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专题09 电场带电粒子在电场中的运动
…………………………………………………………………………………………
........................................1
........................................1
........................................2
考点01 电场的性质......................................................2
考向一 电场的性质................................................2
考向二 电场中的图像问题..................................26
考点02 带电粒子在电场中的运动............................27
考向一 带电粒子在电场中的加速和偏转..........27
考向二 带电粒子在电场中的综合问题..............35
…………………………………………………………………………………………
考点要求
考题统计
电场的性质
考向一电场的性质：2023•全国•高考真题（3 题）、2023•重庆•高考真题、
2023•北京•高考真题、2023•湖北•高考真题、2023•湖南•高考真题、2023•天
津•高考真题、2023•山东•高考真题、2023•广东•高考真题、2023•河北•高考
真题、2023•辽宁•高考真题、2023•海南•高考真题、2022•全国•高考真题、
2022•天津•高考真题、2022•福建•高考真题、2022•湖南•高考真题、2022•山
东•高考真题、2022•重庆•高考真题、2022•海南•高考真题、2021•江苏•高考
真题、2021•辽宁•高考真题、2021•北京•高考真题、2021•浙江•高考真题、
2021•广东•高考真题、2021•全国•高考真题、2021•湖南•高考真题、2021•浙
江•高考真题、2021•海南•高考真题、2021•湖北•高考真题、2021•天津•高考
真题、2021•全国•高考真题、2021•河北•高考真题、2021•湖南•高考真题
考向二电场中的图像问题：2021•山东•高考真题
带电粒子在电场中的运动
考向一带电粒子在电场中的加速和偏转：2023•浙江•高考真题、2023•湖北•高
考真题、2022•福建•高考真题、2022•浙江•高考真题、2023•北京•高考真题、
1
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2022•北京•高考真题、
考向二带电粒子在电场中的综合问题：2023•浙江•高考真题、2022•全国•高考
真题、2022•江苏•高考真题、2022•浙江•高考真题、2022•湖北•高考真题、
2021•全国•高考真题、2021•福建•高考真题、
1.考频：本专题属于热点、难点内容；
2.考向：①电场的性质：电场强度的分析，电势高低与电势能大小的判断②带电粒子在电场中的运动：带
电粒子在电场中的加速和偏转,带电粒子(带电体)在电场中的综合问题
3.应试策略
本专题在复习备考时需注意以下两点：
①构建知识体系，透析电场规律：以电场强度、电势、电势能、电势差、电场力做功等基本概念入手，
夯实电场基础，掌握基本模型。电势是标量，只有大小没有方向，但有正负之分，负值表示电势低于零电
势，正值表示电势高于零电势。电势能是电荷在电场中具有的势能，电场力做功是电势能的度量。电场强
度的方向和大小与电势差的关系：在电场中，电场强度方向指向电势降低最快的方向。
②前后联系，归纳方法：善于利用类比法把复杂、抽象的电场问题转化为较熟悉的力学问题，掌握对
称法、等效法、微元法、挖补法等解题方法，学会解决静电场综合问题。
考点01 电场的性质
考向一 电场的性质
1．（2023·全国·高考真题）（多选）在O 点处固定一个正点电荷，P 点在O 点右上方。从P 点由静止释放
一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、
N 是轨迹上的两点，OP>OM，OM=ON，则小球（ ）
A．在运动过程中，电势能先增加后减少
B．在P 点的电势能大于在N 点的电势能
2
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C．在M 点的机械能等于在N 点的机械能
D．从M 点运动到N 点的过程中，电场力始终不做功
【答案】BC
【详解】ABC．由题知，OP>OM，OM=ON，则根据点电荷的电势分布情况可知φM=φN>φP，则带负电的小
球在运动过程中，电势能先减小后增大，且EpP>EpM=EpN，则小球的电势能与机械能之和守恒，则带负电的
小球在M 点的机械能等于在N 点的机械能，A 错误、BC 正确；D．从M 点运动到N 点的过程中，电场力
先做正功后做负功，D 错误。
故选BC。
2.（2023·重庆·高考真题）真空中固定有两个点电荷，负电荷Q1位于坐标原点处，正电荷Q2位于x 轴上，
Q2的电荷量大小为Q1的8 倍。若这两点电荷在x 轴正半轴的x=x0处产生的合电场强度为0，则Q1、Q2相距
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】依题意，两点电荷电性相反，且Q2 的电荷量较大，所以合场强为0 的位置应该在x 轴的负半轴，
设两点电荷相距L，根据点电荷场强公式可得
，又
，解得
。
故选B。
3．（2023·北京·高考真题）如图所示，两个带等量正电的点电荷位于M、N 两点上，E、F 是MN 连线中垂
线上的两点，O 为EF、MN 的交点，EO=OF。一不计重力带负电的点电荷在E 点由静止释放后（ ）
3
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A．做匀加速直线运动
B．在O 点所受静电力最大
C．由E 到O 的时间等于由O 到F 的时间
D．由E 到F 的过程中电势能先增大后减小
【答案】C
【详解】AB．带负电的点电荷在E 点由静止释放，将以O 点为平衡位置做往复运动，在O 点所受电场力
为零，故AB 错误；C．根据运动的对称性可知，点电荷由E 到O 的时间等于由O 到F 的时间，故C 正确；
D．点电荷由E 到F 的过程中电场力先做正功后做负功，则电势能先减小后增大，故D 错误。
故选C。
4．（2023·湖北·高考真题）在正点电荷Q 产生的电场中有M、N 两点，其电势分别为
、
，电场强度
大小分别为
、
。下列说法正确的是（ ）
A．若
，则M 点到电荷Q 的距离比N 点的远
B．若
，则M 点到电荷Q 的距离比N 点的近
C．若把带负电的试探电荷从M 点移到N 点，电场力做正功，则
D．若把带正电的试探电荷从M 点移到N 点，电场力做负功，则
【答案】C
【详解】A．沿着电场线的方向电势降低，根据正点电荷产生的电场特点可知若
则M 点到电荷Q
的距离比N 点的近，故A 错误；B．电场线的疏密程度表示电场强度的大小，根据正点电荷产生的电场特
点可知若
，则M 点到电荷Q 的距离比N 点的远，故B 错误；C．若把带负电的试探电荷从M 点移
到N 点，电场力做正功，则是逆着电场线运动，电势增加，故有
，故C 正确；D．若把带正电的
试探电荷从M 点移到N 点，电场力做负功，则是逆着电场线运动；根据正点电荷产生的电场特点可知
，故D 错误。
4
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故选C。
5．（2023·湖南·高考真题）如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q1、Q2和Q3，P
点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°、和30°。若P 点处的电场强度为零，q>
0，则三个点电荷的电荷量可能为（ ）
A．Q1=q，
