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专题强化十五 带电粒子在电场中的力电综合问题
目标要求 1.会用等效法分析带电粒子在电场和重力场中的圆周运动.2.会用动力学和能量
观点分析带电粒子的力电综合问题．
题型一 带电粒子在重力场和电场中的圆周运动
1．等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体
的运动问题就会变得复杂一些．此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合
场”来代替，可形象称之为“等效重力场”．
2.
3．举例例1 (多选)如图所示，长为L的细线拴一个带电荷量为＋q、质量为m小球，重力加速度
为g，球处在竖直向下的匀强电场中，电场强度为E，小球恰好能够在竖直平面内做圆周运
动，则( )
A．小球在最高点的速度大小为
B．当小球运动到最高点时电势能最小
C．小球运动到最低点时，机械能最大
D．小球运动到最低点时，动能为(mg＋qE)L
答案 CD
解析 小球恰好能够在竖直平面内做圆周运动，则在最高点由重力和静电力的合力提供向心
力，则有mg＋Eq＝m，解得v＝，故A错误；小球向上运动时，静电力做负功，电势能增
加，当小球运动到最高点时电势能最大，故B错误；小球向下运动时，静电力做正功，机
械能增大，运动到最低点时，小球的机械能最大，故C正确；从最高点到最低点的过程中，
根据动能定理得E－mv2＝(mg＋Eq)·2L，解得E＝(mg＋Eq)L，故D正确．
k k
例2 (多选)如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为＋q的小
球，系在一根长为L的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动．AB为圆周的
水平直径，CD为竖直直径．已知重力加速度为g，电场强度E＝.下列说法正确的是( )
A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大
C．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动
D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达B点
答案 BD
解析 因为电场强度E＝，所以小球所受静电力大小也为mg，故小球所受合力大小为mg，
方向斜向右下方，与竖直方向夹角为 45°，故小球通过圆弧AD的中点时速度最小，此时满
足mg＝m，因此小球在竖直面内做圆周运动的最小速度 v ＝，A项错误；由功能关系知，
min
小球机械能的变化等于除重力之外的力所做的功，小球在竖直平面内绕 O点做圆周运动，
运动到B点时，静电力做功最多，故运动到B点时小球的机械能最大，B项正确；小球在A
点由静止开始释放后，将沿合外力方向做匀加速直线运动，C项错误；若将小球以的速度竖
直向上抛出，由对称性知经时间t＝回到相同高度，其水平位移s＝·t2＝2L，故小球刚好运
动到B点，D项正确．
例3 如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为 O，半径为r，内壁光滑，
A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点．该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量
为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C点时速度最大，
O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g.
(1)求小球所受的静电力大小；
(2)求小球在A点的速度v 为多大时，小球经过B点时对圆轨道的压力最小．
0
答案 (1)mg (2)2
解析 (1)小球在C点时速度最大，则静电力与重力的合力沿DC方向，如图所示，
所以小球受到的静电力的大小
F＝mgtan 60°＝mg.
(2)要使小球经过B点时对圆轨道的压力最小，则必须使小球经过 D点时的速度最小，即在
D点小球对圆轨道的压力恰好为零，在D点
有＝m，解得v＝.
在小球从圆轨道上的A点运动到D点的过程中，
有mgr(1＋cos 60°)＋Frsin 60°＝mv2－mv2，
0
解得v＝2.
