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专题09 竖直面内的圆周运动模型
目录
一．一般圆周运动的动力学分析........................................................................................................................1
二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析................................................................................1
三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论....................................................................................................2
三.过拱凹形桥模型..............................................................................................................................................35
一．一般圆周运动的动力学分析
如图所示，做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速度和垂直速度分解，则
由牛顿第二定律，有：
，aτ改变速度v 的大小
，an改变速度v 的方向，
作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可先以该点附近的一小段曲线为圆周的一部分
作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。
，aτ改变速度v 的大小
，an改变速度v 的方向，
，ρ 为曲率圆半径。
二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析
轻绳模型（没有支撑）
轻杆模型（有支撑）
常见
类型
过最高点的临
界条件
由mg＝m 得v 临＝
由小球能运动即可得v 临＝0
对应最低点速度v 低≥√5gr
对应最低点速度v 低≥√4gr
绳不松不脱轨
条件
v 低≥√5gr 或v 低≤√2gr
不脱轨
最低点弹力
F 低-mg =mv 低2/r
F 低-mg =mv 低2/r
Fn
Fτ
F
v
Fn
Fτ
F
v
1
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F 低=mg+mv 低2/r，向上拉力
F 低=mg+mv 低2/r，向上拉力
最高点弹力
过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨
道对球产生弹力FN＝m-mg
向下压力
(1)当v＝0 时，FN＝mg，FN为向上支持力
(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN 向上支持
力，随v 的增大而减小
(3)当v＝时，FN＝0
(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力并随
v 的增大而增大
在最高
点的FN
图线
取竖直向下为正方向
取竖直向下为正方向
三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A 和最低点
记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为R
要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由
mg =m v2
R 可得v=√gR ①
对应C 点的速度有机械能守恒
mg 2 R=1
2 mv C
2−1
2 mv A
2
得vC=√5gR ②
当小球在C 点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O 点等高的D 位置则由机械能守恒
mgR =1
2 mv c
2
得vc=√2gR ③
小结：(1).当vc>√5gR 时小球能通过最高点A 小球在A 点受轨道向内的支持力
由牛顿第二定律
F A+mg =m v A
2
R ④
(2).当vc=√5gR 时小球恰能通过最高点A 小球在A 点受轨道的支持力为0
由牛顿第二定律
mg =m v A
2
R 。⑤
2
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(3).当√2gR <vc<√5gR 时小球不能通过最高点A 小球在A 点，上升至DA 圆弧间的某一位向右做斜抛
运动离开圆周，且v 越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0
在DA 段射重力与半径方向的夹角为θ 则
mg cosθ=m v2
R 、
cosθ= h
R
(4).当0<vc≤√2gR 时小球不能通过最高点A 上升至CD 圆弧的某一位置速度减为0 之后沿圆弧返回。上
升的最高点为C 永不脱离轨道
【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力
