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2024 高考物理疑难题精讲（25）
力电综合问题
【高考题】
【典例1】（2011 福建理综卷第22 题）如图甲，在x＜0 的空间中存在沿y 轴负方向的匀强电
场和垂直于xoy 平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B.一质量为
m、电荷量为q(q＞0)的粒子从坐标原点O 处，以初速度v0沿x 轴正方向射人，粒子的运动轨
迹见图甲，不计粒子的重力。
（1）求该粒子运动到y=h 时的速度大小v；
（2）现只改变人射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y-x 曲
线）不同，但具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在y 轴方向上的运动
（y-t 关系）是简谐运动，且都有相同的周期T=
。
Ⅰ.求粒子在一个周期
内，沿
轴方向前进的距离s；
Ⅱ.当入射粒子的初速度大小为v0时，其y-t 图像如图丙所示，求该粒子在y 轴方向上做简谐
运动的振幅A,并写出y-t 的函数表达式。
【名师解析】（1）由于洛仑兹力不做功，只有电场力做功，由动能定理有
-qEh=
m v2-
m v0
2，①
由①式解得 v=
。②
（2）I．由图乙可知，所有粒子在一个周期
内沿
轴方向前进的距离相同，即都等于恰好沿
1
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x 轴方向匀速运动的粒子在T 时间内前进的距离。设粒子恰好沿
轴方向匀速运动的速度大小
为v1，则qv1B=qE, ③
又 s= v1T， ④式中T=
由③④式解得s=
⑤
II.设粒子在y 方向上的最大位移为ym（图丙曲线的最高点处），对应的粒子运动速度大小为
v2（方向沿x 轴），因为粒子在y 方向上的运动为简谐运动，因而在y=0 和y=ym处粒子所受
的合外力大小相等，方向相反，则
qv0B -qE=-(qv2B-qE),
由动能定理有 -qEym=
m v2
2-
m v0
2，
又 Ay=
ym
由⑥⑦⑧式解得 Ay=
( v0-E/B)。
可写出图丙曲线满足的简谐运动y-t 的函数表达式为y=
( v0-E/B) (1-cos
t)
【高考模拟题】
1．（2023 北京西城一模·20·12 分）
流量是指单位时间内通过管道横截面的流体体积，在生活中经常需要测量流量来解决实际问题。
（1）环保人员在检查时发现一根排污管正在向外满口排出大量污水，如图
1 所示。他测出水平管口距落点的竖直高度为h，管口的直径为d，污
水落点距管口的水平距离为l。重力加速度为g。请根据这些测量量估
算：
a．污水离开管口时的速度大小v；
b．排出污水的流量Q。
（2）电磁流量计可以快速、方便地测量导电流体（如污水、自来水
等）的流量，其简化示意图如图2 所示，它是一段横截面为长
图1
c
b
a
图2
2
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方形的管道，其中空部分的长、宽、高分别为a、b、c ，流量计的左右两端与输送流体的管道
相连接（如虚线所示），其上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料。流量计处于磁感应强
度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于前后两面。流量计的上、下两表面分别与电压表的两端
相连接（图中未画），当污水满管通过流量计时，电压表就会显示读数。
a．求电压表示数为U 时管道中的污水流量Q。
b．某同学想利用电磁流量计设计一个便于调
节的浇花装置。
如图3 所示，花坛中紧密摆放着相同的花盆，
它们由内向外
以O 为圆心摆放在半径不同的圆周上。在
圆心O 处安装
一个竖直的输水管，管的末端安装一个可
以水平360°自
动匀速旋转的喷水龙头，其旋转周期T 可调。该同学把图2 中的电磁流量计安装在龙头的末
端，作为水平喷口，并且通过改进使电磁流量计的边长b 大小可调（其他参数不变）。如果
龙头喷出水的流量Q 是恒定的，为了使龙头旋转每周每个花盆的浇水量相同，当浇灌半径由
R1增大到R2时，需要调节b 和T。不计水喷出时旋转方向的速度，求调节前后的电压表的示
