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专题10 带电粒子在磁场运动
考点
十年考情（2015-2024）
命题趋势
考点1
（10 年10
考）
2024·重庆·高考真题、2024·湖北·高考真题、
2024·广西·高考真题、2023·北京·高考真题、
2023·全国·高考真题、2023·海南·高考真题、
2023·全国·高考真题、2023·福建·高考真题、
2023·天津·高考真题、2023·浙江·高考真题、
2023·湖北·高考真题、2022·北京·高考真题、
2022·广东·高考真题、2022·辽宁·高考真题、
2022·湖北·高考真题、2021·北京·高考真题、
2021·全国·高考真题、2021·海南·高考真题、
2021·湖北·高考真题、2021·湖南·高考真题、
2020·全国·高考真题、2020·天津·高考真题、
2020·北京·高考真题、2020·江苏·高考真题、
2020·浙江·高考真题、2019·北京·高考真题、
2019·全国·高考真题、2019·海南·高考真题、
2019·江苏·高考真题、2018·海南·高考真题、
2018·江苏·高考真题、2018·浙江·高考真题、
2017·全国·高考真题、2017·全国·高考真题、
2017·浙江·高考真题、2016·全国·高考真题、
2016·四川·高考真题、2016·海南·高考真题、
2016·浙江·高考真题、2015·广东·高考真题、
2015·全国·高考真题、2015·北京·高考真题、
2015·四川·高考真题
本章主要考查电流的磁效应、安
培力、带电粒子在磁场中运动的
问题，主要涉及各种电流产生的
磁场、安培力的大小和方向、带
电粒子在洛伦兹力作用下的运
动，主要体现在以下几方面:
(1)电流磁效应主要结合安培力的
大小和方向、静电力平衡、安培
力做功等问题考查。
(2)匀强磁场中带电粒子做圆周运
动，主要涉及群发粒子的收集比
例问题。
(3)带电粒子在复合场的运动主要
涉及叠加和不叠加两种形式，主
要考查轨迹多解问题和霍尔效
应、磁流体发电机等。
一、单选题
1．（2023·海南·高考真题）如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运
动和受力说法正确的是（ ）
A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B．小球运动过程中的速度不变
C．小球运动过程的加速度保持不变
D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功
【答案】A
1
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【详解】A．根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A 正确；
BC．小球受洛伦兹力和重力的作用，则小球运动过程中速度、加速度大小，方向都在变，BC 错误；
D．洛仑兹力永不做功，D 错误。
故选A。
2．（2022·北京·高考真题）正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷。在云室中有垂直于
纸面的匀强磁场，从P 点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图中1、2、3 所示。下列说法
正确的是（ ）
A．磁场方向垂直于纸面向里
B．轨迹1 对应的粒子运动速度越来越大
C．轨迹2 对应的粒子初速度比轨迹3 的大D．轨迹3 对应的粒子是正电子
【答案】A
【详解】AD．根据题图可知，1 和3 粒子绕转动方向一致，则1 和3 粒子为电子，2 为正电子，电子带负电
且顺时针转动，根据左手定则可知磁场方向垂直纸面向里，A 正确，D 错误；
B．电子在云室中运行，洛伦兹力不做功，而粒子受到云室内填充物质的阻力作用，粒子速度越来越小，B
错误；
C．带电粒子若仅在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可知
解得粒子运动的半径为
根据题图可知轨迹3 对应的粒子运动的半径更大，速度更大，粒子运动过程中受到云室内物质的阻力的情
况下，此结论也成立，C 错误。
故选A。
3．（2024·广西·高考真题）
坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂
直纸面向里。质量为m，电荷量为
的粒子，以初速度v 从O 点沿x 轴正向开始运动，粒子过y 轴时速度
与y 轴正向夹角为
，交点为P。不计粒子重力，则P 点至O 点的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
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【答案】C
【详解】粒子运动轨迹如图所示
在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有
可得粒子做圆周运动的半径
根据几何关系可得P 点至O 点的距离
故选C。
4．（2024·湖北·高考真题）如图所示，在以O 点为圆心、半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强
磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、
电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC 方向从A 点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是
（ ）
A．粒子的运动轨迹可能经过O 点
B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C．粒子连续两次由A 点沿AC 方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D．若粒子从A 点射入到从C 点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为
【答案】D
【详解】AB．在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出的；根据圆的特点可知粒子
的运动轨迹不可能经过O 点，故AB 错误；
C．粒子连续两次由A 点沿AC 方向射入圆形区域，时间最短则根据对称性可知轨迹如图
3
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则最短时间有
故C 错误；
D．粒子从A 点射入到从C 点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图所示
设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知
根据洛伦兹力提供向心力有
可得
故D 正确。
故选D。
5．（2016·全国·高考真题）平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM
上方存在匀强磁场、磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q
（q>0），沿纸面以大小为v 的速度从OM 上的某点向左上方射入磁场，速度方向与OM 成30°角，已知该
粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场，不计重力。则粒子离开磁场
时的出射点到两平面交线O 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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【答案】D
【详解】带电粒子在磁场中做圆周运动洛伦兹力提供向心力，所以
根据题意，轨迹与ON 相切，画出粒子的运动轨迹如图所示
由于
故△AO′D 为等边三角形，∠O′DA=60°，而∠MON=30°，则∠OCD=90°，故CO′D 为一直线，则
故选D。
6．（2023·北京·高考真题）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一
内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（
）。带电粒子束持续以某一速度v 沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，
与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为
，不
计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a
B．粒子质量为
C．管道内的等效电流为
D．粒子束对管道的平均作用力大小为
【答案】C
【详解】A．带正电的粒子沿轴线射入，然后垂直打到管壁上，可知粒子运动的圆弧半径为
r=a
故A 正确，不符合题意；
B．根据
5
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可得粒子的质量
故B 正确，不符合题意；
C．管道内的等效电流为
单位体积内电荷数为
则
故C 错误，符合题意；
D．由动量定理可得
粒子束对管道的平均作用力大小
联立解得
故D 正确，不符合题意。
故选C。
7．（2023·全国·高考真题）如图，一磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy 平面）向里，
磁场右边界与x 轴垂直。一带电粒子由O 点沿x 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，粒子离开
