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2024 高考物理疑难题精讲（23）
人船模型、爆炸模型、弹簧模型
【高考题】
【典例1】. （2023 高考湖南卷）如图，质量为
的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆
形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为
和
，长轴水平，短轴竖直．质量为
的小球，初始时刻
从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑．以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固
定于地面的直角坐标系
，椭圆长轴位于
轴上．整个过程凹槽不翻转，重力加速度为
．
（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离；
（2）在平面直角坐标系
中，求出小球运动的轨迹方程；
（3）若
，求小球下降
高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用
及
表示）．
【参考答案】（1）
，
；
（2）
；（3）
【思维导图】
（1）人船模型→水平方向动量守恒→机械能守恒定律→凹槽速度大小→凹槽相对于初始时刻向右运动的
距离
（2）椭圆标准方程→人船模型→小球运动的轨迹方程
1
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（3）M/m=
→小球运动的轨迹方程→小球轨迹为半径为b 的圆→水平方向动量守恒→机械能守恒定
律→小球相对于地面速度大小
【名师解析】
（1）小球第一次运动到轨道最低点的过程，水平方向由动量守恒定律，m v1=Mv2，
由机械能守恒定律，mgb=
+
联立解得：v2=
根据人船模型，mx1=Mx2，x1+x2=a
解得：凹槽相对于初始时刻向右运动的距离x
2=
（2）小球向左运动过程中凹槽向右运动，当小球的坐标为
时，此时凹槽水平向右运动的位移为
，
根据上式有
则小球现在在凹槽所在的椭圆上，根据数学知识可知此时的椭圆方程为
整理得
（
）
（3）将
代入小球的轨迹方程化简可得
2
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即此时小球的轨迹为以
为圆心，b 为半径的圆，则当小球下降的高度为
时有如图
此时可知速度和水平方向的的夹角为
，小球下降
的过程中，系统水平方向动量守恒
系统机械能守恒
联立得
【高考模拟题】
1. （2023 福建漳州三模）滑板运动是一种极富挑战性的极限运动，图示为其场地简化模型，在同一竖直
平面内有两个相同的四分之一弧轴道P、Q 静置在光滑水平地面上，圆弧BC、DE 与地面分别相切于C、D
点。将P 锁定，质量为m 的小球（视为质点）从B 点正上方A 处由静止释放，恰好沿B 点切线方向进入圆
弧轨道，已知P、Q 圆弧的半径以及A、B 两点间的高度差均为R，重力加速度大小为g，不计一切摩擦和
空气阻力。
（1）求小球第一次刚滑到C 点时P 对小球的支持力人小FN；
（2）若Q 的质量为3m，求小球第一次滑过E 点后在空中运动的水平位移大小x；
（3）若将P 解锁，同时改变P、Q 的质量都为M，使该小球仍从A 处山静止释放，小球能第二次在BC 弧
3
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上运动，求P 的质量M 应满足的条件。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）小球从A 运动到C 点的过程中，根据机械能守恒可知
解得
小球第一次刚滑到C 点时，根据牛顿第二定律有
解得
（2）设小球达到E 点时竖直方向上的分速度大小为
，水平分速度为
，则
小球第一次从E 点离开Q 后在空中做斜上抛运动，设空中运动时间为，则
解得
4
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（3）设小球第一次通过C 点时的速度大小为
，则
解得
小球第一次从D 点滑上DE 到再次回到D 点的运动过程中，小球和Q 组成的系统机械能守恒，在水平方向
上动量守恒，则
解得
小球能第二次在BC 上运动，应满足
解得
2.（16 分）（2023 江苏重点高中联考）如图所示，在水平地面上方固定一足够长水平直杆，质量为M=3m
的滑块套在直杆上，长为H 的轻绳一端固定在滑块底部O 点，另一端连接质量为m 的小球，O 点到地面的