，Q3=q
B．Q1=－q，
，Q3=－4q
C．Q1=－q，
，Q3=－q
D．Q1=q，
，Q3= 4q
【答案】D
【详解】AB．选项AB 的电荷均为正和均为负，则根据电场强度的叠加法则可知，P 点的场强不可能为零，
AB 错误；C．设P、Q1 间的距离为r，则Q1、Q3 在P 点产生的合场强大小有
，
解得
，而Q2 产生的场强大小为
，则P 点的场强不可能为零，C 错误；D．
设P、Q1 间的距离为r，则Q1、Q3 在P 点产生的合场强大小有
，解得
5
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，而Q2 产生的场强大小为
，则P 点的场强可能为零，D 正确。
故选D。
6．（2023·天津·高考真题）（多选）如图，一位于P 点左侧的固定正电荷产生的电场中，同一个正电荷q
两次以大小相同、方向不同的初速度从P 点出发，分别抵达M 点，N 点，且q 在M，N 点时速度大小也一
样，则下列说法正确的有（ ）
A．P 点电势大于M
B．M 点电势大于N
C．q 从P 到M 一直做减速运动
D．M、N 两点处电场强度大小相同
【答案】AD
【详解】ABC．由题意知，同一个正电荷q 两次以大小相同、方向不同的初速度从P 点出发，分别抵达M
点与N 点，且q 在M，N 点时速度大小也一样，由动能定理可知M、N 两点的电势相同， M、N 两点位
于以场源电荷为圆心的同一圆周上，由于场源点荷在P 点左侧，所以P 点电势高于M 点电势，q 从P 到M
做加速运动，故BC 错误，A 正确；D．根据以上分析可知，M、N 两点在同一等势面上，且该电场是固定
正电荷产生的电场，则说明M、N 到固定正电荷的距离相等，由点电荷的场强公式可知M、N 两点处电场
强度大小相同，故D 正确。
故选AD。
7．（2023·山东·高考真题）（多选）如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O 和
，A、D 两点分别固定
等量异号的点电荷，下列说法正确的是（ ）
6
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A．
点与
点的电场强度大小相等
B．
点与
点的电场强度方向相同
C．
点与
点的电势差小于
点与
点的电势差
D．将试探电荷
由F 点沿直线移动到O 点，其电势能先增大后减小
【答案】ACD
【详解】D．将六棱柱的上表面拿出
由几何条件可知正电荷在OF 中点K 的场强方向垂直OF，则K 点的合场强与OF 的夹角为锐角，在F 点的
场强和OF 的夹角为钝角，因此将正电荷从F 移到O 点过程中电场力先做负功后做正功，电势能先增大后
减小，D 正确；C．由等量异种电荷的电势分布可知
，
，
，
因此
C 正确；AB．由等量异种电荷的对称性可知
和
电场强度大小相等，
和
电场强度方向不同，A 正确B 错误；
故选ACD。
8．（2023·广东·高考真题）（多选）电子墨水是一种无光源显示技术，它利用电场调控带电颜料微粒的分
布，使之在自然光的照射下呈现出不同颜色．透明面板下有一层胶囊，其中每个胶囊都是一个像素．如图
所示，胶囊中有带正电的白色微粒和带负电的黑色微粒．当胶囊下方的电极极性由负变正时，微粒在胶囊
内迁移（每个微粒电量保持不变），像素由黑色变成白色．下列说法正确的有（ ）
A．像素呈黑色时，黑色微粒所在区域的电势高于白色微粒所在区域的电势
B．像素呈白色时，黑色微粒所在区域的电势低于白色微粒所在区域的电势
C．像素由黑变白的过程中，电场力对白色微粒做正功
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D．像素由白变黑的过程中，电场力对黑色微粒做负功
【答案】AC
【详解】A．像素呈黑色时，当胶囊下方的电极带负电，像素胶囊里电场线方向向下，所以黑色微粒所在
的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故A 正确；B．像素呈白色时，当胶囊下方的电极带正电，
像素胶囊里电场线方向向上，所以黑色微粒所在的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故B 错误；
C．像素由黑变白的过程中，白色微粒受到的电场力向上，位移向上，电场力对白色微粒做正功，故C 正
确；D．像素由白变黑的过程中，黑色微粒受到的电场力向下，位移向下，电场力对黑色微粒做正功，故
D 错误。
故选AC。
9．（2023·河北·高考真题）（多选）如图，在轴上放置四个点电荷
和
位于
点两侧，
位于
点两侧。
点在
轴上，且
。取无穷远处电势为零，电荷位置与电荷量满足一
定关系，使得以
点为球心、以
为半径的球面上各点的电势均为零。下列说法正确的是（ ）
A．
两点电场强度的方向一定沿
轴正方向
B．若在
点放一正点电荷，则
两点的电势一定升高
C．试探电荷
沿
轴运动过程中，若静电力始终不做功，则它受到的静电力始终为零
D．试探电荷沿
轴运动过程中，若静电力始终不做功，则
点的电场强度一定为零
【答案】BD
【详解】A．以
点为球心、以
为半径的球面为等势面，由电场强度和等势面的关系可知，
两点电
场强度的方向与半径垂直，与
轴重合。由于无法判断各个电荷的电性，故
两点电场强度的方向无法
判断，故A 错误；B．取无穷远处为零电势点，由于正点电荷周围的电势为正值，若在0 点放一正点电荷，
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则
两点的电势一定升高，故B 正确；C．试探电荷
沿
轴运动过程中，根据电荷分布，若静电力始终
不做功，则经过
轴且垂直于轴的平面为等势面，但静电力不一定为零，故C 错误；D．根据以
点为
球心、以
为半径的球面为等势面，可知
点的电场强度方向应与
轴重合，再根据经过
轴且垂直于
轴的平面为等势面，可知
点的电场强度方向应与
轴垂直，同一点电场强度的方向是唯一的，故
点的
电场强度一定为零，故D 正确。
故选BD。
10．（2023·辽宁·高考真题）（多选）图（a）为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图
（b）为四极杆内垂直于x 轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则（ ）
A．P 点电势比M 点的低
B．P 点电场强度大小比M 点的大
C．M 点电场强度方向沿z 轴正方向
D．沿x 轴运动的带电粒子，电势能不变
【答案】CD
【详解】A．因P 点所在的等势面高于M 点所在的等势面，可知P 点电势比M 点的高，选项A 错误；
B．因M 点所在的等差等势面密集，则M 点场强较P 点大，即P 点电场强度大小比M 点的小，选项B 错
误；C．场强方向垂直等势面，且沿电场线方向电势逐渐降低，可知M 点电场强度方向沿z 轴正方向，选
项C 正确；D．因x 轴上个点电势相等，则沿x 轴运动的带电粒子，则电势能不变，选项D 正确。
故选CD。
11．（2023·海南·高考真题）（多选）如图所示，正三角形三个顶点固定三个等量电荷，其中
带正电，
带负电，
为
边的四等分点，下列说法正确的是（ ）
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A．
、
两点电场强度相同
B．
、
两点电势相同
C．负电荷在
点电势能比在
点时要小
D．负电荷在
点电势能比在
点时要大
【答案】BC
【详解】A．根据场强叠加以及对称性可知，MN 两点的场强大小相同，但是方向不同，选项A 错误；B．
因在AB 处的正电荷在MN 两点的合电势相等，在C 点的负电荷在MN 两点的电势也相等，则MN 两点电
势相等，选项B 正确；CD．因负电荷从M 到O，因AB 两电荷的合力对负电荷的库仑力从O 指向M，则
该力对负电荷做负功，C 点的负电荷也对该负电荷做负功，可知三个电荷对该负电荷的合力对其做负功，
则该负电荷的电势能增加，即负电荷在M 点的电势能比在O 点小；同理可知负电荷在N 点的电势能比在
