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专题01 匀变速直线运动的规律及应用
目录
题型一 匀变速直线运动基本规律的应用................................................................................................................1
类型1 基本公式和速度位移关系式的应用...................................................................................................2
类型2 逆向思维法解决匀变速直线运动问题..................................................................................................4
题型二 匀变速直线运动的推论及应用....................................................................................................................6
类型1 平均速度公式.........................................................................................................................................7
类型2 位移差公式........................................................................................................................................... 11
类型3 初速度为零的匀变速直线运动比例式................................................................................................13
类型4 第n 秒内位移问题................................................................................................................................18
题型三 自由落体运动和竖直上抛运动..................................................................................................................20
类型1 自由落体运动基本规律的应用........................................................................................................... 21
类型2 自由落体运动中的“两物体先后下落”问题....................................................................................24
类型3 竖直上抛运动的基本规律...................................................................................................................25
类型4 自由落体运动和竖直上抛运动的相遇问题........................................................................................28
题型四 多过程问题..................................................................................................................................................33
题型一 匀变速直线运动基本规律的应用
【解题指导】1．v＝v0＋at、x＝v0t＋at2、v2－v0
2＝2ax 原则上可解任何匀变速直线运动的问
题，公式中v0、v、a、x 都是矢量，应用时要规定正方向.
2. 对于末速度为零的匀减速直线运动，常用逆向思维法.
3.对于汽车刹车做匀减速直线运动问题，要注意汽车速度减为零后保持静止，而不发生后
退(即做反向的匀加速直线运动)，一般需判断减速到零的时间．
【必备知识与关键能力】
1.基本规律
――――→
2．对于运动学公式的选用可参考下表所列方法
题目中所涉及的物理量(包括已知
量、待求量和为解题设定的中间量)
没有涉及的物理
量
适宜选用的公式
v0、v、a、t
x
【速度公式】v＝v0＋at
v0、a、t、x
v
【位移公式】x＝v0t＋at2
v0、v、a、x
t
【速度位移关系式】v2－v＝2ax
v0、v、t、x
a
【平均速度公式】x＝t
类型1 基本公式和速度位移关系式的应用
【例1】（2023·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）一个质点在
轴上运动，位置随时间的变
化规律是
，关于这个质点的运动，以下说法正确的是（ ）
A．质点做匀速直线运动
B．质点的加速度的大小为
，方向沿
轴正方向
1
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C．
时质点的位置在
处
D．
时质点的速度大小为
，方向沿
轴正方向
【答案】B
【详解】AB．根据题意，由公式
结合位置随时间的变化规律
，
可得
可知，质点在
轴上做初速度为
，加速度为
的匀加速直线运动，故A 错误，B
正确；
C．由位置随时间的变化规律
可得，
时质点的位置在
故C 错误；
D．由公式
可得，
时质点的速度大小为
方向沿
轴正方向，故D 错误。
故选B。
【例2】（2023 春·湖北·高三校联考阶段练习）C919 中型客机是我国按照国际民航规章自
行研制、具有自主知识产权的中型喷气式民用飞机，2021 年将交付首架C919 单通道客机。
C919 现正处于密集试飞新阶段，一架C919 飞机在跑道上从静止开始做匀加速直线运动，
当速度达到80m/s 时离开地面起飞，已知飞机起飞前1s 内的位移为78m，则飞机在跑道上