高度为2H。现将小球拉至与O 点等高处，轻绳伸直后由静止释放。不计小球与滑块所受到的空气阻力，重
力加速度大小为g。
（1）若滑块固定，求轻绳转动30°时重力的瞬时功率P；
（2）若滑块不固定，与杆之间无摩擦，小球摆到最低点时，轻绳恰好被拉断，求小球落地时与滑块的距
离s；
（3）若滑块不固定，小球运动的过程中，滑块始终静止，求滑块与杆之间的动摩擦因数的最小值μ。
5
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【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】（1）设轻绳转过30°时，小球的速度为v，根据机械能守恒定律有
2 分
重力的瞬时功率为
2 分
所以
1 分
（2） 设小球摆到最低点时速度大小为
，滑块速度大小为
，根据水平方向系统动量守恒，有
1 分
根据系统机械能守恒，有
1 分
剪断轻绳后，滑块做匀速运动，小球做平抛运动，经时间t 落地，有
1 分
小球落地时与滑块间的水平距离为
1 分
小球与滑块之间的距离
1 分
1 分
（3）设轻绳转过θ 时，小球的速度为
，轻绳中拉力为F，则
由牛顿第二定律，有
得
水平方向恰好不滑动
6
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2 分
求得
1 分
方法（一）导数求极值
令
，求导数得：
当
时，
对应
∴
方法（二）判别式△求极值
令
整理得：
∴
∴
所以动摩擦因数的最小值为
。 2 分
3．. （2021 湖南名校质检）如图所示，质量为
的小圆环A 套在足够长的光滑水平杆上，位于水平地面
上M 点的正上方；小物块B 的质量为m，通过长度为L 的轻绳与A 连接，初始时轻绳处于水平状态.某时刻
由静止释放B，B 到达最低点时的速度恰好与水平地面相切，并且此时轻绳恰好在与B 的连接处断裂，之后
B 在水平地面上向右运动，一段时间后在N 点平滑进入内壁光滑的竖直固定细圆管，圆管的半径
，
B 在N 点平滑离开圆管时的速度可能向左，也可能向右.已知物块B 与水平地面间的动摩擦因数为0.1，重
力加速度为
，求：
7
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（1）轻绳断裂时物块A、B 各自的速度大小；
（2）物块B 由静止释放至最低点的过程中的位移大小；
（3）若M、N 两点间的距离也为L，物块B 刚过N 点时对圆管的压力大小；
（4）以M 点为坐标原点，水平向右为正方向建立直线坐标系Ox，N 点的坐标用
表示，写出物块B 在
水平地面上的速度减为零时的坐标x 与
的关系式（物块B 达到管道最高点即可做完整的圆周运动）.
.【名师解析】（1 物块开始释放至轻绳断裂
，
得轻绳断裂时圆环A 的速度大小
小物块B 的速度大小
（2）物块B 自开始释放至最低点的过程，设A 水平方向位移大小为
，B 水平方向位移大小为
，
，物地B 的位移大小
，得
（3）自轻绳断裂至B 到达N 点
，得
物块B 刚过N 点时
由牛顿第三定律，物块B 刚过N 点时对圆管的压力
，得
8
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（4）设M、N 两点间的距离为
时，物块B 到达圆管最高点时的速度恰好为零
自轻绳断裂至B 到达最高点
，得
设物块B 在水平地面上运动的总路程为
，
，得
①N 点的坐标
，物块B 速度为零时的坐标
2N 点的坐标
满足
时，
解得
物块B 速度为零时的坐标
③N 点坐标
时，物块B 速度为零时的坐标
4. （2023 北京昌平二模） 如图所示，一枚炮弹发射的初速度为
，发射角为
。它飞行到最高点时炸裂
成质量均为m 的A、B 两部分，A 部分炸裂后竖直下落，B 部分继续向前飞行。重力加速度为g，不计空气
阻力，不计炸裂过程中炮弹质量的变化。求：
（1）炸裂后瞬间B 部分速度的大小和方向；
（2）炸裂前后，A、B 系统机械能的变化量
（3）A、B 两部分落地点之间的水平距离
。
【参考答案】（1）
，方向水平向右；（2）机械能增加了
；（3）
【名师解析】
（1）炮弹炸裂前瞬间速度为
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方向水平向右
炸裂过程中根据水平方向动量守恒，规定水平向右为正方向，有
炸裂后A 部分竖直下落，说明此时A 的水平速度为零，解得
方向水平向右
（2）炸裂前后系统机械能的变化量为
解得
A、B 系统机械能增加了
。
（3）炸裂后，A 做自由落体运动，B 做平抛运动，下落时间为