数之比
及龙头旋转的周期之比
。
【名师解析】．（12 分）
（1）a．污水由管口流出后可近似认为做平抛运动，有
（1 分）
（1 分）
得
（1 分）
b．排出污水的流量
（1 分）
其中
得
（1 分）
（2）a．流量计上下表面的电势差
（2 分）
流量
其中
O
R2
图3
R1
3
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得
（1 分）
b．要使浇灌半径由R1增大到R2，则水由龙头喷出的速度
又因为
所以
（2 分）
浇灌半径为R1和R2的两个圆周上花盆的数量
若要使每个花盆的浇水量相同，则
所以
（2 分）
2. (2023 天津一中质检)随着航空领域的发展，实现火箭回收利用，成为了各国都在重点突破的技术。
其中有一技术难题是回收时如何减缓对地的碰撞，为此设计师在返回火箭的底盘安装了电磁缓冲装置。
该装置的主要部件有两部分：①缓冲滑块，由高强绝缘材料制成，其内部边缘绕有闭合单匝矩形线圈
；②火箭主体，包括绝缘光滑缓冲轨道和超导MN、PQ 线圈（图中未画出），超导线圈能产生
方向垂直于整个缓冲轨道平面的匀强磁场。当缓冲滑块接触地面时，滑块立即停止运动，此后线圈与
火箭主体中的磁场相互作用，火箭主体一直做减速运动直至达到软着陆要求的速度，从而实现缓冲。
现已知缓冲滑块竖直向下撞向地面时，火箭主体的速度大小为
，经过时间火箭着陆，速度恰好为
零；线圈
的电阻为
，其余电阻忽略不计；
边长为，火箭主体质量为
，匀强磁场的磁感
应强度大小为
，重力加速度为
，一切摩擦阻力不计，求：
（1）缓冲滑块刚停止运动时，火箭主体
加速度大小；
4
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（2）火箭主体的速度从
减到零的过程中系统产生的电能。
【参考答案】（1）
；（2）
【名师解析】
（1）刚落地时产生的感应电动势
回路电流
所受安培力
根据牛顿第二定律
解得
（2）设下落时间内火箭下落的高度为
，则由动量定理
5
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解得
又
解得
产生的电能为
解得
3.（14 分）（2020 浙江稽阳联考）磁流体发电机是对环境污染很少的发电装置，目前，许多国家都积极致
力于这方面的研究。关于磁流体发电机的简化模型如图甲所示：磁流体（气体状态的正负离子）在喷
射装置的作用下，以相同的水平速度v0源源不断的射入左侧发电通道，发电通道上下两面为金属极板，
内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。已知正负离子的质量均为m，带电量为±q，单位体积
内正负离子数各为n，离子充满整个发电通道，发电通道的长度足够长，高为d，宽为a，离子间的相
互作用不计，重力不计。
6
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（1）当发电机的两极板与外界断路，试判断上下极板的电势高低，并求出两极板间的最终电压U0；
（2）求喷射装置对磁流体做功的功率P0；
（3）当两极板与外电路相连时，两极板间电压为U，且U<U0，正负离子在通道内做复杂的曲线运动，
假设正离子在通道中的运动轨迹如图乙中虚线所示（负离子与之类似），已知其在y 轴方向上的
分运动是简谐运动，求图中最低点M 到最高点N 的高度差h；(提示：利用简谐运动的对称性)
（4）当此发电机的两极板与电阻值为R0的电阻相连组成闭合回路，利用（3）中所得结论，在h<d 的
情形下，求通过此电阻的电流I（用题干中的已知量表示）。
【参考答案】（1）上极板电势高，U0=Bdv0 （2）nmad v0
3
（3）h= （4）I=
【名师解析】
（1）用左手定则判断正电荷受洛伦兹力向上，故比下极板高。（1 分）
解法一：由动生电动势公式知，U0=Bdv0（3 分）
解法二：Eq=qv0B（1 分）
E=（1 分）
得 （1 分）
（2）在Δt 时间内，射入发电通道的流体长度为
Δx=v0Δt，
体积ΔV=Δxad，
质量Δm=2nmΔV=2nmv0adΔt （1 分）
功率P==nmad v0
3 （2 分）
（3）当U<U0时，由题中条件知，对于最高点与最低点，加速度大小相等，有
7
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qv0B-qE=qE-qvNB