O 点小。选项C 正确，D 错误。
故选BC。
12．（2022·全国·高考真题）（多选）如图，两对等量异号点电荷
、
固定于正方形的4 个顶点
上。L、N 是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，O 为内切圆的圆心，M 为切点。则（ ）
A．L 和N 两点处的电场方向相互垂直
B．M 点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左
C．将一带正电的点电荷从M 点移动到O 点，电场力做正功
D．将一带正电的点电荷从L 点移动到N 点，电场力做功为零
【答案】AB
【详解】A．两个正电荷在N 点产生的场强方向由N 指向O，N 点处于两负电荷连线的中垂线上，则两负
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电荷在N 点产生的场强方向由N 指向O，则N 点的合场强方向由N 指向O，同理可知，两个负电荷在L 处
产生的场强方向由O 指向L，L 点处于两正电荷连线的中垂线上，两正电荷在L 处产生的场强方向由O 指
向L，则L 处的合场方向由O 指向L，由于正方形两对角线垂直平分，则L 和N 两点处的电场方向相互垂
直，故A 正确；B．正方形底边的一对等量异号电荷在M 点产生的场强方向向左，而正方形上方的一对等
量异号电荷在M 点产生的场强方向向右，由于M 点离上方一对等量异号电荷距离较远，则M 点的场方向
向左，故B 正确；C．由图可知，M 和O 点位于两等量异号电荷的等势线上，即M 和O 点电势相等，所以
将一带正电的点电荷从M 点移动到O 点，电场力做功为零，故C 错误；D．由图可知，L 点的电势低于N
点电势，则将一带正电的点电荷从L 点移动到N 点，电场力做功不为零，故D 错误。
故选AB。
13．（2022·天津·高考真题）如图所示，一正点电荷固定在圆心，M、N 是圆上的两点，下列说法正确的是
（ ）
A．M 点和N 点电势相同
B．M 点和N 点电场强度相同
C．负电荷由M 点到N 点，电势能始终增大
D．负电荷由M 点到N 点，电场力始终做正功
【答案】A
【详解】AB．M、N 是以O 为圆心的圆上的两点，则电势相同，场强大小相等方向不同，A 正确，B 错误；
CD．由于两点电势相等，负电荷由M 点到N 点，电场力做功为零，电势能变化量为零，CD 错误。
故选A。
14．（2022·福建·高考真题）平时我们所处的地球表面，实际上存在场强大小为
的电场，可将其
视为匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示。空间中存在a、b、c 三点，其中a 点位于
金属杆正上方，b、c 等高。则下列说法正确的是（ ）
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A．b、c 两点的电势差
B．a 点场强大小大于
C．a 点场强方向水平向右
D．a 点的电势低于c 点
【答案】B
【详解】A．由图可知，b、c 两点的电势差为
，故A 错误；B．由图可知，a 点
与相邻两等势面的距离小于
，电势差等于
，根据
，可知a 点场强大小大于
，故B
正确；C．根据场强方向垂直于等势面，可知a 点的场强方向沿竖直方向，不是水平方向，故C 错误；D．
由图可知，a 点与c 点在同一等势面上，电势均为
，故D 错误。
故选B。
15．（2022·湖南·高考真题）如图，四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边a、
b、c、d 上。移去a 处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变。关于长方体几何中心O 点处电场强
度方向和电势的变化，下列说法正确的是（ ）
A．电场强度方向垂直指向a，电势减小
B．电场强度方向垂直指向c，电势减小
C．电场强度方向垂直指向a，电势增大
D．电场强度方向垂直指向c，电势增大
【答案】A
【详解】根据对称性可知，移去a 处的绝缘棒后，电场强度方向垂直指向a，再根据电势的叠加原理，单
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个点电荷在距其r 处的电势为
（取无穷远处电势为零）现在撤去a 处的绝缘棒后，q 减小，则O 点
的电势减小。
故选A。
16．（2022·山东·高考真题）半径为R 的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O 点，环上均匀分布着电
量为Q 的正电荷。点A、B、C 将圆环三等分，取走A、B 处两段弧长均为
的小圆弧上的电荷。将一点
电荷q 置于
延长线上距O 点为
的D 点，O 点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q 为
（ ）
A．正电荷，
B．正电荷，
C．负电荷，
D．负电荷，
【答案】C
【详解】取走A、B 处两段弧长均为
的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在O 点产生的电场强度
为与A 在同一直径上的A1 和与B 在同一直径上的B1 产生的电场强度的矢量和，如图所示，因为两段弧长
非常小，故可看成点电荷，则有
，由图可知，两场强的夹角为
，则两者的合场强
为
，根据O 点的合场强为0，则放在D 点的点电荷带负电，大小为
，根据
，联立解得
，
故选C。
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17.（2022·重庆·高考真题）（多选）如图为两点电荷Q、
的电场等势面分布示意图，Q、
位于x 轴上，
相邻等势面的电势差为
。若x 轴上的M 点和N 点位于
等势面上，P 为某等势面上一点，则（ ）
A．N 点的电场强度大小比M 点的大
B．Q 为正电荷
C．M 点的电场方向沿x 轴负方向
D．P 点与M 点的电势差为
【答案】AD
【详解】A．等差等势线的密度体现场强的大小，由图可知N 点的等差等势线比M 点更密，则N 点的电场
强度大小比M 点的大，故A 正确；B．沿着电场线电势逐渐降低，由图可知电场线由N 指向Q，则Q 为负
电荷，故B 错误；C．沿着电场线电势逐渐降低，结合各等势线的电势高低关系可知M 点的电场方向沿x
轴正方向，故C 错误；D．M 点与N 点等势均为0V，P 点与N 点的等势线间隔四个，而相邻等势面的电势
差为
，则P 点与M 点的电势差为
，故D 正确。
故选AD。
18．（2022·海南·高考真题）（多选）某带电体周围的电场线和等势面如图所示，设A 点的电场强度为
，
电势为
，B 点的电场强度为
，电势为
，则有（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】AB．根据电场线的疏密程度表示电场的强弱，电场线越密，电场强度越大，则B 点的电场强度
较大，即
，故A 错误，B 正确；CD．根据电场线与等势面垂直，且电势较高的等势面指向电势较
低的等势面，所以B 点的电势较大，即
故C 错误，D 正确。
故选BD。
19．（2021·江苏·高考真题）一球面均匀带有正电荷，球内的电场强度处处为零，如图所示，O 为球心，
A、B 为直径上的两点，
，现垂直于
将球面均分为左右两部分，C 为截面上的一点，移去左半
球面，右半球面所带电荷仍均匀分布，则（ ）
A．O、C 两点电势相等
B．A 点的电场强度大于B 点
C．沿直线从A 到B 电势先升高后降低
D．沿直线从A 到B 电场强度逐渐增大
【答案】A
【详解】A．由于球壳内部的场强为零，补全以后可知在左右侧球壳在C 点的合场强为零，因左右球壳的
场强具有对称性，要想合场强为零只能是两部分球壳在C 点的场强都是水平方向，则可以知道右侧球壳在
C 点的合场强水平向左，同理OC 上其他点的场强都是水平向左，因此OC 是等势线，故A 正确；BD．将
题中半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A 点产生的电场强度大小分别为E1 和
