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专题07 圆周运动
[题型导航]
题型一 圆周运动的运动学问题...........................................................................................................1
题型二 圆周运动的动力学问题...........................................................................................................4
题型三 竖直面内圆周运动的两类模型问题.......................................................................................6
题型四 圆周运动中的两类临界问题.................................................................................................10
[考点分析]
题型一 圆周运动的运动学问题
1．线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．v＝＝.
2．角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．ω＝＝.
3．周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．T＝，T＝.
4．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．an＝rω2＝＝ωv＝r.
5．相互关系：(1)v＝ωr＝r＝2π
rf .
(2)an＝＝rω2＝ωv＝r＝4π2f2r.
[例题1]
如图为车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为1m 的细直杆可绕O 在竖直面
内匀速转动。汽车从自动识别线ab 处到达直杆处的时间为3.3s，自动识别系统的反应时间为
0.3s；汽车可看成高1.6m 的长方体，其左侧面底边在aa′直线上，且O 到汽车左侧面的距离
为0.6m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为（ ）
1
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A．π
4
rad/s
B．3 π
4
rad/s
C．π
6
rad/s
D．π
12
rad/s
[例题2]
某机器的齿轮系统如图所示，中间的轮叫做太阳轮，它是主动轮。从动轮称为行
星轮，主动轮、行星轮与最外面的大轮彼此密切啮合在一起，如果太阳轮一周的齿数为n1，行
星轮一周的齿数为n2，当太阳轮转动的角速度为ω 时，最外面的大轮转动的角速度为（ ）
A．
n1
n1+2n2
ω
B．
n2
n1+n2
ω
C．
n1
n1+n2
ω
D．
n2
n1-n2
ω
[例题3]
无级变速是在变速范围内任意连续变换速度的变速系统．如图所示是无级变速模
型示意图，主动轮、从动轮中间有一个滚轮，各轮间不打滑，通过滚轮位置改变实现无级变速。
A、B 为滚轮轴上两点，则（ ）
2
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A．从动轮和主动轮转动方向始终相反
B．滚轮在A 处，从动轮转速大于主动轮转速
C．滚轮在B 处，从动轮转速大于主动轮转速
D．滚轮从A 到B，从动轮转速先变大后变小
[例题4]
由于高度限制，车库出入口采用图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆OP 与横杆PQ
链接而成，P、Q 为横杆的两个端点．在道闸抬起过程中，杆PQ 始终保持水平．杆OP 绕O 点
从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．P 点的线速度大小不变
B．P 点的加速度方向不变
C．Q 点在竖直方向做匀速运动
D．Q 点在水平方向做匀速运动
[例题5]
如图所示为旋转脱水拖把结构图。把拖把头放置于脱水筒中，手握固定套杆向下
运动，固定套杆就会给旋转杆施加驱动力，驱动旋转杆、拖把头和脱水筒一起转动，把拖把上
的水甩出去。旋转杆上有长度为35cm 的螺杆，螺杆的螺距（相邻螺纹之间的距离）为d＝
5cm，拖把头的托盘半径为10cm，拖布条的长度为6cm，脱水筒的半径为12cm。某次脱水时，
固定套杆在1s 内匀速下压了35cm，该过程中拖把头匀速转动，则下列说法正确的是（ ）
3
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A．拖把头的周期为7s
B．拖把头转动的角速度为14πrad/s
C．紧贴脱水筒内壁的拖布条上附着的水最不容易甩出
D．旋转时脱水筒内壁与托盘边缘处的点向心加速度之比为5：6
题型二 圆周运动的动力学问题
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或
某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力．
3．向心力的公式Fn＝man＝m＝mω
2 r ＝mr＝mr
4π
2 f 2
解决圆周运动问题的主要步骤
(1)审清题意，确定研究对象；明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环；
(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；
(3)分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源；
(4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
[例题6]
（多选）如图所示，足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆，原长为L 的轻
质弹簧套在竖直杆上，质量均为m 的光滑小球A、B 用长为L 的轻杆及光滑铰链相连，小球A