磁场后，沿直线运动打在垂直于x 轴的接收屏上的P 点；SP = l，S 与屏的距离为
，与x 轴的距离为a。
如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入射后则会沿x 轴到达
接收屏。该粒子的比荷为（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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【答案】A
【详解】由题知，一带电粒子由O 点沿x 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，
则根据几何关系可知粒子出离磁场时速度方向与竖直方向夹角为30°，则
解得粒子做圆周运动的半径
r = 2a
则粒子做圆周运动有
则有
如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入射后则会沿x 轴到达
接收屏，则有
Eq = qvB
联立有
故选A。
8．（2017·全国·高考真题）如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边
界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同方向射入磁场，若粒子射入的
速率为
，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为
，相应的出射点分
布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
7
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【详解】设圆形区域磁场的半径为r，当速度为v1时，从P 点入射磁场的粒子出磁场时与磁场边界的最远
交点与入射点之间的距离等于该粒子做圆周运动的直径，出射点分布在六分之一圆周上，如图所示
根据几何知识可知轨迹圆的半径为
根据洛伦兹力提供向心力有
解得
当速度为v2时，从P 点入射磁场的粒子出磁场时与磁场边界的最远交点与入射点之间的距离等于该粒子做
圆周运动的直径，出射点分布在三分之一圆周上，如图所示
根据几何知识可知轨迹圆的半径为
根据洛伦兹力提供向心力有
解得
则有
故C 正确，ABD 错误。
故选C。
9．（2022·广东·高考真题）如图所示，一个立方体空间被对角平面
划分成两个区域，两区域分布有
8
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磁感应强度大小相等、方向相反且与z 轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直
平面
进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】AB．由题意知当质子射出后先在MN 左侧运动，刚射出时根据左手定则可知在MN 受到y 轴正方
向的洛伦兹力，即在MN 左侧会向y 轴正方向偏移，做匀速圆周运动，y 轴坐标增大；在MN 右侧根据左手
定则可知洛伦兹力反向，质子在y 轴正方向上做减速运动，故A 正确，B 错误；
CD．根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy 平面的洛伦兹力作用，在z 轴方向上没
有运动，z 轴坐标不变，故CD 错误。
故选A。
10．（2016·全国·高考真题）一圆筒处于磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒
的横截面如图所示。图中直径MN 的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω 顺时针转动。在该截面
内，一带电粒子从小孔M 射入筒内，射入时的运动方向与MN 成30°角。当筒转过90°时，该粒子恰好从小
孔N 飞出圆筒，不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为（ ）
A．
B．
C．
D．
9
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【答案】A
【详解】由题可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示
由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的圆弧所对的圆心角为30°，因此粒子在磁场中运动的时间为
粒子在磁场中运动的时间与筒转过90°所用的时间相等，即
解得
故选A。
11．（2021·北京·高考真题）如图所示，在xOy 坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P 点以
与x 轴正方向成60的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y 轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为
q，OP = a。不计重力。根据上述信息可以得出（ ）
A．带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B．带电粒子在磁场中运动的速率
C．带电粒子在磁场中运动的时间
D．该匀强磁场的磁感应强度
【答案】A
【详解】粒子恰好垂直于y 轴射出磁场，做两速度的垂线交点为圆心
，轨迹如图所示
10
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A．由几何关系可知
因圆心的坐标为
，则带电粒子在磁场中运动的轨迹方程为
故A 正确；
BD．洛伦兹力提供向心力，有
解得带电粒子在磁场中运动的速率为
因轨迹圆的半径
可求出，但磁感应强度
未知，则无法求出带电粒子在磁场中运动的速率，故BD 错误；
C．带电粒子圆周的圆心角为
，而周期为
则带电粒子在磁场中运动的时间为
因磁感应强度
未知，则运动时间无法求得，故C 错误；
故选A。
12．（2021·全国·高考真题）如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为
的带电粒子从圆周上的M 点沿直径
方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为
，离开磁场时
速度方向偏转
；若射入磁场时的速度大小为
，离开磁场时速度方向偏转
，不计重力，则
为（
）
11
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据题意做出粒子的圆心如图所示
设圆形磁场区域的半径为R，根据几何关系有第一次的半径
第二次的半径
根据洛伦兹力提供向心力有
可得
所以
故选B。
13．（2020·全国·高考真题）真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a 的同轴圆柱面，磁
场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v 的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子
质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应
强度最小为（ ）
12
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力
则磁感应强度与圆周运动轨迹关系为
即运动轨迹半径越大，磁场的磁感应强度越小。令电子运动轨迹最大的半径为
，为了使电子的运动被
限制在图中实线圆围成的区域内，其最大半径的运动轨迹与实线圆相切，如图所示
A 点为电子做圆周运动的圆心，电子从圆心沿半径方向进入磁场，由左手定则可得，
， ΔABO
为直角三角形，则由几何关系可得
解得
解得磁场的磁感应强度最小值
故选C。
14．（2020·全国·高考真题）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线
所示，
为半圆，ac、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q
（q>0）的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。
在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
13
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动
，
可得粒子在磁场中的周期
T = 2πm
qB
粒子在磁场中运动的时间
则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长；过点做半圆的切线交
于点，如图所示
由图可知，粒子从点离开时，轨迹对应的圆心角最大，在磁场中运动时间最长；由图中几何关系可知，
此时轨迹对应的最大圆心角为
则粒子在磁场中运动的最长时间为
故选C。
15．（2019·北京·高考真题）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场．一带电粒子垂直磁场边
界从a 点射入，从b 点射出．下列说法正确的是
A．粒子带正电
B．粒子在b 点速率大于在a 点速率
14
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C．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b 点右侧射出