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E2；由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知E1=E2，根据对称性，左右半球在B 点产生的电
场强度大小分别为E2 和E1，且E1=E2，在图示电场中，A 的电场强度大小为E2，方向向左，B 的电场强
度大小为E1，方向向左，所以A 点的电场强度与B 点的电场强度相同，沿直线从A 到B 电场强度不可能
逐渐增大，故BD 错误；C．根据电场的叠加原理可知，在AB 连线上电场线方向向左，沿着电场线方向电
势逐渐降低，则沿直线从A 到B 电势升高，故C 错误；
故选A。
20．（2021·辽宁·高考真题）等量异号点电荷固定在水平向右的匀强电场中，电场分布如图所示，实线表
示电场线，虚线表示等势线。将同一负电荷先后置于a、b 两点，电势能分别为Epa和Epb，电荷所受电场力
大小分别为Fa和Fb，则（ ）
A．
，Fa>Fb
B．
，Fa<Fb
C．
，Fa>Fb
D．
，Fa<Fb
【答案】D
【详解】电场线的疏密程度表示场强的大小，因此
，原匀强电场水平向右，正负电荷的电场线由正
电荷指向负电荷，因此可知图中的电场线方向为从左指向右，因此由对称性可知b 点电势小于a 点电势，
可知负电荷
。
故选D。
21．（2021·北京·高考真题）如图所示的平面内，有静止的等量异号点电荷，M、N 两点关于两电荷连线对
称，M、P 两点关于两电荷连线的中垂线对称。下列说法正确的是（ ）
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A．M 点的场强比P 点的场强大
B．M 点的电势比N 点的电势高
C．N 点的场强与P 点的场强相同
D．电子在M 点的电势能比在P 点的电势能大
【答案】C
【详解】AC．根据等量异种点电荷的电场线分布得：
M 点的场强与P 点的场强大小相等，N 点的场强与P 点的场强大小相等，方向相同，故A 错误C 正确；
BD．根据等量异种点电荷的电势分布特点可知，M 点的电势与N 点的电势相等，M 点的电势高于P 点的
电势，根据
可知，电子在M 点的电势能比在P 点的电势能小，故BD 错误。
故选C。
22．（2021·浙江·高考真题）某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“<”形导体右侧的电场线和等势
面，其中a、b 是同一条实线上的两点，c 是另一条实线上的一点，d 是导体尖角右侧表面附近的一点。下
列说法正确的是（ ）
A．实线表示电场线
B．离d 点最近的导体表面电荷密度最大
C．“<”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同
D．电荷从a 点到c 点再到b 点电场力做功一定为零
【答案】D
【详解】A．处于静电平衡的导体，是个等势体，则整个导体为等势体，由于电场线方向总是与等势面垂
直，所以实线不是电场线，是等势面，则A 错误；B．根据等势面的疏密表示场强的强弱，则d 点的场强
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较弱，并且电场强度越大的地方电荷密度越大，所以B 错误；C．在“<”形导体右侧表面上下部分附近电
场强度方向不相同，所以C 错误；D．由于a、b 在同一等势面上，则电荷从a 点到c 点再到b 点电场力做
功一定为零，所以D 正确；
故选D。
23．（2021·广东·高考真题）图是某种静电推进装置的原理图，发射极与吸板接在高压电源两端，两极间
产生强电场，虚线为等差等势面，在强电场作用下，一带电液滴从发射极加速飞向吸极，a、b 是其路径上
的两点，不计液滴重力，下列说法正确的是（ ）
A．a 点的电势比b 点的低
B．a 点的电场强度比b 点的小
C．液滴在a 点的加速度比在b 点的小
D．液滴在a 点的电势能比在b 点的大
【答案】D
【详解】A．高压电源左为正极，则所加强电场的场强向右，而沿着电场线电势逐渐降低，可知
，
故A 错误；B．等差等势线的疏密反映场强的大小，由图可知a 处的等势线较密，则
，故B 错误；
C．液滴的重力不计，根据牛顿第二定律可知，液滴的加速度为
，因
，可得
，故C 错
误；D．液滴在电场力作用下向右加速，则电场力做正功，动能增大，电势能减少，即
，故D 正
确；
故选D。
24．（2021·全国·高考真题）如图（a），在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应，
在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图（b）中虚线所示，相邻等势面间的电势
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差都相等。若将一正试探电荷先后放于M 和N 处，该试探电荷受到的电场力大小分别为
和
，相应的
电势能分别为
和
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由图中等势面的疏密程度可知
，根据
，可知
，由题可知图中电场线是由
金属板指向负电荷，设将该试探电荷从M 点移到N 点，可知电场力做正功，电势能减小，即
。
故选A。
25．（2021·湖南·高考真题）如图，在
位置放置电荷量为的正点电荷，在
位置放置电荷量为
的负点电荷，在距
为
的某点处放置正点电荷Q，使得
点的电场强度为零。则Q 的位置及
电荷量分别为（ ）
A．
，
B．
，
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C．
，
D．
，
【答案】B
【详解】
根据点电荷场强公式
，两等量异种点电荷在P 点的场强大小为
，方向如图所示两等量异种
点电荷在P 点的合场强为
，方向与+q 点电荷与-q 点电荷的连线平行如图所示Q 点电荷在
p 点的场强大小为
，三点电荷的合场强为0，则
方向如图所示，大小有
，解
得
，由几何关系可知Q 的坐标为（0，2a）。
故选B。
26．（2021·浙江·高考真题）如图所示是某一带电导体周围的电场线与等势面，A、C 是同一等势面上的两
点，B 是另一等势面上的一点。下列说法正确的是（ ）
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A．导体内部的场强左端大于右端
B．A、C 两点的电势均低于B 点的电势
C．B 点的电场强度大于A 点的电场强度D．正电荷从A 点沿虚线移到B 点的过程中电场力做正功，
电势能减小
【答案】D
【详解】A．带电导体处于静电平衡状态，导体内部的场强处处为0，导体表面为等势面，整个导体为一个
等势体，A 错误；B．沿电场线方向电势降低，所以A、C 两点的电势大于B 点的电势，B 错误；C．电场
线的疏密程度表示电场强度的弱强，所以B 点的电场强度小于A 点的电场强度，C 错误；D．根据
可知，正电荷从高电势A 点沿虚线移动到低电势B 点，电势能减小，电场力做正功，D 正确。
故选D。
27．（2021·海南·高考真题）（多选）如图，在匀强电场中有一虚线圆，
和
是圆的两条直径，其中
与电场方向的夹角为
，
，
与电场方向平行，a、b 两点的电势差
。则（ ）
A．电场强度的大小
B．b 点的电势比d 点的低
C．将电子从c 点移到d 点，电场力做正功
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D．电子在a 点的电势能大于在c 点的电势能
【答案】AD
【详解】A．根据
，可得电场强度的大小
，选
项A 正确；B．沿电场线电势逐渐降低，可知b 点的电势比d 点的电势高，选项B 错误；C．将电子从c 点
移到d 点，因电子所受的电场力与位移反向，可知电场力做负功，选项C 错误；D．因a 点的电势低于c 点
电势，则电子在a 点的电势能大于在c 点的电势能，选项D 正确。
