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10.3 平面向量的应用（精讲）
考点一 夹角
【例1-1】（2023·江苏）若向量 ， 与 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当 与 共线时，此时 ，当 时， ，此时 与 方向相反，
当 与 的夹角为钝角时，则需 且 与 不反向，所以 且 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A
【例1-2】．（2023秋·福建莆田）已知O为 的外心，且 ．若向量 在向量
上的投影向量为 ，其中 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
又因为O为 的外心，所以 为直角三角形且 ，O为斜边BC的中点，
过 作 的垂线 ，垂足为 ，
因为 在 上的投影向量为 ，
所以 在 上的投影向量为 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 的取值范围为 ．
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023春·福建厦门）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等
分点，AF与DE交于M，则 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】设 ， ，则 ，
，又 ， ，
所以
.
故答案为：
2．（2023春·湖南怀化）在 中，已知 ， ， ， 和 边上的两条中线 ，
相交于点 ，则 的余弦值为
【答案】 /
【解析】
由已知得 即为向量 与 的夹角.
因为M、N分别是 ， 边上的中点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ， .
又因为 ，
所以
，
,
,
所以 .
故答案为：
3．（2023秋·山东枣庄）如图，在 中，已知 ， ， ， 是 的中点，
，设 与 相交于点 ，则 ．
【答案】
【解析】因为 是 的中点，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
因为 ， ，
，
所以
，
所以 .
故答案为： .
考点二 最值
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形 中， 为等边
三角形，当点 在对角线 上运动时， 的最小值为（ ）
A． B．-1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．2
【答案】A
【解析】由题意， ， ，
，所以 ，
所以 ，即 平分 ，
由 可得
，
所以当 时， 有最小值为 .
故选：A
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中， ，
若P为边BC上的一个动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为三角形 中， ，
所以 是边长为2的等边三角形，则
以 为 轴， 的中垂线为 轴，建立直角坐标系如图，
则 ，设 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，
显然当 时， 取得最小值 ，
故选：B.
2．（2022春·辽宁大连·）设平面向量 满足 与 的夹角为 且 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意建立如图所示平面直角坐标系，
不妨令 ，因为 与 的夹角为
所以 ，所以 ，
设 ，则 ， ，
由 ，所以 ，
即 ，即 ，
即 点表示以 为圆心， 为半径的圆，又
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ；
故选：A
3．（2023秋·河北保定）已知边长为2的菱形 中，点 为 上一动点，点 满足 ，
，则 的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．3
【答案】D
【解析】由 ，可得 ，
设 ，
可得
，所以 ，
因为 ，所以 ，
以 与 交点 为原点，以 所在的直线分别为 轴和 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则
， ， ，
设 ，且 ，则 ， ， ，
当 时， .
故选：D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点三 平面向量与四心
【例3-1】（2023春·四川成都）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中
一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内
容是：已知M是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 为 的内心，则
C．若 ， ， 为 的外心，则
D．若 为 的垂心， ，则
【答案】ABD
【解析】对于A，取BC的中点D，连接MD，AM，
由 ，则 ，
所以 ，
所以A，M，D三点共线，且 ，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得 ， ，
所以 为 的重心，故A正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于B，由 为 的内心，则可设内切圆半径为 ，
则有 ， ， ，
所以 ，
即 ，故B正确；
对于C，由 为 的外心，则可设 的外接圆半径为 ，
又 ， ，
则有 ， ， ，
所以 ，
，
，
所以 ，故C错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，
由 为 的垂心， ，则 ，
又 ，则 ， ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，故D正确；
故选：ABD．
【例3-2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）点O在△ 所在的平面内，则以下说法正确的是
（ ）
A．已知平面向量 满足 ，且 ，则△ 是等边三角形
B．若 ，则点O为△ 的重心
C．若 ，则点O为△ 的外心；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．若 ，则点O为△ 的垂心
【答案】ACD
【解析】A：由 知： 是△ 的外心，若 是 的中点，则 ，又
，即 ，故 共线且 ，易知 是△ 的内心，综上△ 的
内外心重合，即△ 是等边三角形，正确.
