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专题01 匀变速直线运动
[题型导航]
题型一 匀变速直线运动的基本规律及应用............................................1
题型二 匀变速直线运动的推论及应用................................................3
题型三 自由落体与竖直上抛运动....................................................4
题型四 多运动过程问题............................................................6
题型五 直线运动的x-t v-t 图像....................................................7
题型六 追及与相遇问题............................................................9
[考点分析]
题型一 匀变速直线运动的基本规律及应用
1．基本规律
(1)速度公式：v＝v0＋at.
(2)位移公式：x＝v0t＋at2.
(3)位移速度关系式：v2－v＝2ax.
这三个基本公式，是解决匀变速直线运动的基石．均为矢量式，应用时应规定正方向．
[例题1]
杭新景高速公路限速120km/h，一般也要求速度不小于80km/h。冬天大雾天气的
时候高速公路经常封道，否则会造成非常严重的车祸。如果某人大雾天开车在高速上行驶，设
能见度（观察者与能看见的最远目标间的距离）为30m，该人的反应为0.5s，汽车刹车时能产
生的最大加速度的大小为5m/s2，为安全行驶，汽车行驶的最大速度是（ ）
A．10m/s
B．15m/s
C．10√3m/s
D．20m/s
[例题2]
ETC 是不停车电子收费系统的简称。最近，某市对某ETC 通道的通行车速进行
提速，车通过ETC 通道的流程如图所示。为简便计算，假设汽车以v0＝28m/s 的速度朝收费站
沿直线匀速行驶，如过ETC 通道，需要在收费站中心线前d＝10m 处正好匀减速至v1＝5m/s，
匀速通过中心线后，再匀加速至v0正常行驶。设汽车匀加速和匀减速过程中的加速度大小均为
1
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1m/s2，忽略汽车车身长度。求：
（1）汽车过ETC 通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中所需要的时间；
（2）汽车过ETC 通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；
（3）提速后汽车以v2＝10m/s 的速度通过匀速行驶区间，其他条件不变，求汽车提速后过ETC
通道过程中比提速前节省的时间。
[例题3]
（多选）某人在一条平直的公路上测试汽车的加速和减速性能，汽车以18km/h
的速度匀速行驶，然后以大小为0.5m/s2的加速度匀加速运动并开始计时，加速10s 后开始刹车
以大小为1m/s2的加速度匀减速运动，下列说法正确的是（ ）
A．在t＝10s 时，汽车走过的位移大小是50m
B．在t＝12s 时，汽车的速度大小是8m/s
C．在t＝22s 时，汽车走过的位移大小是123m
D．在t＝22s 时，汽车走过的位移大小是125m
[例题4]
如图所示，AB 为进入弯道前的一段平直公路，其长度xAB＝395m，BC 为水平圆
弧形弯道；汽车在直道上行驶的最大速度v1＝40m/s，为确保弯道行车安全，汽车进入弯道前
必须减速，到达B 点进入弯道时速度不能超过v2＝20m/s，要求汽车由静止开始在最短的时间
内走完AB 这段直道，已知汽车启动时最大加速度a1= 4 m/ s
2，制动时最大加速度大小
a2=8m/ s
2，试根据上述数据求汽车在直道上行驶所用的最短时间。
2
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题型二 匀变速直线运动的推论及应用
1．两个重要推论
(1)物体在一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，还等于初、末时刻速度矢量和
的一半，即：＝v
＝.
(2)任意两个连续相等的时间间隔T 内的位移之差为一恒量，即：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1
＝aT2.
