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专题10 磁场带电粒子在磁场中的运动
…………………………………………………………………………………………
........................................1
........................................1
........................................2
考点01 磁场对通电导线的作用力问题........................2
考向一 磁场对通电导线的作用力问题................2
考点02 带电粒子在磁场中的运动............................11
考向一 带电粒子在磁场中的圆周运动..............11
考向二 带电粒子在有界磁场运动的临界与极值问题
15
考向三 带电粒子在磁场中运动的多解问题......19
…………………………………………………………………………………………
考点要求
考题统计
磁场对通电导线的
作用力问题
考向一磁场对通电导线的作用力问题：2023•北京•高考真题(2 题)、2023•江
苏•高考真题(2 题)、2022•湖南•高考真题、2022•天津•高考真题、2022•浙江•
高考真题、2021•江苏•高考真题、2021•广东•高考真题、2022•湖北•高考真
题、2021•重庆•高考真题
带电粒子在磁场中的运动
考向一带电粒子在磁场中的圆周运动：2023•天津•高考真题、2023•福建•高考
真题、2022•北京•高考真题、2021•湖北•高考真题
考向二带电粒子在有界磁场运动的临界与极值问题：2023•浙江•高考真题、
2022•辽宁•高考真题、2021•北京•高考真题、2021•全国•高考真题、2021•海
南•高考真题
考向三带电粒子在磁场中运动的多解问题：2023•全国•高考真题、2023•湖北•
高考真题、2022•湖北•高考真题、2022•浙江•高考真题
1
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1.考频：本专题属于热点、难点内容；
2.考向：①磁场对通电导线的作用力问题：安培力作用下的力电综合问题。 ②带电粒子在磁场中的运动：
在有界磁场中的运动及临界判断、电性或磁场方向不确定带来的多解问题。
3.应试策略
在备考时，明智的策略包括：
①重视基础知识：加强对磁场性质、安培力、洛伦兹力、带电粒子在磁场中的匀速圆周运动等基本概
念和规律的复习和训练。这些是理解磁场中物体行为的基础，对于解决相关问题至关重要。
②注意思维训练：磁场问题涉及的模型常以空间立体形式出现，加强立体空间图形的转化能力训练。
不仅要熟悉常见磁场的磁感线立体分布图，也要熟悉它们的平面分布情况，还要善于将有关安培力的三维
立体空间问题转化为二维平面问题，以便更好地理解和解决问题。
③勤练解题技能：作图是解决磁场问题的关键点之一，加强带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的
作图训练，培养数形结合能力。运用动态放缩圆、定点旋转圆、圆平移、圆对称等几何知识解决带电粒子
在有界磁场中的运动及临界、多解问题，这对于提高解题效率和准确性非常重要。
④关注科技前沿：了解本部分知识在科技、生活、生产中的应用，理论联系实际，提高应用所学知识
解决综合问题的能力。这不仅可以帮助学生更好地理解知识点，还可以激发学生的学习兴趣和动力。
考点01 磁场对通电导线的作用力问题
考向一 磁场对通电导线的作用力问题
1．（2023·北京·高考真题）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一
内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（
）。带电粒子束持续以某一速度v 沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，
与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为
，不
计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（ ）
2
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A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a
B．粒子质量为
C．管道内的等效电流为
D．粒子束对管道的平均作用力大小为
【答案】C
【详解】A．带正电的粒子沿轴线射入，然后垂直打到管壁上，可知粒子运动的圆弧半径为r=a，故A 正确，
不符合题意；B．根据
，可得粒子的质量
，故B 正确，不符合题意；C．管道内的等效
电流为
，单位体积内电荷数为
，则
，故C 错误，符合题意；D．由动量
定理可得
，粒子束对管道的平均作用力大小
，联立解得
，故D 正确，
不符合题意。
故选C。
2．（2023·江苏·高考真题）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B．L 形导线通以恒定电流I，放置在磁场
中．已知ab 边长为2l，与磁场方向垂直，bc 边长为l，与磁场方向平行．该导线受到的安培力为（
）
A．0
B．BIl
C．2BIl
D．
【答案】C
【详解】因bc 段与磁场方向平行，则不受安培力；ab 段与磁场方向垂直，则受安培力为Fab=BI∙2l=2BIl
则该导线受到的安培力为2BIl。
故选C。
3
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3．（2022·江苏·高考真题）如图所示，两根固定的通电长直导线a、b 相互垂直，a 平行于纸面，电流方向
向右，b 垂直于纸面，电流方向向里，则导线a 所受安培力方向（ ）
A．平行于纸面向上
B．平行于纸面向下