故选AD。
28．（2021·湖北·高考真题）（多选）关于电场，下列说法正确的是（ ）
A．电场是物质存在的一种形式
B．电场力一定对正电荷做正功
C．电场线是实际存在的线，反映电场强度的大小和方向
D．静电场的电场线总是与等势面垂直，且从电势高的等势面指向电势低的等势面
【答案】AD
【详解】A．电场是存在于电荷周围的一种特殊媒介物质，A 正确；B．如果正电荷的速度方向与电场力的
夹角大于90°，则电场力做负功，等于90°电场力不做功，小于90°电场力做正功，B 错误；C．电场线是为
了形象地描绘电场而人为引入的一簇曲线，该曲线的疏密程度反映场强的大小，C 错误；D．静电场的电
场线在空间上与等势面垂直，且沿电场线的方向电势降低，即由高等势面指向低等势面，D 正确。
故选AD。
29．（2021·天津·高考真题）（多选）两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻
等势面间的电势差相等。虚线
是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于P 点。下
列说法正确的是（ ）
A．两点电荷可能是异种点电荷
B．A 点的电场强度比B 点的大
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C．A 点的电势高于B 点的电势
D．电子运动到P 点时动能最小
【答案】CD
【详解】A．根据电荷间等势面的分布情况可知两点电荷时同种电荷，又根据电子在该电场中的运动轨迹
可判断电子一直受到排斥的力，故可知两点电荷为同种负电荷；故A 错误；B．根据等势面的疏密程度可
以判断A 点的电场强度比B 点的小，故B 错误；C．因为两点电荷是同种负电荷，电场线指向负电荷，故
可知A 点的电势高于B 点的电势，故C 正确；D．根据电子的运动轨迹和电场线的方向可知由M 到P 电场
力做负功，由P 到N 电场力做正功；由M 到P 动能减小，由P 到N 动能增加，故电子运动到P 点时动能最
小，故D 正确。
故选CD。
30．（2021·全国·高考真题）（多选）某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e 为电场中的5 个点，
则（ ）
A．一正电荷从b 点运动到e 点，电场力做正功
B．一电子从a 点运动到d 点，电场力做功为4eV
C．b 点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右
D．a、b、c、d 四个点中，b 点的电场强度大小最大
【答案】BD
【详解】A．由图象可知φb = φe，则正电荷从b 点运动到e 点，电场力不做功，A 错误；B．由图象可知
φa = 3V，φd = 7V，根据电场力做功与电势能的变化关系有Wad=Epa - Epd= (φa - φd)( - e) = 4eV，B 正确；
C．沿电场线方向电势逐渐降低，则b 点处的场强方向向左，C 错误；D．由于电场线与等势面处处垂直，
则可画出电场线分布如下图所示
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由上图可看出，b 点电场线最密集，则b 点处的场强最大，D 正确。
故选BD。
31．（2021·河北·高考真题）（多选）如图，四个电荷量均为
的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，
其坐标分别为
、
、
和
，其中x 轴上的两个点电荷位置固定，y 轴上的两个点电
荷可沿y 轴对称移动（
），下列说法正确的是（ ）
A．除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零
B．当
取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点
C．当
时，将一带负电的试探电荷由点
移至点
，静电力做正功
D．当
时，将一带负电的试探电荷放置在点
处，其所受到的静电力方向与x 轴正方向成
倾斜向上
【答案】ACD
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【详解】A．根据场强叠加原理可知，除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零，选项A 正确；
B．因为在x 轴上的两个点电荷在O 点的合场强为零，在y 轴上的两电荷，无论y0 取什么值，因为关于原
点对称，则在O 点的合场强也为零，在横轴和纵轴上除原点外，出现合场强为零的点，根据对称性可知，
一定是成对出现的，关于原点对称，所以算上原点，合场强为零的点是奇数个，不会是2 个，选项B 错误；
C．由几何关系可知，坐标为（4l，5l）的A 点在第一象限内所在的虚像的垂直平分线的上方；坐标为
（0，-3l）的B 点在第三象限内所在的虚像的垂直平分线的上方，且到达虚线的距离相等，由电势叠加可
知，B 点的电势高于A 点，则带负电的试探电荷在A 点的电势能较大，从A 点到B 点电势能减小，可知电
场力做正功，选项C 正确；
D．若y0=4l，则四个点构成正方形，由对称可知在点（l，l）处的场强一定沿着过该点与原点连线的方向
上；在y 轴正向和x 正向上的点电荷在（l，l）处的合场强
，在y 轴
负向和x 负向上的点电荷在（l，l）处的合场强
，可知（l，
l）点的场强沿着MN 方向且与x 轴从成45°角的方向向下，将一带负电的试探电荷放置在点
处，其所
受到的静电力方向与x 轴正方向成
倾斜向上，选项D 正确。
故选ACD。
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32．（2021·湖南·高考真题）（多选）如图，圆心为
的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，
和
为该圆直径。将电荷量为
的粒子从
点移动到点，电场力做功为
；若将该粒子
从点移动到
点，电场力做功为
。下列说法正确的是（ ）
A．该匀强电场的场强方向与
平行
B．将该粒子从
点移动到点，电场力做功为
C．
点电势低于点电势
D．若只受电场力，从
点射入圆形电场区域的所有带电粒子都做曲线运动
【答案】AB
【详解】A．由于该电场为匀强电场，可采用矢量分解的的思路，沿cd 方向建立x 轴，垂直与cd 方向建立
y 轴如下图所示
在x 方向有W=Exq2R，在y 方向有2W=Eyq
R + ExqR，经过计算有Ex=
，Ey=
，E=
，
tanθ=
，由于电场方向与水平方向成60°，则电场与ab 平行，且沿a 指向b，A 正确；B．该粒从d
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点运动到b 点，电场力做的功为W′ =Eq
= 0.5W，B 正确；C．沿电场线方向电势逐渐降低，则a 点的电
势高于c 点的电势，C 错误；D．若粒子的初速度方向与ab 平行则粒子做匀变速直线运动，D 错误。
故选AB。
33（2023·全国·高考真题）如图，等边
位于竖直平面内，AB 边水平，顶点C 在AB 边上方，3 个点电
荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB 边中点M 处的电场强度方向竖直向下，BC 边中点N 处的电场
强度方向竖直向上，A 点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求
（1）B 点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3 个点电荷的正负；
（2）C 点处点电荷的电荷量。
【答案】（1）
，A、B、C 均为正电荷；（2）
【详解】（1）因为M 点电场强度竖直向下，则C 为正电荷，根据场强的叠加原理，可知A、B 两点的电
荷在M 点的电场强度大小相等，方向相反，则B 点电荷带电量为，电性与A 相同，又
点电场强度竖直
向上，可得
