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10.3
平面向量的应用（精练）
1．（2023春·陕西西安）已知 中， ， ，则此三角形为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】如下图所示：
设M为AC中点，则 ，
所以 ，即 为等腰三角形，
又 ，所以 ，
即 ，
所以 ，可得 ，
综上可知三角形为等边三角形.
故选：B.
2．（2023春·福建厦门） 是边长为2的正方形 边界或内部一点，且 ，则 的
最大值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】以B为坐标原点，以BC方向为 轴正方向，以BA方向为 轴正方向建立坐标系，
则 ，设 ， ， ，
则 ，
因为 ，则 ，
则 ，
故当 ， 时 取得最大值为5．
另解：令 ，则 为 中点， 为 中点，则 ，
所以 ，当 为 中点时取等．
故选：C
3．（2023春·北京石景山 ）如图， ， 是半径为 的圆 上的两点，且 若 是圆 上的任意一
点，则 的最大值为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
，
，
所以
即当 取最大值时， 取得最大值．
当 与 同向时， 取得最大值为 ，
此时， 取得最大值 ．
故选：C．
4．（2023秋·云南大理 ）设 的内角 的对边分别为 ，且 ，若角 的内角
平分线 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．16 D．12
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
由 ，所以 ，化简得到 ，
所以 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，则 的最小值为 .
故选：A．
5．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在扇形 及扇形 中， ，
，动点 在 （含端点），则 的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．7
【答案】A
【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则 .
设 ， ，
则 ,
则 ，
其中 .所以 ，
当且仅当 时，取“=”，
故选:A.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．（2022春·甘肃白银 ）如图，点 是半径为 的扇形圆弧 上一点， ，若
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，
；
以 为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，
则 ， ，设 ， ，
由 得： ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，其中 ， ，
， ， 当 时， .
故选：B.
7．（2023·北京）已知平面向量 ， 满足 ， ，点D满足 ，E为
的外心，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意， ，
∵ ，解得： ，
∴两向量夹角 ，
∵ ，
以 为坐标原点, ,垂直于 所在直线为 , 轴建立平面直角坐标系, 如图所示,
则 , 设 , 由 , 知 ,
解得 ,
∴
又E为 的外心，
∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 为等边三角形,
∴ ，
∴ ,
∴ .
故选：B.
8．（2023春·四川成都）（多选）给出下列命题，其中正确的选项有（ ）
A．已知 ， ，则
B．若非零向量 满足 ，则
C．若G是 的重心，则点G满足条件
D．若 是等边三角形，则
【答案】BC
【解析】对于选项A，已知 ， ，则 ，故选项A错误；
对于选项B，已知非零向量 满足 ，
则 ，所以 ，则 ，故选项B正确；
对于选项C，已知G是 的重心，设 为 的中点，
则 ，则 ，故选项C正确；
对于选项D，已知 是等边三角形，则 ，故选项D错误.
故选项：BC.
9．（2022春·黑龙江大庆）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若点G是 的重心，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．已知 ， ，若 ，则
C．已知A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，若 ，则
D．已知平面向量 ， ，满足 ，且 ， ，则向量 与 夹角的正弦值为
【答案】AD
【解析】对于A：设D为BC边的中点，由向量的中线公式可得 .因为点G是 的重
心，则 .故A正确；
对于B：因为 ， ，所以 .因为 ，所以
，解得： .故B错误；
对于C：因为A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，且 ，所以 ，
解得: .故C错误；
对于D： 因为平面向量 ， ，满足 ，且 ， ，
所以 ，即 ，解得： .
又因为 ，所以 .即向量 与 夹角的正弦值为 .故D正确.
故选：AD
10．（2023·广西）已知向量 ， ，若向量 ，且 与 的夹角为钝角，写出一个满足
条件的 的坐标为 .
