文档内容
10.4 双曲线（精练）（基础版）
题组一 双曲线的定义及应用
1．（2021·太原期末）已知 ， 分别是双曲线 的左右焦点，点P在该双曲线上，若
，则 （ ）
A．4 B．4或6 C．3 D．3或7
【答案】D
【解析】由双曲线定义知： ，而 ，又 且 ，
∴ 3或7，故答案为：D.
2．（2022郫都期中）双曲线 的两个焦点为 ， ，双曲线上一点 到 的距
离为11，则点 到 的距离为（ ）
A．1 B．21 C．1或21 D．2或21
【答案】B
【解析】不妨设 ， 分别为双曲线的左右焦点，
当P在双曲线的左支时，由双曲线的定义可知， ，又 =11，所以
，当P在双曲线的右支时，由双曲线的定义可知， ，又
=11，所以 ，又 ，所以右支上不存在满足条件的点P.故答案为：B.
3．（2021怀仁期中）已知 ， 是双曲线 的左右焦点，过 的直线 与曲线 的右支交于 两点，则 的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线 可知：
的周长为 .
当 轴时， 的周长最小值为
故答案为：C
4．（2022奉贤期中）已知 是双曲线 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为
. 设 分别为双曲线的左、右焦点.若 ，则 .
【答案】5【解析】因为双曲线的渐近线方程为3x-y=0 ，即y=3x= ，所以 ，解得a=1，
根据双曲线定义P是双曲线 右支上的一点， 满足|PF|-|PF |=2a= 2，
1 2
所以|PF|=|PF|+2=5.故答案为：5
1 2
5．（2022·开封模拟）若双曲线 的焦距为 ，则实数 ．
【答案】4或
{
m>0，
【解析】当焦点在x轴时，可得 2m−4>0， 解得 ；
2√m+2m−4=4√2，
{
m<0，
当焦点在y轴时，可得 2m−4<0， 解得 ．
2√−m+4−2m=4√2，
所以 或 ．故答案为：4或
6．（2022·岳普湖模拟）已知双曲线 ，F，F 是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在
1 2
第一象限，圆M是△FPF 的内切圆.则M的横坐标为 ，若F 到圆M上点的最大距离为 ，
1 2 1
则△FPF 的面积为 .
1 2
【答案】1；
【解析】双曲线的方程为 ，则 .
设圆 分别与 相切于 ，根据双曲线的定义可知 ，根据内切圆的性质可知
①，
而 ②. 由①②得： ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 的横坐标为 .
设 的坐标为 ，则 到圆M上点的最大距离为 ，
即 ，解得 .
设直线 的方程为 ，即 .
到直线 的距离为 ，解得 .
所以线 的方程为 .
由 且 在第一象限，解得 .
所以 ， .所以△FPF 的面积为 .
1 2
故答案为：1；
7．（2021温州期中）已知双曲线x2-y2 =1，点F，F 为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P
1 2
F⊥PF，则∣P F∣+∣P F ∣的值为 .
1 2 1 2
【答案】
【解析】∵PF⊥PF， ∴|PF|2+|PF|2=|FF|2．
1 2 1 2 1 2
∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得FF=2
1 2
∴|PF|2+|PF|2=|FF|2=8
1 2 1 2
又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴|PF|﹣|PF|=±2a=±2，（|PF|﹣|PF|）2=4
1 2 1 2
因此（|PF|+|PF|）2=2（|PF|2+|PF|2）﹣（|PF|﹣|PF|）2=12∴|PF|+|PF|的值为
1 2 1 2 1 2 1 2
故答案为
题组二 双曲线的离心率及渐近线
1．（2021高三上·南开期末）已知双曲线 ，过原点作一条倾斜角为 的直线
分别交双曲线左、右两支于 、 两点，以线段 为直径的圆过右焦点 ，则双曲线的离心率为（
）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设双曲线的左焦点为 ，连接 、 ，如下图所示：由题意可知，点 为 的中点，也为 的中点，且 ，
则四边形 为矩形，故 ，由已知可知 ，
由直角三角形的性质可得 ，故 为等边三角形，故 ，
所以， ，
由双曲线的定义可得 ，所以， .
故答案为：A.
2．（2022湖南月考）已知双曲线的左焦点为 ，右焦点为 ， ， 为双曲线右支上一点，
为坐标原点，满足 ，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】∵ ，O为 的中点，∴△ 为直角三角形，设 ，
则 ，则 ，
∴ ，∴e＝ .
故答案为：B.