加速的时间t 以及加速度的大小分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】飞机在最后1s 内中间时刻的速度
，则飞机起飞的加速度大小
飞机加速的时间
2
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故选D。
【例3】（2023·全国·高三专题练习）中国第3 艘航空母舰一“福建舰”上的舰载飞机采用
了最先进的电磁弹射系统，它能使飞机在更短的距离内加速起飞。设在静止的航母上，某
舰载飞机在没有电磁弹射系统时，匀加速到起飞速度v 需要的距离为L0，在有电磁弹射系
统给飞机一个弹射初速度v0之后，匀加速到起飞速度v 需要的距离为L。若
，飞机
两次起飞的加速度相同。则弹射速度v0与起飞速度v 之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设飞机两次起飞的加速度为a，根据匀变速直线运动规律有
，
又
联立解得
故选A。
类型2 逆向思维法解决匀变速直线运动问题
1.方法简介
很多物理过程具有可逆性(如运动的可逆性)，在沿着正向过程或思维(由前到后或由因到果)
分析受阻时，有时“反其道而行之”，沿着逆向过程或思维(由后到前或由果到因)来思考，
可以化难为易、出奇制胜。解决物理问题常用的逆向思维有过程逆向、时间反演等。
2.实例特点
刹车类问题或子弹打木块问题的特点都是匀减速至0 后保持静止，在分析问题时，都看成
反向的初速度为0 的匀加速直线运动来处理。
【例1】（2023·河南·统考二模）具有“主动刹车系统”的汽车遇到紧急情况时，会立即启
动主动刹车。某汽车以28m/s 的速度匀速行驶时，前方50m 处突然出现一群羚羊横穿公路，
“主动刹车系统”立即启动，汽车开始做匀减速直线运动，恰好在羚羊通过道路前1m 处
停车。汽车开始“主动刹车”后第4s 内通过的位移大小为（ ）
A．0
B．1m
C．2m
D．3m
【答案】B
【详解】令x1=50m，x2=1m，汽车的刹车时间为t，刹车时的加速度大小为a，则有
3
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，
解得
所以汽车开始“主动刹车”后第4s 内通过的位移大小为3s~3.5s 内通过的位移大小，有
解得
故选B。
【例2】（2023·福建·模拟预测）自动驾驶汽车已经在某些路段试运行。假设一辆自动驾驶
汽车在笔直的公路上行驶，刹车后做匀减速直线运动直到停止，小马同学利用闪光频率为
1Hz 的照相机拍摄下连续三幅汽车照片，测量出第一幅照片与第二幅照片中汽车之间的距
离为15m，第二幅照片与第三幅照片中汽车之间的距离为13m，则汽车最后2s 时间内的平
均速度为（ ）
A．4 m/s
B．3 m/s
C．2 m/s
D．1 m/s
【答案】C
【详解】频闪时间
根据
解得
利用逆向思维法，可将汽车的运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，汽车最后2 s
时间内的位移
汽车最后2 s 时间内的平均速度为
故选C。
【例3】（2023·全国·模拟预测）2020 年11 月10 日8 时12 分，中国“奋斗者”号载人潜
水器在马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度10909 米，创造了我国载人深潜新纪录。假设
“奋斗者”号完成海底任务后竖直上浮，从上浮速度为v 时开始计时，此后“奋斗者”号
匀减速上浮，经过时间t，上浮到海面，速度恰好减为零，则“奋斗者”号在t0（t0<t）时
刻距离海平面的深度为（ ）
4
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A．
B．
C．vt0
D．
【答案】D
【详解】“奋斗者”号上浮时的加速度大小为
根据逆向思维，可知“奋斗者”号在t0时刻距离海平面的深度为
故选D。
题型二 匀变速直线运动的推论及应用
【解题指导】
1．凡问题中涉及位移及发生这段位移所用时间或一段运动过程的初、末速度时，要尝试运
用平均速度公式.
2．若问题中涉及两段相等时间内的位移，或相等Δv 的运动时可尝试运用Δx＝aT2.
3．若从静止开始的匀加速直线运动，涉及相等时间或相等位移时，则尝试应用初速度为零
的比例式．
【必备知识与关键能力】
1．三个推论
(1)连续相等的相邻时间间隔T 内的位移差相等，
即x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2.
(2)做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间初、末时刻速度矢量和
的一半，还等于中间时刻的瞬时速度．
平均速度公式：＝＝
.
(3)位移中点速度
＝.
2．初速度为零的匀加速直线运动的四个重要推论
(1)T 末、2T 末、3T 末、…、nT 末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3 …
∶
∶vn＝1 2 3 …
∶∶∶
∶n.
(2)前T 内、前2T 内、前3T 内、…、前nT 内的位移之比为x1∶x2∶x3 …
∶
∶xn＝12 2∶
2 3∶
2 …
∶
∶n2.
5
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(3)第1 个T 内、第2 个T 内、第3 个T 内、…、第n 个T 内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ…
∶
∶xN＝
1 3 5 … (2
∶∶∶
∶
n－1)．
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3 …
∶
∶tn＝1 (∶－1) (∶－) (2
∶
－) … (
∶
∶－)．
3.思维方法
迁移角度
适用情况
解决办法
比例法
常用于初速度为零的匀加速直线运动且运
动具有等时性或等距离
由连续相邻相等时间(或长度)
的比例关系求解
推论法
适用于“纸带”类问题
由Δs＝aT2求加速度
平均速度法
常用于“等分”思想的运动，把运动按时
间(或距离)等分之后求解
根据中间时刻的速度为该段
位移的平均速度来求解问题
图象法
常用于加速度变化的变速运动
由图象的斜率、面积等条件
判断
类型1 平均速度公式
(1)平均速度法：若知道匀变速直线运动多个过程的运动时间及对应时间内的位
移，常用此法。
(2)逆向思维法：匀减速到0 的运动常用此法。
(3).两段时间内平均速度的平均速度
第一段时间
内的平均速度为
，第一段时间
内的平均速度为
，则全程的平均速度
(4).两段位移内平均速度的平均速度
第一段位移
内的平均速度为
，第一段位移
内的平均速度为
，则全程的平均速度
(5).两种特殊情况
v=?
t2
t1
v2
v1
v=?
