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专题04 曲线运动
01 专题网络·思维脑图
02 考情分析·解密高考
03 高频考点·以考定法
04 核心素养·难点突破
05 创新好题·轻松练习
考点内容
考情预测
曲线运动中的合外力和速度
曲线运动以合外力和速度的方向为简单的
命题。主要以生活中的情景引入一些斜抛
平抛类问题，此类命题偏难。小船渡河模
型近几年高考命题偏少，近五年仅有2021
年辽宁高考出现过。生活中的圆周运动也
主要以圆锥摆、水平转盘上的物体，竖直
面内的圆周运动为考点结合生活现象引出
命题。
小船渡河模型
平抛运动
斜抛运动
1
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生活中的圆周运动
学
习
目
标
1.熟悉掌握曲线运动的合外力和速度方向，以及关联速度问题。
2.理解小船渡河模型的最短时间渡河以及渡河距离最短的三类问题。
3.掌握平抛运动的基本公式，平抛问题的基本处理方法，以及斜面抛体问题和平抛的
追及相遇问题。
4.掌握斜抛的基本公式，斜抛问题的处理方法，清楚斜抛问题的对称性，以及反向类
平抛问题。
5.熟悉掌握圆锥摆、水平转盘上的物体，竖直面内的圆周运动等问题的临界问题，清
楚圆周运动先受力分析再等于向心力的处理方法。
【典例1】（2023·湖南·统考高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。
某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交
于P点，抛出时谷粒1 和谷粒2 的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，
关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（ ）
A．谷粒1 的加速度小于谷粒2 的加速度
B．谷粒2 在最高点的速度小于v1
C．两谷粒从O到P的运动时间相等
D．两谷粒从O到P的平均速度相等
【典例2】（2023·福建·统考高考真题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直
转轴OO
'上的O 点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O 点，另一端与套在杆上
的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速
度。已知细杆长度L=0.2m，杆与竖直转轴的夹角a 始终为60°，弹簧原长x0=0.1m，弹簧劲度系数
k =100 N/m，圆环质量m=1kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10m/s
2，摩擦力可忽略不计
2
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（1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O 点的距离；
（2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
（3）求圆环处于细杆末端P 时，细杆匀速转动的角速度大小。
1.曲线运动的合外力和速度关系
2.平抛运动的规律
3
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3.生活中的圆周运动
考向01 曲线运动中的合外力和速度
【针对练习1】如图，光滑水平面上一质点正以速度v0通过O 点，O 为光滑水平面上直角坐标系xOy 的原
点，此时给质点加上沿x 轴正方向的恒力Fx和沿y 正方向的恒力Fy，则（ ）
4
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A．若F y = F x tan α，质点做直线运动
B．若Fy<Fx，质点向y 轴一侧做曲线运动
C．若Fy<Fx，质点向x 轴一侧做曲线运动D．因为Fx与v0成α 角，所以质点做曲线运动
【针对练习2】在长约1m 的一端封闭的玻璃管中注满清水，水中放一个大小适当的圆柱形红蜡块，玻璃
管的开口端用胶塞塞紧，保证将其迅速竖直倒置后，红蜡块能沿玻璃管由管口匀速上升到管底。现将此玻
璃管倒置安装在置于粗糙桌面上的小车上，如图所示。小车从A 位置以初速度v0，开始向右先做匀减速直