C．左半部分垂直纸面向外，右半部分垂直纸面向里
D．左半部分垂直纸面向里，右半部分垂直纸面向外
【答案】C
【详解】根据安培定则，可判断出导线a 左侧部分的空间磁场方向斜向右上，右侧部分的磁场方向斜向下
方，根据左手定则可判断出左半部分垂直纸面向外，右半部分垂直纸面向里。
故选C。
4．（2022·湖北·高考真题）（多选）如图所示，两平行导轨在同一水平面内。一导体棒垂直放在导轨上，
棒与导轨间的动摩擦因数恒定。整个装置置于匀强磁场中，磁感应强度大小恒定，方向与金属棒垂直、与
水平向右方向的夹角θ 可调。导体棒沿导轨向右运动，现给导体棒通以图示方向的恒定电流，适当调整磁
场方向，可以使导体棒沿导轨做匀加速运动或匀减速运动。已知导体棒加速时，加速度的最大值为
g；
减速时，加速度的最大值为
g，其中g 为重力加速度大小。下列说法正确的是（ ）
4
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A．棒与导轨间的动摩擦因数为
B．棒与导轨间的动摩擦因数为
C．加速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向下，θ=60°
D．减速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向上，θ=150°
【答案】BC
【详解】设磁场方向与水平方向夹角为θ1，θ1<90°;当导体棒加速且加速度最大时，合力向右最大，根据左
手定则和受力分析可知安培力应该斜向右上方，磁场方向斜向右下方，此时有
，令
，
，根据数学知识可得
，则有
，同理磁场方向与水平方向夹角为θ2，
θ2<90°，当导体棒减速，且加速度最大时，合力向左最大，根据左手定则和受力分析可知安培力应该斜向
左下方，磁场方向斜向左上方，此时有
，有
，所以有
，当加速或减速加速度分别最大时，
不等式均取等于，联立可得
，带入
，可得α=30°，此时
，加速阶段加速度
大小最大时，磁场方向斜向右下方，有
，减速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向左上方，有
，故BC 正确，AD 错误。
故选BC。
5．（2022·湖南·高考真题）如图（a），直导线MN 被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所
5
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在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截
面图如图（b）所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是（
）
A．当导线静止在图（a）右侧位置时，导线中电流方向由N 指向M
B．电流I 增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C．tanθ 与电流I 成正比
D．sinθ 与电流I 成正比
【答案】D
【详解】A．当导线静止在图（a）右侧位置时，对导线做受力分析有
可知要让安培力为图示方向，则导线中电流方向应由M 指向N，A 错误；BCD．由于与OO′距离相等位置
的磁感应强度大小相等且不随时间变化，有
，FT=mgcosθ，则可看出sinθ 与电流I 成正比，当I
增大时θ 增大，则cosθ 减小，静止后，导线对悬线的拉力FT 减小，BC 错误、D 正确。
故选D。
6．（2022·浙江·高考真题）利用如图所示装置探究匀强磁场中影响通电导线受力的因素，导线垂直匀强磁
场方向放置。先保持导线通电部分的长度L 不变，改变电流I 的大小，然后保持电流I 不变，改变导线通电
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部分的长度L，得到导线受到的安培力F 分别与I 和L 的关系图象，则正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据F = BIL，可知先保持导线通电部分的长度L 不变，改变电流I 的大小，则F—I 图象是过原
点的直线。同理保持电流I 不变，改变通过电部分的长度L，则F-L 图象是过原点的直线。
故选B。
7．（2021·重庆·高考真题）（多选）某同学设计了一种天平，其装置如图所示。两相同的同轴圆线圈
水平固定，圆线圈P 与
、N 共轴且平行等距。初始时，线圈
通以等大反向的电流后，在线
圈P 处产生沿半径方向的磁场，线圈P 内无电流且天平平衡。设从上往下看顺时针方向为正向。当左托盘
放入重物后，要使线圈P 仍在原位置且天平平衡，可能的办法是（ ）
A．若P 处磁场方向沿半径向外，则在P 中通入正向电流
B．若P 处磁场方向沿半径向外，则在P 中通入负向电流
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C．若P 处磁场方向沿半径向内，则在P 中通入正向电流
D．若P 处磁场方向沿半径向内，则在P 中通入负向电流
【答案】BC
【详解】AB．当左托盘放入重物后，要使线圈P 仍在原位置且天平平衡，则需要线圈P 需要受到竖直向下
的安培力，若P 处磁场方向沿半径向外，由左手定则可知，可在P 中通入负向电流，故A 错误，B 正确；
CD．若P 处磁场方向沿半径向内，由左手定则可知，可在P 中通入正向电流，故C 正确，D 错误。
故选BC。
8．（2021·江苏·高考真题）在光滑桌面上将长为
的软导线两端固定，固定点的距离为
，导线通有电
流I，处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导线中的张力为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】从上向下看导线的图形如图所示
导线的有效长度为2L，则所受的安培力大小
，设绳子的张力为
，由几何关系可知
，解得
，故A 正确，BCD 错误。
故选A.