0
题型二 电场中的力电综合问题
1．带电粒子在电场中的运动
(1)分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直
线还是曲线)，然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律
解题．
(2)受力特点：在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键
看重力与其他力相比较是否能忽略．一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能
忽略，电子、质子等带电粒子的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重
力作用．
2．用能量观点处理带电体的运动
对于受变力作用的带电体的运动，必须借助能量观点来处理．即使都是恒力作用的问题，用
能量观点处理也常常更简捷．具体方法有：
(1)用动能定理处理
思维顺序一般为：
①弄清研究对象，明确所研究的物理过程．
②分析物体在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是负功．
③弄清所研究过程的初、末状态(主要指动能)．
④根据W＝ΔE 列出方程求解．
k
(2)用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理
列式的方法常有两种：
①利用初、末状态的能量相等(即E＝E)列方程．
1 2
②利用某些能量的减少等于另一些能量的增加列方程．
(3)两个结论
①若带电粒子只在静电力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变．
②若带电粒子只在重力和静电力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变．
例4 (2019·全国卷Ⅱ·24)如图，两金属板P、Q水平放置，间距为d.两金属板正中间有一
水平放置的金属网G，P、Q、G的尺寸相同．G接地，P、Q的电势均为φ(φ>0)．质量为
m，电荷量为q(q>0)的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v 平行于纸面水平射
0
入电场，重力忽略不计．(1)求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；
(2)若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？
答案 (1)mv2＋qh v (2)2v
0 0 0
解析 (1)PG、QG间场强大小相等，均为E.粒子在PG间所受静电力F的方向竖直向下，设
粒子的加速度大小为a，有
E＝①
F＝qE＝ma②
设粒子第一次到达G时动能为E，由动能定理有
k
qEh＝E－mv2③
k 0
设粒子第一次到达G时所用的时间为t，粒子在水平方向的位移为l，则有h＝at2④
l＝vt⑤
0
联立①②③④⑤式解得
E＝mv2＋qh
k 0
l＝v
0
(2)若粒子穿过G一次就从电场的右侧飞出，则金属板的长度最短．由对称性知，此时金属
板的长度为L＝2l＝2v.
0
例5 如图所示，在竖直平面内固定一光滑圆弧轨道AB，轨道半径为R＝0.4 m，轨道最高
点A与圆心O等高．有一倾角θ＝30°的斜面，斜面底端C点在圆弧轨道B点正下方、距B
点H＝1.5 m．圆弧轨道和斜面均处于场强大小E＝100 N/C、竖直向下的匀强电场中．现将
一个质量为m＝0.02 kg、带电荷量为＋2×10－3 C的带电小球从A点由静止释放，小球通过
B点离开圆弧轨道沿水平方向飞出，当小球运动到斜面上D点时速度方向恰与斜面垂直，并
刚好与一个以一定初速度从斜面底端上滑的物块相遇．若物块与斜面间的动摩擦因数 μ＝，
空气阻力不计，g取10 m/s2，小球和物块都可视为质点．求：(1)小球经过B点时对轨道的压力F ；
NB
(2)B、D两点间电势差U ；
BD
(3)物块上滑初速度v 满足条件的最小值．
0
答案 (1)1.2 N，竖直向下 (2)120 V (3)3.10 m/s
解析 (1)设小球到达B点的速度大小为v ，从A到B的过程只有重力和静电力做功，
B
根据动能定理有：mgR＋qER＝mv 2－0
B
得v ＝4 m/s
B
B点是圆周运动最低点，合力提供向心力即F ′－(mg＋qE)＝m，得F ′＝1.2 N
NB NB
根据牛顿第三定律，小球对轨道压力大小等于轨道对其弹力大小
即F ＝1.2 N，方向竖直向下．
NB
(2)设小球由B点到D点的运动时间为t，受到竖直向下的重力和静电力，竖直方向做初速度
0的匀加速直线运动，加速度为a，水平方向做匀速直线运动．下落高度为h的过程
根据速度合成有＝tan θ
竖直方向由牛顿第二定律有Eq＋mg＝ma
h＝at2
U ＝Eh
BD
联立解得U ＝120 V
BD
(3)设C、D间的距离为x，由几何关系有：x＝
设物块上滑加速度为a′，由牛顿运动定律有：mgsin θ＋μmgcos θ＝ma′
根据题意，要使物块与小球相遇，v 的最小值满足：v2＝2a′x
0 0
联立解得：v＝ m/s≈3.10 m/s.