线运动，再做匀加速直线运动，同时红蜡块沿玻璃管匀速上升。按照题图建立的坐标系，在这一过程中红
蜡块实际运动的轨迹可能是下列选项中的（ ）
A．
B．
C．
D．
考向02 平抛运动
【针对练习3】在同一竖直方向、不同高处分别水平抛出两个小球A、B，两球在P 点相碰，如图所示。设
A、B 两球的初速度分别为vA、vB，运动到P 点的时间分别为t A、t B，在P 点的速度与竖直方向的夹角分别
为θA、θB，则（ ）
5
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A．vA= vB，t A=t B
B．vA>vB，t A>t B
C．t A>t B，θA<θB
D．vA>vB，θA<θB
【针对练习4】如图甲为2022 年北京冬奥会的跳台滑雪场地“雪如意”，其主体建筑设计灵感来自于中国
传统饰物“如意”。其部分赛道可简化为如图乙所示的轨道模型，斜坡可视为倾角为θ 的斜面，运动员
（可视为质点）从跳台a 处以速度v 沿水平方向向左飞出，落到足够长斜坡上，落地瞬时速度方向与水平
方向的夹角为α，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．若初速度v 增大为原来的2 倍，则运动员在空中运动的时间增大为原来的2 倍
B．若初速度v 增大为原来的2 倍，则运动员从飞出到落地的位移增大为原来的2 倍
C．若初速度v 增大为原来的2 倍，则运动员在空中离坡面的最大距离为原来的√2倍
D．若运动员的初速度变小，运动员落在斜坡上时α角不变，且tan α =2tanθ
考向03 生活中的圆周运动
【针对练习5】4．如图所示，一根长为1m 的轻质细线，一端系着一个质量为6kg 的小球（可视为质点）
另一端固定在光滑圆锥体顶端，圆锥顶角的一半等于37°（sin37° =0.6，cos37° =0.8），g取10 m/s
2。
当小球随圆锥体围绕其中心轴线一起做角速度为ω的匀速圆周运动，小球与圆锥体始终保持相对静止。下
列说法中正确的是（ ）
6
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A．当ω=0时，小球受到绳子的拉力为36N
B．当ω=2.5rad/s时，小球对圆锥体压力恰好为零
C．当ω= 5
3 √6rad/s时，小球受到细绳的拉力为50N
D．当ω= 5
3 √6rad/s时，小球运动一周的过程中，细绳对小球的冲量为20√6 π N ⋅s
【针对练习6】（多选）如图甲所示，质量为0.2kg 的小球套在竖直固定的光滑圆环上，并在圆环最高点保
持静止。受到轻微扰动后，小球由静止开始沿着圆环运动，一段时间后，小球与圆心的连线转过θ 角度时，
小球的速度大小为v，v2与cosθ 的关系如乙图所示，g 取 10m/ s²。则（ ）
A．圆环半径为0.6m
B．θ = π
2
时，小球所受合力为4N
C．0≤θ≤π 过程中， 圆环对小球的作用力一直增大
D．0≤θ≤π 过程中，圆环对小球的作用力先减小后增大
7
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考向04 斜抛运动
【典例1】（2021·江苏·高考真题）如图所示，A、B 两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮
筐时的速度方向相同，下列判断正确的是（ ）
A．A 比B 先落入篮筐
B．A、B 运动的最大高度相同
C．A 在最高点的速度比B 在最高点的速度小
D．A、B 上升到某一相同高度时的速度方向相同
【针对练习7】一个同学练习投篮，先在A 点以与水平方向成α=45°角斜向上、大小为v0的初速度抛出第
8
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一个球，接着快速将抛出点移到与A 等高的B 点，将第二个球以相同的初速度抛出，结果两球同时打在竖
直墙壁的P 点，两次抛出的时间间隔为v0
g
，空气阻力不计，球的大小不计，两球质量相等，重力加速度为
g，则两球从抛出到打到P 点（ ）
A．B 球运动的时间为(√2-1)v0
2 g
B．两球打在P 点时，相对速度为零
C．A、B 两点间的距离为v0
2
2g
D．P 点离抛出点的高度为v0
2
4 g
【针对练习8】跳台滑雪是最具观赏性的冰雪运动项目之一，图甲所示的跳台滑雪比赛场地可简化为图乙
所示的雪道示意图。运动员从助滑道的起点由静止开始下滑，到达起跳点O时，借助设备和技巧，从倾角