9．（2021·广东·高考真题）截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线，长管外表面固定着对称
分布的四根平行长直导线，若中心直导线通入电流
，四根平行直导线均通入电流
，
，电流方向
如图所示，下列截面图中可能正确表示通电后长管发生形变的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因
，则可不考虑四个边上的直导线之间的相互作用；根据两通电直导线间的安培力作用满
足“同向电流相互吸引，异向电流相互排斥”，则正方形左右两侧的直导线
要受到
吸引的安培力，形
成凹形，正方形上下两边的直导线
要受到
排斥的安培力，形成凸形，故变形后的形状如图C。
故选C。
10．（2023·北京·高考真题）2022 年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁撬”，创造了大质量电磁推进
技术的世界最高速度纪录。一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面，
导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨接触良好，电流从一导轨流入，经过
金属棒，再从另一导轨流回，图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场，磁感应
强度B 与电流i 的关系式为
（k 为常量）。金属棒被该磁场力推动。当金属棒由第一级区域进入第二
级区域时，回路中的电流由I 变为
。已知两导轨内侧间距为L，每一级区域中金属棒被推进的距离均为
s，金属棒的质量为m。求：
（1）金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F；
（2）金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比
；
（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由题意可知第一级区域中磁感应强度大小为
金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小为
（2）根据牛顿第二定律可知，金属棒经过第一级区域的加速度大小为
第二级区域中磁感应强度大小为
金属棒经过第二级区域时受到安培力的大小为
金属棒经过第二级区域的加速度大小为
则金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比为
（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后，根据动能定理可得
解得金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小为
11．（2022·天津·高考真题）直流电磁泵是利用安培力推动导电液体运动的一种设备，可用图1 所示的模
型讨论其原理，图2 为图1 的正视图。将两块相同的矩形导电平板竖直正对固定在长方体绝缘容器中，平
板与容器等宽，两板间距为，容器中装有导电液体，平板底端与容器底部留有高度可忽略的空隙，导电
液体仅能从空隙进入两板间。初始时两板间接有直流电源，电源极性如图所示。若想实现两板间液面上升，
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可在两板间加垂直于
面的匀强磁场，磁感应强度的大小为
，两板间液面上升时两板外的液面高度变
化可忽略不计。已知导电液体的密度为
、电阻率为
，重力加速度为
。
（1）试判断所加磁场的方向；
（2）求两板间液面稳定在初始液面高度2 倍时的电压
；
（3）假定平板与容器足够高，求电压
满足什么条件时两板间液面能够持续上升。
【答案】（1）沿
轴负方向；（2）
；（3）
【详解】（1）想实现两板间液面上升，导电液体需要受到向上的安培力，由图可知电流方向沿
轴正方向，
根据左手定则可知，所加磁场的方向沿
轴负方向。
（2）设平板宽度为
，两板间初始液面高度为
，当液面稳定在高度
时，两板间液体的电阻为
，则有
当两板间所加电压为
时，设流过导电液体的电流为
，由欧姆定律可得
外加磁场磁感应强度大小为
时，设液体所受安培力的大小为
，则有
两板间液面稳定在高度
时，设两板间高出板外液面的液体质量为
，则有
两板间液体受到的安培力与两板间高出板外液面的液体重力平衡，则有
联立以上式子解得
（3）设两板间液面稳定时高度为nh，则两板间比容器中液面高出的部分液体的高度为(n－1)h，与（2）同
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理可得
整理上式，得
平板与容器足够高，若使两板间液面能够持续上升，则n 趋近无穷大，即
无限趋近于1，可得
考点02 带电粒子在磁场中的运动
考向一 带电粒子在磁场中的圆周运动
1．（2022·北京·高考真题）正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷。在云室中有垂直于
纸面的匀强磁场，从P 点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图中1、2、3 所示。下列说法
正确的是（ ）
A．磁场方向垂直于纸面向里
B．轨迹1 对应的粒子运动速度越来越大
C．轨迹2 对应的粒子初速度比轨迹3 的大
D．轨迹3 对应的粒子是正电子
【答案】A
【详解】AD．根据题图可知，1 和3 粒子绕转动方向一致，则1 和3 粒子为电子，2 为正电子，电子带负
电且顺时针转动，根据左手定则可知磁场方向垂直纸面向里，A 正确，D 错误；B．电子在云室中运行，
