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2024 高考物理疑难题精讲（2）
带电粒子收集率问题
【高考题】
【典例1】（2023 年高考题）
某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入由一
对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度v0 保持不变。在匀强电场作用
下，带电颗粒打到金属板上被收集。已知金属板长度为L，间距为d，不考虑重力影响和颗粒间相互作用。
（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为-q 的颗粒恰好全部被收集，求两金属极板间的电压U1.
（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v 方向相反，大小为f=krv，其中r 为颗粒的
半径，k 为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a. 半径为R、电荷量为-q 的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压U2.
b. 已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比。进入收集器的均匀混合气流包含了直径为10μm 和
2.5μm 的两种颗粒，若10μm 的颗粒恰好100%被收集，求2.5μm 的颗粒被收集的百分比。
【名师解析】：
（1）只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集板右侧，颗粒就能够全部收集。
L=v0t，d=
, qE=ma, E=U1/d
联立解得：U1=
,
（2）a。可把颗粒的运动分解为水平方向匀速直线运动和竖直方向运动
颗粒在水平方向，L=v0t，
1
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颗粒极短时间内加速到最大速度后，所受阻力等于电场力，f=kRvmax，f=qU2/d
在竖直方向颗粒匀速下落， d=vmaxt
联立解得：U2=
b. q∞r2，10μm 带电荷量q 的颗粒恰好100%收集，
颗粒极短时间内加速到最大速度后，所受阻力等于电场力，f=kRvmax，f=qU2/d
在竖直方向颗粒匀速下落， d=vmaxt
2.5μm 的颗粒带电荷量为q’=q/16，
颗粒极短时间内加速到最大速度后，所受阻力等于电场力，f’=k
Rv’max，f’=q’U2/d
设只有距离下极板为d’的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落， d’=v’maxt
联立解得：d’=d/4
所以2.5μm 的颗粒被收集的百分比为
×100%=25%。
【高考模拟题】
1．（10 分）（2023 温州十校联合体期中）如图所示是粒子收集器示意图，该结构处于真空环境并由三部
分构成，区域Ⅰ与区域Ⅱ由两高压平行电极板构成，间距均为d＝20cm，下极板带正电，上极板带负电，
板间形成竖直向上的匀强电场。区域Ⅰ中还存在匀强磁场B，区域Ⅰ板间电压恒为
，区域Ⅱ
板长为L＝10cm，板间存在可变电压
，最右侧为一无限大接收屏。现有一群在竖直方向上均匀排列的
带负电粒子，其质量为m，电荷量为－q，以水平速度
射入区域Ⅰ，只有速度始终保持水平
的粒子才能穿过筛选膜，否则将被吸收。筛选膜对水平射入的粒子的电量和速度均无任何影响，运动过程
中忽略粒子重力，不考虑粒子间相互作用，不考虑边缘效应。（
）
2
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（1）若要使得粒子通过筛选膜，求匀强磁场B 的大小和方向；
（2）若使得接收屏恰好无法接收到粒子，求此时的
；
（3）求收集率
与
的关系。
【参考答案】．（1）
方向垂直纸面向外
（2）
（3）见解析
【名师解析】（1）由题意可知，粒子做匀速直线运动。
（1 分）
解得
（1 分）方向垂直纸面向外（1 分）
（2）若最上面的粒子恰好打到下极板边缘，则所有粒子都不会打出去。
则
（公式3 条写全得2 分，有写出一条得1 分）
解得
（1 分）
（3）
，
（1 分）
当
时，设恰好打到下极板边缘的粒子距下极板的距离为y。
（1 分）
3
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将相关数据代入解得
（2 分）
2．（18 分）（2023 四川德阳一诊）为研究静电除尘，有人设计了一个盒状容器，容器侧面是绝缘的透明
有机玻璃，它的上下底面是面积为A 的金属板，间距为L，当连接到电压为U 的高压电源正负两极时，能