α =30°的斜面顶端O点以v0=20 m /s的初速度飞出，初速度方向与斜面的夹角θ =60°，图中虚线为运动
员在空中的运动轨迹，A为轨迹的最高点，B为轨迹上离斜面最远的点，C为过B点作竖直线与斜面的交点。
不计空气阻力，运动员可视为质点，重力加速度大小取g=10 m /s
2。求：
（1）运动员从O点运动到A点的时间；
（2）O、C两点间的距离。
考向05 小船渡河模型
9
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【典例1】（2021·辽宁·统考高考真题）1935 年5 月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党
员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水
速度1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（ ）
A．75s
B．95s
C．100s
D．300s
【针对练习9】如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽d，M、N 分别是甲、乙两船的
出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N 点的正对岸P 点，经过一段时间乙船恰好到达P 点，
如果划船速度均为v0，且两船相遇不影响各自的航行．下列判断不正确的是（ ）
10
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A．水流方向向右，大小为v0cosα
B．甲船水平位移为d cosα
sin α
C．甲乙两船会在PN上某点相遇
D．两船同时到达河对岸，花费时间均为
d
v0sin α
【针对练习10】如图所示，河水流动的速度为v 且处处相同，河宽度为a。在船下水点A 的下游距离为b
处是瀑布。为了使小船安全渡河 （不掉到瀑布里去，且不考虑船在A 对面的上游靠岸） （ ）
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t = b
v
。船对水速度最大，最大速度为vmax= av
b
B．小船轨迹沿y 轴方向渡河位移最小，船对水速度最大，最大速度为vmax = √a
2+b
2v
b
C．小船沿轨迹AB 运动位移最大、时间最长，船对水速度最小，最小速度vmin= av
b
D．小船沿轨迹AB 运动位移最大、船对水速度最小，最小速度为v
min
船
=
av
√a
2+b
2
一、单选题
1．广阔的草原上，一只羚羊发现潜伏在附近的猎豹后开始全速奔跑，猎豹随即追赶，某段时间内它们依
次经过水平面内A、B、C、D 四点，其运动轨迹为如图所示的虚线，此过程中羚羊的速度大小不变，猎豹
紧跟其后，下列说法正确的是（ ）
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A．羚羊处于平衡状态
B．猎豹做匀变速运动
C．羚羊经过C 点时的加速度最大
D．猎豹经过D 点时受到的合外力最大
2．汽车以速度v 向前行驶，将球从车上以相对车的速度u 向后水平抛出，不计空气阻力，在路边观察球的
轨迹不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，同时人顶着直杆水平向右移动。某同学为研究猴子的运动，
建立如图甲所示直角坐标系，描绘出猴子在x轴方向和y轴方向上的速度-时间图像分别如图乙和图丙所示。
关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是（ ）
A．猴子做匀变速直线运动
B．猴子的加速度大小等于5 m /s
2
C．t =0时，猴子的速度大小等于7 m /s
D．0∼2s内，猴子的位移大小等于12√2m
4．2022 年10 月1 日，女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮一路过关斩将，最终取得平历史最
12
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佳战绩的世界杯亚军。图甲为9 号运动员突破对方防守正在投篮时的情景，物理模型见图乙。假设篮球从
地面上方的某点B 斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上的A 点，反弹后穿过篮筐，不计空气阻力。设抛射点