洛伦兹力不做功，而粒子受到云室内填充物质的阻力作用，粒子速度越来越小，B 错误；C．带电粒子若
仅在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可知
，解得粒子运动的半径为
，根据题图可知轨迹3 对应的粒子运动的半径更大，速度更大，粒子运动过程中受到云室内物质的
阻力的情况下，此结论也成立，C 错误。
故选A。
2．（2021·湖北·高考真题）（多选）一电中性微粒静止在垂直纸面向里的匀强磁场中，在某一时刻突然分
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裂成a、b 和c 三个微粒，a 和b 在磁场中做半径相等的匀速圆周运动，环绕方向如图所示，c 未在图中标出。
仅考虑磁场对带电微粒的作用力，下列说法正确的是（ ）
A．a 带负电荷
B．b 带正电荷
C．c 带负电荷
D．a 和b 的动量大小一定相等
【答案】BC
【详解】ABC．由左手定则可知，粒子a、粒子b 均带正电，电中性的微粒分裂的过程中，总的电荷量应
保持不变，则粒子c 应带负电，A 错误，BC 正确；D．粒子在磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向
心力，即
，解得
，由于粒子a 与粒子b 的质量、电荷量大小关系未知，则粒子a 与粒子
b 的动量大小关系不确定，D 错误。
故选BC。
3．（2023·福建·高考真题）阿斯顿（F．Aston）借助自己发明的质谱仪发现了氖等元素的同位素而获得诺
贝尔奖，质谱仪分析同位素简化的工作原理如图所示。在
上方存在一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感
应强度大小为B。两个氖离子在O 处以相同速度v 垂直磁场边界入射，在磁场中发生偏转，分别落在M 和
N 处。已知某次实验中，
，落在M 处氖离子比荷（电荷量和质量之比）为
；P、O、M、N、P 在同一直线上；离子重力不计。
（1）求OM 的长度；
（2）若ON 的长度是OM 的1.1 倍，求落在N 处氖离子的比荷。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子进入磁场，洛伦兹力提供圆周运动的向心力则有
整理得
OM 的长度为
（2）若ON 的长度是OM 的1.1 倍，则ON 运动轨迹半径为OM 运动轨迹半径1.1 倍，根据洛伦兹力提供
向心力得
整理得
4．（2023·天津·高考真题）信号放大器是一种放大电信号的仪器，如图1，其可以通过在相邻极板间施加
电压，使阴极逸出的电子，击中极板时，激发出更多电子，从而逐级放大电信号。已知电子质量m，带电
量e。
（1）如图2，在极板上建系。极板上方空间内存在磁场，其强度为B，方向平行z 轴。极板间电压U
极小，几乎不影响电子运动。如图，某次激发中，产生了2 个电子a 和b，其初速度方向分别在xOy 与zOy
平面内，且与y 轴正方向成
角，则：
（i）判断B 的方向；
（ii）a、b 两个电子运动到下一个极板的时间
和
；
（2）若单位时间内阴极逸出的电子数量不变，每个电子打到极板上可以激发出
个电子，且
，
阳极处接收电子产生的电流为I，在答题纸给出坐标系里画出表示U 和I 关系的图像并说出这样画的理由。
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【答案】（1）（ⅰ）沿z 轴反方向；（ⅱ）
，
（2）见解析
【详解】（1）（ⅰ）a 电子，初速度方向在xoy 平面内，与y 轴正方向成θ 角；若磁场方向沿z 轴正方向，
a 电子在洛伦兹力作用下向x 轴负方向偏转，不符合题题意；若磁场方向沿z 轴反方向，a 电子在洛伦兹力
作用下向x 轴正方向偏转，符合题意；
b 电子，初速度方向在zoy 平面内，与y 轴正方向成θ 角。将b 电子初速度沿坐标轴分解，沿z 轴的分速度
与磁感线平行不受力，沿y 轴方向的分速度受到洛伦兹力使得电子沿x 轴正方向偏转，根据左手定则可知，
磁场方向沿z 轴反方向。符合题意；
综上可知，磁感应强度B 的方向沿z 轴反方向。
（ⅱ）a 电子在洛伦兹力作用下运动轨迹如图，由图可知电子运动到下一个极板的时间
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b 电子，沿z 轴的分速度与磁感线平行不受力，对应匀速直线运动；沿y 轴方向的分速度受到洛伦兹力使
电子向右偏转，电子运动半个圆周到下一个极板的时间
（2）设
，单位时间内阴极逸出的电子数量N0 不变，每个电子打到极板上可以激发δ 个电子，经过
n 次激发阳极处接收电子数量
对应的电流
可得I-U 图像如图
考向二 带电粒子在有界磁场运动的临界与极值问题
5．（2022·辽宁·高考真题）（多选）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。
内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P 点沿径向射入磁场，粒子1 沿直
线通过磁场区域后打在探测器上的M 点。粒子2 经磁场偏转后打在探测器上的N 点。装置内部为真空状态，
忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子1 可能为中子
B．粒子2 可能为电子
C．若增大磁感应强度，粒子1 可能打在探测器上的Q 点
D．若增大粒子入射速度，粒子2 可能打在探测器上的Q 点
【答案】AD
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【详解】AB．由题图可看出粒子1 没有偏转，说明粒子1 不带电，则粒子1 可能为中子；粒子2 向上偏转，