穿过竖直杆置于弹簧上。让小球B 以不同的角速度ω 绕竖直杆匀速转动，当转动的角速度为
ω0时，小球B 刚好离开台面。弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为k，重力加速度为g，则（
）
4
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A．小球均静止时，弹簧的长度为L- mg
k
B．角速度ω＝ω0时，小球A 对弹簧的压力为mg
C．角速度ω0=√
kg
kL-2mg
D．角速度从ω0继续增大的过程中，小球A 对弹簧的压力不变
[例题7]
（多选）如图所示，半径为R 的半球形容器固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台
上，转台转轴与过容器球心O 的竖直线重合，转台以一定角速度ω 匀速旋转。有两个质量均
为m 的小物块落入容器内，经过一段时间后，两小物块都随容器一起转动且相对容器内壁静止，
两物块和球心O 点的连线相互垂直，且A 物块和球心O 点的连线与竖直方向的夹角θ＝60°，
已知重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（ ）
A．若A 物块受到的摩擦力恰好为零，B 物块受到的摩擦力的大小为(√3-1)mg
4
B．若A 物块受到的摩擦力恰好为零，B 物块受到的摩擦力的大小为(√3-1)mg
2
C．若B 物块受到的摩擦力恰好为零，A 物块受到的摩擦力的大小为(√3-1)mg
2
D．若B 物块受到的摩擦力恰好为零，A 物块受到的摩擦力的大小为(√3-1)mg
4
[例题8]
如图所示，在竖直面内固定三枚钉子a、b、c，三枚钉子构成边长d＝10cm 的等
边三角形，其中钉子a、b 沿着竖直方向。长为L＝0.3m 的细线一端固定在钉子a 上，另一端
系着质量m＝200g 的小球，细线拉直与边ab 垂直，然后将小球以v0=√3m/s 的初速度竖直向
5
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下抛出，小球可视为质点，不考虑钉子的粗细，重力加速度g＝10m/s2，细线碰到钉子c 后，
物块到达最高点时，细线拉力大小为（ ）
A．0N
B．1N
C．2N
D．3N
[例题9]
（多选）如图所示为波轮式洗衣机的工作原理示意图，当甩衣桶在电机的带动下
高速旋转时，衣服紧贴在甩衣桶器壁上，从而迅速将水甩出。衣服（带水，可视为质点）质量
为m，衣服和器壁的动摩擦因数约为μ，甩衣桶的半径为γ，洗衣机的外桶的半径为R，当角
速度达到ω0时，衣服上的水恰好被甩出，假设滑动摩擦力和最大静摩擦力相等，重力加速度
为g，则下列说法正确的是（ ）
A．衣服（带水）做匀变速曲线运动
B．电动机的角速度至少为√
g
μr
时，衣服才掉不下来
C．当ω＝ω0时，水滴下落高度g( R -r )
2
2ω0
2r
2
打到外筒上
D．当ω＝ω0时，水滴下落高度g( R
2-r
2)
2ω0
2r
2
打到外筒上
[例题10] 现将等宽双线在水平面内绕制成如图1 所示轨道，两段半圆形轨道半径均为R
=√3m，两段直轨道AB、A'B 长度均为l＝1.35m。在轨道上放置个质量m＝0.1kg 的小圆柱体，
如图2 所示，圆柱体与轨道两侧相切处和圆柱截面圆心O 连线的夹角θ 为120°，如图3 所示，
两轨道与小圆柱体的动摩擦因数均为μ＝0.5，小圆柱尺寸和轨道间距相对轨道长度可忽略不计，
6
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初始时小圆柱位于A 点处，现使之获得沿直轨道AB 方向的初速度v0 。求：
（1）小圆柱沿AB 运动时，内外轨道对小圆柱的摩擦力f1、f2的大小；
（2）当v0＝6m/s，小圆柱刚经B 点进入圆弧轨道时，外轨和内轨对小圆柱的压力N1、N2的大
小；
（3）为了让小圆柱不脱离内侧轨道，v0的最大值，以及在v0取最大值情形下小圆柱最终滑过的
路程s。
题型三 竖直面内圆周运动的两类模型问题
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑
(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、
在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”．
2．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型
杆模型
常见类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高点的
临界条件
由mg＝m 得
v 临＝
由小球恰能做圆周运动得v 临＝0
讨论分析
(1)过最高点时，v≥，FN＋mg
＝m，绳、圆轨道对球产生弹
力FN
(1)当v＝0 时，FN＝mg，FN为支持力，沿
半径背离圆心
(2)当0<v<时，－FN＋mg＝m，FN背离圆
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(2)不能过最高点时，v<，在
到达最高点前小球已经脱离了
圆轨道
心，随v 的增大而减小
(3)当v＝时，FN＝0
(4)当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并
随v 的增大而增大
[例题11] 如图甲，ABC 为竖直放置的半径为0.1m 的半圆形轨道，在轨道的最低点和最高
点A、C 各安装了一个压力传感器，可测定小球在轨道内侧，通过这两点时对轨道的压力FA和
FC．质量为0.1kg 的小球，以不同的初速度v 由A 点冲入ABC 轨道．（g 取10m/s2）
（1）若轨道ABC 光滑，则小球能通过最高点C 的最小速度多大？
（2）若轨道ABC 光滑，小球均能通过C 点．试推导FC随FA变化的关系式，并在图乙中画出其
图线；
（3）若FC和FA的关系图线如图丙所示，求：当FA＝13N 时小球滑经A 点时的速度vA，以及小
球由A 滑至C 的过程中损失的机械能
[例题12] （多选）如图甲所示，轻杆一端固定在O 点，另一端固定质量为m 的小球。现
让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，速度大小
为v，其F﹣v2图象如图乙所示。则（ ）
A．小球做圆周运动的半径R= mb
a
