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11. 带电粒子在电场中的力电综合问题
一、带电粒子在重力场和电场中的圆周运动
1．等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物
体的运动问题就会变得复杂一些．此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复
合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”．
2.
3．举例
例题1. （2022·河南·模拟预测）如图所示，空间竖直平面内存在一水平向右的匀强电场，
一质量为m 带正电的小球用长为l 的轻绳连接，轻绳一端固定于O 点，现将小球拉直从与
O 点等高的A 点无初速的释放，小球运动到最低点B 时测得轻绳的拉力为2mg，则在小球
的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
1
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A．小球运动到最低点时的速度为
B．电场强度的大小为
C．小球在运动过程中的最大动能为
D．小球在运动过程中的最大动能为
练1. （2024·广西·一模）如图，空间中有一匀强电场，大小为
，方向与水平方向成
角，现有一光滑绝缘大圆环固定在竖直平面内，O 点为环心，将质量为m、带电荷量为
的小圆环套在大圆环的M 点并同时给小圆环一个向右的水平初速度，小圆环恰好能够沿大
圆环做完整的圆周运动，重力加速度为g，则小圆环（ ）
A．从M 点到Q 点动能减小
B．在M 点和N 点的电势能相等
C．从M 点到Q 点电场力做负功
D．动能最大处的电势低于动能最小处的电势
例题2. （2022·湖北武汉·模拟预测）如图所示，虚线MN 下方存在着方向水平向左、范围
足够大的匀强电场。AB 为绝缘光滑且固定的四分之一圆弧轨道，轨道半径为R，O 为圆心，
2
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B 位于O 点正下方。一质量为m、电荷量为q 的带正电小球，以初速度vA竖直向下从A 点
沿切线进入四分之一圆弧轨道内侧，沿轨道运动到B 处以速度vB射出。已知重力加速度为
g，电场强度大小为
，
，空气阻力不计，下列说法正确的是（ ）
A．从A 到B 过程中，小球的机械能先增大后减小
B．从A 到B 过程中，小球对轨道的压力先减小后增大
C．在A、B 两点的速度大小满足vA>vB
D．从B 点抛出后，小球速度的最小值为
练2. （2023·江西上饶·二模）如图所示，在电场强度为E 的匀强电场中，电场线与水平方
向的夹角为
，有一质量为m 的带电小球，用长为L 的细线悬挂于O 点，当小球静止时，
细线
恰好呈水平状态。若用外力F 使小球绕O 点做半径为L 的匀速圆周运动，在沿圆
弧（图中虚线）从A 点运动到O 点正下方的B 点的过程中（重力加速度为g），小球电荷
量保持不变，下列说法正确的是（ ）
A．小球带负电，电量值为
B．小球带正电，电量值为
C．电势能增加
D．外力F 做负功
二、电场中的力电综合问题
1．带电粒子在电场中的运动
3
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(1)分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直
线还是曲线)，然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定
律解题．
(2)受力特点：在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键
看重力与其他力相比较是否能忽略．一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不
能忽略，电子、质子等带电粒子的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考
虑重力作用．
2．用能量观点处理带电体的运动
对于受变力作用的带电体的运动，必须借助能量观点来处理．即使都是恒力作用的问题，
用能量观点处理也常常更简捷．具体方法有：
(1)用动能定理处理
思维顺序一般为：
①弄清研究对象，明确所研究的物理过程．
②分析物体在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是负功．
