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2024 版新课标高中物理模型与方法
专题09 竖直面内的圆周运动模型
目录
一．一般圆周运动的动力学分析......................................................................................................................1
二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析..............................................................................1
三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论..................................................................................................2
三.过拱凹形桥模型........................................................................................................................................... 29
一．一般圆周运动的动力学分析
如图所示，做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速度和垂直速度分解，则
由牛顿第二定律，有：
，aτ改变速度v 的大小
，an改变速度v 的方向，
作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可先以该点附近的一小段曲线为圆周的一部分
作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。
，aτ改变速度v 的大小
，an改变速度v 的方向，
，ρ 为曲率圆半径。
二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析
轻绳模型（没有支撑）
轻杆模型（有支撑）
常见
类型
过最高点的临
由mg＝m 得v 临＝
由小球能运动即可得v 临＝0
Fn
Fτ
F
v
Fn
Fτ
F
v
1
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界条件
对应最低点速度v 低≥√5gr
对应最低点速度v 低≥√4gr
绳不松不脱轨
条件
v 低≥√5gr 或v 低≤√2gr
不脱轨
最低点弹力
F 低-mg =mv 低2/r
F 低=mg+mv 低2/r，向上拉力
F 低-mg =mv 低2/r
F 低=mg+mv 低2/r，向上拉力
最高点弹力
过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨
道对球产生弹力FN＝m-mg
向下压力
(1)当v＝0 时，FN＝mg，FN为向上支持力
(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN 向上支持
力，随v 的增大而减小
(3)当v＝时，FN＝0
(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力并随
v 的增大而增大
在最高
点的FN
图线
取竖直向下为正方向
取竖直向下为正方向
三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A 和最低点
记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为
要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由
可得
①
对应C 点的速度有机械能守恒
得
②
当小球在C 点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O 点等高的D 位置则由机械能守恒
得
③
小结：(1).当
时小球能通过最高点A 小球在A 点受轨道向内的支持力
由牛顿第二定律
④
2
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(2).当
时小球恰能通过最高点A 小球在A 点受轨道的支持力为0
由牛顿第二定律
。⑤
(3).当
时小球不能通过最高点A 小球在A 点，上升至DA 圆弧间的某一位向右做斜抛
运动离开圆周，且v 越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0
在DA 段射重力与半径方向的夹角为
则
、
(4).当
时小球不能通过最高点A 上升至CD 圆弧的某一位置速度减为0 之后沿圆弧返回。上
升的最高点为C 永不脱离轨道
【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力
(1)从最高点A 点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒
在C 点由牛顿运动定律：
得
⑥
(2)从与O 等高的D 点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒
在C 点由牛顿运动定律：
得
⑦
(3)从A 点以初速度
释放小球到达最低点
由机械能守恒
在C 点由牛顿运动定律：
得
⑧
【模型演练1】（2023·山东·模拟预测）如图所示，两个圆弧轨道竖直固定在水平地面上，半径均为R，a
3
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轨道由金属凹槽制成，b 轨道由金属圆管制成（圆管内径远小于R），均可视为光滑轨道。在两轨道右端