落地后，A、B 两部分落地点之间的水平距离为
解得
5. （2023 辽宁教研联盟二模）如图，一长度L=8m、质量M=0.2kg 的木板紧靠墙壁放置在光滑水平地面上，
在距木板左端为kL（0<k<1）处放置着A、B 两个小木块（均可视为质点），质量均为m=0.2kg。某时刻，
木块A、B 在强大内力作用下突然分开，分开瞬间内力消失，此时木块A 的速度为
=4m/s，方向水平向左。
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木块B 与墙壁碰撞过程中不损失机械能，木块A、B 与木板间的动摩擦因数分别为μA=0.2 和μB=0.3。
（1）求木块A、B 分离瞬间，木块B 速度的大小
；
（2）若
，求木块A 离开木板时，木块B 速度的大小
；
（3）若μA=0，求摩擦力对木块B 所做的功。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）对A、B 组成的系统动量守恒，设向右为正方向，由动量守恒定律得
解得
=4m/s
（2）A、B 分开之后，分别向左，向右做减速运动，对木板
所以木板受到右侧墙壁的作用而保持静止，设木块A、B 的加速度大小分别为
、
，由牛顿第二定律得
解得
=2m/s2
=3m/s2
设从A、B 分开到A 离开木板所用的时间为t，则有
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解得
t=1s
t=3s 不符合题意舍掉。
对B 则有
解得
=1m/s
（3）设木块B 运动到墙壁时的速度为
，则由匀变速直线运动规律可得
令
=0，则
则当
时，木块B 在与墙壁相撞前就停止了运动，则有
解得
=−1.6J
当
时，
≠0，其则会与墙壁相撞，由于木块B 与墙壁碰撞过程中不损失机械能，则其动能不变。
木块B 原速率弹回后与木板组成的系统在运动中不受水平外力，则系统动量守恒，则有
解得
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则从A、B 分开到B 与木板共速的过程中，只有摩擦力对木块B 做功，对木块B 分析，由动能定理得
解得
=（1.2k−2.4）J
6. （2023 天津南开二模）如图所示，固定平台右端静止着两个小滑块A、B，
，
，两滑块间夹有少量炸药，平台右侧有一带挡板的小车静止在光滑的水平地面上，小车质量
，
车面与平台的台面等高，车面左侧粗糙部分长度
，右侧拴接一轻质弹簧，弹簧自然长度所在范围
内车面光滑。点燃炸药后滑块A 滑到距平台右端
的C 点停下，滑块A 与平台间的动摩擦因数
，滑块B 冲上小车并最终与小车共速运动，滑块B 与小车粗糙部分的动摩擦因数
。两滑
块都可以视为质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，且爆炸后两个物块的速度方向在同一水平直
线上，重力加速度
。求：
（1）滑块B 刚滑上小车时速度
的大小；
（2）最终滑块B 与小车共速时速度v 的大小和方向；
（3）最终滑块B 与小车共速时距小车左端的距离。
【参考答案】（1）
；（2）
，方向水平向右；
（3）滑块B 停在离小车左端
处
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【名师解析】
（1）设爆炸后滑块A 获得速度大小为
，滑块A 滑到平台上的C 点时停下，有
或
解得
爆炸过程中，滑块A、B 组成的系统动量守恒，有
解得
（2）滑块B 最终和小车达到共同速度v，根据动量守恒定律有
解得
方向水平向右
（3）设B 在小车粗糙段滑行的路程为s，有
解得
即最终滑块B 停在离小车左端
处。
7. （2023 山东青岛二中下学期期中）如图（a）所示，质量为
的物块A 与质量为
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的长木板B 并排放置在粗糙的水平面上，二者之间夹有少许塑胶炸药，长木板B 的右端放置有可视为质点
的小物块C．现引爆塑胶炸药，爆炸后物块A 可在水平面上向左滑行
，小物块C 的速度随时间变
化图像如图（b）所示。已知物块A 和长木板B 与水平面间的动摩擦因数均为
，物块C 未从长木板
B 上掉落，重力加速度g 取
，求：
（1）炸药爆炸后瞬间长木板B 的速度大小；
（2）小物块C 的质量
；
（3）小物块C 静止时距长木板B 右端的距离d。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）对物块A 在爆炸后，知
可得
对物块A 与长木板B 在爆炸过程中知
可得.