(1)从最高点A 点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒
mg 2 R=1
2 mv C
2
在C 点由牛顿运动定律：
F N−mg =m vC
2
R
得F N=5mg ⑥
(2)从与O 等高的D 点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒
mgR =1
2 mv C
2
在C 点由牛顿运动定律：
F N−mg =m vC
2
R
得F N=3mg ⑦
(3)从A 点以初速度v A=√gR 释放小球到达最低点
由机械能守恒
mg 2 R=1
2 mv C
2−1
2 mv A
2
在C 点由牛顿运动定律：
F N−mg =m vC
2
R
得F N=6 mg ⑧
1．（2025·广西柳州·模拟预测）如图为一小朋友在一个空心水泥管里玩“踢球”游戏，将该过程简化为竖
直面内半径为r 的固定圆环，在圆环的最低点有一质量为m 的小球，现给小球一水平向右的瞬时速度v．
小球沿圆环内侧运动，重力加速度为g，不计小球与圆环间的摩擦。下列说法正确的是（ ）
3
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A．若
，小球可以通过圆环最高点
B．若
，小球在最低点对圆环压力大小为4mg
C．若
，小球脱离圆环的位置与圆心的连线与水平方向夹角的正弦值为
D．若
，小球脱离圆环的位置与圆心的连线与水平方向夹角的正弦值为
2．（2024·山东泰安·模拟预测）如图所示，光滑圆环轨道竖直固定放置，轨道半径为R。一小球从最低点
以水平速度v0沿轨道运动，在某位置脱离轨道后，恰好经过圆环轨道的圆心。已知重力加速度为g ，不计
空气阻力，则v0的大小为 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·贵州·三模）某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为1kg 的小
球，甩动手腕，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动，其简化示意图如下。握绳的手离地面高度为
1.0m 且保持不变，现不断改变绳长使球重复上述运动，每次绳在球运动到最低点时都恰好达到最大拉力被
拉断，球以绳断时的速度水平飞出，通过水平距离x 后落地。已知绳能承受的最大拉力为15N，重力加速
度大小取
，忽略手的运动半径和空气阻力，则x 的最大值为（ ）
4
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A．0.4m
B．0.5m
C．1.0m
D．1.2m
4．（2024·河北邯郸·模拟预测）荡秋千是一项古老的休闲体育运动。如图所示，李明同学某次荡秋千时，
O、A 两点分别为其运动过程中的最低点和最高点，A 到O 的过程中，李明的身体姿势保持不变。已知李
明和座椅的总质量为m，两根平行的秋千绳长均为L，A 点时绳子与竖直方向的夹角为θ，重力加速度大小
为g，空气阻力和绳的质量忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A．在A 位置时，该同学速度为0，处于平衡状态
B．在O 位置时，该同学处于失重状态
C．在A 位置时，每根秋千绳的拉力大小为
D．在O 位置时，每根秋千绳的拉力大小约为
5．如图所示，不可伸长的轻质细绳一端固定在O 点，另一端拴住一个小球（视为质点）。在O 点正下方
一半绳长的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子A。把小球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放小
球，当细绳碰到钉子后的瞬间（细绳未断）（ ）
5
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A．小球的角速度增大到碰钉子前瞬间角速度的2 倍
B．细绳对小球的拉力突然减小
C．小球的线速度突然增大到碰钉子前瞬间线速度的2 倍
D．细绳对小球的拉力增大到碰钉子前瞬间拉力的2 倍
6．如图所示，用一根轻绳系着一个可视为质点的小球，轻绳的长度为L。最初小球静止在圆轨迹的最低点
A 点，现在A 点给小球一个初速度v0，使其在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，已知B 点与圆心O 等
高，C 点是圆轨迹的最高点，重力加速度为g。不计一切阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球做的是匀变速曲线运动
B．若要使得小球做完整的圆周运动，小球运动到C 点的速度至少是
C．若小球无法做完整的圆周运动，则小球可能在C 点脱离圆轨迹
D．若小球无法做完整的圆周运动，则小球可能在B 点和C 点之间的某一点脱离圆轨迹
7．如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法，被称为“魔力陀螺”，
它可等效为图乙所示的模型，竖直固定的磁性圆轨道半径为R，质量为m 的质点沿轨道外侧做完整的圆周
运动，A、C 两点分别为轨道的最高点与最低点，B、D 两点与轨道圆心等高，质点受到始终指向圆心、大
小恒为2mg 的磁性引力作用，不计摩擦和空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
6
