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2024 高考物理疑难题精讲（4）
带电粒子在复合场中运动
【高考题】
【典例1】（2023 江苏卷16 题）. 霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy 平面内存在
竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e 的电子从
O 点沿x 轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x 轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动
轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
（1）求电场强度的大小E；
（2）若电子入射速度为
，求运动到速度为
时位置的纵坐标y1；
（3）若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标
位置的电子数N 占总电子
数N0的百分比。
【名师解析】
（1）根据题述，电子入射速度为v0时，电子沿直线运动，
电子沿x 轴正方向入射，由左手定则可判断出电子所受洛伦兹力向下，所受电场力向上。
由平衡条件，eE=ev0B，
解得：E=v0B。
（2）由于洛伦兹力对运动电荷不做功，由动能定理 eEy1=
-
1
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解得：y1=
（3）设电子入射速度为v1时，恰能够到达纵坐标y2=
，到达y2=
时速度为v2，
根据题述，电子入射速度小于v0时，在最高点和最低点所受合力相等，
有
解得：
=2v0 ①
由动能定理 eEy2=
-
，
可得
-
=
②
联立解得：v1=
能够到达纵坐标y2=
位置的电子数N 占总电子数N0的百分比为
=
×100%=4.7%。
【典例2】.（19 分）（2016 高考四川理综物理）如图所示，图面内有竖直线DD＇，过DD＇且垂直于图面
的平面将空间分成I、II两区域。区域I有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直图面的匀强磁场B（图中未画
出）；区域II有固定在水平面上高
、倾角
的光滑绝缘斜面，斜面顶端与直线DD＇距离
，区域II可加竖直方向的大小不同的匀强电场（图中未画出）；C 点在DD＇上，距地面高
。
零时刻，质量为m、带电荷量为q 的小球P 在K 点具有大小
、方向与水平面夹角
的速度，
2
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在区域I内做半径
的匀速圆周运动，经C 点水平进入区域II。某时刻，不带电的绝缘小球A 由斜面
顶端静止释放，在某处与刚运动到斜面的小球P 相遇。小球视为质点，不计空气阻力及小球P 所带电量对
空间电磁场的影响。l 已知，g 为重力加速度。
（1）求匀强磁场的磁感应强度的大小；
（2）若小球A、P 在斜面底端相遇，求释放小球A 的时刻tA；
（3）若小球A、P 在时刻
（β 为常数）相遇于斜面某处，求此情况下区域II的匀强电场的场强
E，并讨论场强E 的极大值和极小值及相应的方向。
【参考答案】（1）
；（2）
（3）场强极小值为
；场强极大值为
，方向竖直向上。
【名师解析】
（1）由题知，小球P 在区域Ⅰ内做匀速圆周运动，有
①
代入数据解得
②
（2）小球P 在区域Ⅰ做匀速圆周运动转过的圆心角为θ，运动到C 点的时刻为tC，到达斜面低端时刻为
t1，有
③
④
小球A 释放后沿斜面运动加速度为aA，与小球P 在时刻t1 相遇于斜面底端，有
3
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⑤
⑥
联立以上方程可得
⑦
（3）设所求电场方向向下，在t'A时刻释放小球A，小球P 在区域Ⅱ运动加速度为aP，有
⑧
⑨
⑩
联立相关方程解得
对小球P 的所有运动情形讨论可得
由此可得场强极小值为
；场强极大值为
，方向竖直向上。学科.网
考点：平抛运动；圆周运动；牛顿第二定律的应用
【高考模拟题】
1. （2023 北京清华附中质检）. 空间同时存在匀强电场和匀强磁场。匀强电场的方向沿y 轴正方向，场强
大小为E；磁场方向垂直纸面向外。质量为m、电荷量为＋q 的粒子(重力不计)从坐标原点O 由静止释放，
释放后，粒子恰能沿图中的曲线运动。已知该曲线的最高点P 的纵坐标为h，曲线在P 点附近的一小部分，
可以看做是半径为2h 的圆周上的一小段圆弧，则( )
4
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A. 粒子在y 轴方向做匀加速运动
B. 粒子在最高点P 的速度大小为
C. 磁场的磁感应强度大小为
D. 粒子经过时间π
运动到最高点
【参考答案】C
【名师解析】
受力分析可知，粒子受到洛伦兹力沿y 轴方向的分力是变化的，故粒子在y 轴方向的合力是变化的，故加
速度是变化的，故A 错误；
从O 到P 时，洛伦兹力不做功，由动能定理得qEh＝
解得vP＝
，故B 错误；
粒子经过最高点时，洛伦兹力和电场力的合力提供向心力，即
qvPB－qE＝m
联立解得B＝
，故C 正确；
因为粒子在空间中做比较复杂的曲线运动，无法计算出粒子运动到最高点的时间，故该时间并非粒子运动
到最高点的时间，故D 错误。
2. （2023 湖南二轮复习联考）如图所示为研究某种带电粒子的装置示意图，粒子源射出的粒子束以一定
的初速度沿直线射到荧光屏上的
点，出现一个光斑.在垂直纸面向里的方向上加一宽度为
、磁感应强
度为
的匀强磁场后，粒子束发生偏转，沿半径为
的圆弧运动，最后打在距磁场右侧距离为
的荧光屏
上的
点.现在磁场区域再加一竖直方向、电场强度大小为
的匀强电场，光斑从
点又回到
点，不计
粒子重力，则（ ）
5
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A.粒子带正电
B.粒子的初速度大小为
C.粒子的比荷为
D.