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（2）对B、C 在相对滑动过程中共速时速度为
对小物块C，在0~1s 内
可得
对长木板B，在0~1s 内知
且
可得
（3）对长木板B 与小物块C 在0~1s 内，相对位移为
对长木板B，在1s 后至停下时知
可得
对长木板B 与小物块C 在1s 后至均停下，相对位移为
可知，小物块C 静止时距长木板B 右端的距离
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8. （2023 福建泉州三模）如图甲，水平地面上放有A、B 两块等长、等厚的匀质木板，A、B 质量分别为
m1、m2，B 的左端栓接着一原长为x1的水平轻弹簧，它们中轴在同一水平线上。现让A 以速度v0向静止的
B 运动，忽略一切摩擦。
（1）求整个过程中，弹簧对A 的冲量大小；
（2）取一块与A 相同的木板C 叠放在A 的正上方，A、C 左右两端对齐，再让A、C 起以速度v0向静止的B
运动，以A 接触弹簧时开始计时，弹簧的长度x 随时间t 的变化关系如图乙所示，t=t0时刻弹簧长度为x2。
（i）求弹簧的劲度系数；
（ii）若在t=2t0时刻，C 的重心在B 的上面，求木板长度的取值范围。
【参考答案】（1 ）
；（2 ）（i ）
，（ii ）
【名师解析】
（1）设弹簧恢复原长时A、B 的速度分别为
、
，由系统动量守恒、能量守恒得
设整个过程中弹簧对A 的冲量大小为I，由动量定理得
联立解得
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（2）因为A、C 间无摩擦，放上C 之后C 对A、B 运动不影响，C 在A、B 上全程做匀速运动。
（i）设
时A、B 的速度为v，弹簧弹性势能为EP，由系统动量守恒、能量守恒得
设弹簧的劲度系数为k，形变量为
，由功能关系得
联立解得
（ii）设弹簧被压缩过程中某一时刻A、B 的速度分别为
、
，由系统动量守恒得
经过短时间
，有
将时间
分为无数段
，设时间
内A 的位移为
，B 的位移为
，由⑩式得
时刻，弹簧恢复原长，有
若C 的重心恰好运动至B 的左端，设木板的长度为
，则有
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若C 的重心恰好运动至B 的右端，设木板的长度为
，则有
木板长度L 应为
联立解得
9. (2023 鄂东南省级示范性高中教育改革联盟5 月模拟)用火箭发射人造地球卫星，假设最后一节火箭的燃
料用完后，火箭壳体和卫星一起以
的速度绕地球做匀速圆周运动。已知卫星的质量为500kg，
最后一节火箭壳体的质量为100kg。某时刻火箭壳体与卫星分离，分离时卫星与火箭壳体沿轨道切线方向
的相对速度为
。试求：（计算结果保留两位有效数字）
（1）分离后卫星的速度增加到多少？
（2）分离过程中卫星对火箭壳体所做的功是多少？
【参考答案】（1）
；（2）
【名师解析】
（1）根据动量守恒
又
得分离后卫星的速度增加到
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（2）由（1），分离后火箭壳体的速度为
分离过程中卫星对火箭壳体所做的功为
10. （2023 广州二模）如图。玩具“火箭”由上下A、B 两部分和一个劲度系数较大
