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2024 高考物理疑难题精讲（7）
磁聚焦、旋转圆、伸缩圆
【高考题】
【典例1】.（13 分）（2021 新高考湖南卷）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。
带电粒子流（每个粒子的质量为
、电荷量为
）以初速度
垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间
的相互作用。对处在
平面内的粒子，求解以下问题。
（1）如图（a），宽度为
的带电粒子流沿
轴正方向射入圆心为
、半径为
的圆形匀强磁场中，
若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点
，求该磁场磁感应强度
的大小；
（2）如图（a），虚线框为边长等于
的正方形，其几何中心位于
。在虚线框内设计一个区域
面积最小的匀强磁场，使汇聚到
点的带电粒子流经过该区域后宽度变为
，并沿
轴正方向射出。求
该磁场磁感应强度
的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；
（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于
的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于
的正方形。在Ⅰ、
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Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为
的带电粒子流沿
轴正方向射入Ⅰ和
Ⅱ后汇聚到坐标原点
，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为
，并沿
轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同
轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证
明过程）。
【命题意图】本题考查洛伦兹力和牛顿运动定律及其相关知识点，主要考查灵活运用知识能
力.
【名师解析】
(1)最上面的粒子绕磁场边界到达O 点，即轨迹半径为r1，由qvB1=m
，解得B1=
（2）最上面的粒子绕磁场边界到达O 点，方向沿着x 轴负方向，则需要继续逆时针绕半圈到达矩形边界的
最低点，即轨迹半径为r2，由qvB2=m
，解得B2=
，由左手定则可判断出磁场方向为垂直纸面向里，
磁场区域面积为S=πr2
2.
（3）图b 中最下方的粒子绕1/4 圆周运动到O，即qvBIII=m
，解得BIII=
接着绕1/4 圆周运动从第I 象限右上角射出磁场，即qvBI=m
，解得BI=
在第II 象限和第IV 象限中磁场区域最小面积为月牙形，即SII=（π/2-1）r3
2，
2
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SIV=（π/2-1）r4
2。
【典例2】（10 分）（2020 年7 月浙江选考）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界
为矩形
、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，探测板
平行于
水平
放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c 三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同
速度持续从边界
水平射入磁场，b 束中的离子在磁场中沿半径为R 的四分之一圆弧运动后从下边
界
竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D 点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束
间的距离均为
，探测板
的宽度为
，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子
间的相互作用。
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（1）求离子速度v 的大小及c 束中的离子射出磁场边界
时与H 点的距离s；
（2）求探测到三束离子时探测板与边界
的最大距离
；
（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F 与板到
距离L 的关系。
【名师解析】：（1）
得
几何关系
（2）a、c 束中的离子从同一点Q 射出，
（3）a 或c 束中每个离子动量的竖直分量
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【高考模拟题】
1．（2023 四川宜宾重点高中二诊）（20 分）如图所示，在
平面内，三个半径为的四分
之一圆形有界区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ内有垂直纸面向外、磁感应强度为
的匀强磁场（含边界上）。
一群质量为
电荷量为的带正电的粒子同时从坐标原点O 以相同的速率、不同的方向射入
第一象限内（含沿轴、
轴方向），它们在磁场中运动的轨道半径也为，在
的区域，
存在场强为
、沿
方向的匀强电场。整个装置在真空中，不计粒子的重力及粒子之间的相
互作用。求：
（1）粒子从O 点射入磁场时的速率
；
（2）这群粒子从O 点射入磁场至运动到轴的最长时间；