处电荷在
点的场强垂直BC 沿AN 连线向右上，如图所示
可知A 处电荷为正电荷，所以A、B、C 均为正电荷。
（2）如图所示
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由几何关系
即
其中
解得
考向二 电场中的图像问题
34．（2021·山东·高考真题）如图甲所示，边长为a 的正方形，四个顶点上分别固定一个电荷量为
的点
电荷；在
区间，x 轴上电势的变化曲线如图乙所示。现将一电荷量为
的点电荷P 置于正方
形的中心O 点，此时每个点电荷所受库仑力的合力均为零。若将P 沿x 轴向右略微移动后，由静止释放，
以下判断正确的是（ ）
A．
，释放后P 将向右运动
B．
，释放后P 将向左运动
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C．
，释放后P 将向右运动
D．
，释放后P 将向左运动
【答案】C
【详解】对y 轴正向的点电荷，由平衡知识可得
，解得
，因在
区间内沿x 轴正向电势升高，则场强方向沿x 轴负向，则将P 沿x 轴正向向右略微移动后释放，
P 受到向右的电场力而向右运动。
故选C。
考点02 带电粒子在电场中的运动
考向一 带电粒子在电场中的加速和偏转
1．（2023·全国·高考真题）在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使
发散的电子束聚集。下列4 幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】A．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，A 正确；
B．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见与电场力的受力特点相互矛盾，B 错误；
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C．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见与电场力的受力特点相互矛盾，C 错误；
D．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见与电场力的受力特点相互矛盾，D 错误；
故选A。
2．（2023·浙江·高考真题）如图所示，示波管由电子枪竖直方向偏转电极YY′、水平方向偏转电极XX′和
荧光屏组成。电极XX′的长度为l、间距为d、极板间电压为U，YY′极板间电压为零，电子枪加速电压为
10U。电子刚离开金属丝的速度为零，从电子枪射出后沿OO′方向进入偏转电极。已知电子电荷量为e，质
量为m，则电子（ ）
A．在XX′极板间的加速度大小为
B．打在荧光屏时，动能大小为11eU
C．在XX′极板间受到电场力的冲量大小为
D．打在荧光屏时，其速度方向与OO′连线夹角α 的正切
【答案】D
【详解】A．由牛顿第二定律可得，在XX′极板间的加速度大小
，A 错误；B．电子电极XX′
间运动时，有vx=axt，
，电子离开电极XX′时的动能为
，电子离开
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电极XX′后做匀速直线运动，所以打在荧光屏时，动能大小为
，B 错误；C．在XX′极板间
受到电场力的冲量大小
，C 错误；D．打在荧光屏时，其速度方向与OO′连线夹角α 的
正切
，D 正确。
故选D。
3．（2023·浙江·高考真题）某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有辐向电场。粒子从M 点射入，
沿着由半径分别为R1和R2的圆弧平滑连接成的虚线（等势线）运动，并从虚线上的N 点射出，虚线处电
场强度大小分别为E1和E2，则R1、R2和E1、E2应满足（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】带电粒子在电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，则有
,
，联立可得
。
故选A。
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4．（2023·湖北·高考真题）（多选）一带正电微粒从静止开始经电压
加速后，射入水平放置的平行板电
容器，极板间电压为
。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为
，微粒运动轨迹的最高
点到极板左右两端的水平距离分别为
和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D．仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
【答案】BD
【详解】B．粒子在电容器中水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线直线运动，根据电场强度
和电势差的关系及场强和电场力的关系可得
，
，粒子射入电容器后的速度为
，水平
方向和竖直方向的分速度
，
，从射入到运动到最高点由运动学关
系
，粒子射入电场时由动能定理可得
，联立解得
，B 正确；A．粒子从射入
到运动到最高点由运动学可得
，
，联立可得
，A 错误；C．粒子穿过电容器
时从最高点到穿出时由运动学可得
，
，射入电容器到最高点有
，解得
，设粒
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子穿过电容器与水平的夹角为
，则
，粒子射入电场和水平的夹角为
,
，C 错误；D．粒子射入到最高点的过程水平方向的位移为，竖直方向的位
移为
，联立
，
，
，解得
，且
，
，即解
得
，即粒子在运动到最高点的过程中水平和竖直位移均与电荷量和质量无关，最高点到射
出电容器过程同理
，
，
，即轨迹不会变化，D 正确。
故选BD。
5．（2022·福建·高考真题）（多选）我国霍尔推进器技术世界领先，其简化的工作原理如图所示。放电通
道两端电极间存在一加速电场，该区域内有一与电场近似垂直的约束磁场（未画出）用于提高工作物质被
电离的比例。工作时，工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，再经电场加速喷出，形成推力。某
次测试中，氙气被电离的比例为95%，氙离子喷射速度为
，推进器产生的推力为
。已知
氙离子的比荷为
；计算时，取氙离子的初速度为零，忽略磁场对离子的作用力及粒子之间的
相互作用，则（ ）
A．氙离子的加速电压约为
B．氙离子的加速电压约为
C．氙离子向外喷射形成的电流约为
D．每秒进入放电通道的氙气质量约为
【答案】AD
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【详解】AB．氙离子经电场加速，根据动能定理有
，可得加速电压为
，故
A 正确，B 错误；D．在
时间内，有质量为
的氙离子以速度喷射而出，形成电流为，由动量定理
可得
，进入放电通道的氙气质量为
，被电离的比例为，则有
，联立解得
，故D 正确；C．在
时间内，有电荷量为
的氙离子喷射出，则有
，
，联立解得
,故C 错误。
故选AD。
6．（2022·浙江·高考真题）如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N 间存在匀强电场，板长
为L（不考虑边界效应）。t=0 时刻，M 板中点处的粒子源发射两个速度大小为v0的相同粒子，垂直M 板
向右的粒子，到达N 板时速度大小为
；平行M 板向下的粒子，刚好从N 板下端射出。不计重力和粒
子间的相互作用，则（ ）
A．M 板电势高于N 板电势
B．两个粒子的电势能都增加
C．粒子在两板间的加速度
D．粒子从N 板下端射出的时间
【答案】C
【详解】A．由于不知道两粒子的电性，故不能确定M 板和N 板的电势高低，故A 错误；B．根据题意垂