的正上方分别将金属小球A 和B（直径略小于圆管内径）由静止释放，小球距离地面的高度分别用
和
表示，两小球均可视为质点，下列说法中正确的是（ ）
A．若
，两小球都能沿轨道运动到轨道最高点
B．若
，两小球沿轨道上升的最大高度均为R
C．适当调整
和
，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处
D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，
的最小值为
，B 小球在
的任何高度释放均可
【模型演练2】．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）一不可伸长的轻绳上端悬挂于
点，另一端系
有质量为
的小球，保持绳绷直将小球拉到绳与竖直方向夹角为
的
点由静止释放，运动到
点的正下
方时绳断开，小球做平抛运动，已知
点离地高度为
，绳长为
，重力加速度大小为
，不计空气阻力，
下列说法正确的是（ ）
A．在绳断开前，小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．在绳断开前瞬间，小球处于失重状态
C．在绳断开前瞬间，小球所受绳子的拉力大小为
D．若夹角
不变，当
时，落点距起点的水平距离最远
4
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【模型演练3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、
静止于A 点的滑块P 接触但不粘连，滑块P 所在光滑水平轨道与半径为0.8m 的光滑半圆轨道平滑连接于B
点，压缩的弹簧储存的弹性势能为2.8J，重力加速度取10m/s2，现将弹簧解除锁定，滑块P 被弹簧弹出，
脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中（ ）
A．可以到达半圆轨道最高点D
B．经过B 点时对半圆轨道的压力大小为9N
C．不能到达最高点D，滑块P 能到达的最大高度为1.35m
D．可以通过C 点且在CD 之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s
【模型演练4】．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）如图甲所示，若有人在某星球上用一轻质绳拴
着一质量为m 的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时速度大小为v，
绳对小球的拉力为T，其
图像如图乙所示，则下列选项正确的是（ ）
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当
时，轻质绳的拉力大小为
D．只要
，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为6a
【模型演练5】．（2023 春·山东济南·高三统考阶段练习）如图所示，长为L 的轻绳一端固定在O 点，另
一端固定一小球（可看成质点），现使小球在最低点获得
的水平初速度，取重力加速度为g，在
5
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此后的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直向上方向夹角的余弦值为
B．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直向上方向夹角的余弦值为
C．小球第一次运动到最高点时与O 点的高度差为
D．小球第一次运动到最高点时与O 点的高度差为
【模型演练6】．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，
管道半径为R，小球直径略小于管径（管径远小于R），则下列说法正确的是（重力加速度为g）（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【模型演练7】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一轻绳系一小球竖直悬挂在O 点，现保持绳处
于拉直状态，将小球拉至与O 等高的A 点，由静止自由释放小球。球运动过程中经过C 点时，绳与竖直方
向的夹角为
，以下判断正确的是（ ）
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A．小球下摆到最低点的过程中，重力平均功率为0
B．小球运动至C 点时，其加速度大小为
C．小球运动至C 点时，轻绳对小球的拉力大小
D．若小球经过C 点时重力功率最大，则
【模型演练8】．（2023·高三课时练习）如图所示，轻绳的上端系于天花板上的O 点，下端系有一只小球。
将小球拉离平衡位置一个角度后无初速释放。当绳摆到竖直位置时，与钉在O 点正下方P 的钉子相碰。在
绳与钉子相碰瞬间，以下判断正确的是（ ）
A．小球的线速度突然增大
B．小球的角速度突然增大
C．小球的向心加速度突然减小
D．小球所受拉力突然增大
【模型演练9】．（2023·湖北·模拟预测）有一种被称为“魔力陀螺”的玩具如图甲所示，陀螺可在圆轨道
外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，它可等效为一质点在圆轨道外侧运动模型，如图乙所
示。在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为
，A、
两点分别为轨道的最高点与最低点。质点沿轨道
外侧做完整的圆周运动，受圆轨道的强磁性引力始终指向圆心
且大小恒为
，当质点以速率
通
过A 点时，对轨道的压力为其重力的7 倍，不计摩擦和空气阻力，质点质量为
，重力加速度为
，则
（）
A．强磁性引力的大小
