度
的变化关系如图乙所示，忽略摩擦阻力，
重力加速度大小为g，则（ ）
A．当
时，小球的速度为零0
B．当
时，力F 的大小为6mg
C．当
时，小球受到的合力大于3mg
D．当
时，小球的加速度大小为6g
【答案】BC
【详解】A．当
时，刚好由重力提供向心力，则
解得
故A 错误；
BD．当
时，由合力提供向心力得
最高点到最低点，由动能定理得
解得
故B 正确，D 错误；
C．当
时，由水平方向上的合力提供向心力得
角度由
变为
过程中，由动能定理
8
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得
解得
当
时，小球受到的合力为
故C 正确。故选BC。
10．一半径为r 的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，如图甲所示。小球运动到最高点时管壁
对小球的作用力大小为
，小球的速度大小为v，其
图像如图乙所示。已知重力加速度为g，规定
竖直向下为正方向，不计一切阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为
B．圆形管道内侧壁半径为
C．当
时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为
D．小球在最低点的最小速度为
【答案】AB
【详解】A．规定竖直向下为正方向，设圆形管道内侧壁半径为R，小球受到圆形管道的作用力大小为
，
在最高点，由牛顿第二定律，当
时
当
时，由重力提供向心力有
解得
当
时，由牛顿第二定律有
解得
当
时，由牛顿第二定律有
解得
故
故小球的质量为
9
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或
，故A 正确；
B．当
时
；
解得圆形管内侧壁半径
故B 正确；
C．当
时，小球受到外侧壁竖直向下的作用力，由牛顿第二定律有
解得
故C 错误；
D．根据能量守恒定律，当小球在最高点具有最小速度（为零）时，其在最低点的速度最小，即
；
故D 错误。故选AB。
11．如图（a），被固定在竖直平面内的轨道是由内径很小、内壁均光滑的水平直轨道和半圆形轨道平滑
连接而成，在半圆形轨道内壁的最高和最低处分别安装M、N、P、Q 四个压力传感器。一小球（可视为质
点）在水平轨道内以不同的初速度
向右运动（传感器不影响小球的运动）。在同一坐标系中绘出传感器
的示数F 与
的图像I、II、III 如图（b）所示。重力加速度
。下列判断正确的是（ ）
A．直线I、II、III 分别是 M、N、P 传感器的图像
B．由图像可求得小球的质量
C．当
时，Q 传感器的示数为28N
D．当
时，N 传感器的示数为22N
10
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【答案】BC
【详解】A．在Q 点
在N 点
对M 点
，P 传感器不会受到压力作用，
故A 错误；
B．根据以上分析可知，I、II、III 对应P、M、N，由图像可求得，当速度为零时，在P 点
所以小球的质量
，故B 正确；
C．根据图b 可知，当
时，N 处弹力为零，此时到达N 处的速度
对N 处，当弹力为零时
解得
当
时，Q 传感器的示数为
解得
故C 正确；
D．当
时，到达N 点的速度
，N 传感器的示数
解得
所以此时N 传感器示数为零，故D 错误。故选BC。
12．如图所示，倾角为
的斜面体固定在水平地面上，在斜面上固定一个半圆管轨道AEB，圆管的内
壁光滑、半径为r，其最低点A、最高点B 的切线水平，AB 是半圆管轨道的直径，现让质量为m 的小球
（视为质点）从A 点以一定的水平速度滑进圆管，圆管的内径略大于小球的直径、重力加速度为g，
、
，下列说法正确的是（ ）
A．当小球到达B 点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球在B 点的速度为
11
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B．小球离开B 点做平抛运动的时间为
C．若小球在B 点的加速度大小为2g，则A 点对小球沿斜面方向的弹力大小为
D．若小球到达B 点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球的落地点与P 点间的距离为
【答案】BCD