B：由 且 、 是在 、 上的单位向量，即有 ，故
是 的平分线，同理 是 的平分线，所以O为△ 的内心，错误；
C：若 分别为 的中点，则 ，又 ，即 ，故 ，
同理 ，又 ，即 ，故 ，所以 为△ 的外心，正
确；
D：由 ，知： ，而 ，易知 ，同理可证 、
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，即O为△ 的垂心，正确.
故选：ACD
【一隅三反】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对
应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是
内的一点， ， ， 的面积分别为 、 、 ，则有 ，设O是
锐角 内的一点， ， ， 分别是 的三个内角，以下命题正确的是（ ）．
A．若 ，则O为 的重心
B．若 ，则
C．若O为 （不为直角三角形）的垂心，则
D．若 ， ， ，则
【答案】ABC
【解析】对于A，设 的中点为D，则 ，
即 三点共线，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 为 的中点，同理可得 ，
故O为 的重心，A正确；
对于B，若 ，结合 ，
可知 ，B正确；
对于C， ， ，
，
又O为 （不为直角三角形）的垂心，设 延长后交 与G，则 ,
同理 ，则 ，
即 ，
同理 ，
故 ，同理 ，
又 ，
，
又O为 （不为直角三角形）的垂心，
则 ，
故 ，即 ，
同理 ，
则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
同理 ，
故
，
又 ，可得 ，C正确；
对于D， 中， ， ，则 ，
又 ，故 ，
则 ，
故 ，D错误，
故选：ABC
2．（2023春·湖北武汉）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．已知 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
B．已知点 在 所在平面内，满足 ，则 是 的重心
C．已知点 在 所在平面内，满足 ，则点 的轨迹一定经过 的内心
D．若平面向量 ， 共线，且 ，满足 ，则 为5或1
【答案】ACD
【解析】对于A，∵ ， ， 与 的夹角为锐角，∴
，
且 （当 时 与 的夹角为 ），所以 且 ，故A项正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于B，由 知 ，
故 即 ，即 所以点 在 边上的高所在直线上，
同理可知， 在 、 边的高所在直线上，则 为垂心,故B项错误；
对于C，因为点 满足 ，所以点 在 的内角平分线上，故C项正确；
对于D，由 知 ， ，又平面向量 ， 共线，
故分两种情形，一是夹角为 时，求得 的值为5，
另一种情形夹角为 时求得 的值为1．故D项正确．
故选：ACD．
3．（2023春·广东佛山）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的
图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 是
内一点， 、 、 的面积分别为 、 、 ，则 .设
是锐角 内的一点， 、 、 分别是 的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则
B． ， ， ，则
C．若 为 的内心， ，则
D．若 为 的重心，则
【答案】ACD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】对于A选项，因为 ，由“奔驰定理”可知 ，A对；
对于B选项，由 ， ，可知 ，
又 ，所以 ，
由 可得， ， ，
所以 ，B错；
对于C选项，若 为 的内心， ，则 ，
又 （ 为 内切圆半径），
所以， ，故 ，C对；
对于D选项，如下图所示，
因为 为 的重心，延长 交 于点 ，则 为 的中点，
所以， ， ，且 ， ，
所以， ，由“奔驰定理”可得 ，D对.
故选：ACD.
考点四 平面向量与三角函数
【例4-1】（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）在 中， ， ， ，则
的取值范围是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】根据正弦定理得 ，即 ，
，
，
， ，所以 ，
，
即 的取值范围 ．
故答案为： ．
【例4-2】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）在 中，角 所对的边分别为
， .
(1)求角 的值；
(2)若 ，边 上的中点为 ，求 的长度.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1） ， ，
， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
.
（2） 是 边上的中线，
，
，
.