③弄清所研究过程的初、末状态(主要指动能)．
④根据W＝ΔEk列出方程求解．
(2)用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理
列式的方法常有两种：
①利用初、末状态的能量相等(即E1＝E2)列方程．
②利用某些能量的减少等于另一些能量的增加列方程．
(3)两个结论
①若带电粒子只在静电力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变．
②若带电粒子只在重力和静电力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变．
例题3. （2024·河北·模拟预测）如图所示，水平边界PQ、MN 间存在方向竖直向下的匀强
电场，电场的宽度为L。一绝缘轻杆两端分别固定质量为m 的带电小球A、B，A、B 两小球
所带的电荷量分别为
、
。现将该装置移动到边界PQ 上方且使轻杆保持竖直，使球
B 刚好位于边界PQ 上，然后由静止释放该装置，释放后该装置的轻杆始终保持竖直且做周
期性往复运动。已知电场强度的大小
（g 为重力加速度），忽略两带电小球对电
场的影响，两小球均可视为质点。则该装置中轻杆的最大长度为（ ）
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A．L
B．2L
C．3L
D．4L
练3. （2024·四川·一模）如图所示，在水平面上A、B 物块通过轻弹簧相连，其中A 物体带
电量为+q、质量为m1，B 物体不带电、质量为m2，弹簧劲度系数为k，原长为L。水平面处
于水平向右的匀强电场中，电场强度为E，A、B 一起向右做匀加速直线运动，A、B 与地面
的动摩擦因数均为μ，则此时A、B 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题4. （2023·四川成都·模拟预测）如图所示，其空中有一足够大的水平向右的匀强电场，
质量均为
、带电量分别为
和
的两小球同时从
点以速度
斜向右上方射入匀强电
场中，
方向与水平方向成
，A、B（图中末画出）两点分别为两小球运动轨迹的最高
点，带正电的小球经过A 点的速度大小仍然为
，不考虑两球间的库仑力。下列说法错误
的是（ ）
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A．两小球同时到A、B 两点
B．带负电的小球经过
点的速度大小也为
C．两小球到达A、B 两点过程中电势能变化量之比为
D．
与
水平距离之比为
练4. （2023·山东青岛·三模）如图，在方向平行于纸面的匀强电场中有一平台，一带电小
球从平台左下侧某位置P 以
的初速度竖直向上抛出，小球恰好从平台左端Q 点以
速度
水平滑入平台。小球质量
，带电量
，重力加速度
，关于该匀强电场，下列说法正确的是（ ）
A．场强大小可能小于1000N/C
B．场强大小一定为1250N/C
C．场强大小最小为1000N/C
D．若场强大小确定，其方向也唯一确定
例题5. （2023·湖北·模拟预测）如图所示，质量均为m 的滑块A、B，A 不带电，B 带正电，
电荷量为q，A 套在固定竖直杆上，B 放在绝缘水平面上并靠近竖直杆，A、B 间通过铰链及
长度为L 的刚性绝缘轻杆连接且静止。现施加水平向右电场强度为E 的匀强电场，B 开始
沿水平面向右运动，已知A、B 均视为质点，重力加速度为g，不计一切摩擦。则在A 下滑
的过程中，下列说法正确的是（ ）
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A．A、B 组成的系统机械能守恒
B．A 运动到最低点时，轻杆对A 的拉力为0
C．A 的机械能最小时，B 的加速度大小为
D．A 运动到最低点时，滑块A 速度大小为
练5. （2023·浙江温州·模拟预测）如图1 所示，同号点电荷A、B 绝缘置于水平气垫导轨上，
A 固定于导轨左端，B 可在导轨上无摩擦滑动。将B 在A 附近某一位置由静止释放，由于能
量守恒，可通过测量B 在不同位置处的速度，得到B 的势能随位置随x 的变化规律（坐标
原点位于A 处），如图3 曲线Ⅰ。若将导轨右端抬高，使其与水平面成一定角度，如图2
所示，则B 的总势能曲线如图3 中II 所示，图3 中直线III 为曲线II 的渐近线，其斜率为
。
B 在
处由静止释放，则（ ）
A．B 在运动过程中动能最小位置为
处；
B．B 在运动过程中势能最大位置为
处；