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（3）这群粒子到达
轴上的区域范围。
【名师解析】：
（1）粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有
又
可得
（2）如图所示，这些粒子中，从O 沿
轴方向射入磁场的粒子，从O 到C 用时最长。
由
可得
（3）这些粒子经过Ⅰ区域偏转后方向都变为与
轴平行，接着匀速直线进入Ⅱ区域，经过Ⅱ区域偏
转又都通过C 点；从C 点进入Ⅲ区域，经过Ⅲ区域偏转，离开Ⅲ区域时，所有粒子都变成与
轴平行
（即垂直进入电场）。
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对于从
进入电场的粒子，在
方向的分运动有
解得
则该粒子运动到
轴上的坐标为
对于从
进入电场的粒子，在
方向的分运动有
解得
则该粒子运动到y 轴的坐标为
这群粒子运动到
轴上的区间为
2.（14 分）（2023 吉林二模）如图所示，坐标平面内第Ⅰ象限内存在水平向左的匀强电场，在y 轴左侧区
域存在宽度为a = 0.3m 的垂直于纸面向里的匀强磁场（含边界），磁感应强度为B（大小可调节）。现
有比荷为
c/kg 的带正电粒子从x 轴上的A 点以一定初速度
垂直x 轴射入电场，且以速度
大小
m/s，方向与y 轴正方向成600经过P 点进入磁场，
0.1m，不计粒
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子重力。求:
（1）粒子在A 点进入电场的初速度
大小
（2）要使粒子不从CD 边界射出，则磁感应强度B 的取值范围
（3）当磁感应强度为某值时，粒子经过磁场后刚好可以回到A 点，则此磁感应强度的大小
【名师解析】（14 分）
（1）粒子在电场中只受水平向左的电场力作用,故粒子
做类平抛运动,竖直方向做匀速运动,
故有v0 =vcos60°=2×107m/s（2 分）
(2)粒子在磁场中只受洛伦兹力作用做匀速圆周运动,故有
Bqv =m v2
R 得
R= mv
Bq （2 分）
粒子恰好不从CD 边界射出时的运动轨迹如
图甲所示,根据几何关系可得R+Ros60°=a（1 分）,
解得R=0.2m（1 分）,
所以磁感应强度
B=mv
qR ≥
0.08T（2 分）
(3)粒子离开磁场运动到A 点的过程做匀速直线运动,故粒子
运动轨迹如图乙所示,根据粒子在磁场中做匀速圆周运动可得
粒子出磁场时速度与y 轴正方向的夹角为60°;设出磁场处为
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Q 点,则由几何关系有
OQ =
OA
tan600 =0.1
√3
m
（1 分）,
且PQ=PO+OQ=2R
'sin600
（2 分）
解得：R' =0.1m（1 分）;
根据洛伦兹力提供向心力可得
B
'qv =m v2
R
' B
'= mv
q R
'
=0.16T（2 分）
3．（2023 湖北荆门三校5 月联考）（15 分）如图所示，在纸面内有一平面直角坐标系xOy，其第一象限
内有一沿y 轴负方向的有界匀强电场，其右侧边界满足方程y=x2，如图中虚线所示，电场强度大小E=
4V/m。第三象限内（包含x 轴负半轴）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
。在第
一象限内虚线右侧、纵坐标0 ≤ y ≤ 0.25m 区域内有大量（速度相等）沿x 轴负方向运动的带电粒子，粒子
电荷量q=＋8×10－6C，质量m=1×10－6kg。已知从边界上横坐标为x= 0.1m 以初速度v0处飞入的粒子从坐标
原点飞出电场区域，不计粒子重力和粒子之间的相互作用力，求：
（1）粒子的初速度v0；
（2）所有粒子离开电场时，其速度方向与x 轴负方向所成夹角的范围；
（3）粒子在磁场中运动的最短时间和出磁场的坐标。
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【参考答案】．（1）4m/s；（2）0~45°；（3）0.25s
【名师解析】
（1）从x=0.1m 飞入的粒子,由类平抛运动的规律有
（1 分）
（1 分）
x=v0t（1 分）
y=x2（1 分）
联立解得
v0= 4m/s（1 分）
（2）从范围内任意位置进入电场的粒子，设进入的位置横坐标为x，则由
x=v0t
解得
（1 分）
可知，所有粒子均从坐标原点飞出电场。
设粒子飞离电场时沿电场方向的速度大小为v1，则
（1 分）
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（1 分）
粒子在电场中运动时间越长，飞出电场时速度方向与x 轴负方向的夹角越大，故
从y1= 0.25m 处进人电场的粒子，飞离电场时与x 轴负方向的夹角最大，θ1= 45°（1 分）
从y2= 0 飞人的粒子运动方向不变，θ2= 0（1 分）
故粒子飞离电场时速度方向与x 轴负方向的夹角范围为0~45°。
（3）与x 轴负方向夹角最大的粒子在磁场中运动的时间最短，所有粒子从同一点离开磁场，由洛伦兹力提
供向心力有
（1 分）
解得
（1 分），
（1 分）
磁场中运动最短时间
（1 分）出磁场的坐标为
（1 分）
4. 如图所示，有一粒子源，可以产生某种质量为m，电荷量为q 的带正电离子，离子从静止开始经M 和
N 两板间的电场加速后，从cd 边的中点O 沿纸面以与Od 成30°角的方向射入边长为a 的正方形abcd 边界
内的匀强磁场区域，已知匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，不计粒子的重力以及离子间的
相互作用。求：