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A．若质点经过A 点时的速度大小为
，则此时质点受到轨道的弹力大小为mg
B．若质点经过B 点时的速度大小为
，则此时质点受到轨道的弹力大小为mg
C．若质点经过C 点时的速度大小为
，则此时质点受到轨道的弹力大小为2mg
D．若质点经过D 点时的速度大小为
，则此时质点受到轨道的弹力大小为2mg
8．如图甲所示，轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运
动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为
，小球在最高点时的速度大小为，其
图像如
图乙所示，重力加速度g 取
，小球可视为质点，不计一切阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为2kg
B．小球做圆周运动的半径为2.5m
C．
时，在最高点杆对小球的弹力大小为40N
D．
时，小球的向心加速度大小为
9.（多选）（2024·河北·三模）如图所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB 是长度为R 的水平轨
道，BCDE 是圆心为O、半径为R 的
圆弧轨道，两轨道相切于B 点。一可视为质点的小球从A 点以某速
7
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度
（大小未知）水平向左运动，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．当
时，小球刚好过最高点D 点
B．当
时，小球不会脱离圆弧轨道
C．若小球能通过E 点，则
越大，小球在B 点与E 点所受的弹力之差越大
D．小球从E 点运动到A 点的最长时间为
10．（多选）（2024·山东·模拟预测）如图所示，一轻绳系一质量为m 小球，竖直悬挂在O 点，现将小球
沿圆弧拉至与O 等高的A 点，由静止自由释放。小球运动过程中经过C 点时，绳与竖直方向的夹角为
，
以下判断正确的是（ ）
A．小球下摆到最低点的过程中，重力平均功率为0，细绳拉力一直增大
B．小球运动至C 点时，其加速度大小为
C．小球运动至C 点时，轻绳对小球的拉力大小为
D．若小球经过C 点时重力功率最大，则
11．（多选）如图甲所示，长为L 轻绳一端固定在O 点，另一端拴一小球。在小球静止时给小球一个瞬时
速度v，此时轻绳拉力为
，
图像如图乙所示。已知重力加速度g 取
，小球可视为质点，不
8
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计一切阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为1kg
B．小球做圆周运动的半径为1.0m
C．当
时，小球能做完整的圆周运动
D．当
时，小球通过最高点时受到轻绳拉力的大小为10N
12．（多选）如图，光滑管形固定圆轨道半径为R（管径远小于R），小球a、b 大小相同，质量均为m，
其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动。两球先后以相同速度v 通过轨道最低点，且当小球a 在最低点
时，小球b 在最高点，以下说法正确的是（ ）
A．速度v 应满足
，才能使两球在管内做圆周运动
B．当
时，小球b 在轨道最高点对轨道无压力
C．当小球b 在最高点对轨道无压力时，小球a 比小球b 所需向心力大5mg
D．只要
，小球a 对轨道最低点的压力比小球b 对轨道最高点的压力大6mg
13．（多选）如图所示，有一竖直放置、内壁光滑的圆环，可视为质点的小球在竖直平面内做圆周运动，
已知圆环的半径为R，重力加速度为g，小球在最低点Q 的速度为v0，不计空气阻力，则（ ）
9
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A．小球运动到最低点Q 时，处于超重状态
B．小球的速度
越大，则在P、Q 两点小球对圆环内壁的压力差越大
C．当
时，小球在P 点受内壁压力为
D．当
时，小球一定能通过最高点P
14．（多选）如图所示，倾角45°的光滑轨道AB 和水平轨道BC 平滑相连，右侧是光滑的半圆轨道CDE，
半径R=0.4m。一可视为质点的质量为m=0.2kg 的滑块从轨道AB 上高度
处由静止释放。滑块与BC 间的
动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g 取10m/s2，滑块恰好能通过最高点E 之后，恰好落到B 点。下列选项中正
确的是（ ）
A．水平轨道BC 的长度为0.8m
B．滑块释放点的高度为h0=1.0m
C．如果增加释放点的高度h0，滑块有可能垂直打到斜面上
D．如果将释放点的高度调整为
，滑块在半圆轨道CDE 上运动过程中有可能脱离轨道
15．（多选）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，管道半径为R，小球半径为r，R
远大于r，且r 略小于管道内径，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
10
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A．小球通过最高点时的最小速度
B．小球通过最高点时的最小速度
C．小球在水平线ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力