B 离地高H，抛出时篮球的速度v0，抛射角θ。若抛射点B 向远离篮板方向水平移动一小段距离，要使抛出
的篮球仍能垂直击中篮板上的A 点，则以下措施可行的是（ ）
A．抛射点高度H 升高，抛射速度v0不变，抛射角θ 减小
B．抛射点高度H 升高，抛射速度v0增大，抛射角θ 不变
C．抛射点高度H 不变，抛射速度v0增大，抛射角θ 增大
D．抛射点高度H 不变，抛射速度v0增大，抛射角θ 不变
5．如图所示，细绳拉着小球在竖直平面内沿逆时针方向做半径为R 的圆周运动，P 是过圆心的直线上的一
点，OP 所在直线为竖直方向。A 是圆周上的一点，OA 连线与竖直方向成60
∘角，当小球运动到A 点时，细
绳断了，小球经过P 点时速度方向刚好与OP 垂直。不计空气阻力，P 点与圆心O 的距离为（ ）
A．2R
B．1.75R
C．1.5R
D．1.25R
6．如图所示，A、D 分别是斜面的顶端、底端，B、C 是斜面上的两个点，AB = BC =CD，E 点在D 点的
正上方，与A 等高，从E 点水平抛出质量相等的两个小球，球1 落在B 点，球2 落在C 点，关于球1 和球
2 从抛出到落在斜面上的运动过程，下列说法正确的是（ ）
13
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A．球1 和球2 运动的时间之比为2：1
B．球1 和球2 速度增加量之比为1：3
C．球1 和球2 抛出时初速度之比为2√2:1
D．球1 和球2 运动时的加速度之比为1：2
7．“打水漂”是一种大众游戏，将扁形石片用力掷出，石片擦水面飞行，碰水面后弹起再飞，石片不断
在水面上向前弹跳，直至沉水。如图所示，某同学在岸边离水面高度0.8m 处，将一小石片以初速度6m/s
水平抛出，若小石片接触水面后弹起，水平方向速度不变，竖直方向弹起的最大高度是原来的9
16
，不计空
气阻力，重力加速度g 取10m/s2。，以下说法正确的是
A．小石片接触水面后的速度大小是接触水面前速度大小的3
4
B．小石片第一次接触水面后的速度大小为3m/s
C．小石片从抛出到第一次接触水面时的水平位移大小为2.4m
D．小石片第一次接触水面到第二次接触水面的运动时间为0.3s
8．如图所示，x 轴在水平地面内，y 轴沿竖直方向。图中画出了从y 轴上沿x 轴正方向抛出的三个小球a、
b、c 的运动轨迹，其中b 和c 是从同一点抛出的（不计空气阻力），则（ ）
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A．a 的飞行时间比b 的长
B．b 和c 的飞行时间相同
C．a 的初速度比b 的小
D．b 的初速度比c 的小
9．如图所示，a、b两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出。已知
半圆轨道的半径为R与斜面竖直高度相等，斜面底边长为其竖直高度的2 倍。若小球a能落到半圆轨道上，
小球b能落到斜面上，a、b均可视为质点，重力加速度取g,则下列说法正确的是（ ）
A．如果a球落在半圆轨道最低点，则其速度方向竖直向下
B．b球落在斜面上时，其速度方向与水平面夹角的正切值为0.5
C．调整a球初速度v0的大小，能使a球垂直落在半圆轨道上
D．a、b两球如果同时落在半圆轨道和斜面上，则其初速度v0=2√
2gR
5
10．如图所示，一物体在某液体中运动时只受到重力mg和恒定的浮力F的作用，且F = mg
3
。如果物体从
M点以水平初速度v0开始运动，最后落在N点，MN间的竖直高度为h，其中g为重力加速度，则下列说法
正确的是（ ）
A．从M运动到N的时间为√
2h
g
B．M与N之间的水平距离为v0√
3h
g
C．从M运动到N的轨迹不是抛物线
D．减小水平初速度v0，运动时间将变长
11．在光滑的水平面上，一滑块的质量m=2kg，在水平方向上恒定的外力F = 4 N的作用下运动，如图所
示给出了滑块在水平面上运动的一段轨迹，滑块过P、Q 两点时速度大小均为v =5 m/s。滑块在P 点的速
15
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度方向与PQ 连线夹角α =37°，sin37° =0.6，则下列说法中正确的是（ ）
A．水平恒力F 的方向与PQ 连线成53°夹角
B．滑块从P 点到Q 点做匀速圆周运动
C．滑块从P 点到Q 点的过程中动能最小值为16J
D．P、Q 两点间距离为16m