（1）若要离子全部从ab 边射出，加速电场MN 两板间的电压U 满足的条件；
（2）若加速电场MN 两板间的电压
，离子在磁场中运动的时间t。
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【参考
答案】（1）
；（2）
【名师解析】
（1）当粒子不从ad 边射出的临界轨迹是轨迹与ad 边相切，如图中①所示，设此时粒子轨道半径为
，几
何关系得
解得
在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力
粒子在电场中加速过程根据动能定理
以上各式联立解得轨迹与ad 边相切时加速电压为
当粒子恰好从ab 边射出的临界轨迹是轨迹与ab 边相切，如图中②所示，设此时粒子轨道半径为
，由几
何关系得
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解得
在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力
粒子在电场中加速过程根据动能定理
以上各式联立解得轨迹与ad 边相切时加速电压为
要使粒子全部从ad 边射出，则粒子轨迹半径要小于
，大于
，则加速电压
，
即
（2）加速电场两板间的电压
粒子在电场中加速过程根据动能定理
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在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力
以上各式联立代入数据解得
如图所示，当粒子轨迹与bc 边界相切时，如图中③所示，设此时的轨道半径为
，由几何关系得
解得
因为
，则粒子从cd 边射出
根据对称性得轨迹的圆心角为300°，运动时间为
5. 如图所示，在y>0 的区域内存在垂直于xOy 平面向里，大小为B 的匀强磁场，y<0 的区域内存在沿y 轴
正方向的匀强电场（图中未画出）。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子（不计重力）自y 轴上的点P 以
初速度v0沿x 轴正方向射出，经点M（L，0）进入磁场，且速度与x 轴正方向的夹角为60°，经磁场偏转后
从x 正半轴上的点N 离开磁场。
（1）求匀强电场的场强大小E 以及点P 的坐标；
（2）求MN 两点间距d 以及粒子在磁场中运动的时间t0；
（3）若粒子运动到点N 瞬间，将y<0 的区域的电场撤去，改为垂直于xOy 平面向里，大小为λB（λ>0）的
匀强磁场，结果使得粒子的轨迹在之后的运动中能够与y 轴相切，试求λ 的可能取值。
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【参考
答案】（1）
，（0，
）；（2）
，
；
（3）
或
【名师解析】
（1）粒子做类平抛运动
联立得
故点P 的坐标为
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动
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得
粒子运动的周期
粒子的圆心角为
，故
（3）记粒子经点N 后第一次返回x 轴的点Q，由（2）知，
间距
为
经分析，粒子可能的轨迹如图所示
由几何关系有
解得
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或
解得
6.（15 分）（2023 江苏扬州考前质检）如图所示，y 方向足够长的两个条形区域，宽度分别为 l1=0.1m
和 l2=0.2m，两区 域分别分布着磁感应强度为 B1 和 B2 的磁场，磁场方向垂直于 xoy 平面向外，磁感应
强度 B2=0.1T．现有大量粒子从坐标原点 O 以恒定速度 v=2×106m/s 不断沿 x 轴正方向射入磁 场，由于
B1 的大小在 0~0.5T 范围内可调，粒子可从磁场边界的不同位置飞出．已知带电 粒子的电量 q=﹣2×10-
8C，质量 m=4×10-16kg，不考虑带电粒子的重力．求：
（1）要使粒子能进入 B2的磁场，B1 应满足的条件；
（2）粒子在条形区域内运动的最短时间 t．
（3）粒子从 y 轴飞出磁场时的最高点坐标 y；
【名师解析】
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（1）当带电粒子在 B1 磁场中圆周运动的半径大于 l1时粒子能进入磁感应强度 B2的磁场。
qvB 1=m
（1 分）
当 r = l1 时
（1 分）
代入数据得 B1 = 0.4T （1 分）
因此 B 满足的条件为 0 B1 0.4T （1 分）
（2）当 B1=0 时，粒子进入 B2 磁场，
解得： r 2= 0.4m （1 分）
粒子从右边界 MN 飞出。
由几何关系可知
2 = 30° （1 分）
粒子在两个条形区域运动的时间为
随着 B1 的增大，如图所示，根据时间等于弧长与速度的比值可知，粒子在磁场中的 运动时间先增大后减
小，当 B1 达到最大值 0.5T 时，粒子从左边界飞出，运动时间为
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所以粒子在两个条形区域内运动的最短时间为
t 2=1.26 ×10-7 s
（3）设 A1 为粒子从 MN 射出的最高点，则 A1 为轨迹与边界 MN 的切点，如图 O1 为粒子 在 B1 磁场
中运动的圆心，O2 为粒子在 B2 磁场中运动的圆心，由几何知识可得
， 1 = 30° （2 分）
由几何知识知此时
A1 的纵坐标
粒子从 y 轴飞出磁场时的最高点坐标
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