2．v0＝0 的四个重要推论
(1)1T 末、2T 末、3T 末、……瞬时速度的比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1 2 3
∶∶∶…∶n
(2)1T 内、2T 内、3T 内……位移的比为：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12 2∶
2 3∶
2∶…∶n2
(3)第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内……位移的比为：xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1 3 5
∶∶∶… (2
∶
n－1)
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为：
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1 (∶－1) (∶－)∶… (∶－)
[例题5]
一辆汽车做匀加速直线运动，从A 到B 速度增量为Δv，位移为x1，从B 到C 速
度增量为2Δv，运动的位移为x2，若D 点是汽车从B 运动到C 过程的中间时刻的位置（图中未
标出），则汽车从B 点运动到D 点的位移为（
A．x2﹣x1
B．2( x2- x1)
3
C．x1+ x2
3
D．2( x1+ x2)
5
[例题6]
如图所示，一个质点做匀加速直线运动，依次经过a、b、c、d 四点，已知经过
ab、bc 和cd 三段所用时间之比为3：2：1，通过ab 和cd 段的位移分别为x1和x2，则bc 段的
位移为（ ）
A．x1+ x2
2
B．x1+5 x2
4
C．2 x1+12 x2
9
D．5 x1-2 x2
9
[例题7]
（多选）历史上有些科学家曾把在相等位移内速度变化相等的单向直线运动称为
3
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“匀变速直线运动”（现称“另类匀变速直线运动”），“另类加速度”定义为A = vs- v0
s
，
其中v0和vs分别表示某段位移s 内的初速和末速．A＞0 表示物体做加速运动，A＜0 表示物体
做减速运动．而现在物理学中加速度的定义式为a= vt - vo
t
，下列说法正确的是（ ）
A．若A＞0 且保持不变，则a 逐渐变大
B．若A 不变，则a 也不变
C．若A 不变，则物体在中间位置处的速度为√
v0
2+ vs
2
2
D．若A 不变，则物体在中间位置处的速度为v0+ vs
2
题型三 自由落体与竖直上抛运动
1．特点和规律
(1)自由落体运动的特点
①从静止开始，即初速度为零．
②只受重力作用的匀加速直线运动．
③公式：v＝gt，h＝gt2，v2＝2gh.
(2)竖直上抛运动的特点
①初速度竖直向上．
②只受重力作用的匀变速直线运动．
③若以初速度方向为正方向，则a＝－g.
2．处理竖直上抛运动的方法
(1)分段处理
①上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动．
②几个特征物理量
上升的最大高度H＝，上升到最高点所用的时间T＝，回到抛出点所用的时间t＝，回到抛出点时的
速度v＝－v0.
(2)全程处理
①初速度为v0(设为正方向)，加速度为a＝－g 的匀变速直线运动．
②v>0 时，物体上升．v<0 时，物体下降．
4
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③h>0 时，物体在抛出点上方．h<0 时，物体在抛出点下方．
[例题8]
（多选）甲物体从离地面H 高空自由落下，而乙物体在地面以初速度v0同时向
上抛出，两物体在离地面3
4
H 处相遇。如果g、v0为已知量，则（ ）
A．从自由下落到相遇，经过的时间为t= v0
2g
B．甲物体落到地面时，乙物体仍在上升
C．相遇时，甲、乙两物体的速度大小相等，均为v0
2
D．乙上升的最大高度就是H，且H= v0
2
2 g
，而甲物体落地时的速度大小是v0
[例题9]
在距水平地面高0.8m 处先后依次由静止释放A、B、C 三个小球，小球视为质点，
相邻两球释放时间间隔Δt 相同，且Δt＜0.4s。三小球释放位置很接近但不完全重合，使得后面
运动过程小球之间不会发生碰撞。所有小球与地面的碰撞均为弹性碰撞，忽略碰撞时间。已知
A、B 两球第一次相遇的位置离地高0.35m，重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）相邻两球释放时间间隔Δt；
（2）A、B 两球第2023 次相遇时，C 球与A、B 两球之间的距离；
（3）若B 球处于A、C 球之间，且A、C 球之间距离大于0.6m 时才有机会将B 球取走，仅考虑
C 球释放后的15s 内，能有机会将B 球取走的总时间为多长？
[例题10] 如图所示，两位同学在教学楼上做自由落体实验，甲同学在四楼先将小球A 释放，
当下落距离为h 时，乙同学在三楼将小球B 释放，小球B 释放时间t 后，两球恰好同时落地，
小球A、B 不在同一条竖直线上，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（