12．如图所示，倾角为37°的斜面长l =1.9 m，在斜面底端正上方的O 点将一小球以v0=3 m /s的速度水平
抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面
P 点处击中滑块，小球和滑块均可视为质点，重力加速度g 取10 m /s
2，sin37° =0.6，cos37° =0.8，则
（ ）
A．小球在空中飞行的时间为0.3s
B．小球抛出点到斜面P 点的水平距离为1.2m
C．滑块沿斜面下滑的加速度为6 m /s
2
D．小球抛出点到斜面底端的竖直高度为0.8m
13．某物理兴趣小组的同学在研究运动的合成和分解时，驾驶一艘快艇进行了实地演练。如图所示，在宽
度一定的河中的O 点固定一目标靶，经测量该目标靶距离两岸的最近距离分别为MO =15 m、NO=12m，
水流的速度平行河岸向右，且速度大小为v1=8 m/s，快艇在静水中的速度大小为v2=10 m/s。现要求快艇
从图示中的下方河岸出发完成以下两个过程：第一个过程以最短的时间运动到目标靶；第二个过程由目标
靶以最小的位移运动到图示中的上方河岸，则下列说法不正确的是（ ）
16
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A．第一个过程快艇的出发点位于M 点左侧12m 处
B．第一个过程所用的时间约为1.17s
C．第二个过程快艇的船头方向应指向河的上游并与河岸夹角为37°
D．第二个过程所用的时间为2s
14．有一条两岸平直且平行的河流，河水流速恒定，大小为v1，一条小船在河上横渡，已知船在静水中的
速度大小为v2，第一次过河时船头始终指向与河岸垂直的方向，第二次过河时行驶路线与河岸垂直，若
v1、v2均不变，试求第一次过河与第二次过河所用时间的比值为（ ）
A．
v1
√v1
2- v2
2
B．√v1
2- v2
2
v1
C．√v2
2- v1
2
v2
D．√
v2
2+ v1
2
v2
15．如图所示，小船以大小v1（在静水中速度），方向与河流上游成θ 角的速度从O 点处过河，恰好到达
河正对岸 P 处，现在雨天水流变急（即v2增大），要使小船仍到达正对岸且时间相同下列方法可取的是（
）
A．不改变v1的大小，只减小θ 角
B．不改变θ 角，只增大v1的大小
C．增大v1的大小，同时适当减小θ 角
D．增大v1的大小，同时适当增大θ 角
16．洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有人民子弟兵的身影。如图所示，水流速度大小恒为v，A
处下游的C 处有个半径为r 的漩涡，其与河岸相切于B 点，A、B 两点的距离为√3r。若消防武警驾驶冲锋
舟把被困群众从A 处沿直线避开游涡送到对岸，冲锋舟在静水中最小速度值为（ ）
17
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A．√3
2 v
B．1
√3 v
C．√3 v
D．1
2 v
17．如图所示，甲、乙两船从A、B 两个码头同时开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度
大小相等，甲船出发时船头刚好指向C 点，乙船恰能沿BC 到达正对岸的C 点，则下列说法正确的是（
）
A．两船不会相遇
B．两船在C 点相遇
C．两船在AC 的中点相遇
D．两船在BC 的中点相遇
18．旋转木马可以简化为如图所示的模型，两个完全相同的可视为质点的小球a、b 分别用悬线悬于水平杆
A、B 两端，OB＝2OA，将装置绕竖直杆匀速旋转后，a、b 在同一水平面内做匀速圆周运动，两悬线与竖
直方向的夹角分别为α、β，则下列判断正确的是（ ）
A．tan β =√2tan α
B．tan β =2tan α
C．cosα =√2cos β
D．sin β =√2sin α
19．如图所示，一个上表面粗髓、中心有孔的水平圆盘绕轴MN转动，系有不可伸长细线的木块置于圆盘
上，细线另一端穿过中心小孔O系着一个小球。已知木块、小球皆可视为质点，质量均为m，木块到O点
的距离为R，O 点与小球之间的细线长为L。当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球以角速度ω随圆盘做圆锥
摆运动，木块相对圆盘静止。连接小球的细线与竖直方向的夹角为α，小孔与细线之间无摩擦，则下列说
法错误的是（ ）
18
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A．若木块和圆盘保持相对静止，L不变，ω越大，则α越大