直M 板向右的粒子，到达N 板时速度增加，动能增加，则电场力做正功，电势能减小；则平行M 板向下
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的粒子到达N 板时电场力也做正功，电势能同样减小，故B 错误；CD．设两板间距离为d，对于平行M
板向下的粒子刚好从N 板下端射出，在两板间做类平抛运动，有
，
，对于垂直M 板向右
的粒子，在板间做匀加速直线运动，因两粒子相同，在电场中加速度相同，有
，联立解
得
，
，故C 正确，D 错误；
故选C。
7．（2021·全国·高考真题）（多选）四个带电粒子的电荷量和质量分别
、
、
、
它们先后以相同的速度从坐标原点沿x 轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与y 轴平行，不计重
力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，加速度为
，由类平抛运动规律可知，带电粒子的在
电场中运动时间为
，离开电场时，带电粒子的偏转角的正切为
，因为四个带电
的粒子的初速相同，电场强度相同，极板长度相同，所以偏转角只与比荷有关，前面三个带电粒子带正电，
一个带电粒子带负电，所以一个粒子与另外三个粒子的偏转方向不同；
粒子与
粒子的比
荷相同，所以偏转角相同，轨迹相同，且与
粒子的比荷也相同，所以
、
、
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三个粒子偏转角相同，但
粒子与前两个粒子的偏转方向相反；
粒子的比荷与
、
粒子的比荷小，所以
粒子比
、
粒子的偏转角小，但都带正电，
偏转方向相同。
故选AD。
8．（2023·北京·高考真题）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小
球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度
保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d、不考虑
重力影响和颗粒间相互作用。
（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为
的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压
；
（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v 方向相反，大小为
，其中r 为颗粒的
半径，k 为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a、半径为R、电荷量为
的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压
；
b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为
和
的
两种颗粒，若
的颗粒恰好100%被收集，求
的颗粒被收集的百分比。
【答案】（1）
；（2）a、
；b、25%
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【详解】（1）只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集板右侧，颗粒就能够全部收集，水平方向有
竖直方向
根据牛顿第二定律
又
解得
（2）a.颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，竖直方向
且
解得
b.
带电荷量q 的颗粒恰好100%被收集，颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等
于电场力，有
在竖直方向颗粒匀速下落
的颗粒带电荷量为
颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有
设只有距下极板为
的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落
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解得
的颗粒被收集的百分比
9．（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N 之间距离为d，两板所加的电压为U。一
质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从M 板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N 板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动
距离时撤去所加电压，求该粒子从M 板运动到N 板经历的时间t。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）两极板间的场强
带电粒子所受的静电力
（2）带电粒子从静止开始运动到N 板的过程，根据功能关系有
解得
（3）设带电粒子运动
距离时的速度大小为v′，根据功能关系有
带电粒子在前
距离做匀加速直线运动，后
距离做匀速运动，设用时分别为t1、t2，有
，
则该粒子从M 板运动到N 板经历的时间
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考向二 带电粒子在电场中的综合问题
10（2022·全国·高考真题）（多选）一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电
导体极板（半径分别为R 和
）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O 为圆心。在截面内，极
板间各点的电场强度大小与其到O 点的距离成反比，方向指向O 点。4 个带正电的同种粒子从极板间通过，
到达探测器。不计重力。粒子1、2 做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为
、
；粒
子3 从距O 点
的位置入射并从距O 点的位置出射；粒子4 从距O 点的位置入射并从距O 点
的位置
出射，轨迹如图（b）中虚线所示。则（ ）
A．粒子3 入射时的动能比它出射时的大
B．粒子4 入射时的动能比它出射时的大
C．粒子1 入射时的动能小于粒子2 入射时的动能
D．粒子1 入射时的动能大于粒子3 入射时的动能
【答案】BD
【详解】C．在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O 点的距离成反比，可设为
，带正电的
同种粒子1、2 在均匀辐向电场中做匀速圆周运动，则有
，
，可得
，即粒子1 入射时的动能等于粒子2 入射时的动能，故C 错误；A．粒子3 从距O 点
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的位置入射并从距O 点的位置出射，做向心运动，电场力做正功，则动能增大，粒子3 入射时的动能
比它出射时的小，故A 错误；B．粒子4 从距O 点的位置入射并从距O 点
的位置出射，做离心运动，
电场力做负功，则动能减小，粒子4 入射时的动能比它出射时的大，故B 正确；D．粒子3 做向心运动，
有
，可得
，粒子1 入射时的动能大于粒子3 入射时的动能，故D 正确；
故选BD。
11（2022·浙江·高考真题）（多选）如图为某一径向电场的示意图，电场强度大小可表示为
， a 为
常量。比荷相同的两粒子在半径r 不同的圆轨道运动。不考虑粒子间的相互作用及重力，则（ ）
A．轨道半径r 小的粒子角速度一定小
B．电荷量大的粒子的动能一定大
C．粒子的速度大小与轨道半径r 一定无关
D．当加垂直纸面磁场时，粒子一定做离心运动
