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10.3
平面向量的应用（精练）
1．（2023春·陕西西安）已知 中， ， ，则此三角形为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2．（2023春·福建厦门） 是边长为2的正方形 边界或内部一点，且 ，则 的
最大值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．（2023春·北京石景山 ）如图， ， 是半径为 的圆 上的两点，且 若 是圆 上的任意一
点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·云南大理 ）设 的内角 的对边分别为 ，且 ，若角 的内角
平分线 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．16 D．12
5．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在扇形 及扇形 中， ，
，动点 在 （含端点），则 的最小值是（ ）A． B．6 C． D．7
6．（2022春·甘肃白银 ）如图，点 是半径为 的扇形圆弧 上一点， ，若
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·北京）已知平面向量 ， 满足 ， ，点D满足 ，E为
的外心，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·四川成都）（多选）给出下列命题，其中正确的选项有（ ）
A．已知 ， ，则
B．若非零向量 满足 ，则
C．若G是 的重心，则点G满足条件
D．若 是等边三角形，则
9．（2022春·黑龙江大庆）（多选）下列说法正确的是（ ）A．若点G是 的重心，则
B．已知 ， ，若 ，则
C．已知A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，若 ，则
D．已知平面向量 ， ，满足 ，且 ， ，则向量 与 夹角的正弦值为
10．（2023·广西）已知向量 ， ，若向量 ，且 与 的夹角为钝角，写出一个满足
条件的 的坐标为 .
11．（2023·上海·高三专题练习）已知非零平面向量 不平行，且满足 ，记 ，则
当 与 的夹角最大时， 的值为
12．（2023春·湖南永州 ）一个人骑自行车由A地出发向东骑行了 到达B地，由B地向南东 方向
骑行了 到达C地，从C地向北偏东 骑行了 到达D地，则A，D两地的距离是 ．
13．（2023春·上海奉贤 ）已知 是边长为1的等边三角形，点O是 所在平面上的任意一点，
则向量 的模为 .
14．（2023·河南开封·统考模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸
或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形 ，其中 ， ，
，点 在 上，则 的最小值是 ．1．（2023春·江西萍乡 ）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则 的
取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重
要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相
等，如图，已知圆 的半径2，点 是圆 内的定点，且 ，弦 均过点 ，则下列说法错误
的是（ ）
A． 为定值 B． 的取值范围是
C．当 时， 为定值 D． 的最大值为12
3．（2023春·福建泉州 ）（多选）如图，直线 ，点A是 之间的一个定点，点A到 的距离分
别为1和2.点 是直线 上一个动点，过点A作 ，交直线 于点 ，则（ ）A． B． 面积的最小值是
C． D． 存在最小值
4．（2023春·山东聊城 ）（多选）在给出的下列命题中，正确的是（ ）
A．已知点 在 所在的平面内，满足 ，则点 是 的外心
B．已知平面向量 ， ， 满足 ， ，则 为等腰直角
三角形
C．已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ，则 是等
边三角形
D．在矩形ABCD中， ， ，动点 在以点 为圆心且与BD相切的圆上．若
，则 的最大值为1．
5．（2022春·重庆沙坪坝 ）（多选）下列论述中正确的是（ ）
A．已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 与 的夹角等于
B．对于给定的 ，其重心为 ，过点 的直线 交 ， 与 ， ，若 ，
，则
C．在四边形 中， ，且 ，则
D．在 中，若 则 是 外心6．（2023秋·山东日照 ）四边形 中，点 ， 分别是 ， 的中点， ， ，
，点 满足 ，则 的最大值为 ．
7．（2023春·辽宁大连· ）在长方形 中， ， ，点P为长方形 内部的动点，且
，当 最小时， .
8．（2023春·四川成都 ）已知非零向量 ， ， 满足 ， ， ，则对任意实数
t， 的最小值为 ．
10．（2023·全国·高三专题练习）定理：如图，已知P为 内一点，则有
.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量
解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点 在 内部，有以下四个推论：
①若 为 的重心，则 ；
②若 为 的外心，则 ；
③若 为 的内心，则 ；备注：若 为 的内心，则
也对.
④若 为 的垂心，则 .
试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题.(1)点 在 内部，满足 ，求 的值；
(2)点 为 内一点，若 ，设 ，求实数 和 的值；
(3)用“奔驰定理”证明推论②.