D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短
【答案】C
【详解】由左手定则确粒子的电性，由洛伦兹力的特点确定粒子在b、a 两点的速率，根据
确定
粒子运动半径和运动时间．
由题可知，粒子向下偏转，根据左手定则，所以粒子应带负电，故A 错误；由于洛伦兹力不做功，所以粒
子动能不变，即粒子在b 点速率与a 点速率相等，故B 错误；若仅减小磁感应强度，由公式
得：
，所以磁感应强度减小，半径增大，所以粒子有可能从b 点右侧射出，故C 正确，若仅减小入射速
率，粒子运动半径减小，在磁场中运动的偏转角增大，则粒子在磁场中运动时间一定变长，故D 错误．
16．（2019·全国·高考真题）如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为
和B、方
向均垂直于纸面向外的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子垂直于x 轴射入第二象限，随后
垂直于y 轴进入第一象限，最后经过x 轴离开第一象限．粒子在磁场中运动的时间为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】运动轨迹如图:
即运动由两部分组成,第一部分是
个周期,第二部分是
个周期, 粒子在第二象限运动转过的角度为90°，
则运动的时间为
；粒子在第一象限转过的角度为60°，则运动的时间为
；则粒子在磁场中运动的时间为：
，故B 正确，ACD 错
误．
17．（2019·全国·高考真题）如图，边长为l 的正方形abcd 内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂
15
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直于纸面（abcd 所在平面）向外．ab 边中点有一电子发源O，可向磁场内沿垂直于ab 边的方向发射电子．
已知电子的比荷为k．则从a、d 两点射出的电子的速度大小分别为
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【详解】a 点射出粒子半径Ra=
=
，得：va=
=
，
d 点射出粒子半径为
，R=
故vd=
=
，故B 选项符合题意
18．（2015·广东·高考真题）在同一匀强磁场中，α 粒子（❑2
4He）和质子（
）做匀速圆周运动，若它们
的动量大小相等，则α 粒子和质子
A．运动半径之比是2 1∶
B．运动周期之比是2 1∶
C．运动速度大小之比是4 1∶
D．受到的洛伦兹力之比是2 1∶
【答案】B
【详解】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，根据洛伦兹力大小计算公式和向心
力公式有
qvB＝
解得其运动半径为
16
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r＝
由题意可知
mαvα＝mHvH，
所以有：
＝
＝
，
＝
＝
，
＝
＝
根据匀速圆周运动参量间关系有
T＝
解得
T＝
所以有
＝
＝
故选B。
19．（2015·全国·高考真题）两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行。一速度方向与磁感
应强度方向垂直的带电粒子（不计重力），从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的（ ）
A．轨道半径减小，角速度增大
B．轨道半径减小，角速度减小
C．轨道半径增大，角速度增大
D．轨道半径增大，角速度减小
【答案】D
【详解】由于磁场方向与速度方向垂直，粒子只受到洛伦兹力作用，即
轨道半径
洛伦兹力不做功，从较强到较弱磁场区域后，速度大小不变，但磁感应强度变小，轨道半径变大，根据角
速度
可知角速度减小。
故选D。
20．（2016·四川·高考真题）如图所示，正六边形abcdef 区域内有垂直于纸面的匀强磁场．一带正电的粒
子从f 点沿fd 方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b 点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速
17
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度大小为vc时，从c 点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力．则
A．vb:vc=1:2，tb:tc=2:1
B．vb:vc=2:2，tb:tc=1:2
C．vb:vc=2:1，tb:tc=2:1
D．vb:vc=1:2，tb:tc=1:2
【答案】A
【详解】试题分析：设正六边形边长为L，若粒子从b 点离开磁场，可知运动的半径为R1=L，在磁场中转
过的角度为θ1=1200；若粒子从c 点离开磁场，可知运动的半径为R2=2L，在磁场中转过的角度为θ2=600，根
据
可知vb:vc=R1：R2=1:2；根据
可知，tb:tc=θ1：θ2=2:1，故选A．
考点：带电粒子在匀强磁场中的运动
【名师点睛】此题考查了带电粒子在匀强磁场中的运动；做此类型的习题，关键是画出几何轨迹图，找出
半径关系及偏转的角度关系；注意粒子在同一磁场中运动的周期与速度是无关的；记住两个常用的公式：
和
．
21．（2015·北京·高考真题）实验观察到，静止在匀强磁场中A 点的原子核发生β 衰变，衰变产生的新核
与电子恰在纸面内做匀速圆周运动，运动方向和轨迹示意如图．则（ ）
A．轨迹1 是电子的，磁场方向垂直纸面向外
B．轨迹2 是电子的，磁场方向垂直纸面向外
C．轨迹1 是新核的，磁场方向垂直纸面向里
D．轨迹2 是新核的，磁场方向垂直纸面向里
【答案】D
【详解】静止的核发生
衰变（
）由内力作用，满足动量守恒，则新核
和电子的动量等
大反向，垂直射入匀强磁场后均做匀速圆周运动，由
可知
，则两个新核的运动半径与电
量成反比，即
，则新核为小圆，电子为大圆；而新核带正电，电子带负电，由左手定则可知磁场
方向垂直纸面向里，选项D 正确．
18
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二、多选题
22．（2023·全国·高考真题）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P 点开有一个小孔，
过P 的横截面是以O 为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P 点沿PO 射入，然后与筒壁发生碰撞。假设
粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、
方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2 次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O 的连线
【答案】BD
【详解】D．假设粒子带负电，第一次从A 点和筒壁发生碰撞如图，
为圆周运动的圆心
由几何关系可知
为直角，即粒子此时的速度方向为
，说明粒子在和筒壁碰撞时速度会反向，由
圆的对称性在其它点撞击同理，D 正确；
A．假设粒子运动过程过O 点，则过P 点的速度的垂线和OP 连线的中垂线是平行的不能交于一点确定圆心，
由圆形对称性撞击筒壁以后的A 点的速度垂线和AO 连线的中垂线依旧平行不能确定圆心，则粒子不可能
过O 点，A 错误；
B．由题意可知粒子射出磁场以后的圆心组成的多边形应为以筒壁的内接圆的多边形，最少应为三角形如
图所示
即撞击两次，B 正确；
C．速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数会可能增多，粒子运动时间不一定减少， C 错误。
故选BD。
19
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23．（2022·辽宁·高考真题）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆
区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P 点沿径向射入磁场，粒子1 沿直线通
过磁场区域后打在探测器上的M 点。粒子2 经磁场偏转后打在探测器上的N 点。装置内部为真空状态，忽
略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子1 可能为中子
B．粒子2 可能为电子
C．若增大磁感应强度，粒子1 可能打在探测器上的Q 点
D．若增大粒子入射速度，粒子2 可能打在探测器上的Q 点
【答案】AD
【详解】AB．由题图可看出粒子1 没有偏转，说明粒子1 不带电，则粒子1 可能为中子；粒子2 向上偏转，
根据左手定则可知粒子2 应该带正电，A 正确、B 错误；
C．由以上分析可知粒子1 为中子，则无论如何增大磁感应强度，粒子1 都不会偏转，C 错误；
D．粒子2 在磁场中洛伦兹力提供向心力有
解得
可知若增大粒子入射速度，则粒子2 的半径增大，粒子2 可能打在探测器上的Q 点，D 正确。
故选AD。
24．（2022·湖北·高考真题）在如图所示的平面内，分界线SP 将宽度为L 的矩形区域分成两部分，一部分
充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均
为B，SP 与磁场左右边界垂直。离子源从S 处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直