B．当地的重力加速度大小g= b
R
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C．v2＝c 时，小球受到的弹力方向向上
D．v2＝2b 时，小球受到的弹力大小与重力大小相等
[例题13] （多选）如图所示，水平的木板B 托着木块A 一起在竖直平面内做匀速圆周运动，
从水平位置a 沿逆时针方向运动到最高点b 的过程中（ ）
A．B 对A 的支持力越来越大
B．B 对A 的支持力越来越小
C．B 对A 的摩擦力越来越小
D．B 对A 的摩擦力越来越大
[例题14] 摆动是生活中常见的运动形式，秋千、钟摆的运动都是我们熟悉的摆动。摆的形
状各异，却遵循着相似的规律。
（1）如图1 所示，一个摆的摆长为L，小球质量为m，拉起小球使摆线与竖直方向夹角为θ 时
将小球由静止释放，忽略空气阻力。
a．求小球运动到最低点时绳对球的拉力的大小F。
b．如图2 所示，当小球运动到摆线与竖直方向夹角为α（α＜θ）时，求此时小球的角速度大小
ω1。
（2）如图3 所示，长为L 的轻杆，一端可绕固定在O 点的光滑轴承在竖直平面内转动，在距O
点为L
2
和L 处分别固定一个质量为m、可看作质点的小球，忽略轻杆的质量和空气阻力。
a．将杆与小球组成的系统拉到与竖直方向成θ 角的位置由静止释放，当系统向下运动到与竖直
方向夹角为α（α＜θ）时，求此时系统的角速度大小ω2。
b．若θ 较小，系统的运动可看作简谐运动，对比ω2和ω1的表达式，参照单摆的周期公式T＝
2π√
L
g
，写出此系统做简谐运动的周期的表达式，并说明依据。
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[例题15] （多选）一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动的轻杆，另一端与一
小球相连，如图甲所示。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平
向右为正方向，小球的水平分速度vx随时间t 的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，下列说
法中正确的是（ ）
A．t1时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点
B．t2时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点
C．v1大小一定小于 v2大小，图乙中 S1和 S2的面积一定相等
D．v1大小可能等于 v2大小，图乙中 S1和 S2的面积可能不等
题型四 圆周运动中的两类临界问题
1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着
“起止点”，而这些起止点往往就是临界点．
3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，
这些极值点也往往是临界点．
[例题16] （多选）如图所示，物体P 用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它
随杆转动，若转动角速度为ω，则（ ）
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A．ω 只有超过某一值时，绳子AP 才有拉力
B．绳子BP 的拉力随ω 的增大而不变
C．绳子BP 的张力一定大于绳子AP 的张力
D．当ω 增大到一定程度时，绳子AP 的张力大于绳子BP 的张力
[例题17] （多选）汽车在出厂前要进行性能测试。某次测试中，测试人员驾驶着汽车在一
个空旷的水平场地上沿直线以恒定的速度v0匀速行驶，突然发现正前方的道路出现故障，为了
躲避故障，测试人员采取了一些应急措施。设汽车与路面间的滑动摩擦因数为μ，最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则关于测试人员采取的应急措施说法正确的是（ ）
A．若直线刹车，则至少应该在道路故障前v0
2
2 μg
的距离处采取刹车
B．若以原有速率转弯，转弯半径越大，汽车受到的侧向摩擦力越大
C．若以原有速率转弯，转弯的最小半径为v0
2
μg
D．以原速率转弯要比以直线刹车更安全一些
[例题18] （多选）如图所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m 的铁质螺丝帽研究匀速圆
周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r 的匀速圆
周运动，则只要运动角速度合适，螺丝恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为
μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力。则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，
下列分析正确的是（ ）
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A．螺丝帽的重力与其受到的最大静摩擦力平衡
B．螺丝帽受到塑料管的弹力方向水平向外，背离圆心
C．此时手转动塑料管的角速度ω=√
g
μr
D．若塑料管的转动加快，螺丝帽不可能相对塑料管发生运动
[例题19] 如图1，用一根长为L＝1m 的细线，一端系一质量为m＝1kg 的小球（可视为质
点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥
体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω 时，细线的张力为T．求（g＝10m/s2，sin37°= 3
5
，cos37°
= 4
5
，计算结果可用根式表示）：
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
（3）细线的张力T 与小球匀速转动的加速度ω 有关，当ω 的取值范围在0 到ω′之间时，请通
过计算求解T 与ω2的关系，并在图2 坐标纸上作出T﹣ω2的图象，标明关键点的坐标值。
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