x2
x1
v2
v1
6
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【例1】（2023 秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考开学考试）一辆做直线运动的汽车，
以速度v 行驶了全程的一半，然后匀减速行驶了后一半路程，到达终点时恰好停止，全程
的平均速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设全程为s，前半程的时间
后半程做匀减速直线运动，后半程的平均速度
则后半程的运动时间
则全程的平均速度
故选C。
【例2】（2023 秋·贵州贵阳·高三统考期末）一质点做匀加速直线运动，在时间间隔t 内位
移为x，速度增为原来的两倍，方向不变，则该质点的加速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设这段时间的初速度为
，则末速度为
，根据运动学公式可得
联立解得该质点的加速度为
7
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故选C。
【例3】（2023 春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）滑雪运动员由静止开始沿
一斜坡匀加速下滑，经过斜坡中点时的速度为v，则他通过斜坡后半段的平均速度为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设斜坡的长度为
，运动员到达底端的速度为
，根据匀变速直线运动速度位移
公式得
联立两式可得
故运动员通过斜坡后半段的平均速度为
故选B。
【例4】 （2023 春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）如图所示，在光滑的斜
面上放置 3 个相同的小球（可视为质点），小球1、2、3 距斜面底端A 点的距离分别为
x1、x2、x3现将它们分别从静止释放，以相同的加速度向下运动，到达A 点的时间分别为
、
、
，平均速度分别为v1、v2、v3 ，则下列说法正确得是（ ）
A．
B．
C．v3= v1+ v2
D．2v2= v1+ v3
【答案】B
【详解】AB．小球做初速度为零的匀加速直线运动，根据
知
到达A 点的速度
根据平均速度推论可知
8
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则
故A 错误，B 正确。
CD．由于位移之间的大小关系未知，无法比较平均速度的等量关系，故CD 错误；
故选B。
【例5】（2023 秋·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考期末）某型号新能源汽车在
一次测试中从静止开始沿直线运动，其位移x 与时间t 图像为如图所示的一条过原点的抛物
线，
为图像上一点，虚线PQ 与图像相切于P 点，与t 轴相交于
。
时
间内车的平均速度记作
，
时间内车的平均速度记作
，下列说法正确的是
（ ）
A．
时刻小车的速度大小为
B．小车加速度大小为
C．
D．
【答案】D
【详解】A．图线切线的斜率等于速度，则
时刻小车的速度大小为
选项A 错误；
B．车的初速度为零，根据
可得小车加速度大小为
9
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选项B 错误；
CD．因为
联立
可得
则t0为
的中间时刻，则
时间内车的位移等于
时间内车的位移的3 倍，根据
可知
时间内车的平均速度等于
时间内车的平均速度的3 倍，即
故选项C 错误，D 正确。
故选D。
类型2 位移差公式
【例1】（2023 秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）某物体沿着一条直线做匀减速运动，
依次经过
三点，最终停止在D 点。A、B 之间的距离为
，
之间的距离为
，物体通过
与
两段距离所用时间都为
，则下列正确的是（ ）
A．B 点的速度是
B．由C 到D 的时间是
C．物体运动的加速度是
D．CD 之间的距离
【答案】B
【详解】A．物体通过
与
两段距离所用时间都为
，所以
为AC 的中间时刻速度，
根据匀变速直线运动的中间时刻速度推论式可得
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故A 错误；
BC．
与
两段为连续相邻相同时间的位移，根据匀变速直线运动的推论式
可得
解得
根据速度时间关系式
，代入数据可得物体从B 到D 的时间为
则物体从C 到D 的时间为
故选项B 正确，C 错误；
D．根据匀变速直线运动的速度位移公式
，代入数据可得BD 间距离为
则CD 间距离为
故D 错误。
故选B。
【例2】．（2023·四川宜宾·校考二模）一质点做匀加速直线运动时，速度变化
时发生
位移x1，紧接着速度变化同样的
时发生位移x2，则该质点的加速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】匀变速直线运动中，速度变化量相等时，运动时间相等，则可得
根据逐差相等的推论可得
联立可得
11
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故ABC 错误，D 正确。
故选D。
【例3】.（2023 秋·河南·高三校联考阶段练习）如图所示，某一时刻开始用频闪照相机给
一个下落的小球拍照，照相机的拍摄频率为f，经测量小球经2、3 位置间的距离为
，小
球经3、4 位置间的距离为
，试计算小球经1 位置时的速度（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】频闪照相机的曝光时间间隔为
设小球下落的加速度大小为a，则
小球经过位置3 时的瞬时速度为
根据速度时间关系有
联立以上各式解得
故选B。
类型3 初速度为零的匀变速直线运动比例式
【例1】（2023·辽宁沈阳·统考二模）图为某海湾大桥上四段长度均为110m 的等跨连续桥
梁，汽车从a 处开始做匀减速直线运动，恰好行驶到e 处停下。设汽车通过ab 段的平均速
12
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度为
，汽车通过
段的平均速度为
，则
满足（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将汽车从a 到e 的匀减速直线运动，看作反向初速度为零的匀加速直线运动，根
据初速度为零的匀变速直线运动的规律可得，汽车经过de 段和ab 段所用的时间之比为
，所以汽车经过ab 段的平均速度与通过de 段的平均速度之比为
又因为
所以
故选B。
【例2】（2023 秋·江苏南通·高三统考阶段练习）如图所示，甲图为研究木块运动情况的