0
课时精练
1.如图所示，一个电荷量为－Q的点电荷甲，固定在绝缘水平面上的O点．另一个电荷量为
＋q、质量为m的点电荷乙，从A点以初速度v 沿它们的连线向甲运动，运动到B点时的速
0
度为v，且为运动过程中速度的最小值．已知点电荷乙受到的阻力大小恒为 F，A、B间距
f
离为L，静电力常量为k，则下列说法正确的是( )
0
A．点电荷乙从A点向甲运动的过程中，加速度逐渐增大
B．点电荷乙从A点向甲运动的过程中，其电势能先增大再减小
C．OB间的距离为
D．在点电荷甲形成的电场中，AB间电势差U ＝
AB答案 C
解析 点电荷乙从A点向甲运动的过程中，受向左的静电力和向右的摩擦力，两球靠近过
程中静电力逐渐增大，小球先减速后加速，所以加速度先减小后增大，故 A错误；在小球
向左运动过程中静电力一直做正功，因此电势能一直减小，故 B错误；当速度最小时有：F
f
＝F＝k，可得：r＝，故C正确；点电荷从A运动到B过程中，根据动能定理有：U q－
AB
FL＝mv2－mv2，计算得出，U ＝，故D错误．
f 0 0 AB
2.(2019·天津卷·3)如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为 m的带电小球，以初速度v
从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运
动到N的过程( )
A．动能增加mv2 B．机械能增加2mv2
C．重力势能增加mv2 D．电势能增加2mv2
答案 B
解析 小球动能的增加量为ΔE ＝m(2v)2－mv2＝mv2，A错误；小球在竖直方向上的分运动
k
为匀减速直线运动，到N时竖直方向的速度为零，则M、N两点之间高度差为h＝，小球重
力势能的增加量为ΔE ＝mgh＝mv2，C错误；静电力对小球做正功，则小球的电势能减少，
p
由能量守恒定律可知，小球减小的电势能等于重力势能与动能的增加量之和，则电势能的减
少量为ΔE′＝mv2＋mv2＝2mv2，D错误；由功能关系可知，除重力外的其他力对小球所做
p
的功在数值上等于小球机械能的增加量，即2mv2，B正确．
3.(多选)如图所示，可视为质点的质量为m且电荷量为q的带电小球，用一绝缘轻质细绳悬
挂于O点，绳长为L，现加一水平向右的足够大的匀强电场，电场强度大小为 E＝，小球初
始位置在最低点，若给小球一个水平向右的初速度，使小球能够在竖直面内做圆周运动，忽
略空气阻力，重力加速度为g.则下列说法正确的是( )
A．小球在运动过程中机械能守恒
B．小球在运动过程中机械能不守恒
C．小球在运动过程中的最小速度至少为
D．小球在运动过程中的最大速度至少为
答案 BD
解析 小球在运动的过程中，静电力做功，机械能不守恒，故A错误，B正确；如图所示，小球在电场中运动的等效最高点和最低点分别为 A点和B点，等效重力G′＝mg，小球在
最高点的最小速度v 满足G′＝m，得v ＝，故C错误；小球由最高点运动到最低点，由动
1 1
能定理有G′·2L＝mv2－mv2，解得v＝，故D正确．
2 1 2
4.(多选)如图所示，竖直平面内有固定的半径为R的光滑绝缘圆形轨道，匀强电场的方向平
行于轨道平面水平向左，P、Q分别为轨道上的最高点、最低点，M、N是轨道上与圆心O
等高的点．质量为m、电荷量为q的带正电小球(可视为质点)在轨道内运动，已知重力加速
度为g，电场强度E＝，要使小球能沿轨道做完整的圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．小球在轨道上运动时，动能最小的位置，电势能最大
B．小球在轨道上运动时，机械能最大的位置一定在M点
C．小球过Q、P点时所受轨道弹力大小的差值为6mg
D．小球过Q、P点时所受轨道弹力大小的差值为7.5mg
答案 BC
解析 根据等效场知识可得，静电力与重力的合力大小为mg ＝＝mg，故等效重力加速度
等
为g ＝g，如图所示，tan θ＝＝，即θ＝37°，若小球刚好能通过C点关于圆心O对称的D
等
点，那么小球就能做完整的圆周运动．小球在D点时的动能最小，但D点并非是其电势能
最大的位置，小球电势能最大的位置在N点，选项A错误；小球在轨道上运动的过程中遵
守能量守恒定律，小球在轨道上M点的电势能最小，机械能最大，选项B正确；小球过Q
点和P点时，由牛顿第二定律可得F －mg＝m，F ＋mg＝m，小球从Q点到P点，由动能
Q P
定理可得－2mgR＝mv 2－mv 2，联立解得F －F ＝6mg，选项C正确，D错误．
P Q Q P
5．如图所示，在光滑的水平桌面上，水平放置的粗糙直线轨道 AB与水平放置的光滑圆弧轨道BCD相切于B点，整个轨道位于水平桌面内，圆心角∠BOC＝37°，线段OC垂直于
OD，圆弧轨道半径为R，直线轨道AB长为L＝5R.整个轨道处于电场强度为E的匀强电场中，
电场强度方向平行于水平桌面所在的平面且垂直于直线OD.现有一个质量为m、带电荷量为
＋q的小物块P从A点无初速度释放，小物块P与AB之间的动摩擦因数μ＝0.25，sin 37°＝
0.6，cos 37°＝0.8，忽略空气阻力．求：
(1)小物块第一次通过C点时对轨道的压力大小F ；
NC1
(2)小物块第一次通过D点后离开D点的最大距离；
(3)小物块在直线轨道AB上运动的总路程．
答案 (1)5.4qE (2)R (3)15R
解析 (1)设小物块第一次到达C点时的速度大小为v ，根据动能定理有
C1
qE[Lsin 37°＋R(1－cos 37°)]－μqELcos 37°
＝mv 2－0
C1
解得v ＝
C1
在C点根据向心力公式得F ′－qE＝
NC1
解得F ′＝5.4qE
NC1
根据牛顿第三定律得F ＝5.4qE.