3．（2021·全国甲卷）已知F，F 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠FPF=60°，|PF|=3|
1 2 1 2 1
PF|，则C的离心率为（ ）
2
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 |PF|=3|PF| ， |PF|-|PF |=2a得|PF|=3a，|PF|=a
1 2 1 2 1 2
在△FPF 中，由|FF|2=|PF|2+|PF|2-2|PF ||PF|cos∠FPF
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60° 解得 所以 故答案为：A
4．（2022·靖远模拟）若双曲线 的两条渐近线与直线y＝2围成了一个等
边三角形，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D【解析】由题意得：渐近线方程的斜率为 ， 又渐近线方程为 ，所以 ，
所以C的离心率为 故答案为：D
5．（2022·新乡三模）已知双曲线 的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的
，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】因为双曲线C的顶点 到一条渐近线 的距离为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，双曲线C的离心率 .
故答案为：B
6．（2022·湘赣皖模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，双曲线C上一点P到x轴的距离为c，且 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作 轴于M，依题意 ，则 ，则 为等腰直角三角形，令 ，则 ，由双曲线定义知
．而 ，在 中 ，
解得： ，双曲线离心率 ，则 ．故答案为：C．
7．（2022·济南二模）已知 ， 分别为双曲线 的左､右焦点，点P
在双曲线上，若 ， ，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】不妨假设点P在双曲线右支上，则 ，
由于 ， ，故 ，
故 ，而 ，
故 ，
故答案为：
8．（2022·汝州模拟）已知双曲线 的两条渐近线所夹锐角为 ，则双曲线的离
心率为 ．
【答案】
【解析】由于 ，双曲线的渐近线方程为 ， ，
所以双曲线的渐近线与 轴夹角小于 ，由 ，得 ，
则双曲线的离心率 ．
故答案为：
题组三 双曲线的标准方程
1．（2022·安徽模拟）与椭圆 共焦点且过点 的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】椭圆 的焦点坐标为 ，设双曲线的标准方程为 ，
由双曲线的定义可得 ，
， ， ，因此，双曲线的方程为 。
故答案为：C.
2．（2022合肥期末）已知点 分别是等轴双曲线 的左、右焦点，
为坐标原点，点 在双曲线 上， ， 的面积为8，则双曲线 的方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， 是 的中点，所以 ，
，则 ， ，解得 ，
所以双曲线方程为 ．故答案为：D．
3．（2022资阳期末）已知双曲线 过三点 ， ， 中
的两点，则 的方程为 .【答案】
【解析】根据双曲线 的对称性可知，
8
{ =1，
a2 {a2=8，
点 ， 在双曲线图像上，将其代入双曲线方程，所以 解得
16 4 b2=4.
− =1，
a2 b2
所以双曲线C： ，故答案为： .
4．（2022徐汇期末）已知双曲线经过点 ，其渐近线方程为 ，则该双曲线的方程为
．
【答案】
【解析】考虑到双曲线的实轴可能在x轴，也可能在y轴，分别设双曲线方程如下：
实轴在x轴时，设双曲线方程为： ，则有 …①
其渐近线方程为 ，即 …②
联立①②，解得 ，双曲线方程为 ；
实轴在y轴时，设双曲线方程为 ，则有 …③
其渐近线方程为 ，即 …④
联立③④，无解；
故答案为： .5．（2022河南月考）经过点 且与双曲线 有公共渐近线的双曲线方程为 ．
【答案】
【解析】由题意设所求双曲线的方程为 ，
∵点 在双曲线上，∴ ，∴所求的双曲线方程为 ，即 。
答案： 。
6．（2022·湖北模拟）在平面直角坐标系中，已知圆 ： ，点 ， 是圆
上任意一点，线段 的垂直平分线与直线 相交于点 ，设点 的轨迹为曲线 ，则曲线 的
方程为 .
【答案】
【解析】因为 在线段 的垂直平分线上，所以 ，所以
，
由双曲线的定义知点 的轨迹是以 为焦点， 为实轴长的双曲线，则 ， ，得
，所以曲线 的方程为 ，故答案为：
7．（2022·辽宁模拟）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，一个焦点到一条渐近线的距离为 ，则双曲线的标准方程为 .
【答案】
【解析】【解答】因为渐近线方程为 ，所以 ，一个焦点到一条渐近线的距离为 ，所以
， 故双曲线标准方程为 .故答案为：
8．（2022·宁德模拟）若过点 的双曲线的渐近线为 ，则该双曲线的标准方程是
.
【答案】
【解析】因为双曲线的渐近线为 ， 故设其方程为 ，
因为点 在双曲线上，所以， ，即所求方程为 .故答案为：
9．（2022·广州模拟）写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程 ．
①中心在原点，焦点在y轴上；②一条渐近线方程为 ﹔③焦距大于10
【答案】 （答案不唯一，写出一个即可）
【解析】由①中心在原点，焦点在y轴上知，可设双曲线方程为：由②一条渐近线方程为 知， ，即
由③知， ，即 ，
则可取 （此处也可取大于 的其他数）
又 ， ，
则同时满足下列性质①②③的一个双曲线方程为：
故答案为： （答案不唯一， 写出一个即可）.