装置，计算机与位移传感器连接，可描绘木块从静止开始运动的x-t 图像如图乙，图乙中曲
线为抛物线，则（ ）
A．
B．
C．用该装置可以测得木块的质量
D．根据图乙可得到木块在2T 时刻的瞬时速度
13
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【答案】D
【详解】AB．图像可知，物体做匀加速直线运动，结合题意及图像可知位移和时间满足关
系式
故有
所以
故AB 错误；
C．由图像可知，物体做匀加速直线运动，结合题意及图像可知位移和时间满足关系式
根据牛顿第二定律可知
联立可知无法加速度与质量无关，故无法测得木块的质量，故C 错误；
D．由以上分析可知
所以木块在2T 时刻的瞬时速度为
故D 正确。
故选D。
【例3】（2023·全国·高三专题练习）钢架雪车也被称为俯式冰橇，是2022 年北京冬奥会
的比赛项目之一。运动员需要俯身平贴在雪橇上，以俯卧姿态滑行。比赛线路由起跑区、
出发区、滑行区及减速区组成。若某次运动员练习时，恰好在终点停下来，且在减速区AB
间的运动视为匀减速直线运动。运动员通过减速区时间为t，其中第一个
时间内的位移为
，第四个
时间内的位移为
，则
等于（ ）
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A．1：16
B．1：7
C．1：5
D．1：3
【答案】B
【详解】由题意知，在减速区AB 间的运动视为匀减速直线运动，且最终减为零，将此减
速过程由逆向思维，可看作初速度为零的匀加速直线运动，则根据初速度为零的匀加速直
线运动，连续相等时间内位移之比为1:3:5……可知，
之比即为初速度为零的匀加速
直线中第一个
时间内的位移与第四个
时间内的位移之比，即
故选B。
【例4】（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图所示，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣
篮。运动员离地后重心上升到最大高度所用的时间为3t，上升第一个时间t 内所上升高度
的前
路程所用的时间为t1，上升第二个时间t 内所上升高度的后
路程所用的时间为t2。
不计空气阻力，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据初速度为零的匀加速直线运动的规律，通过相邻的相等时间位移之比为1：
3：5，据此可知在上升的三个时间t 内的位移之比为5：3：1，把第一个时间t 内的位移均
分成5 份，第二个时间t 内的位移均分成3 份，竖直上抛到最高点的运动可以看作倒过来的
从最高点出发初速度为零的匀加速直线运动，根据通过相邻相等位移所用的时间之比为
可知题目中
15
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故选C。
【例5】（2023·全国·高三专题练习）高铁站台上，5 位旅客在各自车厢候车线处候车，若
动车每节车厢长为l，动车进站时做匀减速直线运动。站在2 号候车线处的旅客发现1 号车
厢经过他所用的时间为t，动车停下时该旅客刚好在2 号车厢门口（2 号车厢最前端），如
图所示，则（ ）
A．动车从经过5 号候车线处的旅客开始到停止运动，经历的时间为t
B．动车从经过5 号候车线处的旅客开始到停止运动，平均速度为
C．1 号车厢头部经过5 号候车线处的旅客时的速度为
D．动车的加速度大小为
【答案】BC
【详解】A．采用逆向思维可知，动车连续经过相等的位移所用的时间之比为1∶（
）
∶（
）∶（
）∶…∶（
），则动车第1 节车厢最前端从经过5 号
旅客到停下所用的时间为第1 节车厢经过他用时的2 倍，历时2t，故A 错误；
B．动车第1 节车厢最前端从经过5 号旅客到停下总位移为4l，用时2t，则平均速度为
故B 正确；
CD．由以上逆向思维可知
则加速度
并且
，
解得
同时又有
所以
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故C 正确，D 错误。
故选BC。
类型4 第n 秒内位移问题
1.第
秒内指的是1s 的时间，前
秒指的是
秒的时间，二者不同；
2.第
秒内位移等于前
秒内位移减去前
秒内位移；
3.第
秒内的平均速度数值上等于第
秒内位移,也等于
时刻的瞬时速度,还等于
；
4.第
秒内的位移和第
秒内的位移之差
。
【例1】（2023 春·河南漯河·高三漯河高中校考开学考试）地铁进站后的运动可以视为匀
减速直线运动，某同学站在地铁站观察，看到地铁进站后用时20s 停止，最后1s 内位移大
小为0.5m，则地铁（ ）
A．进站的加速度大小是2.0m/s2
B．进站后第1s 内的位移大小是19.5m
C．进站后前10s 位移和后10s 的位移之比为4:1
D．进站的初速度大小是20m/s
【答案】BD
【详解】A．由逆向思维法可把地铁的匀减速运动看作初速度为零的匀加速运动，最后1s
内位移大小为0.5m，根据位移时间关系
解得加速度大小为
故A 错误；
D．地铁进站时的速度大小为
故D 正确；
B．地铁第1s 内的位移大小是
故B 正确；
C．由初速度为零的匀加速直线运动规律可知，地铁前10s 的位移和后10s 的位移之比为
3:1，故C 错误。
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故选BD。
【例2】(2022·广东深圳实验学校月考)做匀加速直线运动的质点，在第5 s 内及第6 s 内的
平均速度之和是56 m/s，平均速度之差是4 m/s，则此质点运动的加速度大小和初速度大小
分别为( )
A．4 m/s2；4 m/s
B．4 m/s2；8 m/s
C．26 m/s2；30 m/s
D．8 m/s2；8 m/s
【答案】 B
【解析】 根据匀变速直线运动规律：某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段的平均速度
依题意，可得4.5 s 末及5.5 s 末的速度之和及速度之差为v4.5＋v5.5＝56 m/s，v5.5－v4.5＝4
m/s，联立求得v4.5＝26 m/s，v5.5＝30 m/s，即有26 m/s＝v0＋a×(4.5 s)，30 m/s＝v0＋a×(5.5
s)，联立求得a＝4 m/s2，v0＝8 m/s，故选B.
【例3】（2022·山东省实验中学高三下学期线上检测）中国自主研发的 “暗剑”无人机，
时速可超过2 马赫．在某次试飞测试中，起飞前沿地面做匀加速直线运动，加速过程中连
续经过两段均为120m 的测试距离，用时分别为2s 和l s，则无人机的加速度大小是（
）
A. 20m/s2 B. 40m/s2 C. 60m/s2 D. 80m/s2
【答案】B
【解析】
第一段的平均速度
；第二段的平均速度
，中间时刻的速度等于平均速度，则
，故选B.