【答案】 （答案不唯一）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设 ，
因为向量 ，且 与 的夹角为钝角，
所以 ，所以 ，
不妨令 ，则 ，故 ，
故答案为： （答案不唯一）.
11．（2023·上海·高三专题练习）已知非零平面向量 不平行，且满足 ，记 ，则
当 与 的夹角最大时， 的值为
【答案】
【解析】建立如下图所示的平面直角坐标系，设 ， ，设点 、 ，
令 ， ，则 ，得 ，
设 ，则 ，则点 的坐标为 ，
则直线 的斜率分别为 ，
由两直线的夹角公式可得：
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，则 ，
所以 .
故答案为：4.
12．（2023春·湖南永州 ）一个人骑自行车由A地出发向东骑行了 到达B地，由B地向南东 方向
骑行了 到达C地，从C地向北偏东 骑行了 到达D地，则A，D两地的距离是 ．
【答案】
【解析】A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图，
则 ， ，即 ，
，即 ，
所以 ，故 .
所以A，D两地距离为 .
故答案为： .
13．（2023春·上海奉贤 ）已知 是边长为1的等边三角形，点O是 所在平面上的任意一点，
则向量 的模为 .
【答案】
【解析】因为 是边长为1的等边三角形，所以 ， ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以
.
故答案为：
14．（2023·河南开封·统考模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸
或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形 ，其中 ， ，
，点 在 上，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】如下图， ，
若 为 中点，且 ，则 ，
则 ，
要使其最小，只需 共线，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时，由图知此时 .
故答案为： .
1．（2023春·江西萍乡 ）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则 的
取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】不妨设 ， 中点为 ，则 即 ，故
，即 ， .
故
，因为 ，故 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，故 ，故 的取值范围为 .
故选：D
2．（2023秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重
要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相
等，如图，已知圆 的半径2，点 是圆 内的定点，且 ，弦 均过点 ，则下列说法错误
的是（ ）
A． 为定值 B． 的取值范围是
C．当 时， 为定值 D． 的最大值为12
【答案】B
【解析】如图，过 作直径 ，
由题意 ，
所以
为定值，A对；
若 为 中点，连接 ，则
，
由题意 ，则 ，B错；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若 ，故 ，
则 ，
又 ，则 ，同理可得 ，故 ，C对；
若 为 中点，连接 ，则
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
此时 ，即 ，则 ，
综上，当且仅当 时 的最大值为12，D对.
故选：B
3．（2023春·福建泉州 ）（多选）如图，直线 ，点A是 之间的一个定点，点A到 的距离分
别为1和2.点 是直线 上一个动点，过点A作 ，交直线 于点 ，则（ ）
A． B． 面积的最小值是
C． D． 存在最小值
【答案】BC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设 中点为 ，
连接 ，
以 为原点， 方向分别为 轴建立如图所示的直角坐标系，
则 ， ，
设 ， ， ， ，且 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，故 ，即 ，
所以 ， ， ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
故 ，A错误；
因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 ，
所以 三点共线，且 为 靠近 的三等分点，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等，故B正确；
因为 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等，
故 ，C正确；
因为 ，
所以
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 且 ，所以 ，
记 ，
，
可知 单调递增，没有最值，
即 没有最值，故D错误.
故选：BC
4．（2023春·山东聊城 ）（多选）在给出的下列命题中，正确的是（ ）
A．已知点 在 所在的平面内，满足 ，则点 是 的外心
B．已知平面向量 ， ， 满足 ， ，则 为等腰直角
三角形
C．已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ，则 是等
边三角形
D．在矩形ABCD中， ， ，动点 在以点 为圆心且与BD相切的圆上．若
，则 的最大值为1．
【答案】AC
【解析】对于A项，由已知可得点 到 三个顶点的距离相等，且 在 所在的平面内，所以点
是 的外心，故A正确；
对于B项，因为 ，所以点 在 的平分线上.
又 ，所以 ，所以 .