）
5
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A．甲同学释放点离地高度为√2ght
2+
h
B．甲同学释放点离地高度为1
2
gt2+√2ght
2+h
C．若两位同学均各上一层楼重做以上实验，两小球仍能同时落地
D．若两位同学均各下一层楼重做以上实验，小球A 先落地
题型四 多运动过程问题
求解多阶段运动问题的四点注意
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段的运动示意图，直观呈现物体的运动过程．
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量以及中间量．
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程，同时列出物体各阶段间的关联方程．
(4)匀变速直线运动涉及的公式较多，各公式相互联系，大多数题目可一题多解，解题时要开阔思路，
通过分析、对比，根据已知条件和题目特点适当地拆分、组合运动过程，选取最简捷的解题方法．
[例题11] 当有移动物体靠近门时，门实现了自动开启及关闭，我们称这种门为自动感应门。
这种自动感应门广泛应用于办公楼、厂房、超市、机场等场所。图a 为自动感应门，门框上沿
中央安装有传感器，当人或物体与传感器的水平距离小于或等于某个设定值（可称为水平感应
距离）时，中间两扇门分别向左右平移，当人或物体与传感器的距离大于设定值时，门将自动
关闭。图b 为感应门的俯视图，A 为传感器位置，虚线圆是传感器的感应范围，已知每扇门的
宽度为d＝1.6m，最大移动速度为v0＝0.8m/s，若门开启时先匀加速运动而后立即以大小相等
的加速度匀减速运动，每扇门完全开启和结束时的速度刚好为零，移动的最大距离可当成等于
门的宽度，不计门及门框的厚度。
（1）求门开启时做加速和减速运动的加速度大小；
（2）若人以v＝1.2m/s 的速度沿图中虚线s 走向感应门，要求人到达门框时左右两门同时各自移
动d
2
的距离，那么设定的传感器水平感应距离l 应为多少？
（3）若以（2）的感应距离设计感应门，欲搬运宽为b＝2.8m 的物体（厚度不计），并使物体
中间沿虚线s 垂直地匀速通过该门（如图c），物体的移动速度不能超过多少？
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[例题12] 新规对驾驶证考试要求越来越严，最后的路考在即将结束时要进行目标停车，考
官会在离停车点不远的地方发出指令，要求将车停在指定的标志杆附近．终点附近的道路是平
直的，依次有编号为A、B、C、D、E 的五根标志杆，相邻杆之间的距离均为△L＝12.0m．一
次路考时，学员甲驾驶汽车，学员乙坐在后排观察并记录时间，学员乙与车的前端面的距离
△s＝2.0m．假设在考官发出目标停车的指令前，汽车是匀速运动的，当学员乙经过O 点考官
发出指令：“在D 标志杆目标停车”．发出指令后，学员乙立即开始计时，学员甲需要经历
△t＝0.5s 的反应时间才刹车，刹车后汽车做匀减速直线运动，直到停止．学员乙记录下自己经
过B、C 杆时的时刻分别为tB＝4.50s，tC＝6.50s，已知LOA＝44m．求：
（1）刹车前汽车做匀速运动的速度大小v0及汽车刹车后做匀减速直线运动的加速度大小a．
（2）汽车停止运动时车头前端面与D 标志杆的距离．
题型五 直线运动的x-t v-t 图像
对于图象要注意理解它的物理意义，即对图象的纵、横轴表示的是什么物理量，图线的斜率、
截距代表什么意义都要搞清楚。形状完全相同的图线，在不同的图象(坐标轴的物理量不同)中意义
会完全不同。下表是对形状一样的s—t 图和v—t 图意义上的比较。
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s—t 图
v—t 图
①表示物体做匀速直线运动(斜率表示
速度v)
②表示物体静止
③表示物体向反方向做匀速直线运动
④交点的纵坐标s0 表示三个运动质点
相遇时的位置坐标
⑤t1 时刻物体位移为s1
①表示物体做匀加速直线运动(斜率表示加速度
a)
②表示物体做匀速直线运动
③表示物体做匀减速直线运动
④交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度v0
⑤t1 时刻物体速度为v1(图中阴影部分面积表示
①质点在0～t1 时间内的位移)
在“速度-时间”图象中，各点斜率
t
v
k
，表示物体在这一时刻的加速度（匀变速直线运动的
“速度-时间”的图象是一条倾斜直线）。
[例题13] 小球从地面以速度v0 竖直上抛，其运动的速度一时间图像如图所示，已知t2＝
t1，t1时刻前、后图线的斜率相等，下列说法正确的是（ ）
A．t1时刻小球的加速度为0
B．t2时刻小球的速度与v0相同
C．t1时刻小球距地面的高度为v0t1
2
D．t2时刻小球距地面的高度为v0t2
2
[例题14] ETC 是高速公路上不停车电子收费系统的简称，汽车在进入ETC 通道感应识别
区前需要减速至5m/s，甲、乙两车以15m/s 的速度进入ETC 通道感应识别区前，都恰好减速
至5m/s，减速过程的v﹣t 图像如图所示，则（ ）