NC1
(2)设小物块第一次到达D点时的速度大小为v ，
D1
根据动能定理有
qE(Lsin 37°－Rcos 37°)－μqELcos 37°＝mv 2－0
D1
解得v ＝
D1
小物块第一次到达D点后先以速度v 逆着电场方向做匀减速直线运动，设运动的最大距离
D1
为x ，根据动能定理得－qEx ＝0－mv 2
m m D1
解得x ＝R.
m
(3)分析可知小物块最终会在圆弧轨道上做往复运动，到达 B点的速度恰好为零时，动能和
电势能之和不再减小．设小物块在直线轨道 AB上运动的总路程为 s，则根据功能关系得
qELsin 37°＝μqEscos 37°
解得s＝15R.
6．如图所示，第一象限中有沿x轴正方向的匀强电场，第二象限中有沿y轴负方向的匀强
电场，两电场的电场强度大小相等．一个质量为m，电荷量为－q的带电质点以初速度v 从
0
x轴上P(－L,0)点射入第二象限，已知带电质点在第一和第二象限中都做直线运动，并且能
够连续两次通过y轴上的同一个点Q(未画出)，重力加速度g为已知量．求：(1)初速度v 与x轴正方向的夹角；
0
(2)P、Q两点间的电势差U ；
PQ
(3)带电质点在第一象限中运动所用的时间．
答案 (1)45° (2)－ (3)
解析 (1)由题意知，带电质点在第二象限做匀速直线运动，
有qE＝mg
设初速度v 与x轴正方向的夹角为θ，
0
且由带电质点在第一象限做直线运动，有
tan θ＝
解得θ＝45°.
(2)P到Q的过程，由动能定理有
qEL－mgL＝0
又W ＝qEL
PQ
解得U ＝＝－.
PQ
(3)带电质点在第一象限做匀变速直线运动，
由牛顿第二定律有mg＝ma，
即a＝g，带电质点速度从v 减到0所用时间为t，
0
则v＝at，解得t＝
0
带电质点在第一象限中往返一次所用的时间
T＝2t＝.
7．如图所示，一半径为R的绝缘圆形轨道竖直放置，圆轨道最低点B点与一条水平轨道相
连，轨道是光滑的，轨道所在空间存在水平向右、场强为E的匀强电场，从水平轨道上的A
点由静止释放一质量为m带正电的小球，设A、B间的距离为s.已知小球受到的静电力大小
等于小球重力的倍，C点为圆形轨道上与圆心O的等高点．(重力加速度为g)
(1)若s＝2R，求小球运动到C点时对轨道的压力大小；
(2)为使小球刚好在圆轨道内完成圆周运动，求s的值．
答案 (1) (2)解析 (1)当小球从A点释放，在静电力作用下运动，从A到C点静电力做正功，重力做负
功，应用动能定理得：
qE·3R－mgR＝mv 2
C
到达C点时，小球受到的支持力和静电力提供向心力，
即：F －qE＝m
N
由牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小与小球受到的支持力大小相等，则
F ′＝F ＝
N N
(2)为了使小球刚好在圆周轨道内运动，小球到达D点时恰好仅重力和静电力，如图所示，
此时有：
F＝＝mg
F＝m
从A点到D点时据动能定理有：qE(s－0.6R)－mg(1.8R)＝mv2
则可以计算得：s＝.