（1 分）
其中E= （1 分）
从最低点到最高点，有 -qEh=mvN
2-mv0
2（1 分）
联立可解得 h= （1 分）
（4）设两极板间电压为U，则可认为只有离极板h 范围内的离子才能打在极板上，
电流可表示为I=nqhav0 （1 分）
由欧姆定律，I=（1 分）
代入（3）中的h，得I=（1 分）
4．（2023 四川遂宁三诊）研究表明，两块足够大的、正对的平行板电容器之间的静电力只与两板带电
量有关，与两板间距无关。如图1 所示，A 板固定在绝缘的地面上，与之正对的B 板通过两根完全
相同的轻质绝缘弹簧相连，两弹簧对称且竖直。已知B 板质量为m，两弹簧原长为L，A、B 板不
带电时两弹簧长度为
，A、B 板带等量异种电荷时两弹簧长度变为
。如图2 所示，在B 板正
中上方高为h(h=L)处静止释放一绝缘物块C，C 的质量也为m，C 下落后与B 碰撞时间极短，且碰
后粘连在一起。已知当地的重力加速度为g；B 与C 碰前处于静止状态；A、B 板面积足够大，厚
度不计；A、B 板带电量保持不变。求：
（1）图1 中两板之间的静电力大小。
（2）图2 中C 与B 板碰撞后，C 的最大速度。已知弹簧的弹力做功可以用初、末位置的平均力做功来
计算。
（3）如果C 的质量变为m1，从距离B 板高为2h 处静止开始下落，与B 板碰撞后运动到最高点时距地
面高
。求m1的大小。
【名师解析】：
（1）设弹簧的劲度系数为k，则A、B 不带电时：
.................1 分
A、B 带电时：
.................2 分
解得：
.................1 分
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（2）C 自由落体：
.................1 分
B、C 相碰：
.................1 分
C 速度最大的位置为平衡位置：
................1 分
此过程静电力与重力做功为：
.................2 分
弹簧弹力做功：
.................2 分
对B、C 列动能定理得：
................2 分
由以上公式解得;
.................1 分
（3）与B 碰前C 的速度为
................1 分
B、C 相碰：
.................1 分
因为开始弹簧压缩
，结束弹簧伸长
，故整个过程弹簧的弹性势能没变，弹簧做的功为0
对B、C 列动能定理：
.................2 分
得：
解得：
.................2 分
5. (2022 四川成都三模)如图，两根足够长且电阻不计的平行金属导轨与地面均成37°角放置，区域Ⅰ和Ⅱ
以PQ 为边界，分别存在足够大的垂直两导轨所在平面向下及平行导轨向上的匀强磁场，两磁场的磁感应
强度均为B＝2T。质量分别为M＝3kg、m＝1kg 的导体棒ab、cd 相距s＝6m 放置在区域Ⅰ的导轨上，两棒
的电阻均为R＝1
，两棒的长度和导轨的间距均为L＝1m。区域I 的导轨光滑，区域Ⅱ的导轨与ab 棒间
的动摩擦因数
且与cd 棒无摩擦。同时由静止释放两棒，ab 棒进入区域Ⅱ后恰好做匀加速直线运动。
，棒与导轨接触良好，重力加速度大小
，
。
（1）ab 棒到达PQ 前，求ab 和cd 棒的加速度大小；
（2）求ab 棒的释放处与PQ 的距离；
（3）从释放两棒开始，经多长时间，两棒在相遇前相距最远？
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【参考答案】（1）
,
；（2）0.75m；（3）3s
【名师解析】
（1）ab 棒到达PQ 前，两棒均在区域Ⅰ中，回路中磁通量变化为零，故感应电动势为零，两棒均做加速度
相同的匀加速直线运动，设加速度大小为
,由牛顿第二定律有
代入数据解得
（2）ab 棒在区域Ⅱ中恰好做匀加速直线运动，表明其受到的安培力恒定，即回路中电流恒定。故cd 棒切
割磁感线的速度恒定，所以，cd 棒一定做匀速直线运动。设cd 棒匀速运动的速度（也是ab 棒刚好到达PQ
的速度）大小为v，ab 棒释放点与PQ 的距离为x，cd 棒切割磁感线产生的感应电动势为
回路中的电流为
cd 棒受到的安培力为
对cd 棒，由力的平衡条件有
联立以上各式，代入数据得
对ab 棒，由匀变速运动规律有
10