且与SP 成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р 点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，
则离子的入射速度和对应θ 角的可能组合为（ ）
A．
kBL，0°
B．
kBL，0°
C．kBL，60°
D．2kBL，60°
20
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【答案】BC
【详解】若粒子通过下部分磁场直接到达P 点，如图
根据几何关系则有
可得
根据对称性可知出射速度与SP 成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°。
当粒子上下均经历一次时，如图
因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有
根据洛伦兹力提供向心力有
可得
此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。
通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足
（n=1，2，3……）
此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；
当粒子从上部分磁场射出时，需满足
21
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（n=1，2，3……）
此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。
故可知BC 正确，AD 错误。
故选BC。
25．（2021·海南·高考真题）如图，在平面直角坐标系
的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，
磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q 的相同粒子从y 轴上的
点，以相同的速率在纸面
内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y 轴正方向的夹角为
。当
时，粒子
垂直x 轴离开磁场。不计粒子的重力。则（ ）
A．粒子一定带正电
B．当
时，粒子也垂直x 轴离开磁场
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O 点的最大距离为
【答案】ACD
【详解】A．根据题意可知粒子垂直
轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A 正确；
BC．当
时，粒子垂直
轴离开磁场，运动轨迹如图
粒子运动的半径为
洛伦兹力提供向心力
解得粒子入射速率
22
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若
，粒子运动轨迹如图
根据几何关系可知粒子离开磁场时与
轴不垂直，B 错误，C 正确；
D．粒子离开磁场距离
点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图
根据几何关系可知
解得
D 正确。
故选ACD。
26．（2021·湖北·高考真题）一电中性微粒静止在垂直纸面向里的匀强磁场中，在某一时刻突然分裂成a、
b 和c 三个微粒，a 和b 在磁场中做半径相等的匀速圆周运动，环绕方向如图所示，c 未在图中标出。仅考
虑磁场对带电微粒的作用力，下列说法正确的是（ ）
A．a 带负电荷
B．b 带正电荷
C．c 带负电荷
D．a 和b 的动量大小一定相等
【答案】BC
【详解】ABC．由左手定则可知， 粒子a、粒子b 均带正电，电中性的微粒分裂的过程中，总的电荷量应
保持不变，则粒子c 应带负电，A 错误，BC 正确；
D．粒子在磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，即
23
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解得
由于粒子a 与粒子b 的质量、电荷量大小关系未知，则粒子a 与粒子b 的动量大小关系不确定，D 错误。
故选BC。
27．（2020·天津·高考真题）如图所示，在Oxy 平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大
小为B 的匀强磁场。一带电粒子从y 轴上的M 点射入磁场，速度方向与y 轴正方向的夹角
。粒子经
过磁场偏转后在N 点（图中未画出）垂直穿过x 轴。已知
，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。
则（ ）
A．粒子带负电荷
B．粒子速度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D．N 与O 点相距
【答案】AD
【详解】A．粒子向下偏转，根据左手定则判断洛伦兹力，可知粒子带负电，A 正确；
BC．粒子运动的轨迹如图
由于速度方向与y 轴正方向的夹角
，根据几何关系可知
，
则粒子运动的轨道半径为
洛伦兹力提供向心力
解得
BC 错误；
D．
与
点的距离为
24
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D 正确。
故选AD。
28．（2019·海南·高考真题）如图，虚线MN 的右侧有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，两电荷量相同的粒
子P、Q 从磁场边界的M 点先后射入磁场，在纸面内运动。射入磁场时，P 的速度
垂直于磁场边界，Q
的速度
与磁场边界的夹角为45°。已知两粒子均从N 点射出磁场，且在磁场中运动的时间相同，则（
）
A．P 和Q 的质量之比为1：2
B．P 和Q 的质量之比为
C．P 和Q 速度大小之比为
D．P 和Q 速度大小之比为2：1
【答案】AC
【详解】设MN=2R，则对粒子P 的半径为R，根据洛伦兹力提供向心力，整理有
对粒子Q 的半径为
R，根据洛伦兹力提供向心力，整理有
又两粒子的运动时间相同，则
，
即
解得
，
故AC 正确，BD 错误。
故选AC。
29．（2015·全国·高考真题）有两个匀强磁场区域I 和 II，I 中的磁感应强度是II 中的k 倍，两个速率相同的
电子分别在两磁场区域做圆周运动，与I 中运动的电子相比，II 中的电子（ ）
A．运动轨迹的半径是I 中的k 倍
B．加速度的大小是I 中的k 倍
25
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C．做圆周运动的周期是I 中的k 倍
D．做圆周运动的角速度是I 中的k 倍
【答案】AC
【详解】A．设Ⅱ中的磁感应强度为B，则Ⅰ中的磁感应强度为kB，根据洛伦兹力提供向心力，则有
解得
可知，Ⅰ中的电子运动轨迹的半径为
，Ⅱ中的电子运动轨迹的半径为
，所以Ⅱ中的电子运
动轨迹的半径是Ⅰ中的k 倍，故A 正确；
B．电子在磁场运动的洛伦兹力作为向心力，所以电子的加速度的大小为
所以Ⅰ中的电子加速度的大小为
Ⅱ中的电子加速度的大小为
所以Ⅱ的电子的加速度大小是Ⅰ中的
倍，故B 错误；
C．根据电子在磁场中运动的周期公式T = 2πm
qB 可知，Ⅰ中的电子运动周期为
，Ⅱ中的电子运动
周期为
，所以Ⅱ中的电子运动轨迹的周期是Ⅰ中的k 倍，故C 正确；
D．做圆周运动的角速度
，所以Ⅰ中的电子运动角速度为
，Ⅱ中的电子运动角速度为
，在Ⅱ的电子做圆周运动的角速度是Ⅰ中的
倍，故D 错误。
故选AC。
30．（2015·四川·高考真题）如图所示，S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN 垂直于
纸面，在纸面内的长度L=9.1cm，中点O 与S 间的距离d＝4.55cm，MN 与SO 直线的夹角为θ，板所在平面
有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0×10－4T，电子质量m＝9.1×10－
31kg，电荷量e＝－1.6×10－19C，不计电子重力．电子源发射速度v＝1.6×106m/s 的一个电子，该电子打在板
上可能位置的区域的长度为l，则
26
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A．θ＝90°时，l＝9.1cm
B．θ＝60°时，l＝9.1cm
C．θ＝45°时，l＝4.55cm
D．θ＝30°时，l＝4.55cm
【答案】AD
【详解】解：由洛仑兹力充当向心力可得；
Bqv=m
解得：R=
=
=0.0455m=4.55cm；
所有粒子的圆心组成以S 为圆心，R 为半径的圆；电子出现的区域为以S 为圆心，以9.1cm 半径的圆形区域
内，如图中大圆所示；
故当θ=90°时，纸板MN 均在该区域内，故l=9.1cm；当θ=30°时，l=4.55cm；故AD 正确，BC 错误；
故选AD．
【点评】本题考查带电粒子充当向心力的运动规律，解题的关键问题在于明确粒子运动的圆心和半径，进
而明确所有粒子可能出现的空间．
三、解答题
31．（2024·重庆·高考真题）有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为
的带正点的粒子，由固
定于M 点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN 方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN
上方的K 点，O 在MN 上，且KO 垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂
直于纸面向里的匀强磁场，速率为v0的粒子运动到O 点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重