【答案】BC
【详解】A．根据电场力提供向心力可得
，解得
，可知轨道半径r 小的粒子角速度
大，故A 错误；BC．根据电场力提供向心力可得
，解得
，又
，联立可得
，可知电荷量大的粒子的动能一定大，粒子的速度大小与轨道半径r 一定无关，故BC 正确；D．
磁场的方向可能垂直纸面向内也可能垂直纸面向外，所以粒子所受洛伦兹力方向不能确定，粒子可能做离
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心运动，也可能做近心运动，故D 错误。
故选BC。
12．（2022·湖北·高考真题）（多选）如图所示，一带电粒子以初速度v0沿x 轴正方向从坐标原点О 射入，
并经过点P（a>0，b>0）。若上述过程仅由方向平行于y 轴的匀强电场实现，粒子从О 到Р 运动的时间为
t1，到达Р 点的动能为Ek1。若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从O 到Р 运动的时间为
t2，到达Р 点的动能为Ek2。下列关系式正确的是·（ ）
A．t1<t2
B．t1> t2
C．Ek1<Ek2
D．Ek1>Ek2
【答案】AD
【详解】AB．该过程中由方向平行于y 轴的匀强电场实现，此时粒子做类平抛运动，沿x 轴正方向做匀速
直线运动；当该过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现时，此时粒子做匀速圆周运动，沿x 轴正方向分
速度在减小，根据
，可知t1<t2，故A 正确，B 错误。CD．该过程中由方向平行于y 轴的匀强电场实
现，此时粒子做类平抛运动，到达P 点时速度大于v0；当该过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现时，
此时粒子做匀速圆周运动，到达P 点时速度等于v0，而根据
，可知Ek1>Ek2，故C 错误，D 正
确。
故选AD。
13．（2022·江苏·高考真题）某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩形
区域内存
在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化，AB 边长为
，
边长为
，质量为m、电荷量为
的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为
，入
射角为
，在纸面内运动，不计重力及粒子间的相互作用力。
（1）当
时，若粒子能从
边射出，求该粒子通过电场的时间t；
（2）当
时，若粒子从
边射出电场时与轴线
的距离小于d，求入射角的范围；
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（3）当
，粒子在
为
范围内均匀射入电场，求从
边出射的粒子与入射粒子的数量
之比
。
【答案】（1）
；（2）
或
；（3）
【详解】（1）电场方向竖直向上，粒子所受电场力在竖直方向上，粒子在水平方向上做匀速直线运动，
速度分解如图所示
粒子在水平方向的速度为
根据
可知
解得
（2）粒子进入电场时的初动能
粒子进入电场沿电场方向做减速运动，由牛顿第二定律可得
粒子从
边射出电场时与轴线
的距离小于d，则要求
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解得
所以入射角的范围为
或
（3）设粒子入射角为
时，粒子恰好从D 点射出，由于粒子进入电场时，在水平方向做匀速直线运动，
在竖直方向反复做加速相同的减速运动，加速运动。粒子的速度
运动时间为
粒子在沿电场方向，反复做加速大小相同的减速运动，加速运动，则
则
则粒子在分层电场中运动时间相等，设为
，则
且
代入数据化简可得
即
解得
（舍去）或
解得
则从
边出射的粒子与入射粒子的数量之比
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14．（2021·福建·高考真题）如图（a），同一竖直平面内A、B、M、N 四点距O 点的距离均为
，O
为水平连线
的中点，M、N 在
连线的中垂线上。A、B 两点分别固定有一点电荷，电荷量均为Q（
）。以O 为原点，竖直向下为正方向建立x 轴。若取无穷远处为电势零点，则
上的电势随位置
x 的变化关系如图（b）所示。一电荷量为Q（
）的小球
以一定初动能从M 点竖直下落，一段时间
后经过N 点，其在
段运动的加速度大小a 随位置x 的变化关系如图（c）所示。图中g 为重力加速度大
小，k 为静电力常量。
（1）求小球
在M 点所受电场力大小。
（2）当小球
运动到N 点时，恰与一沿x 轴负方向运动的不带电绝缘小球
发生弹性碰撞。已知
与
的质量相等，碰撞前、后
的动能均为
，碰撞时间极短。求碰撞前
的动量大小。
（3）现将
固定在N 点，为保证
能运动到N 点与之相碰，
从M 点下落时的初动能须满足什么条件？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设A 到M 点的距离为
，A 点的电荷对小球
的库仑力大小为
，由库仑定律有
①
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设小球
在
点所受电场力大小为
，由力的合成有
②
联立①②式，由几何关系并代入数据得
③
（2）设O 点下方
处为
点，
与
的距离为
，小球
在
处所受的库仑力大小为
，由库仑定律和
力的合成有
④
式中
设小球
的质量为
，小球
在
点的加速度大小为，由牛顿第二定律有
⑤
由图（c）可知，式中
联立④⑤式并代入数据得
⑥
设
的质量为
，碰撞前、后
的速度分别为
，
，
碰撞前、后的速度分别为
，
，取竖直向
下为正方向。由动量守恒定律和能量守恒定律有
⑦
⑧
设小球S2 碰撞前的动量为
，由动量的定义有
⑨
依题意有
联立⑥⑦⑧⑨式并代入数据，得
⑩
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即碰撞前
的动量大小为
。
（3）设O 点上方
处为D 点。根据图（c）和对称性可知，
在D 点所受的电场力大小等于小球的重力大
小，方向竖直向上，
在此处加速度为0；
在D 点上方做减速运动，在D 点下方做加速运动，为保证
能运动到N 点与
相碰，
运动到D 点时的速度必须大于零。
设M 点与D 点电势差为
，由电势差定义有
⑪
设小球
初动能为
，运动到D 点的动能为
，由动能定理有
⑫
⑬
由对称性，D 点与C 点电势相等，M 点与N 点电势相等，依据图（b）所给数据，并联立⑥⑪⑫⑬式可得
⑭
65．（2021·北京·高考真题）如图所示，M 为粒子加速器；N 为速度选择器，两平行导体板之间有方向相
互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S 点释放一初速度为0、
质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，经M 加速后恰能以速度v 沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过
N。不计重力。
（1）求粒子加速器M 的加速电压U；
（2）求速度选择器N 两板间的电场强度E 的大小和方向；
（3）仍从S 点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q 的带正电粒子，离开N 时粒子偏离图中虚线
的距离为d，求该粒子离开N 时的动能
。
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【答案】（1）
；（2）
，方向垂直导体板向下；（3）
【详解】（1）粒子直线加速，根据功能关系有
解得
（2）速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡
得
方向垂直导体板向下。
（3）粒子在全程电场力做正功，根据功能关系有
解得
47