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代入数据解得
（3）ab 棒在区域Ⅰ中运动的时间为
ab 棒到达PQ 后的过程可分为两段
①过程1，从ab 棒位于PQ 至cd 棒到达PQ，由右手定则可知ab 棒中电流方向从b 到a，由左手定则可知
ab 棒受到的安培力方向垂直轨道平面向下。设ab 棒在区域Ⅱ中的加速度为
，此过程cd 棒在区域Ⅰ中运
动的时间为
对ab 棒，由牛顿第二定律有
代入数据得
故cd 棒到达PQ 时，ab 棒的速度为
②过程2，从cd 棒位于PQ 至两棒相遇前相距最远，因回路中无总应电流，故两样做加速度大小不等的匀
变速直线运动，其中cd 棒的加速度大小仍为
。设ab 棒的加速度为
，此过程的时间为
，对ab 棒，
由牛顿第二定律有
代入数据得
11
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两棒共速时相距最远，故有
代入数据得
解得
6．. （2023 江苏常熟期末） (8 分)如图所示，宽度为L 的足够长光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面
上，导轨左端接有阻值为R 的定值电阻，质量为m、电阻为r 的导体棒ab 垂直放置在导轨上，导体棒右侧
存在垂直纸面向外，磁感应强度大小为B 的匀强磁场．现有一黏性绝缘材料做成的子弹以水平向右的初速
度v0击中导体棒的中间位置，与导体棒粘合在一起后共同进入磁场．子弹质量为m，不计导轨电阻，导体
棒ab 与导轨始终垂直且接触良好．求：
(1) 电路最大电流；
(2) 导体棒在磁场运动的过程中，电阻R 上产生的焦耳热．
【名师解析】. (8 分)(1) 子弹与导体棒ab 碰撞过程动量守恒mv0＝2mv(1 分)
解得导体棒进入磁场的最大速度为v＝
最大感应电动势E＝BLv(1 分)
电流I＝(1 分)
解得电路中最大电流I＝(1 分)
(2) 导体棒与子弹一起进入磁场后，根据能量守恒可得Q 总＝·2mv2(2 分)
电阻R 上产生的焦耳热QR＝Q 总(1 分)
解得QR＝(1 分)
7.（2023 河南洛阳质检）如图所示，ab、ef 是固定在绝缘水平桌面上的平行光滑金属导轨，导轨足够长，
导轨间距为d。在导轨ab、ef 间放置一个阻值为R 的金属导体棒PQ．其质量为m，长度恰好为d。另一质
量为3m、长为d 的金属棒MN 也恰好能和导轨良好接触，起初金属棒MN 静止于PQ 棒右侧某位置，盛个
装置处于方向垂直桌面向下、磁感应强度大小为B 的匀强磁
场中。现有一质量为m、带电荷量为q 的光滑绝缘小球在桌而上从O 点（O 为导轨上的一点）以与可成
60°角的方向斜向右方进人磁场，随后小球垂直地打在金属ドMN 的中点，小球与金属棒MN 的碰撞过程中
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无机械能损失，不计导轨间电场的影响，不计导轨和金属棒MN 的电阻，两杆运动过程中不相碰，求：
（1）小球在O 点射人磁场时的初速度V0。
（2）金属棒PQ 上产生的热量E 和通过的电荷量Q。
（3）在整个过程中金属棒MN 比金属棒PQ 多滑动的距离。
（4）请通过计算说明小球不会与MN 棒发生第二次。
【名师解析】
（1）如图所示，光滑绝缘小球在水平桌面上做匀速圆周运动的半径设为r，由图可知：
rcos60°+r=d/2
得：r= d/2
由牛顿第二定律可得：qv0B=
得：v0=
；
（2）由题可知小球与MN 杆发生弹性碰撞，设碰后小球速度为v1，MN 杆速度为v2，可得：
mv0=mv1+3mv2…①
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根据能量关系可得：
…②
由①②可得：v2= v0/2，v1=- v0/2
此后杆MN 与杆PN 组成的系统动量守恒，共速度时速度设为v，则有：
3mv2=（m+3m）v
可得：v=
由能量守恒定律可知PQ 上产生的热量：
E=
对杆PQ 应用动量定理可得：BId△t=mv-0
即：BdQ=mv-0
得：Q=q/8；
（3）由Q=
得杆MN 比杆PQ 多滑动的距离：△x=
；
（4）由（2）可知球与MN 碰后，小球的速度为：v1=- v0/2，
杆MN 的速度为：v2= v0/2，
小球碰后做圆周运动的半径：r’=d/6
运动半个周期的时间为：t=