所以， 是等腰三角形，但无法确定是否为直角三角形，故B项错误；
对于C项，由 ，结合A的结论，可知点 是 的外心.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，即 .
如图1，取 中点为 ，则 ，
所以 ，所以 共线，且 ，
所以，点 为 的重心.
又 ，所以 ，所以 ，
所以，点 为 的垂心.
综上可知， 是等边三角形，故C项正确；
对于D项，
如图2，过点 作 ，垂足为 ，
因为 ，由 ，
可得， ，即圆的半径 .
以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 在圆上，根据三角函数的定义，可设点 ，
则 ， ， .
由 可知 ，
所以， .
设 ， ， ，则 .
当 时， 取最大值1， 有最大值3；
当 时， 取最小值 ， 有最小值1.
故D项错误.
故选：AC.
5．（2022春·重庆沙坪坝 ）（多选）下列论述中正确的是（ ）
A．已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 与 的夹角等于
B．对于给定的 ，其重心为 ，过点 的直线 交 ， 与 ， ，若 ，
，则
C．在四边形 中， ，且 ，则
D．在 中，若 则 是 外心
【答案】ABC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】对于A，∵平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
因为
所以 与 的夹角等于 .故A正确
对于B，由于 是三角形 的重心， 三点共线，所以 ，
， ，
，所以 ，
所以 .B选项正确.
对于C，由于 ，所以四边形 是平行四边形；由于 ，所以四边形 是
菱形，且 ， ，所以 ，C选项正确.
对于D，在 中，若 ， ， ，所以 ，同理可证得
，所以 是三角形 的垂心，D选项错误.
故选：ABC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．（2023秋·山东日照 ）四边形 中，点 ， 分别是 ， 的中点， ， ，
，点 满足 ，则 的最大值为 ．
【答案】1
【解析】如图所示：
因为 ， ，又点 是 的中点，
所以 ，所以 ，
，
又 ，所以 ，又点 是 的中点，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
设 ， ，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以当 即 时， 有最大值1，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 有最大值为1．
故答案为：1
7．（2023春·辽宁大连· ）在长方形 中， ， ，点P为长方形 内部的动点，且
，当 最小时， .
【答案】 /
【解析】如图，以 为原点， 所在的直线分别为 轴，建立平面直角坐标系，则
，
设 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以点 在以 为圆心，1为半径的半圆上，
所以当 共线时， 最小，
过 作 于 ，因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8．（2023春·四川成都 ）已知非零向量 ， ， 满足 ， ， ，则对任意实数
t， 的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为 ， ，则 ，而 ，于是 ，
又 ，则 ，作 ，使 ，如图，
由 ，得 ，即 ，令 ，则 ，
因此 的终点 在以点 为圆心，2为半径的圆上，显然对 ， 的终点的轨迹是线段 确定的直
线 ，
于是 是圆 上的点与直线 上的点的距离，过 作线段 于 ，交圆 于 ，
所以 .
所以 的最小值为 .
故答案为：
10．（2023·全国·高三专题练习）定理：如图，已知P为 内一点，则有
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量
解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点 在 内部，有以下四个推论：
①若 为 的重心，则 ；
②若 为 的外心，则 ；
③若 为 的内心，则 ；备注：若 为 的内心，则
也对.
④若 为 的垂心，则 .
试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题.
(1)点 在 内部，满足 ，求 的值；
(2)点 为 内一点，若 ，设 ，求实数 和 的值；
(3)用“奔驰定理”证明推论②.
【答案】(1)
(2) ，
(3)证明见解析
【解析】（1）解：因为 ，根据奔驰定理可得 ，
因此， .
（2）解：根据奔驰定理，得 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】整理可得 ，
因为 与 不共线，所以由平面向量基本定理得 ， .
（3）证明：若 为 的外心，则可设 的外接圆半径为 ，
， ， ，
故 ，同理 ， ，
根据奔驰定理， .
即 .
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