B．若R = L，无论ω多大木块都不会滑动
C．若R> L，ω增大，木块可能向O点滑动
D．若R< L，ω增大，木块可能向O点滑动
二、多选题
20．如图所示，半径为R 的光滑圆环固定在竖直面内，在圆环的最高点O 固定一个光滑的小环，穿过小环
的细线两端分别连接着质量为2m的小球A 和质量为m 的小球B，A、B 两球套在圆环上，用沿圆环切线方
向的力F 作用在B 球上，使A、B 保持静止，此时A、B 连线刚好是圆环的直径，A、B 连线与水平方向夹
角为30°，撤去作用在小球B 点的力后，两个小球由静止开始运动。已知重力加速度为g，不计小环和小
球大小，运动过程中整个系统无能量损失。下列说法正确的是（ ）
A．F =(1- √3
2 )mg
B．F =(√3-1)mg
C．当A 球下降高度R 到P 位置时，A、B 两球速度大小相等
D．当A 球下降高度R 到P 位置时，A、B 两球速度大小关系为vA=√3 vB
21．如图所示，小球A 以某一速度水平向右抛出的同时，小球B 斜向左上方以速度v0抛出，v0与水平方向
的夹角为53
∘。两球抛出后在同一竖直面内运动，且恰好在空中相碰。已知单独抛出小球B 时，小球B 到
达的最高点恰好与小球A 的抛出点处于同一水平线上，且小球B 落地点位于小球A 抛出点的正下方。不计
19
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空气阻力，重力加速度为g，sin53
∘=0.8，cos53
∘=0.6，下列说法正确的是（ ）
A．小球A 抛出的初速度大小等于2.4 v0 B．小球A 抛出的初速度大小等于1.8 v0
C．两球抛出点的水平距离为24 v0
2
25 g
D．两球抛出点的水平距离为8 v0
2
25 g
22．如图所示，小球a从倾角为θ =60°的固定粗糙斜面顶端以速度v1沿斜面恰好匀速下滑，同时将另一小
球b在斜面底端正上方与a球等高处以速度v2水平抛出，两球恰在斜面中点P相遇（不计空气阻力），则下
列说法正确的是（ ）
A．v1:v2=2:1
B．若小球b以2v2水平抛出，则两小球仍能相遇
C．若小球b以2v2水平抛出，则b球落在斜面上时，a球在b球的下方
D．若改变小球b抛出的速度v2的大小，则两小球一定不能相遇
23．如图所示，倾角为θ的斜面体固定在水平面上，一个小球在斜面上某一点第一次垂直斜面抛出，第二
次水平抛出，两次抛出的初速度大小相同，两次小球均落在斜面上，第一次小球在空中运动时间为t1，落
在斜面上的位置离抛出点的距离为s1，第二次小球在空中运动时间为t2，落在斜面上的位置离抛出点的距
离为s2，则下列关系正确的是（ ）
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A．t2=t1sinθ
B．t2=t1
C．s2= s1tanθ
D．s2= s1
24．民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设
运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。已知
v1>v2，要想命中目标射出的箭在空中飞行距离最短，则（ ）
A．若箭的实际运动方向和马的速度方向的夹角为θ，sinθ = v2
v1
B．若箭的实际运动方向和马的速度方向的夹角为θ，sinθ = √v1
2- v2
2
v1
C．箭射到固定目标的时间为d
v2
D．箭射到固定目标的时间为
d v1
v2√v1
2- v2
2
25．如图为场地自行车比赛的圆形赛道。某运动员骑自行车在赛道上做匀速圆周运动，圆周的半径为R，
路面与水平面的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．当自行车的速度大小为√gR tanθ时，自行车不受侧向摩擦力作用
B．当自行车的速度大小为√
gRsin2θ
2
时，自行车不受侧向摩擦力作用
C．当自行车的速度大小为√gRsinθ时，自行车所受侧向摩擦力的方向沿倾斜路面向上
D．当自行车的速度大小为√gRsinθ时，自行车所受侧向摩擦力的方向沿倾斜路面向下
26．如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上，物块质量
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为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F。小环和物块以速度v 向右匀速运动，