点，忽略磁场突变的影响。
(1)求OK 间的距离；
(2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO 间的距离；
(3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计
时O 点。求打开磁场的那一时刻。
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【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）（1）当粒子到达О 点时打开磁场开关，粒子做匀速圆周运动，设轨迹半径为r1，如图所示
由洛伦兹力提供向心力得
其中
（2）速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，则粒子在磁场中运动的轨迹半径
r2 = 4r1
如图所示，由几何关系有
（4r1-2r1）
2＋MO2 = (4r1)2
解得
（3）速率为4v0的粒子射出一段时间t 到达N 点，要使粒子仍然经过K 点，则N 点在O 点右侧，如图所示
由几何关系有
（4r1-2r1）
2＋ON2 = (4r1)2
解得
粒子在打开磁场开关前运动时间为
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解得
32．（2023·福建·高考真题）阿斯顿（F．Aston）借助自己发明的质谱仪发现了氖等元素的同位素而获得诺
贝尔奖，质谱仪分析同位素简化的工作原理如图所示。在
上方存在一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感
应强度大小为B。两个氖离子在O 处以相同速度v 垂直磁场边界入射，在磁场中发生偏转，分别落在M 和
N 处。已知某次实验中，
，落在M 处氖离子比荷（电荷量和质量之比）为
；P、O、M、N、P 在同一直线上；离子重力不计。
（1）求OM 的长度；
（2）若ON 的长度是OM 的1.1 倍，求落在N 处氖离子的比荷。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子进入磁场，洛伦兹力提供圆周运动的向心力则有
整理得
OM 的长度为
（2）若ON 的长度是OM 的1.1 倍，则ON 运动轨迹半径为OM 运动轨迹半径1.1 倍，根据洛伦兹力提供向
心力得
整理得
33．（2023·天津·高考真题）科学研究中可以用电场和磁场实现电信号放大，某信号放大装置示意如图，
其主要由阴极、中间电极(电极1,电极2, …,电极n)和阳极构成，该装置处于匀强磁场中,各相邻电极存在电
势差。由阴极发射的电子射入电极1,激发出更多的电子射入电极2,依此类推,电子数逐级增加,最终被阳极收
集,实现电信号放大。图中所有中间电极均沿x 轴放置在xOz 平面内,磁场平行于z 轴，磁感应强度的大小为
B。已知电子质量为m,电荷量为e。忽略电子间的相互作用力，不计重力。
29
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（1）若电极间电势差很小可忽略,从电极1 上O 点激发出多个电子，它们的初速度方向与y 轴的正方向夹
角均为
，其中电子a、b 的初速度分别处于xOy 、yOz 平面的第一象限内，并都能运动到电极2。
（i）试判断磁场方向；
（ii）分别求出a 和b 到达电极2 所用的时间
和
；
（2）若单位时间内由阴极发射的电子数保持稳定,阴极、中间电极发出的电子全部到达下一相邻电极。设
每个射入中间电极的电子在该电极上激发出
个电子,
，U 为相邻电极间电势差。试定性画出阳极收
集电子而形成的电流I 和U 关系的图像,并说明理由
【答案】（1）（ⅰ）沿z 轴反方向；（ⅱ）
，
（2）见解析
【详解】（1）（ⅰ）a 电子，初速度方向在xoy 平面内，与y 轴正方向成θ 角；若磁场方向沿z 轴正方向，
a 电子在洛伦兹力作用下向x 轴负方向偏转，不符合题题意；若磁场方向沿z 轴反方向，a 电子在洛伦兹力
作用下向x 轴正方向偏转，符合题意；
b 电子，初速度方向在zoy 平面内，与y 轴正方向成θ 角。将b 电子初速度沿坐标轴分解，沿z 轴的分速度
与磁感线平行不受力，沿y 轴方向的分速度受到洛伦兹力使得电子沿x 轴正方向偏转，根据左手定则可知，
磁场方向沿z 轴反方向。符合题意；
综上可知，磁感应强度B 的方向沿z 轴反方向。
（ⅱ）a 电子在洛伦兹力作用下运动轨迹如图
由图可知电子运动到下一个极板的时间
b 电子，沿z 轴的分速度与磁感线平行不受力，对应匀速直线运动；
沿y 轴方向的分速度受到洛伦兹力使电子向右偏转，电子运动半个圆周到下一个极板的时间
（2）设
，单位时间内阴极逸出的电子数量N0不变，每个电子打到极板上可以激发δ 个电子，经过
n 次激发阳极处接收电子数量
30
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对应的电流
可得I-U 图像如图
34．（2023·浙江·高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy 平面
（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x 轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强
度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界
与x 轴重合。位于
处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x 轴夹角为60°的正离子
束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
（2）若
，求能到达
处的离子的最小速度v2；
（3）若
，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在
范围，求进入第四象限
的离子数与总离子数之比η。
【答案】（1）
；
（2）
（3）60%
【详解】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系
解得
r1=2L
根据
解得
在磁场中运动的周期
31
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运动时间
（2）若B2=2B1，根据
可知
粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系
解得
r2=2L
根据
解得
（3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x 轴，则由动量定理
即
求和可得
粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x 轴上的过程中
32
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解得
则速度在
~
之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在
~
，又
粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为
η=60%
35．（2023·湖北·高考真题）如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy 平面向里的匀强磁场。
t = 0 时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y 轴正方向射入，第一次到达点O 时与运动到该点的带正
电粒子乙发生正碰。碰撞后，粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3 倍，粒子甲运动一个圆周时，粒
子乙刚好运动了两个圆周。已知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q。假设所有碰撞均为弹性正
碰，碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影响。求：
（1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小；
（2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小；
（3）
时刻粒子甲、乙的位置坐标，及从第一次碰撞到
的过程中粒子乙运动的路程。
（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可）
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）甲（－6a，0），乙（0，0），67πa
【详解】（1）由题知，粒子甲从点P（2a，0）沿y 轴正方向射入到达点O，则说明粒子甲的半径
r = a
根据
解得
（2）由题知，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周，则
T 甲 = 2T 乙
根据
，有
33
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则
粒子甲、乙碰撞过程，取竖直向下为正有
mv 甲0＋m 乙v 乙0= －mv 甲1＋m 乙v 乙1
解得
v 乙0= －5v 甲0，v 乙1= 3v 甲0
则第一次碰撞后粒子乙的速度大小为
。
（3）已知在
时，甲、乙粒子发生第一次碰撞且碰撞后有
v 甲1= －3v 甲0，v 乙1= 3v 甲0
则根据
，可知此时乙粒子的运动半径为