【详解】A．小球到达B 点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则由重力沿斜面的分力提供向心力，则有
解得
，A 错误；
B．小球离开B 点做平抛运动，竖直方向上有
解得
，B 正确；
D．若小球到达B 点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，根据上述有
，
小球的落地点与
P 点间的距离为
解得
，D 正确；
C．小球在B 点的加速度大小为2g，则在B 点有
小球由A 运动到B 过程有
小球在A 点有
解得
，C 正确。故选BCD。
三、电磁场中的竖直面内圆周运动模型
13．如图所示，内表面光滑绝缘的半径为
的圆形轨道固定在竖直平面内，平面内有竖直向下的匀强电场，
当带电小球（可视为点电荷）以大小为、水平向右的初速度从轨道的最低点A 开始运动时，小球恰能做
完整的圆周运动。已知带电小球的质量为
、电荷量大小为
（正负未知），重力加速度大小为
，则下
列说法正确的是（ ）
12
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A．若小球带正电，则电场强度大小一定为
B．若小球带正电，则电场强度大小可能为
C．若小球带负电，则电场强度大小一定为
D．若小球带负电，则电场强度大小可能为
【答案】AD
【详解】AB．当小球带正电时，小球在轨道的最高点
最容易脱离轨道，结合题意在
点时对小球由牛顿
第二定律有
小球从A 点运动到
点有由动能定理有
解得
故A 正确，B 错误；
CD．当小球带负电且
时，小球在轨道的最低点A 最容易脱离轨道，因此在轨道最低点由牛顿第二
定律有
解得
当小球带负电且
时，小球在轨道的最高点
最容易脱
离轨道，结合题意在
点时对小球由牛顿第二定律有
小球从A 点运动到
点由动能定理有
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解得
故C 错误，D 正确。故选AD。
14．如图所示，在竖直平面内有水平向右、场强为E 的匀强电场。在匀强电场中有一根长L 的绝缘细线，
一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的带电小球，它静止时悬线与竖直方向成37°角，若小球获得初速
度恰能绕O 点在竖直平面内做圆周运动，取小球静止时的位置为电势能零点和重力势能零点，重力加速度
为g，下列说法正确（ ）
A．小球的带电荷量
B．小球动能的最小值为
C．小球在运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球绕O 点在竖直平面内做圆周运动的电势能和机械能之和保持不变
【答案】BD
【详解】A．对小球进行受力分析如图所示
根据平衡条件可得
所以小球的带电量为
故A 错误；
B．由于重力和电场力都是恒力，所以它们的合力也是恒力，在圆上各点中，小球在平衡位置A 点时的势
能（重力势能和电势能之和）最小，在平衡位置的对称点B 点，小球的势能最大，由于小球总能量不变，
所以在B 点的动能EkB 最小，如图所示
14
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在B 点，小球受到的重力和电场力，其合力提供小球做圆周运动的向心力，而绳的拉力恰为零，有
根据牛顿第二定律有
而动能为
联立解得
故B 正确；
CD．由于总能量保持不变，即
=恒量所以当小球在圆上最左侧的C 点时，电势能EpE最大，机
械能最小，故C 错误，D 正确。故选BD。
15．如图所示，半径为
的光滑绝缘细管道位于竖直平面内，质量为
、带电量为
的小球位于管道最低
点A，B 是最高点，空间存在水平向左、场强大小
的匀强电场，现在A 点给小球一水平初速度
，
小球恰好能够做完整的圆周运动，重力加速度为
，下列说法正确的是（ ）
A．
的大小为
B．经过B 点时小球受到管道内壁支持力大小为
C．经过A 点时小球受到管道外壁的支持力大小为
D．若在A 点给小球的水平初速度增大一倍，小球经过B 点的速度也增大一倍
【答案】AB
【详解】A．如图所示
15
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小球在等效最低点P 静止时，受重力、支持力和电场力三力平衡，根据平衡条件，有
结合
可知
且重力和电场力的合力为
小球恰好能够做完整的圆周运动，说明小球经
过等效最高点Q 时速度刚好为零，由A 到Q 根据动能定理，有
解得
故A 正确；
C．在A 点根据向心力公式有