【例4】(2022·云南昆明质检)一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动．开始刹
车后的第1 s 内和第2 s 内位移大小依次为9 m 和7 m，则刹车后6 s 内的位移是
(
)
A．20 m
B．24 m
C．25 m
D．75 m
【答案】 C
【解析】 解法一：基本公式法
设汽车的初速度为v0，加速度为a，根据匀变速直线运动的规律
;
①
18
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②
解得：v0＝10 m/s；a＝－2 m/s2；汽车刹车到停止所需的时间t0＝＝ s＝5 s，则汽车刹车后6
s 内的位移等于5 s 内的位移，则x＝t0＝×5 m＝25 m，故C 正确，A、B、D 错误．
解法二：推论法
设汽车的初速度为v0，加速度为a，根据匀变速直线运动的推论
，解得a＝－
2 m/s2；汽车第1 s 内的位移x1＝v0t＋at2，代入数据解得v0＝10 m/s；汽车刹车到停止所需
的时间t0＝＝ s＝5 s，则汽车刹车后6 s 内的位移等于5 s 内的位移，则x＝t0＝×5 m＝25
m，故C 正确，A、B、D 错误．
题型三 自由落体运动和竖直上抛运动
【解题指导】1.自由落体运动是初速度为0、加速度为g 的匀加速直线运动，匀变速直线运
动的一切推论公式也都适用.
1．竖直上抛运动是初速度方向竖直向上、加速度大小为g 的匀变速直线运动，可全过程应
用匀变速直线运动规律列方程，也可分成上升、下降阶段分段处理，特别应注意运动的对
称性.
3.“双向可逆类运动”是a 不变的匀变速直线运动，参照竖直上抛运动的分析方法，可分段
处理，也可全过程列式，但要注意v0、a、x 等物理量的正负号．
【必备知识与关键能力】
一.自由落体运动
(1)运动特点：初速度为0，加速度为g 的匀加速直线运动．
(2)基本规律：
①速度与时间的关系式：v＝gt.
②位移与时间的关系式：x＝gt2.
③速度与位移的关系式：v2＝2 gx
.
(3)方法技巧：
①比例法等初速度为0 的匀变速直线运动规律都适用．
Δ
②v＝gΔt.相同时间内，竖直方向速度变化量相同．
③位移差公式：Δh＝gT2.
二．竖直上抛运动
(1)运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速运动，下降阶段做自
由落体运动．
(2)基本规律
①速度与时间的关系式：v ＝
v 0－
gt ；
②位移与时间的关系式：x＝v0t－gt2.
(3)研究方法
19
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分段法
上升阶段：a＝g 的匀减速直线运动
下降阶段：自由落体运动
全程法
初速度v0向上，加速度为－g 的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直
向上为正方向)
若v＞0，物体上升；若v＜0，物体下落
若h＞0，物体在抛出点上方；若h＜0，物体在抛出点下方
类型1 自由落体运动基本规律的应用
【例1】.（2023·黑龙江·统考三模）一个物体从离地某一高度处开始做自由落体运动，该
物体第1s 内的位移恰为最后1s 内位移的二分之一，已知重力加速度大小取
，则它开
始下落时距落地点的高度为（ ）
A．15m
B．12.5m
C．11.25m
D．10m
【答案】C
【详解】物体第1s 内的位移为
则物体最后1s 内的位移为
物体最后1s 内的平均速度为
解得
则下落的时间为
则物体开始下落时距落地点的高度为
故选C。
【例2】（2023·全国·高三专题练习）一名宇航员在某星球上完成自由落体运动实验，让一
个质量为2 kg 的小球从一定的高度自由下落，测得在第5 s 内的位移是18 m，则（ ）
A．小球在2 s 末的速度是20 m/s
B．小球在第5 s 内的平均速度是3.6 m/s
C．小球在第2 s 内的位移是20 m
D．小球在5 s 内的位移是50 m
【答案】D
【详解】B. 小球在第5 s 内的平均速度为
20
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B 错误；
A.小球在5s 内的位移为
小球在4s 内的位移为
由题意可知
联立解得：
；
因此小球在2 s 末的速度是
A 错误；
C. 小球在2s 内的位移为
小球在1s 内的位移为
小球在第2 s 内的位移是
C 错误；
D. 小球在5s 内的位移为
D 正确；
故选D。
【例3】.（2023·全国·高三专题练习）小球从靠近竖直砖墙的某个位置（可能不是图中1 的
位置）由静止释放，用频闪方法拍摄的小球位置如图中1、2、3 和4 所示。已知连续两次
闪光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d，重力加速度为g，可知小球（ ）
21
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A．经过位置2 时的瞬时速度大小约
B．从位置1 到4 过程中的平均速度大小约为
C．下落过程中的加速度大小约为
D．小球的静止释放点距离位置1 为d
【答案】C
【详解】A．由题知因1 位置不一定是释放点，故经过位置2 时的瞬时速度不一定等于
应根据小球经过位置2 的瞬时速度等于1、3 段的平均速度进行计算，即
故A 错误；
B．位置1 到位置4 的平均速度为
故B 错误；
C．由图可知，2、3 与1、2 两段的位移差为
，根据
解得下落过程中的加速度大小为
故C 正确；
D．设释放点距离位置1 为h，则从释放点到2 位置，则有
将
、
代入可得
22
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小球的静止释放点距离位置1 为
，故D 错误。
故选C。
类型2 自由落体运动中的“两物体先后下落”问题
【例1】（2023·陕西·统考一模）如图所示，物理研究小组正在测量桥面某处到水面的高度。
一同学将两个相同的铁球1、2 用长
的细线连接。用手抓住球2 使其与桥面等高，
让球1 悬挂在正下方，然后由静止释放，桥面处的接收器测得两球落到水面的时间差
，
，则桥面该处到水面的高度为（ ）
A．22m
B．20m
C．18m
D．16m
【答案】B
【详解】设桥面高度为h，根据自由落体运动位移公式，对铁球2 有
对铁球1 有
又
解得
故选B。
【例2】.(多选)(2022·嘉兴质检)如图所示，在一个桌面上方有三个金属小球a、b、c，离桌
面高度分别为h1∶h2∶h3＝3 2 1.