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C．运动过程中B 的最大位移大小为
D．点电荷A、B 电荷量之积
时（k 为静电力常量）
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．（2024·重庆大足·二模）如题图所示，在相距较远的两平行金属板中央有一个静止的带
电粒子（不计重力），当两板间的电压分别如图中甲、乙、丙、丁所示时，在
时刻静
止释放该粒子，下列说法正确的是（ ）
A．电压如甲图所示时，在
时间内，粒子的电势能先增加后减少
B．电压如乙图所示时，在
时间内，粒子先做匀加速直线运动，后做匀减速直线
运动
C．电压如丙图所示时，在
时间内，粒子动量变化量为0
D．电压如丁图所示时，若粒子在
之前不能到达极板，则一直不能到达极板
2．（23-24 高三上·浙江·阶段练习）粒子直线加速器原理示意图如图1 所示，它由多个横截
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面积相同的同轴金属圆筒依次组成，序号为奇数的圆筒与序号为偶数的圆筒分别和交变电
源相连，交变电源两极间的电压变化规律如图2 所示。在
时，奇数圆筒比偶数圆筒电
势高，此时和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）的中央有一自由电子由静止开始发射，
之后在各狭缝间持续加速。若电子质量为
，电荷量为，交变电源电压为
，周期为
。
不考虑电子的重力和相对论效应，忽略电子通过圆筒狭缝的时间。下列说法正确的是（
）
A．要实现加速，电子在圆筒中运动的时间必须为
B．电子出圆筒2 时的速度为出圆筒1 时速度的两倍
C．第
个圆筒的长度应满足
D．要加速质子，无须改变其他条件但要在
到
时间内从圆板处释放
3．（2024·四川南充·二模）绝缘水平面上固定一正点电荷Q，另一质量为m、电荷量为-q
（q>0）的滑块（可看做点电荷）从a 点以初速度v0沿水平面向Q 运动，b 点为滑块运动中
距Q 最近的点。已知a、b 间距离为d，滑块与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为
g。以下判断正确的是（ ）
A．滑块在b 点的加速度一定为0
B．滑块在运动过程的中间位置，速度的大小等于
C．滑块在运动过程的中间时刻，速度的大小等于
D．Q 产生的电场中，a、b 两点间的电势差为
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4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图所示，一绝缘轻质细绳悬挂一质量为m、电量为
q 的
带电小球静止于水平向左足够大的匀强电场中，已知电场强度大小
。现使匀强电场
保持场强大小不变，方向在纸面内缓慢逆时针转动30°，则在该过程中（已知重力加速度为
g，轻绳与竖直方向的夹角设为θ）（ ）
A．θ 先增大后减小
B．θ 最小值为30°
C．电场力不做功
D．轻绳拉力最小值为
5．（2024·浙江·一模）空间中固定一电量为
的点电荷，且存在某方向的匀强电场
，使
一初速度为
，带电量为
的小球恰可绕该点电荷作半径为的圆周运动，则（ ）
A．若点电荷电量为
，则匀强电场方向一定向上
B．将点电荷电量变为
，则小球圆周运动半径变为
C．换用另一带电量
的小球使之仍以
绕该点电荷做圆周运动，则小球运动半径仍为
D．若只撤去点电荷
，同时调节场强为
，则小球将作类平抛运动
二、多选题
6．（2024·贵州毕节·二模）如图，竖直面内有半径为
的四分之一光滑圆弧轨道BC，固定
在光滑的水平地面上，且圆弧轨道最低点
与水平地面相切。空间加有水平向右的匀强电
场，
点位于
点左上方，相对于
点的水平距离和竖直高度均为
，一可视为质点的带
电小球从
点以某一速度水平抛出，恰能从
点无碰撞地沿圆弧切线进入轨道，小球离开
轨道后，运动到
点（
点未画出）时速度减为零，则（ ）
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A．小球带负电
B．CD 段长度为
C．小球从
点抛出时的速度为
D．从
点到
点过程中小球的电势能增加了
7．（2024·福建厦门·二模）《厦门志·风俗记》中记载：“（厦门人）俗好啜茶，…如啜酒
然，以饷客，客必辨其色、香、味而细啜之，名曰功夫茶。”在茶叶生产过程中有道茶叶
茶梗分离的工序，可通过电晕放电、感应极化等方式让茶叶茶梗都带上正电荷，且茶叶的
比荷
小于茶梗的比荷，之后两者通过静电场便可分离。如图所示，图中A、B 分别为带