在两金属板间产生匀强电场，如图所示．容器的下底面的金属板均匀分布许多小孔，合上开关后，烟尘颗
粒可以源源不断地稳定地从小孔流入容器中，假设单位时间内进入的颗粒数为n 个，每个颗粒带电荷量为
、质量为m，不考虑颗粒之间的相互作用和空气阻力，并忽略颗粒所受重力．并认为颗粒刚进入电场
时的初速度为零，当电流稳定后，求：
（1）上极板受到冲击力的大小；
（2）电场力对颗粒做功的功率；
（3）在靠近上极板附近的薄层（厚度极小）内烟尘颗粒的总动能与容器中央（到上极板的距离为
）相
同厚度的薄层内烟尘颗粒的总动能之比．
【名师解析】．（1）对极短时间
t 内撞到上底面的颗粒，由动量定理
①
极短时间
内撞到上底面的颗粒数量为：
②
对某一个颗粒，从下底面到上底面，由动能定理：
③
4
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由①②③得：
（2）方法一：从电路的角度求解
电路中电场力做功的功率：
⑦
带电颗粒上升过程形成的
⑧
由⑦⑧解得：
方法二：
电场力做功的功率：
⑦
在时间
内电场力对容器内所有颗粒所做功W 等价于把
内进入容器的颗粒的速度从0 增大到电场力
所做的功，v 为颗粒到达上底面时的速度：
⑧
对一个颗粒从下底面到上底面，由动能定理：
⑨
由⑦⑧⑨解得：
方法三：
总电场力做功的功率：
⑦
容器内所有颗粒所受总电场力：
⑧
对一个颗粒从下底面到上底面：
⑨
由⑦⑧⑨解得：
（3）设在靠近上极板附近的薄层厚度为
，因为厚度极小
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所以薄层内的颗粒的速度可视为都为
对一个颗粒从下底面到上底面：
薄层内的颗粒数量为：
薄层内烟尘颗粒的总动能：
由以上四个式子可得：
在靠近上极板附近的薄层（厚度极小）内烟尘颗粒的总动能：
设在容器正中央厚度为
的薄层，因为厚度极小
所以薄层内的颗粒的速度可视为都为
对一个颗粒从下底面到上底面：
薄层内的颗粒数量为：
薄层内烟尘颗粒的总动能：
由以上四个式子可得：
在容器正中央相同厚度的薄层内烟尘颗粒的总动能：
综上所述，两处总动能之比：
3. （2023 浙江温州重点高中期中联考） 静电除尘器中有一个设计是两段式的，即尘埃带电和除尘分别在
两段空间内进行。由两块平行电极板构成的除尘空间如图所示，两电极板与电压恒定的高压直流电源相连，
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间距为d，板间电压恒为U，板长为L，忽略边缘效应。经带电空间带电后的尘埃，其质量为m，电荷量为
，以水平速度
均匀射入除尘空间，当其碰到下极板时，所带电荷立即被中和，同时尘埃被收集，运
动过程中忽略尘埃粒子重力及空气阻力，不考虑粒子间相互作用，若
，
，
，
时，所有的尘埃粒子都在下极板处被捕获。
（1）求电极板的最小长度
。
（2）所有被下极板捕获的尘埃粒子中，到达下极板时速度的最大值是多少？
（3）距下极板
处射入的尘埃粒子到达下极板时距极板左端多远？
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）射入电场的尘埃粒子做类似平抛运动，沿电场方向加速度为
根据运动学公式有
联立解得
垂直电场方向有
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（2）最上方入射的尘埃粒子到达下极板时速度最大，根据动能定理得
解得
（3）根据
解得
所以最上方入射的尘埃粒子与中间入射的尘埃粒子在电场中运动时间之比为
水平位移之比为
中间处射入的尘埃粒子到达下极板时与极板左端距离为
4．(12 分) （2021 山东淄博重点高中质检）
如图，为除尘装置的截面示意图，水平放置的金属极板M、N 间距离为d，大量均匀分布的带负电尘埃以
相同速度进入两板间，速度方向与板平行，大小为v0，每颗尘埃的质量均为m，带电荷量均为q。现有两
个可行的除尘方案：
方案一：如图甲，在两板间加上恒定电压，所加电压为U0，尘埃会被极板吸附，除尘效率为50％。
方案二：如图乙，在原有两极板M、N 的截面内，建立平面直角坐标系xOy 轴垂直于金属板并过板的右端，
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x 轴与两板中轴线共线；在P(2.5d，－2d)处放置开口向上且大小不计的尘埃收集容器。撤去两板间电场，
然后只需在y 轴右侧的某圆形区域内施加一垂直于纸面向里的匀强磁场，就可以把所有尘埃全部收集到容
器中。尘埃颗粒重力、颗粒间作用力、尘埃颗粒对板间电场影响均不计。
(1)在方案一中，要使除尘效率达到100％，则两板间应加多大电压；
(2)在方案二中，要把所有尘埃全部收集到容器中，则在圆形区域内所施加匀强磁场的磁感应强度大小应满