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B．质点在
点对轨道的压力小于在
点对轨道的压力
C．只要质点能做完整的圆周运动，则质点对A、
两点的压力差恒为
D．若强磁性引力大小为
,为确保质点做完整的圆周运动，则质点通过
点的最大速率为
【模型演练10】．（2023·湖南·模拟预测）一半径为r 的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，
如图甲所示。小球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为
，小球的速度大小为v，其
图像如
图乙所示。已知重力加速度为g，规定竖直向下为正方向，不计一切阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为
B．圆形管道内侧壁半径为
C．当
时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为
D．小球在最低点的最小速度为
【模型演练11】（2023·福建·模拟预测）如图1，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道
，半径为
，小球以一定的初速度从最低点A 冲上轨道，图2 是小球在半圆形轨道上从A 运动到
的过程中，其
速度平方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点
受到轨道的作用力为
，空气阻力不计，
点
为
轨道中点，重力加速度
取
，下列说法错误的是（ ）
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A．最高点时小球所受的合外力竖直向下
B．图2 中
C．小球在B 点受到轨道作用力为
D．小球质量为
【模型演练12】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为
的小球，在竖直
平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为
，小球在最高点的速度大
小为，其
图像如图乙所示，则（ ）
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当
时，轻质绳的拉力大小为
D．只要
，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为
【模型演练13】．（2023·辽宁·校联考模拟预测）如图所示，一长为L 的轻绳拉着质量为m 的小球保持静
止。现在给小球一个水平初速度，使小球在竖直面内做完整的圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为
g，则下列判断正确的是（ ）
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A．小球在最高点的速度可以等于0
B．小球获得的初速度大小为
C．小球做圆周运动的过程中仅有一处合力指向圆心
D．小球过最低点与最高点时受到绳的拉力大小之差等于6mg
【模型演练14】（2023 春·重庆·高三统考阶段练习）如图所示，半径为R 的光滑细圆管用轻杆固定在竖直
平面内。某时刻，质量为1kg、直径略小于细圆管内径的小球A（可视为质点）从细管最高点静止释放，
当小球A 和细圆管轨道圆心连线与竖直方向夹角为37°时，小球对轨道的压力大小为（ ）（
）
A．38N
B．40N
C．42N
D．44N
【模型演练15】．（2023 秋·黑龙江牡丹江·高三校考阶段练习）如图所示，质量为M 的物体内有光滑圆形
轨道，现有一质量为m 的小滑块沿该圆形轨道的竖直面做圆周运动，A、C 为圆周的最高点和最低点，B、
D 与圆心O 在同一水平线上。小滑块运动时物体M 保持静止，关于物体M 对地面的压力N 和地面对物体
的摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．滑块运动到A 点时，
，M 与地面无摩擦力
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B．滑块运动到B 点时，
，物体所受摩擦力方向向右
C．滑块运动到C 点时，
，M 与地面无摩擦力
D．滑块运动到D 点时，
，物体所受摩擦力方向向左
【模型演练16】（2023·四川成都·统考三模）某同学用图（a）所示装置探究竖直面内的圆周运动。固定在
同一竖直面的轨道由三部分构成，直轨道
与圆轨道
在
端相切，最低点
处有压力传感器，圆轨
道
的
端与
等高且两端的切线均竖直，
，两圆轨道的半径相同、圆心等高。将一小
球从轨道
上不同位置静止释放，测出各次压力传感器的示数
，得到
与释放点到
点的高度的关
系图像如图（b）。小球可视为质点且恰好能自由通过D、E 端口，不计摩擦力和空气阻力，重力加速度
。
（1）求小球的质量
和两圆轨道的半径
；
（2）要让小球沿圆轨道通过
点，求释放点的高度满足的条件。
【模型演练17】（2023·河北·校联考三模）如图所示，半径为R 的光滑圆轨道固定在竖直平面内，一小球
（可看成质点）静止在轨道的最低点，现使小球在最低点获得
的水平初速度，重力加速度为g，
在此后的运动过程中，求：
（1）小球刚要脱离圆轨道时，小球与轨道圆心的连线与竖直向上方向夹角的余弦值；
（2）小球第一次运动到最高点时与轨道圆心的高度差。
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【模型演练18】．（2023·上海·高三专题练习）如图所示，AB 段是长s=2.5m 的粗糙水平轨道，BC 段是半
径R=0.5m 的光滑半圆弧轨道，半圆弧轨道在B 处与AB 相切，且处于竖直面内。质量m=0.1kg 的小滑块，
受水平恒力F 的作用由A 点从静止开始运动，到达B 点时撤去力F。已知小滑块与AB 间的动摩擦因数为