可知在
时，甲、乙粒子发生第二次碰撞，且甲、乙粒子发生第一次碰撞到第二次碰撞过程中乙粒
子运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为
S1= 6πa
且在第二次碰撞时有
mv 甲1＋m 乙v 乙1= mv 甲2＋m 乙v 乙2
解得
v 甲2= v 甲0，v 乙2= －5v 甲0
可知在
时，甲、乙粒子发生第三次碰撞，且甲、乙粒子发生第二次碰撞到第三次碰撞过程中乙粒
子运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为
S2= 10πa
且在第三次碰撞时有
mv 甲2＋m 乙v 乙2= mv 甲3＋m 乙v 乙3
34
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解得
v 甲3= －3v 甲0，v 乙3= 3v 甲0
依次类推
在
时，甲、乙粒子发生第九次碰撞，且甲、乙粒子发生第八次碰撞到第九次碰撞过程中乙粒子运
动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为
S8= 10πa
且在第九次碰撞时有
mv 甲8＋m 乙v 乙8= mv 甲9＋m 乙v 乙9
解得
v 甲9=－3v 甲0，v 乙9= 3v 甲0
在
到
过程中，甲粒子刚好运动半周，且甲粒子的运动半径为
r 甲1 = 3a
则
时甲粒子运动到P 点即（－6a，0）处。
在
到
过程中，乙粒子刚好运动一周，则
时乙粒子回到坐标原点，且此过程中
乙粒子走过的路程为
S0 = 3πa
故整个过程中乙粒子走过总路程为
S = 4 × 6πa＋4 × 10πa＋3πa = 67πa
36．（2021·湖南·高考真题）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流
（每个粒子的质量为
、电荷量为
）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。
对处在
平面内的粒子，求解以下问题。
（1）如图（a），宽度为
的带电粒子流沿
轴正方向射入圆心为
、半径为
的圆形匀强磁场中，
若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点
，求该磁场磁感应强度
的大小；
（2）如图（a），虚线框为边长等于
的正方形，其几何中心位于
。在虚线框内设计一个区域
面积最小的匀强磁场，使汇聚到
点的带电粒子流经过该区域后宽度变为
，并沿
轴正方向射出。求该
磁场磁感应强度
的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；
（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于
的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于
的正方形。在Ⅰ、
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Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为
的带电粒子流沿
轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ
后汇聚到坐标原点
，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为
，并沿
轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控
束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过
程）。
【答案】（1）
；（2）
，垂直与纸面向里，
；（3）
，
，
，
【详解】（1）粒子垂直
进入圆形磁场，在坐标原点
汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在磁场中运动的
半径等于圆形磁场的半径
，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力
解得
（2）粒子从
点进入下方虚线区域，若要从聚焦的
点飞入然后平行
轴飞出，为磁发散的过程，即粒子
在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图所示，图中圆形磁场即为最小的
匀强磁场区域
磁场半径为r2，根据
可知磁感应强度为
根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为
（3）粒子在磁场中运动，3 和4 为粒子运动的轨迹圆，1 和2 为粒子运动的磁场的圆周
36
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根据
可知I 和III 中的磁感应强度为
，
图中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状，取I 区域如图
图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周
与三角形
之差，所以阴影部分的面积为
类似地可知IV 区域的阴影部分面积为
根据对称性可知II 中的匀强磁场面积为
37．（2020·北京·高考真题）如图甲所示，真空中有一长直细金属导线
，与导线同轴放置一半径为
的
金属圆柱面。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，已知电子质量为
，电荷量为。不考虑出射电
子间的相互作用。
(1)可以用以下两种实验方案测量出射电子的初速度：
a.在柱面和导线之间，只加恒定电压；
b.在柱面内，只加与
平行的匀强磁场。
当电压为
或磁感应强度为
时，刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速度
。
(2)撤去柱面，沿柱面原位置放置一个弧长为
、长度为
的金属片，如图乙所示。在该金属片上检测到出
射电子形成的电流为
，电子流对该金属片的压强为
。求单位长度导线单位时间内出射电子的总动能。
37
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【答案】（1）a.
，b.
；（2）
【详解】（1）a.在柱面和导线之间，只加恒定电压
，粒子刚好没有电子到达柱面，此时速度为零，根
据动能定理有
解得
b.在柱面内，只加与
平行的匀强磁场，磁感应强度为
时，刚好没有电子到达柱面，设粒子的偏转半
径为r，根据几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力，则有
解得
（2）撤去柱面，设单位时间单位长度射出的电子数为n，则单位时间打在金属片的粒子数
金属片上形成电流为
所以
根据动量定理得金属片上的压强为
解得
38
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故总动能为
38．（2020·江苏·高考真题）空间存在两个垂直于
平面的匀强磁场，y 轴为两磁场的边界，磁感应强度
分别为
、
。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O 沿x 轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1 次、
第2 次经过y 轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q 时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质
量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q 到O 的距离d；
(2)甲两次经过P 点的时间间隔Δt；
(3)乙的比荷
可能的最小值。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由
得，
，
Q、O 的距离为：
(2)由(1)可知，完成一周期运动上升的距离为d，粒子再次经过P，经过N 个周期，
所以，再次经过P 点的时间为
由匀速圆周运动的规律得
，
绕一周的时间为
39
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所以，再次经过P 点的时间为
两次经过P 点的时间间隔为
(3)由洛伦兹力提供向心力，由
得，
，
完成一周期运动上升的距离
若乙粒子从第一象限进入第二象限的过程中与甲粒子在Q 点相遇，则
，
结合以上式子，n 无解。
若乙粒子从第二象限进入第一象限的过程中与甲离子在Q 点相遇，则
，
计算可得
（n=1，2，3……）
由于甲乙粒子比荷不同，则n=2 时，乙的比荷
最小，为
39．（2020·浙江·高考真题）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形
、
方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，探测板
平行于
水平放置，能沿竖直方向缓慢
移动且接地。a、b、c 三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界
水平射入
磁场，b 束中的离子在磁场中沿半径为R 的四分之一圆弧运动后从下边界
竖直向下射出，并打在探测板
的右边缘D 点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为
，探测板
的宽度为
，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