这段时间内杆MN 减速到与PQ 同速，最小速度为v= 3v0/8，
则其位移为：x＞vt=πd/8＞r′
此后杆MN 一直向左运动，故小球不会与MN 杆发生第二次碰撞。
8. （2022 湖南长沙长郡中学模拟）小明是一个科技发明爱好者，疫情期间对连锁反应小开关很感兴趣，
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于是自己设计了一个，可以用于延时控制家里用电器的开关。如图所示，与水平方向成夹角
，轨道
间距为
的两平行金属导轨
，
左端连接电容为
的电容器，右端用绝缘光滑圆弧连
接水平金属导轨
，
，并在轨道上放置静止的金属导体棒
。在水平轨道末端
两点安装绝缘
的无摩擦固定转轴开关，若导体棒
经过
两点（无能量损失），转轴开关会顺时针转动90°以挡住后
面的金属棒，金属导体棒
则水平抛出，进入半圆形导轨
，
，若金属棒与轨道发生碰撞，金
属棒不反弹，继续沿轨道运动，导轨半径为
与水平面垂直，
两点略高于
两点，金属棒
可无碰撞通过。半圆形导轨末端与水平面相切于
（导体棒通过无能量损失），水平面动摩擦因数为
，末端放置接触式开关
。
，
长度为
，a、b 棒质量相同均为
，电阻之比为
2∶1，导轨摩擦均不计，磁感应强度
。现将导体棒
自
静止释放，求：
（1）导体棒a 运动至
时的速度大小；
（2）水平金属导轨足够长，a、b 棒可在水平轨道上达到共速且不会发生碰撞，在该过程中
棒上生热
；
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（3）接触式开关S 放在何位置导体棒才能打开开关所控制的用电器。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）对导体棒a 受力分析
有
又电容两端电压等于导体棒产生的感应电动势
则流经导体棒的电流为
求得
根据
求得
（2）因为两根导体棒在磁场中所受安培力大小相等方向相反，可视为一对相互作用力，所以两棒系统动
量守恒
求得
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根据能量守恒定律
（3）若导体棒恰好通过
位置
所以导体棒进入半圆型轨道先做平抛运动
导体棒与轨道恰好在
与半圆轨道碰撞，根据几何关系
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导体棒自
运动至开关位置过程中，动能定理
接触式开关
放在距离半圆型轨道末端
位置，导体棒才能打开开关所控制的用电器。
9. （2023 天津南开区一模）如图甲所示为离子推进器，由离子源、间距为d 的平行栅电极C、D 和边长为
L 的立方体空间构成，工作原理简化为如图乙所示。氙离子从离子源飘移过栅电极C（速度大小可忽略不
计），在栅电极C、D 之间施加垂直于电极、场强为E 的匀强电场，氙离子在电场中加速并从栅电极D 喷出，
在加速氙离子的过程中飞船获得推力。离子推进器处于真空环境中，不计氙离子间的相互作用及重力影响，
氙离子的质量为m、电荷量为q，推进器的总质量为M。若该离子推进器固定在地面上进行实验。
（1）求氙离子从栅电极D 喷出时速度
的大小；
（2）在栅电极D 的右侧立方体空间加垂直向里的匀强磁场，从栅电极C 中央射入的氙离子加速后经栅电板
D 的中央O 点进入磁场，恰好打在立方体的棱EF 的中点Q 上。求所加磁场磁感应强度B 的大小。
（3）若该离子推进器在静止悬浮状态下进行实验，撤去离子推进器中的磁场，调整栅电极间的电场，推
进器在开始的一段极短时间内喷射出N 个氙离子以水平速度v 通过栅电极D，该过程中离子和推进器获得
的总动能占推进器提供能量的
倍，推进器的总质量可视为保持不变，推进器的总功率为P，求推进器获
得的平均推力F 的大小。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）氙离子从栅电极D 喷出过程有
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解得
（2）对经栅电板D 的中央O 点进入磁场，根据几何关系有
解得
在磁场中有
解得
（3）根据动量守恒定律有
根据能量守恒定律有
对喷射出N 个氙离子，根据动量定理有
根据牛顿第三定律有
解得
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