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A．t1时刻甲车的速度大于乙车的速度
B．t1时刻甲车的加速度等于乙车的加速度
C．0～t1时间内甲、乙两车的速度变化量相同
D．0～t1时间内甲、乙两车的平均速度相同
[例题15] 粗糙水平地面上有一质量为m＝50kg 的物块，在F＝500N 的水平恒力作用下运
动。物块与地面间的动摩擦因数μ 恒定，物块受到的空气阻力与速度v 成正比，比例系数为
k。从某时刻开始计时，测得物块运动的v﹣t 图象如图中的实线所示。图中虚线a 是运动图象
的渐近线，虚线b 是运动图象在纵轴交点的切线，切线上一点A 的坐标为（4，15），g 取
10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．0～4s 内，物块做的是加速度逐渐减小曲线运动
B．0 时刻，物块的加速度大小为a＝3.75m/s2
C．物块与地面间的动摩擦因数μ＝0.1
D．比例系数k＝25N•s/m
[例题16] 假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度
均为v0＝30m/s，两车相距s0＝100m，t＝0 时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的速度随时间
的变化如图所示，取运动方向为正方向，图中阴影部分面积为在某段时间内两车的位移之差，
下列说法正确的是（ ）
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A．t＝6s 时两车速度大小相等，方向相反
B．t＝3s 时两车距离最近
C．图中阴影部分面积为0～6s 内两车位移之差为120m
D．两车在0～9s 内不会相撞
题型六 追及与相遇问题
解题思路和方法
⇒⇒⇒
[例题17] 蓝牙（Bluetooth）是一种无线技术标准，可实现固定设备、移动设备和楼宇个人
域网之间的短距离数据交换（使用2.4～2.485GHz 的ISM 波段的UHF 无线电波）。现有两同
学用安装有蓝牙设备的玩具小车甲、乙进行实验：甲、乙两车开始时处于同一直线上相距d＝
4.0m 的O1、O2两点，甲车从O1点以初速度v0＝4m/s、加速度a1＝1m/s2向右做匀加速运动，
乙车从O2点由静开始以加速度a2＝2m/s2向右做匀加速运动，已知当两车间距超过s0＝10.0m
时，两车无法实现通信，忽略信号传递的时间。已知√6=2.4。
（1）求甲、乙两车在相遇前的最大距离。
（2）求甲、乙两车在相遇前能保持通信的时间。
[例题18] 现有甲、乙两汽车正沿同一平直马路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，当两
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车快要到十字路口时，甲车司机看到绿灯开始闪烁，已知绿灯闪烁3 秒后将转为红灯。请问：
（1）若甲车在绿灯开始闪烁时刹车，要使车在绿灯闪烁的3 秒时间内停下来且刹车距离不得大
于18m，则甲车刹车前的行驶速度不能超过多少？
（2）若甲、乙车均以v0＝15m/s 的速度驶向路口，乙车司机看到甲车刹车后也紧急刹车（乙车
司机的反应时间△t2＝0.4s，反应时间内视为匀速运动）。已知甲车、乙车紧急刹车时的加速度
大小分别为a1＝5m/s2、a2＝6m/s2．若甲车司机看到绿灯开始闪烁时车头距停车线L＝30m，要避
免闯红灯，他的反应时间△t1不能超过多少？为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车
刹车前之间的距离s0至少多大？
[例题19] （多选）汽车A 和汽车B（均可视为质点）在平直的公路上沿两平行车道同向行
驶，A 车在后（如图甲所示）。以某时刻作为计时起点，此时两车相距x0＝12m。汽车A 运动
的x﹣t 图像如图乙所示，汽车B 运动的v﹣t 图像如图丙所示。下列说法正确的是（ ）
A．汽车A 由静止开始做匀加速直线运动
B．汽车B 车在0∼6s 内的位移大小为24m
C．在t＝3s 时，两车相距最远，且最远距离为20m
D．若t＝1s 时，A 车紧急制动（视为匀变速），要使A 车追不上B 车，则A 车的加速度大小应
大于0.25m/s2
[例题20] 如图所示，离地面足够高处有一竖直空管，管长为l＝0.2m，M、N 为空管的上、
下两端，在空管N 点下端距离d＝0.25m 有一小球，小球（可视为质点）与空管不会相撞，不
计阻力。取g＝10m/s2，求：
（1）若空管以恒定的速度向下做匀速直线运动，小球同时开始做自由落体运动，经过t1＝
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0.2s，小球与N 点等高，求空管的速度大小v0；
（2）若空管以恒定的速度向下做匀速直线运动，小球同时开始做自由落体运动，经过t2＝
0.5s，小球在空管内部，求空管的速度大小v0应满足什么条件；
（3）若小球与空管均做竖直上抛运动，其中空管的初速度v1＝1m/s，要使小球进入管内后不再
飞出管，则小球的初速度v2应满足什么条件。（结果可保留根号）
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