足什么条件。
【名师解析】．（12 分）
（1）在方案一中，要使除尘效率达到100%，设两板间应加电压为U，尘埃在板间运动时间为t，有
（2 分）
（1 分）
解得：
（1 分）
（2）设圆形磁场区域的半径为R1，尘埃在磁场中做圆周运动的半径为R2，要使所有尘埃都能到达P 点，
必须满足
（2 分）
另有
（1 分）
当圆形区域过P 点且与M 板的延长线相切时，R2最小，B 最大，如图，由几何关系得
（1 分）
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解得：
（1 分）
当圆形区域过P 点且在M 板右端点与y 轴相切时，R2最大，B 最小，如图，由几何关系得
（1 分）
解得：
（1 分）
所以圆形区域内匀强磁场的磁感应强度大小应满足什么条件为
（1 分）
5.（2020 北京石景山高三一模）如图甲所示，静电除尘装置中有一长为L、宽为b、高为d 的矩形通道，其
前、后面板使用绝缘材料，上、下面板使用金属材料。图乙是装置的截面图，上、下两板与电压为U0的高
压直流电源相连。质量为m、电荷量为-q、分布均匀的尘埃以水平速度v0进入矩形通道，当带负电的尘埃
碰到下板后其所带电荷被中和，同时被收集。通过调整两板间距d 可以改变收集效率η。当d=d0时η=64%
（即离下板0.64d0范围内的尘埃能够被收集）。不计尘埃的重力及尘埃之间的相互作用。
（1）求尘埃在电场中运动的加速度大小；
（2）如图乙所示，假设左侧距下板y 处的尘埃恰好能到达下板的右端边缘，请写出收集效率的表达式，
并推测收集效率为100%时，上、下两板间距的最大值dm；
（3）若单位体积内的尘埃数为n，求稳定工作时单位时间内下板收集的尘埃质量
与两板间距d 的
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函数关系，并绘出图线。
【名师解析】、
（1）上、下两板间的电场
（1 分）
（1 分）根据牛顿第二定律
（1 分）
尘埃的加速度
（1 分）
（2）根据题意，收集效率为
（2 分）
收集效率η 为64%，即离下板0.64d0的尘埃恰好到达下板的右端边缘，
在水平方向
在竖直方向
当减少两板间距d，能够增大电场强度，提高装置对尘埃的收集效率。收集效率恰好为100%时，两板间
距为dm。如果进一步减少d，收集效率仍为100%。在水平方向
在竖直方向
其中
解得
（3 分）
（3）稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量
（1 分）
①当
时，
，因此
（1 分）
②当
时，
解得
因此
（1 分）
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【说明】其他方法正确即可给分
6. （2020 高考模拟卷）如图是某种静电分选器的原理示意图，两个竖直放置的平行金属板带有等量异号
电荷，形成匀强电场。分选器漏斗的出口与两板上端处于同一高度，到两板距离相等。混合在一起的a、b
两种颗粒从漏斗出口下落时，a 种颗粒带上正电,b 种颗粒带上负电。经分选电场后，a、b 两种颗粒分别落
到水平传送带A、B 上。已知两板间距d=0.1m,板的长度l =0.5m，电场仅局限在平行板之间;各颗粒所带电
量大小与其质量之比均为1×10−5C/kg。设颗粒进入电场时的初速度为零，分选过程中颗粒大小及颗粒间的
相互作用力不计。要求两种颗粒离开电场区域时，不接触到极板但有最大偏转量。重力加速度g=10m/s2
（计算结果均保留一位有效数字）。
(1)左、右两板各带何种电荷?两极板间的电压多大?
(2)若两带电平行板的下端距传送带A、B 的高度H=0.3m，颗粒落至传送带时的速度大小是多少?
(3)设颗粒每次与传送带碰撞反弹时，沿竖直方向的速度大小为碰撞前竖直方向速度大小的一半，求颗粒第
2 次与传送带碰撞反弹的高度？
【参考答案】(1) 1×104V (2) 4m/s (3) 0.05m
【名师解析】
（1）由a 颗粒带正电，故电场方向向左，所以左板带负电荷，右板带正电荷；
依题意,颗粒在平行板的竖直方向上做自由落体运动,故满足：
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在水平方向上做匀加速直线运动,故满足：
得两极板间的电压为：
U=1×104V
（2）根据动能定理，颗粒落到水平传送带上满足：
解得颗粒落到水平传送带上时的速度大小为：
v=4m/s
（3）在竖直方向颗粒作自由落体运动,可得颗粒第一次落到水平传送带上沿竖直方向上
故颗粒第一次反弹的速度大小为
；第二次反弹的速度大小为
颗粒第2 次反弹后上升的高度h 为：
可得颗粒第二次反弹高度为：
h=0.05m
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