（1）求离子速度v 的大小及c 束中的离子射出磁场边界
时与H 点的距离s；
（2）求探测到三束离子时探测板与边界
的最大距离
；
（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F 与板到
距离L
的关系。
40
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【答案】（1）
，0.8R；（2）
；（3）当
时：
；当
时：
；当
时：
【详解】（1）离子在磁场中做圆周运动
得粒子的速度大小
令c 束中的离子运动轨迹对应的圆心为O，从磁场边界
边的Q 点射出，则由几何关系可得
，
（2）a 束中的离子运动轨迹对应的圆心为O’，从磁场边界
边射出时距离H 点的距离为x，由几何关系
可得
即a、c 束中的离子从同一点Q 射出，离开磁场的速度分别于竖直方向的夹角为
、
，由几何关系可得
探测到三束离子，则c 束中的离子恰好达到探测板的D 点时，探测板与边界
的距离最大
则
（3）a 或c 束中每个离子动量的竖直分量
41
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当
时所有离子都打在探测板上，故单位时间内离子束对探测板的平均作用力为
当
时，只有a 和b 束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为
当
时，只有b 束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为
40．（2020·全国·高考真题）如图，在0≤x≤h，
区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应
强度B 的大小可调，方向不变。一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x 轴进
入磁场，不计重力。
（1）若粒子经磁场偏转后穿过y 轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度
的最小值Bm；
（2）如果磁感应强度大小为
，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向
与x 轴正方向的夹角及该点到x 轴的距离。
【答案】（1）磁场方向垂直于纸面向里；
；（2）
；
【详解】（1）由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里。
设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
①
由此可得
②
粒子穿过y 轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y 轴正半轴上，半径应满足
③
由②可得，当磁感应强度大小最小时，设为Bm，粒子的运动半径最大，由此得
④
42
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（2）若磁感应强度大小为
，粒子做圆周运动的圆心仍在y 轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径
为
⑤
粒子会穿过图中P 点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在P 点的运动方向与x 轴正方向的夹角为α，
由几何关系
⑥
即
⑦
由几何关系可得，P 点与x 轴的距离为
⑧
联立⑦⑧式得
⑨
41．（2020·浙江·高考真题）通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率（即打到探测板
上质子数与衰变产生总质子数N 的比值），可研究中子（
）的
衰变。中子衰变后转化成质子和电子，
同时放出质量可视为零的反中微子
。如图所示，位于P 点的静止中子经衰变可形成一个质子源，该质子
源在纸面内各向均匀地发射N 个质子。在P 点下方放置有长度
以O 为中点的探测板，P 点离探测
板的垂直距离
为a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B 的匀强磁场。
已知电子质量
，中子质量
，质子质量
（c 为光速，不考虑粒子之间的相互作用）。
若质子的动量
。
（1）写出中子衰变的核反应式，求电子和反中微子的总动能（以
为能量单位）；
（2）当
，
时，求计数率；
（3）若
取不同的值，可通过调节
的大小获得与（2）问中同样的计数率，求
与
的关系并给出
的范
围。
43
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【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）核反应方程满足质量数和质子数守恒：
核反应过程中：
根据动量和动能关系：
则总动能为：
（2）质子运动半径：
如图甲所示：
打到探测板对应发射角度：
可得质子计数率为：
（3）在确保计数率为
的情况下：
即：
如图乙所示：
44
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恰能打到探测板左端的条件为：
即：
42．（2017·全国·高考真题）如图，空间存在方向垂直于纸面(
平面）向里的磁场．在
区域，磁感
应强度的大小为
;
区域，磁感应强度的大小为
（常数
)．一质量为m、电荷量为q(q>0)的带
电粒子以速度
从坐标原点O 沿
轴正向射入磁场，此时开始计时，不计粒子重力，当粒子的速度方向再
次沿
轴正向时，求：
(1)粒子运动的时间；
(2)粒子与O 点间的距离．
【答案】(1)
(2)
【详解】如图为粒子的轨迹
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
则有：
那么
，
（1）根据左手定则可得：粒子做逆时针圆周运动；故粒子运动轨迹如图所示，则粒子在
磁场区域运
动半个周期，在
磁场区域运动半个周期；那么粒子在
磁场区域运动的周期
45
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，
在
磁场区域运动的周期
所以，粒子运动的时间：
（2）粒子与O 点间的距离：
43．（2019·江苏·高考真题）如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B．磁场中的水平绝缘薄板与磁场的
左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分
速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m、电荷量为-q 的粒子速度一定，可以从左边界的不
同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d<L，粒子重力不计，电荷量保持不变．
（1）求粒子运动速度的大小v；
（2）欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M 的最大距离dm；
（3）从P 点射入的粒子最终从Q 点射出磁场，PM=d，QN=
，求粒子从P 到Q 的运动时间t．
【答案】（1）
；（2）
；（3）A.当
时，
，B.当
时，
【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力有：
，解得：
由题可得：
解得
；
（2）如图所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切
46
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由几何关系得dm=d（1+sin60°）
解得
（3）粒子的运动周期
设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t'，则
A.当
时，粒子斜向上射出磁场
解得
B.当
时，粒子斜向下射出磁场
解得
．
44．（2018·海南·高考真题）如图，圆心为O、半径为r 的圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面
向外，磁感应强度大小为B，P 是圆外一点，OP=3r。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子从P 点在纸
面内垂直于OP 射出，已知粒子运动轨迹经过圆心O，不计重力，求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径；
（2）粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子运动轨迹如图所示
47
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设粒子在磁场中运动半径为R，由几何关系得
解得
（2）设进入磁场时速度的大小为v，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
进入圆形区域，带电粒子做匀速直线运动，则
联立解得
45．（2017·浙江·高考真题）如图所示,在
平面内，有一电子源持续不断地沿
正方向每秒发射出N 个
速率均为的电子，形成宽为2b，在
轴方向均匀分布且关于
轴对称的电子流．电子流沿
方向射入一
个半径为R，中心位于原点O 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy 平面向里，电子经过磁场偏转后均
从P 点射出，在磁场区域的正下方有一对平行于
轴的金属平行板K 和A，其中K 板与P 点的距离为d，中
间开有宽度为
且关于