【一隅三反】
1．（2023春·湖北）如图，在 中， ， ， ，点 ， 分别在边 ，
上，且 ， ， 与 交于点 ．
(1)设 ， ，试用 ， 表示 ；
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在 中，由余弦定理有：
，
即 ，
即 ，解得 （负值舍去）．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】．
则在 中， ，
所以 ， ．
即 ． ，
．即 ．
（2）由（1）知 ， ，在 中，由余弦定理有：
，
所以 ．
则在 中， ．
2．（2023春·吉林长春） 的内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求A；
(2)若 ，三角形面积 ，求 边上的中线 的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由正弦定理得 ，
又 ，则 ，
化简得 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，所以 ，则 ．
因为 ，所以 ．
（2）由 得 ，
法一：由 得
边上的中线 的长为 ．
法二：由余弦定理得： ，
由 ，得 ，
解得， ，即 边上的中线 的长为 ．
3．（2023春·北京）在 中，D为边AC上一点，满足 ，若
， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中，由 及正弦定理，
得 ，
所以 ，
而 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C
考点五 平面向量证明线段垂直
【例5】（2023·云南）在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ，
(且 )，D为AB的中点，E为 的重心，F为 的外心．
(1)求重心E的坐标；
(2)用向量法证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）如图，
∵ ， ， ，
∴ ，则由重心坐标公式，得 ；
（2） ．
易知 的外心F在y轴上，可设为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，得 ，
∴ ，即 ．
∴ ．
∴ ，
∴ ，即 ．
【一隅三反】
1．（2023春·陕西西安）已知在 中，点 是 边上靠近点 的四等分点，点 为 中点，设
与 相交于点 .
(1)请用 、 表示向量 ；
(2)设 和 的夹角为 ，若 ，且 ，求证： .
【答案】(1) .
(2)证明见解析.
【解析】（1） .
（2） ，
， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023春·上海浦东新）已知在 中，点 是 边上靠近点 的四等分点，点 在 边上，且
，设 与 相交于点 ．记 ， ．
(1)请用 ， 表示向量 ；
(2)若 ，设 ， 的夹角为 ，若 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1） ，由题意得 ，
所以 ．
（2）由题意， ．
∵ ， ，∴ ．
∴ ，
∴ ．
3．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知点 ，直线 ，点
到直线 的距离为 ，若点 满足 ，记 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率不为零的直线 与 交于 两点，设 ，证明： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设点 ，则 ，
由 得： ，两边平方整理得 ，
则所求曲线 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，
联立方程 ，消去 并整理得 ，
因为直线 与 交于两点，故 ，此时 ，
所以 ，而 .
又 ，
所以
所以
考点六 向量在物理上的应用
【例6】（2023春·广东清远）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东 km/h.一
艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与
B相距 m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船
的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． km/h B． km/h
C． km/h D． km/h
【答案】B
【解析】如图所示：
， ，
，
设合速度为 ，小货船航行速度为 ，水流的速度为 ，
则有 所以有
，
故选：B.
【一隅三反】
1（2022·全国·高三专题练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运
动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为 ，每只胳膊的拉力大小均为 ，则该学生
的体重（单位： ）约为（参考数据：取重力加速度大小为 ）（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．61 C．75 D．60
【答案】D
【解析】如图， ， ，
作平行四边形 ，则 是菱形， ，
，
所以 ，
因此该学生体重为 （kg）.
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）物体受到一个水平向右的力 及与它成60°角的另一个力 的作用.已知
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则 的大小为（ ）
A．3N B． C．2N D．
【答案】C
【解析】
由题得 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 和 大小相等，都为2 .
故选：C
3．（2023广东）（多选）在水流速度为 的河水中，一艘船以 的实际航行速度垂直于对
岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）
A．这艘船航行速度的大小为
B．这艘船航行速度的大小为
C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
【答案】BD
【解析】设船的实际航行速度为 ，水流速度为 ，船的航行速度为 ，
根据向量的平行四边形法则可知：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
设船的航行方向和水流方向的夹角为 ，
所以 ，所以 ，
故选：BD.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