题组四 直线与双曲线的位置关系
1．（2022·全国·课时练习）已知直线l的方程为 ，双曲线C的方程为 .若直线l与双曲线
C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】联立 整理得 ，因为直线 与双曲线 的右支交于
不同的两点，
所以 ，解得 ，所以实数k的取值范围为 .故选：D.2．（2022·全国·课时练习）直线 与双曲线 上支的交点个数为______．
【答案】2
【解析】由 ，可得 ，解得 或 ．当 时， ；当 时，
，所以直线 与双曲线上支的交点个数为2．
故答案为：2
3．（2022·全国·课时练习）直线 与双曲线 的交点坐标为______．
【答案】 ，
【解析】由 ，消 得
即 ，解得 或
代入直线得 或 ，所以直线与双曲线的交点坐标为 ， ，
故答案为： ，
4．（2022·全国·高三专题练习）直线 与双曲线 没有交点，则 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】由题意，双曲线 的渐近线方程为： ，
因为直线 过原点且与双曲线 没有交点，故需满足 ，
故答案为：
5．（2022·全国· 专题练习）双曲线 与直线 交点的个数为_____.
【答案】1
【解析】联立方程可得 ，消 可得 ，即 ，故 ，
故方程组有且只有一组解，故双曲线 与直线 有且只有一个交点.故答案为：1
6．（2022·四川·仁寿一中 ）若直线 与双曲线 始终只有一个公共点，则 取值范围是
_____________.
【答案】
【解析】由 ，消 可得 ，当 或 ，解得
或 ，故答案为：
7．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））设直线l： 与双曲线C： 相交于不同的
两点A，B，则k的取值范围为___________.
【答案】【解析】联立 消去y： ， ，
得到 ，又直线 不与渐近线 平行，
所以 .
故答案为： .
题组五 弦长与中点弦
1．（2022·四川·射洪中学 ）直线l交双曲线 于A，B两点，且 为AB的中点，则l的斜率
为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】设点 ， ，因 为AB的中点，则有 ，
又点A，B在双曲线上，则 ，即 ，
则l的斜率 ，此时，直线l的方程： ，
由 消去y并整理得： ， ，即直线l与双曲线交于
两点，所以l的斜率为2.故选：C
2．（2022·全国·专题练习）双曲线 ： 被斜率为 的直线截得的弦 的中点为
则双曲线 的离心率为 ______.【答案】
【解析】设 ，则 ，
将 两点坐标代入双曲线方程得： ；
将上述两式相减可得：
即 ，也即
所以 ，即
故答案为：
3．（2022·全国·课时练习）过双曲线 的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不
同的两点A，B，则AB的长为______．
【答案】
【解析】双曲线 的右焦点为 ，所以直线l的方程为 ．由 ，得
．设 ， ，则 ， ，
所以 ．
故答案为：
4．（2021·云南）已知双曲线3x2﹣y2＝3，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，若P为AB的
中点．(1)求直线AB的方程；
(2)求弦AB的长．
【答案】(1)6x﹣y﹣11＝0
(2)
【解析】(1)设A（x，y），B（x，y），P（2，1），则3x2﹣y2＝3，3x2﹣y2＝3，
1 1 2 2 1 1 2 2
两式相减得6（x﹣x）﹣（y﹣y）＝0，从而直线的斜率为6，
1 2 1 2
故所求直线方程为6x﹣y﹣11＝0；
(2)6x﹣y﹣11＝0与双曲线3x2﹣y2＝3联立，消去y，可得33x2﹣132x+124＝0，
∴x+x＝4，xx ，
1 2 1 2
所以 = = ．
5．（2023·全国·高三专题练习）设 ､ 分别为双曲线 的左右焦点，且 也为
抛物线 的的焦点，若点 ， ， 是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l： 与双曲线C相交于A､B两点，求 .
【答案】(1) (2)
【解析】（1）解：抛物线 的焦点为 ，所以 ，即 ， ，又点 ，
， 是等腰直角三角形的三个顶点，所以 ，即 ，又 ，所以 ，所以双曲线方
程为 .（2）解：依题意设 ， ，由 消去 整理得 ，由
，所以 ， ，所以
.
6．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线 的左焦点 ，作倾斜角为 的直线 .
(1)求证： 与双曲线有两个不同的交点 ；
(2)求线段 的中点 的坐标和 .
【答案】(1)证明见解析
(2) ，
【解析】(1)
由双曲线方程知： ，则 ，
由 得： ，则 ，
与双曲线有两个不同的交点 .
(2)
设 ， ，由（1）得： ， ， ；
；
.