∶∶若先后顺次释放a、b、c，三球刚好同时落到桌面上，不计空
气阻力，则( )
A．三者到达桌面时的速度大小之比是 ∶∶1
B．三者运动时间之比为3 2 1
∶∶
23
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C．b 与a 开始下落的时间差小于c 与b 开始下落的时间差
D．三个小球运动的加速度与小球受到的重力成正比，与质量成反比
【答案】AC.
【解析】：由v2＝2gh，得v＝，故v1∶v2∶v3＝∶∶1，A 正确；由t＝得三者运动的时间之比
t1∶t2∶t3＝∶∶1，B 错误；b 与a 开始下落的时间差Δt1＝(－)· ，c 与b 开始下落的时间差Δt2
＝(－1)· ，故C 正确；三个小球的加速度与重力及质量无关，都等于重力加速度，D 错
误．
类型3 竖直上抛运动的基本规律
1.竖直上抛运动的重要特性
①对称性
如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B 为途中的任意两点，C 为最高点，如图所示，
则：
②多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶
段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。
2.竖直上抛运动的v-t 图和x-t 图
【例1】（2023 秋·广东茂名·高三信宜市第二中学校考开学考试）升降机从井底以5m/s 的
速度向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松脱，再经过4s 升降机底板上升至井口，
此时螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，取重力加速度
，下列说法正确的是（
）
A．螺钉松脱后做自由落体运动
B．矿井的深度为45 m
C．螺钉落到井底时的速度大小为40 m/s
D．螺钉松脱后先做竖直上抛运动，到达最高点后再做自由落体运动
【答案】D
-v0
v0
v0/g 2v0/g
v
O
t
v0
2/2g
v0/g 2v0/g
x
O
t
24
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【详解】AD．螺钉松脱后先做竖直上抛运动，到达最高点后再做自由落体运动，故A 错
误，D 正确；
C．规定向下为正方向，根据
螺钉落到井底时的速度大小为
故C 错误；
B．螺钉下降距离为
因此井深
故B 错误。
故选D。
【例2】（2023·山东·高三专题练习）甲、乙两个小球先后从同一水平面的两个位置，以相
同的初速度竖直向上抛出，小球距抛出点的高度h 与时间t 的关系图像如图所示。不计空
气阻力，重力加速度为
，则两小球同时在同一水平线上时，距离抛出点的高度为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据竖直上抛运动规律，竖直向上运动到同一水平线上时，乙小球的运动时间为
甲小球到达的最高点高度为
甲小球下落的高度为
故该位置距离抛出点的高度为
25
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故选D。
【例3】（2023·全国·高三专题练习）古代劳动人民常用夯锤（如图甲）将地砸实，打夯时
四个劳动者每人分别握住夯锤的一个把手，一个人喊号，号声一响，四人同时用力将地上
质量为90kg 的夯锤竖直向上提起；号音一落，四人同时松手，夯锤落下将地面砸实。以竖
直向上为正方向，若某次打夯过程松手前夯锤运动的v-t 图像如图乙所示。不计空气阻力，
g 取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．松手后，夯锤立刻落下做自由落体运动
B．夯锤离地的最大高度为0.45m
C．夯锤上升过程中的时间为0.45s
D．松手前，每个人对夯锤施加的作用力的大小为300N
【答案】BD
【详解】A．松手后，由于惯性夯锤做竖直上抛运动，故A 错误；
BC．松手后，夯锤继续上升的时间
所以夯锤上升过程中的时间
故夯锤离地的最大高度为
故C 错误，B 正确；
D．松手前，夯锤的加速度为
设每个人对夯锤施加的力的大小为F，由牛顿第二定律得
4F－mg＝ma
解得
F＝300N
故D 正确。
26
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故选BD。
类型4 自由落体运动和竖直上抛运动的相遇问题
(1)同时运动，相遇位移方程：½gt2+v0t-½gt2=H,解得t=H/v0
(2)上升、下降过程中相遇问题
①若在a 球上升时两球相遇，则有t<v0/g，即H/v0<v0/g。解得v0>√gH
②若在a 球下降时两球相遇，则有v0/g <t<2v0/g，即v0/g <H/v0<2v0/g。解得√gH /2＜v0＜
√gH
(3)中点相遇问题
若两球在中点相遇，有H/2=½gt2,H/2=v0t-½gt2;解得v0=√gH ,t=√H /g .