16．（2024·北京海淀·二模）如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在距离水平地面高为h 的O 点，另一端
系有质量为m，可视为质点的小球，将小球拉至O 点正上方的A 点，给其一水平方向的初速度
，使其恰
好通过A 点后，在竖直平面内以O 点为圆心做半径为r 的圆周运动。当小球运动到最低点B 时，绳恰好被
拉断，小球水平飞出。不计空气阻力及绳断时的能量损失，重力加速度为g。求：
（1）小球初速度的大小
。
（2）绳能承受拉力的最大值
。
（3）小球落地时的速度大小v。
17．（2024·湖南·模拟预测）如图所示，竖直平面内的光滑轨道由两部分拼接而成，其中MNP 为半径
半圆弧轨道，PQ 为半径
的
圆轨道，将质量
的小球A 从M 点正上方的某点由静
11
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止释放，小球无碰撞地从M 点进入轨道后，与静止在轨道最低点N 处的小球B 发生弹性正碰，小球A 反
弹后恰好能回到M 点，小球B 沿轨道运动到Q 点水平飞出后又恰好经过M 点。两小球均可视为质点，不
计空气阻力，取重力加速度大小
，求：
（1）两小球碰撞后小球B 的速度大小
（2）小球B 经过Q 点时对轨道的压力大小
。
18．（2024·辽宁大连·二模）如图所示，竖直平面内的轨道由直轨道AB 和半圆弧轨道BC 平滑连接组成，
C 点为半圆弧轨道最高点。小球从直轨道上的A 点由静止开始滑下，A 点距轨道最低点的竖直高度为
，滑到轨道底端后又滑上半径为
的半圆弧轨道（不考虑经过连接处的速率变化），小球
质量为
。（
）
（1）若接触面均光滑，求小球滑到C 点时速度和对轨道的压力。
（2）若接触面不光滑，小球运动到C 点时对轨道的压力为1N，求全过程中克服摩擦力做的功。
19．如图所示，半径为R 的光滑圆形轨道固定在竖直平面内，O 为圆心、a、b、c、d 为圆形轨道上的点，
其中ac 为竖直直径，b 与圆心等高，d 和圆心的连线与水平方向的夹角为
。一小球静止在圆形轨道底端
a 点，某时刻小球获得一个水平向右的瞬时初速度
（未知），已知重力加速度为g，回答下列问题：
12
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(1)若使小球运动过程中不脱离轨道，求小球的初速度
的范围；
(2)若小球在d 点脱轨，求小球的初速度
；
(3)以d 点为坐标原点，水平方向为x 轴（向右为正），竖直方向为y 轴（向上为正）建立平面直角坐标系。
若小球仍在d 点脱轨，求小球脱离轨道后的运动轨迹方程。
20．如图所示，光滑竖直圆轨道ABCD 与光滑的水平轨道平滑连接，圆弧轨道A、D 为最低点，位置稍错
开。轻质弹簧左侧与墙面拴接，右侧与物块不拴接。已知物块的质量为
，物块将弹簧压缩后，使弹
簧储存的弹性势能
。解除弹簧锁定，物块被弹出后进入圆轨道。已知物块可以看做质点，不计空
气阻力，g 取
。求：
(1)物块离开弹簧时的速度大小
；
(2)为保证物块在运动中不脱离轨道，求圆轨道半径R 的取值范围。
21．某校科技小组参加了如图所示的轨道游戏项目，图中P 为弹性发射装置，AB 为倾角为
的倾斜
轨道，BC 为水平轨道，
为竖直圆轨道，
为足够长的倾斜曲线轨道，各段轨道均平滑连接，AB、
BC 段动摩擦因数为
，其余各段轨道均光滑。已知滑块质量为
，圆轨道半径R 大小可以调
整，轨道AB 长为1m，BC 长为1.2m，弹射装置P 把滑块以
为
速度水平弹出，恰好从A 点沿斜面方
13
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向无碰撞进入斜面，滑块可视为质点。
g 取
）
(1)弹射装置P 离A 点的竖直高度；
(2)若滑块从A 点进入轨道后运动不脱离轨道，圆轨道半径R 应满足的条件。
22．如图所示，长为
不可伸长的轻绳一端固定于
点，另一端系有质量为
的小球（可视为质点），使
小球在竖直平面内以
点为圆心做圆周运动。已知重力加速度为
，忽略空气阻力的影响。
(1)若小球经过圆周最高点A 点时绳对小球的拉力大小
，求：小球经过圆周最高点A 点时速度大小
；
(2)加大小球的速度后，在最低点轻绳恰好被小球拉断，小球立即做平抛运动，落地点与
点之间的水平距
离，B 点距水平地面的高度为
（图中未画出），求：
a.小球经过圆周最低点
点时速度大小
；
b.轻绳能承受的最大拉力为
。
23．如图所示，质量
的小物块静置在粗糙的水平平台的A 点，在大小为3N 的恒力作用下，从平台
的B 点以3m/s 的速度水平飞出，恰好从C 点无碰撞的进入半径为R 的光滑圆形轨道。已知CF 是圆形轨道
的一条直径，从F 点到轨道的最高点是一个光滑圆管，
，小物块与平台的动摩擦因数
，
取重力加速度
。
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(1)若平台AB 的长度
，求恒力作用的时间；
(2)求BC 两点间的高度差；
(3)若小物块能够进入圆管，试分析轨道半径R 的取值范围。
24．如图所示，竖直平面内的
圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R，A 端与
圆心O 等高，AD 为水平面，B 端在O 的正下方，小球自 A 点正上方由静止释放，自由下落至 A 点时进
入管道
(1)如果管道与小球接触的内侧壁（图中较小的
圆周）始终对小球没有弹力，小球释放点距离A 点的最小
高度为多大?