当小环碰到杆上的钉子P 后立刻停止，物块向上摆动，整个过程中，物块在夹子中没有滑动，小环和夹子
的质量均不计，小环、夹子和物块均可视为质点，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．物块向右匀速运动时，绳中的张力大于Mg
B．小环碰到钉子P 时，绳中的张力等于Mg+ M v
2
L
C．速度v 不能超过
√
2( F - Mg)L
M
D．速度v 不能超过
√
(2 F - Mg)L
M
27．如图（a），被固定在竖直平面内的轨道是由内径很小、内壁均光滑的水平直轨道和半圆形轨道平滑
连接而成，在半圆形轨道内壁的最高和最低处分别安装M、N、P、Q 四个压力传感器。一小球（可视为质
点）在水平轨道内以不同的初速度v0向右运动（传感器不影响小球的运动）。在同一坐标系中绘出传感器
的示数F 与v0
2的图像I、II、III 如图（b）所示。重力加速度g=10 m /s
2。下列判断正确的是（ ）
A．直线I、II、III 分别是 M、N、P 传感器的图像
B．由图像可求得小球的质量m=1kg
C．当v0=3 m /s时，Q 传感器的示数为28N
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D．当v0=6 m /s时，N 传感器的示数为22N
三、解答题
28．如图所示，AB 为竖直光滑圆弧的直径，其半径R=0.9m，A 端沿水平方向。水平轨道BC 与半径
r=0.5m 的光滑圆弧轨道CDE 相接于C 点，D 为圆轨道的最低点，圆弧轨道CD、DE 对应的圆心角θ=37°。
圆弧和倾斜传送带EF 相切于E 点，EF 的长度为l=10m。一质量为M=1kg 的物块（视为质点）从水平轨道
上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从A 点飞出，经过C 点恰好沿切线进入圆弧轨道，再经过E 点，随
后滑上传送带EF。已知物块经过E 点时速度大小与经过C 点时速度大小相等，物块与传送带EF 间的动摩
擦因数μ=0.75，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37=0.8。求：
（1）物块从A 点飞出的速度大小vA和在A 点受到的压力大小FA；
（2）物块到达C 点时的速度大小vC及对C 点的压力大小FC；
（3）若传送带顺时针运转的速率为v=4m/s，求物块从E 端到F 端所用的时间。
29．如图所示，在水平桌面上离桌面右边缘x =3.7 m处放着一质量为m=0.1kg的小铁块（可看作质点），
铁块与水平桌面间的动摩擦因数μ=0.4。现用方向水平向右、大小为1.9N 的推力F 作用于铁块，作用一段
时间后撤去F，铁块继续运动，到达水平桌面边缘A 点时飞出，恰好从竖直圆弧轨道BCD 的B 端沿切线进
入圆弧轨道，铁块恰好能通过圆弧轨道的最高点D。已知θ =37°，A、B、C、D 四点在同一竖直平面内，
水平桌面离B 端的竖直高度H =0.45 m，圆弧轨道半径R =0.4 m，C 点为圆弧轨道的最低点。（不计空气
阻力，取sin53° =0.8，cos53° =0.6，g=10 m /s
2）
（1）求铁块运动到圆弧轨道最高点D 点时的速度大小v D；
（2）若铁块以vC =5 m /s的速度经过圆弧轨道最低点C，求此时铁块对圆弧轨道的压力FC；
（3）求铁块运动到B 点时的速度大小vB；
（4）求水平推力F 作用的时间t。
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30．如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可以不同的转速绕其中心轴OO
'转动，筒内壁粗糙，筒口半径为
R，筒高为H，且满足H = 3 R
4
，筒内壁A 点处有一质量为m 的小物块，A 点位于斜面的一半处，即A 到
OO
'轴的距离为R
2
。
（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小；
（2）当物块在A 点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度；
（3）若已知斜面的最大静摩擦因数μ0=0.5，转动过程中，要求物块相对锥筒一直保持静止，求锥筒的最
大角速度。
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