轴对称的小孔．K 板接地，A 与K 两板间加有正负、大小均可调的电压
，穿过
K 板小孔到达A 板的所有电子被收集且导出，从而形成电流．已知
，电子质量为m，电荷量
为e，忽略电子间相互作用．
（1）求磁感应强度B 的大小；
（2）求电子从P 点射出时与负
轴方向的夹角θ 的范围；
（3）当
时，每秒经过极板K 上的小孔到达极板A 的电子数；
（4）画出电流随
变化的关系曲线（在答题纸上的方格纸上）．
【答案】（1）
，（2）60o,（3）
（4）
【详解】由题意可以知道是磁聚焦问题，即
（1）轨道半径R=r
48
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根据
解得：
（2）运动轨迹图如下
上端电子从P 点射出时与负y 轴最大夹角
，由几何关系
解得：
同理下端电子从p 点射出与负y 轴最大夹角也是600
所以电子从P 点射出时与负
轴方向的夹角θ 的范围：
（3）进入小孔的电子速度与y 轴间夹角正切值大小为：
解得：
此时对应的能够进入平行板内电子长度为
，根据几何关系知：
设每秒能到达A 板的电子数为n，
则由比例关系知：
解得：
（4）有动能定理得出遏止电压
与负y 轴成450角的电子的运动轨迹刚好与A 板相切，此时
速度为
其逆过程是类平抛运动，达到饱和电流所需要的最小反向电压
或者根据
（3）可得饱和电流大小
作图如下：
49
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【点睛】本题考查了电子在磁场与电场中的运动，分析清楚电子运动过程，作出电子在磁场中做圆周运动
的轨道半径是解题的关键；解题时注意求出极限值然后再确定范围．
46．（2018·江苏·高考真题）如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d，宽为d，中间两
个磁场区域间隔为2d，中轴线与磁场区域两侧相交于O、O′点，各区域磁感应强度大小相等。某粒子质量
为m、电荷量为 + q，从O 沿轴线射入磁场。当入射速度为v0时，粒子从O 上方
处射出磁场。取sin53°
= 0.8，cos53° = 0.6。
（1）求磁感应强度大小B；
（2）入射速度为5v0时，求粒子从O 运动到O′的时间t；
（3）入射速度仍为5v0，通过沿轴线OO′平移中间两个磁场（磁场不重叠），可使粒子从O 运动到O′的时
间增加Δt，求Δt 的最大值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】本题考查带电粒子在组合磁场中的运动，
（1）小题先确定粒子圆周运动的半径，再根据洛伦兹力提供向心力列式求解；
（2）小题解答关键是定圆心、画轨迹，分段分析和计算；
（3）小题求Δt 的最大值，关键是要注意带电粒子在磁场中运动的时间不变和速度大小不变，所以中间磁
场移动后改变的是粒子在无磁场区域运动的倾斜轨迹的长度，要使Δt 最大，则要倾斜轨迹最长，所以粒子
轨迹跟中间磁场的上边相切时运动时间最长，再根据运动的对称性列式求解。
【详解】（1）粒子圆周运动的半径
粒子受到的洛伦兹力提供向心力，则
50
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由题意和几何关系知
解得
（2）入射速度为5v0时，由
可得，粒子在磁场中运动的半径为
设粒子在矩形磁场中的偏转角为α，由
，得
即
α = 53°
在一个矩形磁场中的运动时间
直线运动的时间
则：
（3）将中间两磁场分别向中央移动距离x，如图所示
粒子向上的偏移量
由y ≤ 2d，解得
51
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则当xm=
时，Δt 有最大值。
粒子直线运动路程的最大值
增加路程的最大值
增加时间的最大值
47．（2018·浙江·高考真题）如图所示，x 轴上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，坐标原点处有一正离子源，
单位时间在xOy 平面内发射n0个速率为υ 的离子，分布在y 轴两侧各为θ 的范围内．在x 轴上放置长度为L
的离子收集板，其右端点距坐标原点的距离为2L，当磁感应强度为B0时，沿y 轴正方向入射的离子，恰好
打在收集板的右端点．整个装置处于真空中，不计重力，不考虑离子间的碰撞，忽略离子间的相互作用．
（1）求离子的比荷
；
（2）若发射的离子被收集板全部收集，求θ 的最大值；
（3）假设离子到达x 轴时沿x 轴均匀分布．当θ=370，磁感应强度在B0 ≤B≤ 3B0的区间取不同值时，求单
位时间内收集板收集到的离子数n 与磁感应强度B 之间的关系（不计离子在磁场中运动的时间）
【答案】（1）
（2）
（3）
时，
；
时，
；
时，有
【详解】（1）洛伦兹力提供向心力，故
，
圆周运动的半径R=L，解得
（2）和y 轴正方向夹角相同的向左和向右的两个粒子，达到x 轴位置相同，当粒子恰好达到收集板最左端
时，
达到最大，轨迹如图1 所示，
根据几何关系可知
，解得
（3）
，全部收集到离子时的最小半径为R，如图2，有
，
52
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解得
当
时，所有粒子均能打到收集板上，有
，恰好收集不到粒子时的半径为
，有
，即
当
时，设
，解得
当
时，所有粒子都不能打到收集板上，
48．（2016·海南·高考真题）如图，A、C 两点分别位于x 轴和y 轴上，∠OCA=30°，OA 的长度为L．在
△OCA 区域内有垂直于xOy 平面向里的匀强磁场．质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，以平行于y 轴的
方向从OA 边射入磁场．已知粒子从某点射入时，恰好垂直于OC 边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时
间为t0．不计重力．
(1)求磁场的磁感应强度的大小；
(2)若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从OC 边上的同一点射出磁场，求该粒子这两次在
磁场中运动的时间之和；
(3)若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与AC 边相切，且在磁场内运动的时间为
，求粒子此次入射速
度的大小．
【答案】(1)
(2)2t0 (3)
【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间t0内其速度方向改变了90°，故其周期T=4t0①
设磁感应强度大小为B，粒子速度为v，圆周运动的半径为r
由洛伦兹力提供向心力得：
②
匀速圆周运动的速度满足：
③
53
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联立①②③式得
④
（2）设粒子从OA 边两个不同位置射入磁场，能从OC 边上的同一点P 射出磁场，粒子在磁场中运动的轨
迹如图（a）所示．设两轨迹所对应的圆心角分别为θ1和θ2．由几何关系有θ1=180°–θ2⑤
粒子两次在磁场中运动的时间分别为t1与t2，则t1+t2=
=2t0⑥
（3）如图（b），由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹圆弧对应的圆心角为150°．设O'为圆弧的
圆心，圆弧的半径为r0，圆弧与AC 相切与B 点，从D 点射出磁场，由几何关系和题给条件可知，此时有
∠OO'D= BO'A=30°⑦
∠
⑧
设粒子此次入射速度的大小为v0，由圆周运动规律
⑨
联立①⑦⑧⑨式得
⑩
【点睛】对于带电粒子在磁场中运动类型，要画出轨迹，善于运用几何知识帮助分析和求解，这是轨迹问
题的解题关键．
49．（2016·浙江·高考真题）为了进一步提高回旋加速器的能量，科学家建造了“扇形聚焦回旋加速器”，
在扇形聚焦过程中，离子能以不变的速率在闭合平衡轨道上周期性旋转，扇形聚焦磁场分布的简化图如图
所示，圆心为O 的圆形区域等分成六个扇形区域，其中三个为峰区，三个为谷区，峰区和谷区相间分布，
峰区内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，谷区内没有磁场，质量为m，电荷量为q 的
正离子，以不变的速率v 旋转，其闭合平衡轨道如图中虚线所示。
（1）求闭合平衡轨道在峰区内圆弧的半径r，并判断离子旋转的方向是顺时针还是逆时针；
（2）求轨道在一个峰区内圆弧的圆心角θ，及离子绕闭合平衡轨道旋转的周期T；
（3）在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B' ，新的闭合平衡轨道在一个峰区内的圆心
角θ 变为90°，求B'和B'的关系。（已知：
，
）
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【答案】（1）
；旋转方向为逆时针方向；（2）
；
；（3）
【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力可得
阶段封区内圆弧半径为
根据左手定则可知，离子旋转的方向为逆时针方向。
（2）如图所示
由对称性可知，封区内圆弧的圆心角为
每个圆弧的长度为
每段直线长度为
则周期为
联立解得
55
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（3）在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为
，新的闭合平衡轨道在一个峰区内的圆心
角θ 变为90°，如图所示
谷区内的圆心角为
谷区内的轨道圆弧半径为
由几何关系
则有
由三角关系可得
则有
则有
解得
56
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