0.25，设小滑块在AB 上所受最大静摩力的大小即为滑动摩擦力的大小，g 取10m/s2。
（1）为使小滑块能到达C 点，小滑块在B 点时的速度至少为多大？
（2）为使小滑块能做沿圆弧轨道返回的运动，F 的取值范围是什么？
（3）第（2）问的条件下，小滑块是否有可能返回到A 点？试分析说明理由。
【模型演练19】．（2022·全国·高三专题练习）物体做圆周运动时所需的向心力F 需由物体运动情况决定，
合力提供的向心力F 供由物体受力情况决定。若某时刻F 需＝F 供，则物体能做圆周运动；若F 需>F 供，物体
将做离心运动；若F 需<F 供，物体将做近心运动。现有一根长L＝1 m 的不可伸长的轻绳，其一端固定于O
点，另一端系着质量为m＝0.5 kg 的小球（可视为质点），将小球提至O 点正上方的A 点处，此时绳刚好
伸直且无弹力，如图所示。不计空气阻力，g 取10 m/s2。
（1）为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A 点至少应施加给小球多大的水平速度？
（2）在小球以速度v1＝4 m/s 水平抛出的瞬间，绳所受拉力为多少？
（3）在小球以速度v2＝1 m/s 水平抛出的瞬间，绳若受拉力，求其大小；若不受拉力，试求绳子再次伸直
时所经历的时间。
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【模型演练20】．（2023·天津·模拟预测）如图所示，一玩溜冰的小孩（可视作质点）质量为m＝30kg，
他在左侧水平平台上滑行一段距离后平抛，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A 点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿
轨道下滑，A、B 为圆弧两端点，其连线水平。已知从D 点以
的速度向右滑动，经t＝0.5s 到达E
点，圆弧半径为R＝1.0m，对应圆心角为
，平台与AB 连线的高度差为h＝0.8m。小孩到达圆轨道
O 点时速度的大小为
（计算中取
，
，
）求：
（1）小孩运动到圆弧轨道最低点O 时对轨道的压力；
（2）小孩平抛的初速度；
（3）小孩溜冰与平台DE 的动摩擦因数。
三.过拱凹形桥模型
拱形桥
圆轨外侧
凹形桥
示意图
作用力
最高点(失重)：FN＝G－mv2/R，可知：
（1）当v=0 时，即汽车静止在最高点，FN=G；
（2）当汽车的速度增大到mv2/R=mg 即v=
时，FN=0，汽
车在桥顶只受重力G，又具水平速度v，因此开始做平抛运
最高点(超重)：FN＝G+mv2/R 可
知：
（1）当v=0 时，即汽车静止在
最高点，FN=G；
v
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动；
（3）当0≤v≤
时，0≤FN≤mg，且速度v 越大，FN越小；
（4）当v>
时，汽车将脱离桥面，将在最高点做平抛运
动，即所谓的“飞车”。
（2）当汽车的速度v≠0 时，
FN>mg，且速度v 越大，FN越
大。
【模型演练21】（2023·湖南·统考高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC 由直线段AB 和圆弧
段BC 组成，两段相切于B 点，AB 段与水平面夹角为θ，BC 段圆心为O，最高点为C、A 与C 的高度差等
于圆弧轨道的直径2R。小球从A 点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C 点，下列说法正确的是
（ ）
A．小球从B 到C 的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A 到C 的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B 点脱离轨道
【模型演练22】（2023·全国·高三专题练习）在竖直平面内光滑圆轨道的外侧，有一小球（可视为质点）
以某一水平速度从最高点A 出发沿圆轨道运动，至B 点时脱离轨道，最终落在水平面上的C 点，圆轨道半
径为
，重力加速度为
，不计空气阻力。下列说法中正确的是（ ）
A．小球从A 点出发的速度大小
B．小球经过B 点时的速度大小
C．小球经过B 点时速度变化率大小为
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D．小球落在C 点时的速度方向竖直向下
【模型演练23】．（2023 秋·辽宁盘锦·高三辽河油田第二高级中学校考期末）如图所示，上表面光滑，半
径为
的半圆柱体放在水平面上，小物块位于半圆柱体顶端，若给小物块一水平速度
，重
力加速度
取
，下列说法正确的是（ ）
A．小物块将沿半圆柱体表面滑下来
B．小物块落地时水平位移大小为
C．小物块落地速度大小为
D．小物块落地时速度方向与水平地面成
角
【模型演练24】(2023·湖北荆州市高三上学期质量检测)一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又
以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力FN1为车重
的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比为( )
A．3 1∶
B．3 2∶
C．1 3
∶
D．1 2
∶
【模型演练25】(2023·安徽合肥市第二次质检)如图，在一固定在水平地面上A 点的半径为R 的球体顶端放
一质量为m 的物块，现给物块一水平初速度v0，则( )
A．若v0＝，则物块落地点距离A 点为 R
B．若球面是粗糙的，当v0<时，物块一定会沿球面下滑一段，再斜抛离开球面
C．若v0<，则物块落地点离A 点为R
D．若v0≥，则物块落地点离A 点至少为2R
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