根据左手定则可知粒子2 应该带正电，A 正确、B 错误；C．由以上分析可知粒子1 为中子，则无论如何增
大磁感应强度，粒子1 都不会偏转，C 错误；D．粒子2 在磁场中洛伦兹力提供向心力有
，解得
，可知若增大粒子入射速度，则粒子2 的半径增大，粒子2 可能打在探测器上的Q 点，D 正确。
故选AD。
6．（2021·全国·高考真题）如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为
的带电粒子从圆周上的M 点沿直径
方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为
，离开磁场时
速度方向偏转
；若射入磁场时的速度大小为
，离开磁场时速度方向偏转
，不计重力，则
为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据题意做出粒子的圆心如图所示
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设圆形磁场区域的半径为R，根据几何关系有第一次的半径
，第二次的半径
，根据洛伦兹力
提供向心力有
，可得
，所以
。
故选B。
7．（2021·北京·高考真题）如图所示，在xOy 坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P 点以与
x 轴正方向成60的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y 轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为
q，OP = a。不计重力。根据上述信息可以得出（ ）
A．带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B．带电粒子在磁场中运动的速率
C．带电粒子在磁场中运动的时间
D．该匀强磁场的磁感应强度
【答案】A
【详解】粒子恰好垂直于y 轴射出磁场，做两速度的垂线交点为圆心
，轨迹如图所示
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A．由几何关系可知
，
，因圆心的坐标为
，则带电粒子在
磁场中运动的轨迹方程为
，故A 正确；BD．洛伦兹力提供向心力，有
，
解得带电粒子在磁场中运动的速率为
，因轨迹圆的半径
可求出，但磁感应强度
未知，则无法
求出带电粒子在磁场中运动的速率，故BD 错误；C．带电粒子圆周的圆心角为
，而周期为
，则带电粒子在磁场中运动的时间为
，因磁感应强度
未知，则运动时间
无法求得，故C 错误；
故选A。
8．（2021·海南·高考真题）（多选）如图，在平面直角坐标系
的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀
强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q 的相同粒子从y 轴上的
点，以相同的速
率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y 轴正方向的夹角为
。当
时，粒子垂直x 轴离开磁场。不计粒子的重力。则（ ）
A．粒子一定带正电
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B．当
时，粒子也垂直x 轴离开磁场
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O 点的最大距离为
【答案】ACD
【详解】A．根据题意可知粒子垂直
轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A 正确；
BC．当
时，粒子垂直
轴离开磁场，运动轨迹如图
粒子运动的半径为
，洛伦兹力提供向心力
，解得粒子入射速率
，
若
，粒子运动轨迹如图
根据几何关系可知粒子离开磁场时与
轴不垂直，B 错误，C 正确；D．粒子离开磁场距离
点距离最远时，
粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图
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根据几何关系可知
，解得
，D 正确。
故选ACD。
考向三 带电粒子在磁场中运动的多解问题
9．（2023·全国·高考真题）（多选）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P 点开有一个
小孔，过P 的横截面是以O 为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P 点沿PO 射入，然后与筒壁发生碰撞。
假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小
不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2 次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O 的连线
【答案】BD
【详解】D．假设粒子带负电，第一次从A 点和筒壁发生碰撞如图，
为圆周运动的圆心
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由几何关系可知
为直角，即粒子此时的速度方向为
，说明粒子在和筒壁碰撞时速度会反向，由
圆的对称性在其它点撞击同理，D 正确； A．假设粒子运动过程过O 点，则过P 点的速度的垂线和OP 连