此时a 球速度va=v0-gt=√gH -g√H /g =0；b 球速度vb=gt=g√H /g =v0.
交换速度大小。
(4)相遇时速率相等问题
若两球相遇时速率相等，则必然是速度大小相等，方向相反。有gt=v0-gt，且t=H/v0，联立
解得v0=√2gH ，
t=
1
2√
2 H
g
。此时a 球下降ha=½gt2=H/4；b 球上升hb=3H/4.
【例1】（2023·全国·模拟预测）如图所示，a、b、c 三点位于空中同一竖直线上且b 为ac
中点，小球甲、乙完全相同，甲从a 由静止释放的同时，乙从b 以速度
竖直向上抛出，
两球在ab 中点发生弹性碰撞。已知重力加速度大小为g，则甲、乙经过c 点的时间差为（
）
b
ba
a
t
t
H
中点相遇
b
a
速率-时间图像
v0
v0/g 2v0/g
v
O
t
等速率相遇
b
a
速率-时间图像
v0
v0/g 2v0/g
v
O
t
27
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】从开始到两球在ab 中点发生弹性碰撞，对甲、乙分别有
，
，
解得
，
，
，
两球发生弹性碰撞，则有
解得
，
两球碰后运动到c 点过程中，对甲、乙分别有
，
解得甲、乙经过c 点的时间差为
故选B。
【例2】（2023·全国·模拟预测）如图所示，在“子母球”表演中，让同一竖直线上的小球
P 和小球Q，从距水平地面的高度为
和的地方同时由静止释放，球P 的质量为m，球Q
的质量为2m，设所有碰撞都是弹性碰撞，重力加速度为g，忽略球的直径、空气阻力及碰
撞时间，则P 和Q 第一次碰撞后球P 的速度大小为（ ）
28
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据题意，由公式
可得，球Q 的落地时间为
由对称性可知，球Q 上升到最高点的时间也为
，球P 的落地时间为
则有
可知，两球在球Q 第2 次下落时相碰，设经过时间两球相碰，则有
解得
则第一次两球碰撞时，球Q 的速度为
球P 的速度为
由于碰撞时间极短且为弹性碰撞，则碰撞过程中，系统的动量守恒，能量守恒，则有
解得
故选D。
29
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【例3】（2023 秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）如图所示，长度为0.55m
的圆筒竖直放在水平地面上，在圆筒正上方距其上端1.25m 处有一小球（可视为质点）。
在由静止释放小球的同时，将圆筒竖直向上抛出，结果在圆筒落地前的瞬间，小球在圆筒
内运动而没有落地，则圆筒上抛的速度大小可能为（空气阻力不计，取g＝10m/s2）
（ ）
A．2.3 m/s
B．2.6 m/s
C．3.1 m/s
D．3.2 m/s
【答案】B
【详解】小球从释放到落地共用时
小球从释放到下落1.25m 共用时
设圆筒上抛的初速度为
，则圆筒在空中的运动时间为
要使圆筒落地前的瞬间小球在圆筒内运动而没有落地，则圆筒的运动时间要小于小球的总
运动时间，还要大于小球从释放到下落1.25m 所用时间，即
解得
故选B。
【例4】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，将小球a 从地面以初速度v0竖直上抛的同
时，将另一相同小球b 从地面上方某处由静止释放，两球在空中相遇时速度大小恰好均为
（不计空气阻力）。则（ ）
30
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A．两球同时落地
B．球b 开始下落的高度为
C．相遇时两球运动的时间为
D．球a 上升的最大高度为
【答案】BCD
【详解】BC．根据自由落体运动规律，依题意有
则相遇时两球运动的时间
则从运动开始至两球相遇，a 球上升高度为
球b 已下落的距离为
则球b 开始下落的高度为
故BC 正确；
D．球a 做竖直上抛运动，当速度为零时，达到最大高度，有
解得
则球a 上升的最大高度为
，故D 正确；
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A．从以上可知，a 球上升的最大高度与b 球下落的高度相等，依题意，b 球运动的时间为
解得
而a 球做竖直上抛，向上匀减速、然后自由落体，根据运动的对称性可知，其运动时间为
可知两球不会同时落地，故A 错误。
故选BCD。
题型四 多过程问题
【解题指导】1．多过程问题一般情景复杂、条件多，可画运动草图或作v－t 图像形象地
描述运动过程，这有助于分析问题，也往往能从中发现解决问题的简单方法.