电量不同的两个带电球，之间产生非匀强电场，茶叶、茶梗通过电场分离，并沿光滑绝缘
分离器落入小桶。假设有一茶梗P 电荷量为
，质量为
，以1m/s 的速度离
开A 球表面O 点，最后落入桶底，O 点电势为1×104V，距离桶底高度为0.8m，桶底电势为
零。不计空气阻力、茶叶茶梗间作用力及一切碰撞能量损失，重力加速度g 取10m/s2，则
（ ）
A．M 处电场强度大于N 处电场强度
B．茶叶落入左桶，茶梗落入右桶
C．茶梗P 落入桶底速度为
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D．茶梗P 落入桶底速度为
8．（2024·四川泸州·二模）如图所示，竖直平面内有固定的光滑绝缘圆形轨道，匀强电场
的方向平行于轨道平面水平向右，P、Q 分别为轨道上的最高点和最低点，M、N 是轨道上
与圆心O 等高的点。质量为m、电荷量为q 的带正电的小球在P 处以速度
水平向右射出，
恰好能在轨道内做完整的圆周运动，已知重力加速度为g，电场强度大小
。则下列
说法中正确的是（ ）
A．在轨道上运动时，小球动能最大的位置在M、Q 之间
B．在轨道上运动时，小球机械能最小的位置在N 点
C．经过M、N 两点时，小球所受轨道弹力大小的差值为
D．小球在Q 处以速度
水平向右射出，也能在此轨道内做完整的圆周运动
9．（2024·天津河西·一模）图（a）中M、N 是同一条电场线上的两个点，一个电子仅在静
电力的作用下沿着这条电场线从M 点运动到N 点，其运动的
图像如图（b）所示。电
子经过M、N 两点时的速度分别为
和
，电子的质量为m，电子电荷量的绝对值为e。
以下说法正确的是（ ）
A．电场强度的方向由N 指向M
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B．M、N 两点之间的电势差
C．电子运动的过程中，其电势能不断减小
D．N 点的电场强度大于M 点的电场强度
10．（2024·新疆塔城·二模）如图所示，竖直面内固定的光滑绝缘圆轨道与两等量异种点电
荷连线相切于中点O，圆轨道半径为R，a、c 为圆轨道上与圆心
等高的两点，b 点是圆
轨道的最低点。一带正电的小球以一定的水平初速度从轨道的最高点O 开始沿轨道内侧做
圆周运动，已知小球始终不脱离轨道，重力加速度大小为g，不考虑带电小球电量对电场
的影响，下列说法正确的是（ ）
A．a 点的电势低于c 点的电势
B．a 点的电场强度与c 点的电场强度不相同
C．小球到达b 点时的速度大小不可能为
D．小球在圆轨道内运动时，在ac 两点间的电势能大小相差最大
三、解答题
11．（2024·湖南衡阳·二模）如图所示，倾角为30°的绝缘粗糙斜面在B 点与光滑绝缘的水
平面平滑连接，B 点左侧的斜面上方存在平行于斜面向下的匀强电场，电场强度
，
B 点右侧有一缓冲装置，劲度系数足够大的绝缘轻弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内
移动，轻杆与槽间的滑动摩擦力
，轻杆向右移动的距离不超过l 时，装置可安全
工作。在斜面上有一质量为m、电荷量为＋q 且可视为质点的滑块，滑块与斜面间的动摩
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擦因数
，若将滑块由距B 点x＝4.5l 处的A 点静止释放，滑块撞击弹簧后将导致轻
杆向右移动
，已知重力加速度为g，轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）求滑块第一次到达B 点时的速度大小
；
（2）在保证装置安全工作的前提下，求滑块的静止释放点距B 点的最远距离
；
（3）在缓冲装置安全工作的前提下，试讨论该滑块第一次被弹回后上升到距B 点的最大距
离s＇与释放时距B 点的距离s 之间的关系。
12．（2024·云南昆明·三模）半径为R 的光滑绝缘圆形轨道固定在竖直平面内，O 为圆轨道
圆心，C 点和A 点为圆周的最高点和最低点，B 点与D 点的连线过圆心O 且水平，与A、C
两点连线垂直。空间存在一与圆形轨道平面平行的匀强电场，一质量为m，电荷量为q 带
负电小球（可视为质点）从A 点静止释放，运动到C 点时速度为0，且过B 点时小球对轨
道的压力等于小球重力大小的3 倍。已知重力加速度为g，求：
（1）匀强电场的电场强度大小和方向；
（2）若小球要做一个完整的圆周运动，小球在B 点至少需要多大的速度。
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