轻弹簧构成，A 的
质量为0.2kg，B 的质量为0.4kg，弹簧夹在中间，与两者不固连。开始时让A、B 压紧弹簧并锁定为一个
整体，为使A 上升得更高，让“火箭”在距地面0.8m 高处自由释放，“火箭”着地瞬间以原速率反弹，
同时解除锁定，当弹簧恢复原长时，B 恰好停在地面上，不计空气阻力和“火箭”的体积以及弹簧解锁恢
复原长的时间，重力加速度取10m/s2。求
（1）“火箭”着地时
速度大小；
（2）A 上升的最大高度；
（3）弹簧被锁定时的弹性势能。
【参考答案】：（1）4m/s；（2）7.2m；（3）9.6J
【名师解析】：
（1）“火箭”在距地面0.8m 高处自由释放，做自由落体运动
解得
（2）“火箭”着地瞬间以原速率反弹，同时解除锁定，弹簧恢复原长过程，B 恰好停在地面上,动量守恒，
取向上为正方向
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解得
A 做竖直上抛运动，可逆向看成自由落体运动
解得
（3）根据功能关系有
11．(10 分)某小组在探究反冲运动时，将质量为m1的一个小液化瓶固定在质量为m2的小船上，利用
液化瓶向外喷射气体做为船的动力．现把整个装置静止放在平静的水面上，已知打开液化瓶后向外喷射气
体的对地速度为v1，如果在Δt的时间内向后喷射的气体的质量为Δm，忽略水的阻力，求：
(1)喷射出质量为Δm 的气体后，小船的速度是多少？
(2)喷射出质量为Δm 气体的过程中，小船所受气体的平均作用力的大小是多少？
【名师解析】：(1)由动量守恒定律得
(m1＋m2－Δm)v 船－Δmv1＝0
解得：v 船＝.
(2)对喷射出的气体运用动量定理得：FΔt＝Δmv1
解得：F＝
由牛顿第三定律得，小船所受气体的平均作用力大小为F＝.
答案：(1) (2)
12.一火箭喷气发动机每次喷出m＝200 g 的气体，气体离开发动机喷出时的速度v＝1 000 m/s(相对地
面)．设火箭质量M＝300 kg，发动机每秒钟喷气20 次．
(1)当第三次气体喷出后，火箭的速度多大？
(2)运动第1 s 末，火箭的速度多大？
【名师解析】
解法一 (1)喷出气体运动方向与火箭运动方向相反，系统动量可认为守恒．
设第一次气体喷出后，火箭速度为v1，
则(M－m)v1－mv＝0，
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解得v1＝；
设第二次气体喷出后，火箭速度为v2，
有(M－2m)v2－mv＝(M－m)v1，
解得v2＝；
设第三次气体喷出后，火箭速度为v3，
有(M－3m)v3－mv＝(M－2m)v2，
解得v3＝≈2 m/s．
(2)依次类推，设第n 次气体喷出后，火箭速度为vn，
有(M－nm)vn－mv＝[M－(n－1)m]vn－1，
解得vn＝．
因为每秒喷气20 次，所以第1 s 末火箭速度为
v20＝≈13.5 m/s．
解法二 (1)整体选取研究对象，运用动量守恒定律求解．
设喷出三次气体后火箭的速度为v3，以火箭和喷出的三次气体为研究对象，据动量守恒定律得
(M－3m)v3－3mv＝0，
解得v3＝≈2 m/s．
(2)以火箭和喷出的20 次气体为研究对象，
则(M－20m)v20－20mv＝0，
解得v20＝≈13.5 m/s．
答案 (1)2 m/s (2)13.5 m/s
22