2.多过程运动中各阶段运动之间的“连接点”的速度是两段运动共有的一个物理量，用它
来列方程能减小复杂程度．
【必备知识与关键能力】
1．一般的解题步骤
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全
过程．
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量．
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程．
2．解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往
是解题的关键．
【例1】（2023·广西·统考二模）消防员日常技能训练中，消防员从四楼窗户沿绳竖直下降
到地面过程的
图像如图所示。消防员在
与
时段内的（ ）
A．位移大小之比为
B．平均速度大小之比为
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C．速度变化量大小之比为
D．加速度大小之比为
【答案】D
【详解】A．在
与
时段内，位移大小之比为面积之比，即为4 1∶，故A 错误；
B．根据匀变速直线运动的平均速度等于初速度与末速度之和的一半，得两时段内的平均
速度大小之比为1 1∶，故B 错误；
C．速度变化量分别为
与
，大小之比为1 1∶，故C 错误；
D．根据加速度的定义式得两时段内的加速度分别为
与
，大小之比为1 4∶，
故D 正确。
故选D。
【例2】（2023·全国·模拟预测）如图所示的自由落锤式强夯机将8~30 t 的重锤从6~30m 高
处自由落下，对土进行强力夯实。某次重锤从某一高度自由落下，已知重锤在空中运动的
时间为
、从自由下落到运动至最低点经历的时间为
，重锤从地面运动至最低点的过程
可视为做匀减速直线运动，当地重力加速度为g，则该次夯土作业（ ）
A．重锤下落时离地高度为
B．重锤接触地面后下降的距离为
C．重锤接触地面后的加速度大小为
D．重锤在空中运动的平均速度大于接触地面后的平均速度
【答案】AC
【详解】AD．由题意可知，重锤在运动过程中受到的空气阻力可以忽略不计。作出
图
像，如图所示，根据自由落体公式可知，重锤下落时离地高度为
根据匀变速直线运动中平均速度
可知，重锤在空中运动的平均速度等于接触地面后
的平均速度，A 正确，D 错误；
B．根据
33
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可知，重锤下落时离地高度
和重锤接触地面后下降距离
之比为
故重锤接触地面后下降的距离为
B 错误；
C．根据
可知，重锤接触地面后的加速度大小为
C 正确。
故选AC。
【例3】（2023·高三课时练习）如图所示，游船从某码头沿直线行驶到湖对岸，小明对过
程进行观测，记录数据如下表：
运动过程
运动时间
运动状态
匀加速运
动
初速度
；末速度
匀速运动
匀减速运
动
靠岸时的速度
（1）求游船匀加速运动过程中加速度大小
及位移大小
；
（2）求游船匀减速运动过程中加速度大小
及位移大小
；
（3）求游船在整个行驶过程中的平均速度大小。
34
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【答案】（1）
，
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）根据题意，结合表中数据，由公式
可得，游船匀加速运动过程中加速度大小为
由公式
可得，位移大小为
．
（2）根据题意，结合表中数据，由公式
可得，游船匀减速运动过程中加速度为
即游船匀减速运动过程中加速度大小为
，由公式
可得，位移大小为
（3）游船在整个行驶过程中的总位移
游船在整个行驶过程中的平均速度大小
【例4】．（2023·高三课时练习）物体从A 点由静止开始做加速度大小为
的匀加速直线
运动，经时间t 到达B 点，速度大小为
，这时突然改为做加速度大小为
的匀减速直线
运动，又经过时间t 回到A 点，速度大小为
，求：
和
。
【答案】
，
【详解】根据题意，画出示意图如图所示
以向右为正方向，
内总位移为零，由运动学公式
有
35
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由运动学公式
有
联立解得
【例5】（2023·全国·高三专题练习）一个滑雪运动员以一定的初速度沿斜面向上滑动，利
用速度传感器可以在计算机屏幕上得到其速度随时间变化的关系图像如图所示，求：
（1）运动员下滑的加速度a；
（2）运动员沿斜面向上滑行的最大距离x。
【答案】（1）2m/s2，方向沿斜面向下；（2）2.5m
【详解】（1）由
图像可知，运动员下滑的加速度为
方向沿斜面向下。
（2）由
图像看出，运动员的初速度与沿斜面上滑的时间为
，
加速度为
故向上滑行的最大距离为
【例6】（2023 秋·河北唐山·高三校联考阶段练习）在平直公路上一辆汽车以某一速度
（未知）匀速行驶，司机突然发现前方L=36m 处有障碍物，经反应时间
（未知）后采取
36
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制动措施，使汽车开始做匀减速直线运动，汽车在
（未知）时刻速度减为0，此时汽车
与障碍物的距离l=1.5m，从司机发现障碍物到汽车静止，对应的v-t 图像如图所示。已知汽
车做匀减速直线运动的第1s 内前进了12.5m，加速度大小
。求：
（1）汽车做匀减速直线运动的时间
；
（2）司机的反应时间
。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）令
，
，设汽车的初速度大小为
，则有
解得
（2）设汽车的刹车距离为x，则有
解得
【例7】．（2023 秋·广东·高三校联考阶段练习）为激发飞行学员的职业荣誉感，空军于
2022 年7 月31 日首次派出运—20 飞机运送新录取飞行学员到空军航空大学报到。运—20
飞机沿直线跑道由静止开始以最大加速度匀加速起飞，经过时间
达到起飞速度
。
（1）求飞机起飞时的加速度大小
和发生的位移大小x1；
（2）跑道上有一个航线临界点（如图所示），超过临界点就必须起飞，如果放弃起飞飞机
将可能冲出跑道，已知跑道长度
，飞机减速的最大加速度大小
，求临
界点距跑道起点的距离
。
37
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【答案】（1）3m/s2，600m；（2）480m
【详解】（1）飞机起飞时的加速度大小
加速起飞发生的位移为
解得
（2）假如飞机加速至临界点，则飞机以最大加速度
减速能刚到达跑道的末端。设此过
程中飞机的最大速度为
，则加速过程有
减速过程有
解得
38