解得
故C 错误；
BD．由A 到B 根据动能定理，有
解得
在B 点有
解得经过B 点时小球受到管道内壁的支持力大小为
若在A 点给小球的水平初速度增大一
倍，则有
故B 正确，D 错误。故选AB。
16．如图所示，在竖直面内有一个半径为
的绝缘圆轨道，圆心为
，
、分别为轨道的最高点和最低
点，
、
分别为轨道的最右端和最左端，内表面左半圆
光滑、右半圆
粗糙，整个空间存在水平向
左的匀强电场。一个质量为
、带电荷量为
（
）的带电小球，从
点沿圆轨道向下运动，过最低
点的瞬间对小球施加一个恒力
，同时在空间内加上垂直纸面、磁感应强度大小为
（未知）的匀强磁
场，小球做匀速圆周运动到
点。已知电场强度大小为
（
为重力加速度），带电小球所带电荷量始
终不变，则下列说法正确的是（ ）
16
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A．小球可以从
点由静止释放
B．恒力大小为
C．小球从
到
的过程中机械能可能减小
D．磁场方向垂直纸面向外，且
的最小值为
【答案】AB
【详解】AC．小球由d 到c 过程中，重力做正功，电场力做正功，机械能增大；由c 到b 过程中，速度不
变，高度上升，机械能增大，可以从d 点由静止释放，故A 正确，C 错误；
B．由c 到b 过程中，小球做匀速圆周运动，则恒力F 与重力和电场力平衡，有
故B 正确；
D．当小球从d 点由静止释放时，在c 点由动能定理可得
由c 到b 过程中，洛伦兹力提供
向心力，有
解得
故D 错误。故选AB。
17．如图所示，直角坐标系xOy 在水平面内，z 轴竖直向上。坐标原点O 处固定一带正电的点电荷，空间
中存在竖直向下的匀强磁场B。质量为m 带电量为q 的小球A，绕z 轴做匀速圆周运动，小球A 的速度大小
为v0，小球与坐标原点O 的距离为r，O 点和小球A 的连线与z 轴的夹角θ=37°。重力加速度为g，m、q、r
已知。（cos37°=0.8，sin37°= 0.6）则下列说法正确的是（ ）
17
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A．小球A 与点电荷之间的库仑力大小为
B．从上往下看带电小球只能沿逆时针方向做匀速圆周运动
C．v0越小所需的磁感应强度B 越小
D．
时，所需的磁感应强度B 最小
【答案】ABD
【详解】A．对小球A 受力分析如图所示，洛伦兹力F2沿水平方向，库仑力F1沿着O→B 方向。
在竖直方向，根据平衡条件得
解得
小球A 与点电荷之间的库仑力大小为
。故
A 正确；
B．原点O 处带正电的点电荷与小球之间的库仑力为斥力，故小球带正电，空间中存在竖直向下的匀强磁
场，洛伦兹力需要指向圆心，根据左手定则，从上往下看带电小球只能沿逆时针方向做匀速圆周运动。故
B 正确；
CD．水平方向根据牛顿第二定律得
其中
解得
18
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当
即
，B 取值最小，可知B 与
并非单调函数关系。故C 错误；D 正确。
故选ABD。
18．如图所示，有一半径为R 的半圆形光滑绝缘轨道PDQ（PQ 为直径）固定在竖直平面内，空间分布着
水平方向、垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，轨道的最低点D 处放一质量为m、带电荷量为
q（
）的小球（图中未画出），现给小球一水平向左的初速度，小球恰好能运动到与圆心O 等高处，
在此过程中小球始终与轨道接触，已知重力加速度为g。关于此过程，下列说法正确的是（ ）
A．小球在D 处的速度大小为
B．小球在D 处对轨道的压力大小为
C．小球由D 处到P 处对轨道的压力先增大后减小
D．小球由D 处到P 处对轨道的压力一直减小
【答案】ABD
【详解】A．小球从D 点运动至最高点P 的过程，只有重力做负功，所受的洛伦兹力和轨道的支持力均不
做功，由动能定理有
解得
故A 正确；
B．小球在D 处受力分析，由牛顿第二定律有
由牛顿第三定律可知
解得小球在D 处对轨道的压力大小为
故B 正确；
CD．小球由D 处到P 处，设小球的位置和圆心的连线与竖直方向的夹角为
，由牛顿第二定律有
因
逐渐增大，即
减小，速度逐渐减小，则轨道的支持力逐渐减小，故小
球对轨道的压力逐渐减小，故C 错误，D 正确。故选ABD。
19
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