线的中垂线是平行的不能交于一点确定圆心，由圆形对称性撞击筒壁以后的A 点的速度垂线和AO 连线的
中垂线依旧平行不能确定圆心，则粒子不可能过O 点，A 错误；B．由题意可知粒子射出磁场以后的圆心
组成的多边形应为以筒壁的内接圆的多边形，最少应为三角形如图所示
即撞击两次，B 正确；C．速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数会可能增多，粒子运动时间不
一定减少， C 错误。
故选BD。
10．（2022·湖北·高考真题）（多选）在如图所示的平面内，分界线SP 将宽度为L 的矩形区域分成两部分，
一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
大小均为B，SP 与磁场左右边界垂直。离子源从S 处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方
向垂直且与SP 成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р 点射出，设出射方向与入射方向的夹
角为θ，则离子的入射速度和对应θ 角的可能组合为（ ）
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A．
kBL，0°
B．
kBL，0°
C．kBL，60°
D．2kBL，60°
【答案】BC
【详解】若粒子通过下部分磁场直接到达P 点，如图
根据几何关系则有
，
，可得
，根据对称性可知出射速度与SP 成30°角向上，
故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°。当粒子上下均经历一次时，如图
因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有
，根据洛伦兹力提供向心力有
，可得
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，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。通过以上分析可
知当粒子从下部分磁场射出时，需满足
（n=1，2，3……）此时出射方向与入射方
向的夹角为θ=60°；当粒子从上部分磁场射出时，需满足
（n=1，2，3……）此时出射方
向与入射方向的夹角为θ=0°。故可知BC 正确，AD 错误。
故选BC。
11．（2023·浙江·高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy 平面
（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x 轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域存在磁感应强度
大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与
x 轴重合。位于
处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x 轴夹角为60°的正离子束，
沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
（2）若
，求能到达
处的离子的最小速度v2；
（3）若
，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在
范围，求进入第四
象限的离子数与总离子数之比η。
【答案】（1）
；
（2）
（3）60%
【详解】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系
解得r1=2L
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根据
解得
在磁场中运动的周期
运动时间
（2）若B2=2B1，根据
可知
粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2 与磁场边界夹角为α，由几何关系
解得r2=2L
根据
解得
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（3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x 轴，则由动量定理
即
求和可得
粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x 轴上的过程中
解得
则速度在
~
之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在
~
，又
粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为
η=60%
12．（2023·湖北·高考真题）如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy 平面向里的匀强磁场。
t= 0 时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y 轴正方向射入，第一次到达点O 时与运动到该点的带正电
粒子乙发生正碰。碰撞后，粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3 倍，粒子甲运动一个圆周时，粒子
乙刚好运动了两个圆周。己知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q。假设所有碰撞均为弹性正碰，
碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影响。求：
（1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小；
（2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小；
（3）
时刻粒子甲、乙的位置坐标，及从第一次碰撞到
的过程中粒子乙运动的路程。
（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可）
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）甲（－6a，0），乙（0，0），67πa
【详解】（1）由题知，粒子甲从点P（2a，0）沿y 轴正方向射入到达点O，则说明粒子甲的半径r=a
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根据
解得
（2）由题知，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周，则T 甲= 2T 乙
根据
，有
则
粒子甲、乙碰撞过程，取竖直向下为正有
mv 甲0＋m 乙v 乙0= －mv 甲1＋m 乙v 乙1
解得v 乙0= －5v 甲0，v 乙1= 3v 甲0
则第一次碰撞后粒子乙的速度大小为
。
（3）已知在
时，甲、乙粒子发生第一次碰撞且碰撞后有v 甲1= －3v 甲0，v 乙1= 3v 甲0
则根据
，可知此时乙粒子的运动半径为
可知在
时，甲、乙粒子发生第二次碰撞，且甲、乙粒子发生第一次碰撞到第二次碰撞过程中乙粒
子运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为S1= 6πa
且在第二次碰撞时有mv 甲1＋m 乙v 乙1=mv 甲2＋m 乙v 乙2
解得v 甲2=v 甲0，v 乙2= －5v 甲0
可知在
时，甲、乙粒子发生第三次碰撞，且甲、乙粒子发生第二次碰撞到第三次碰撞过程中乙粒
子运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为S2= 10πa
且在第三次碰撞时有mv 甲2＋m 乙v 乙2=mv 甲3＋m 乙v 乙3
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解得v 甲3= －3v 甲0，v 乙3= 3v 甲0
依次类推
在
时，甲、乙粒子发生第九次碰撞，且甲、乙粒子发生第八次碰撞到第九次碰撞过程中乙粒子
运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为S8= 10πa
且在第九次碰撞时有mv 甲8＋m 乙v 乙8=mv 甲9＋m 乙v 乙9
解得v 甲9=－3v 甲0，v 乙9= 3v 甲0
在
到
过程中，甲粒子刚好运动半周，且甲粒子的运动半径为r 甲1= 3a
则
时甲粒子运动到P 点即（－6a，0）处。
在
到
过程中，乙粒子刚好运动一周，则
时乙粒子回到坐标原点，且此过程中
乙粒子走过的路程为S0= 3πa
故整个过程中乙粒子走过总路程为S= 4 × 6πa＋4 × 10πa＋3πa= 67πa
13．（2022·浙江·高考真题）离子速度分析器截面图如图所示。半径为R 的空心转筒P，可绕过O 点、垂
直xOy 平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在
方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q 与y 轴交于A 点。离子
源M 能沿着x 轴射出质量为m、电荷量为 – q（q> 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离子
进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y 轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所
带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。
（1）①求磁感应强度B 的大小；
②若速度大小为v0的离子能打在板Q 的A 处，求转筒P 角速度ω 的大小；
（2）较长时间后，转筒P 每转一周有N 个离子打在板Q 的C 处，OC 与x 轴负方向的夹角为θ，求转
筒转动一周的时间内，C 处受到平均冲力F 的大小；
（3）若转筒P 的角速度小于
，且A 处探测到离子，求板Q 上能探测到离子的其他θ′的值（θ′为探
测点位置和O 点连线与x 轴负方向的夹角）。
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【答案】（1）①
，②
，k = 0，1，2，3…；（2）
，n = 0，
1，2，…；（3）
，
，
【详解】（1）①离子在磁场中做圆周运动有
则
②离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度
，k = 0，1，2，3…
（2）设速度大小为v 的离子在磁场中圆周运动半径为
，有
离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度ω′t′ = 2nπ + θ
转筒的转动角速度
，n = 0，1，2，…
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动量定理
，n = 0，1，2，…
（3）转筒的转动角速度
其中k = 1，
，n = 0，2 或者
可得
，
，
30