(2)如果小球到达B 点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9 倍。求：
a. 小球运动到管道最高点E 时对管道的弹力；
b. 落点C 与A 的水平距离。
三.过拱凹形桥模型
拱形桥
圆轨外侧
凹形桥
示意图
最高点(失重)：FN＝G－mv2/R，可知：
（1）当v=0 时，即汽车静止在最高点，FN=G；
最高点(超重)：FN＝G+mv2/R 可
知：
v
15
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作用力
（2）当汽车的速度增大到mv2/R=mg 即v=
时，FN=0，汽
车在桥顶只受重力G，又具水平速度v，因此开始做平抛运
动；
（3）当0≤v≤
时，0≤FN≤mg，且速度v 越大，FN越小；
（4）当v>
时，汽车将脱离桥面，将在最高点做平抛运
动，即所谓的“飞车”。
（1）当v=0 时，即汽车静止在
最高点，FN=G；
（2）当汽车的速度v≠0 时，
FN>mg，且速度v 越大，FN越
大。
1．（多选）资料显示，质量为
的某型号小汽车，其轮胎的最大承重为
，超过该值将
会爆胎。某次汽车以
的速度匀速通过一段凸凹不平的路面时，将这段路面简化为弧形，其最高点和
最低点分别为A、B，对应圆弧的半径均为
，两圆弧的圆心连线
与竖直方向间的夹角为
，取
，则汽车（ ）
A．从
点到
点的过程中重力做功约为
B．通过最高点
时对路面的压力为
C．通过最低点
时不会爆胎
D．若以
的速度匀速通过该路段时，不会脱离路面
2．如图所示，一光滑绝缘的半圆柱体固定在水平地面上，其横截面是半径为R 的半圆。现让质量为m、带
电量为
的小球从半圆柱体顶端Q 由静止沿圆柱体表面滑下，当滑至与竖直方向的夹角为
的位置P 时，
恰好离开半圆柱体。若在空间加上方向竖直向下的匀强电场（图中未画出），电场强度大小
，重力
加速度为g，其他条件不变，则下列说法正确的是（ ）
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A．未加电场时，
角的余弦值为
B．未加电场时，小球在P 点恰好离开圆柱体时的速度大小为
C．加上电场时，小球将在QP 之间某位置离开圆柱体
D．加上电场时，小球恰好离开圆柱体时的速度大小为
3．如图所示是游乐场里的过山车，过山车运动过程中经过A、B 两点（ ）
A. 在A 点时对轨道压力较小 B. 在A 点时所受摩擦力较大
C. 在B 点时所受向心力较大 D.
B 点时合外力方向竖直向下
4.一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，
汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力FN1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的
压力为FN2，则FN1与FN2之比为( )
A．3 1∶
B．3 2∶
C．1 3
∶
D．1 2
∶
5.如图，在一固定在水平地面上A 点的半径为R 的球体顶端放一质量为m 的物块，现给物块一水平初速度
v0，则( )
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A．若v0＝，则物块落地点距离A 点为 R
B．若球面是粗糙的，当v0<时，物块一定会沿球面下滑一段，再斜抛离开球面
C．若v0<，则物块落地点离A 点为R
D．若v0≥，则物块落地点离A 点至少为2R
6.一段倾斜角
的斜面AB 与光滑弧面BC 相切于B 点。质量为
的汽车从斜面底部A 点由静
止开始沿着斜面AB 起动，如图甲所示。已知汽车受到斜面的阻力与车对斜面的压力的比值为
。汽
车在斜面AB 上运动的加速度随时间变化如图乙所示。12.0s 时汽车达到额定功率，随后汽车保持额定功率
继续运动，汽车到达B 点前已经达到最大速度
。此后关闭发动机，汽车继续沿着圆弧向上滑行。不计
空气阻力，已知g 取
，
，汽车可视作质点。求：
（1）汽车匀加速直线运动过程中的最大速度
及牵引力F；
（2）汽车在斜面AB 上能到达的最大速度
；
（3）若汽车能够沿弧面BC 通过最高点C，圆弧半径R 的取值范围是多少。
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