两点之间的距离为
【参考答案】.AC
【名师解析】由左手定则可知，粒子带正电，A 正确；由
，得
，错误；由
，
得
，C 正确；粒子在磁场中偏转的距离
，出磁场后竖直方向的位移
，
两点之间的距离
，D 错误.
3. （2023 河南开封二模） 如图所示，在边长为L 的正方形ABCD 区域内有水平向右的匀强电场E，一不计
重力的带电粒子从C 点沿CA 方向以速度
射入，粒子经过B 点打在BD 边右侧距离为L 的光屏上的P 点，
现撤去电场，加上垂直纸面方向的匀强磁场B，仍让该带电粒子以速度
从C 点沿CA 方向射入，粒子也经
过B 点打在光屏上的Q 点（P、Q 点均未标出）则（ ）
A.
的比值为
B.
的比值为
6
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C. 光屏上PQ 两点的距离为L
D. 光屏上PQ 两点的距离为
【参考答案】AD
【名师解析】
由题意可知该粒子带正电，设其电荷量为
，质量为
。粒子从C 点沿CA 方向以速度
射入匀强电场后
该粒子做类平抛运动，设粒子到达B 点时所用的时间为，做类平抛运动的加速度为
，则根据平抛运动
的相关知识有
，
，
联立解得
当撤去电场，加上垂直纸面方向的匀强磁场B 时，粒子仍然经过B 点，则由几何关系可知，粒子在磁场中
做圆周运动的半径为
，则由洛伦兹力充当向心力可得
解得
、
则可得
故A 正确，B 错误；
当粒子经电场偏转从B 点出射时，根据粒子在电场中做类平抛运动可知
，
设粒子从B 点到P 点所用的时间为
，竖直向上的位移为
，则有
7
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，
而根据几何关系可知粒子在场中偏转后将从B 点平行于CD 射向光屏上的Q 点，由此可知PQ 间的距离
故C 错误，D 正确。
4.（2023 湖北五校联盟高二期中）如图所示，空间中存在在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，有一带电
液滴在竖直面内做半径为 R 的匀速圆周运动，已知电场强度为 E，磁感应强 度为 B，重力加速度为 g，
则液滴环绕速度大小及方向分别为（ ）
A． E /B ，顺时针 B． E/ B ，逆时针
C． BgR/ E ，逆时针 D． BgR/ E ，顺时针
【参考答案】D
【名师解析】带电 液滴在竖直面内做半径为 R 的匀速圆周运动，重力和电场力平衡，mg=qE，洛伦兹力
提供向心力，qvB=mv2/R，联立解得v= BgR/ E，由于电场力方向竖直向上，油滴带负电，由左手定则可判
断出油滴顺时针方向运动，选项D 正确。
5. （2023 重庆信息联考卷3）如图所示，场强为E 的匀强电场方向竖直向下，磁感应强度为B 的匀强磁场
垂直电场向外，带电量为q 的小球（视为质点）获得某一垂直磁场水平向右的初速度，正好做匀速圆周运
动，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A. 小球必须带正电
B. 小球的质量为
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C. 小球做匀速圆周运动的周期为
D. 若仅把电场的方向改成竖直向上，小球正好做匀速直线运动，则其速度为
【参考答案】C
【名师解析】
小球受到重力、电场力和洛伦兹力的作用，小球做圆周运动，则电场力与重力平衡，可知，电场力竖直向
上，电场力方向与电场强度方向相反，则小球带负电，A 错误；
根据上述有
解得
，B 错误；
小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，则有
，
结合上述解得
，C 正确；
若把电场的方向改成竖直向上，小球正好做匀速直线运动，根据平衡条件有
结合上述解得
，D 错误。
6. （2022 山东聊城重点高中质检） 如图所示，空间存在水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁
场，一质量为m、带电量大小为q 的小球，以初速度v0沿与电场方向成45°夹角射入场区，能沿直线运动。
经过时间t，小球到达C 点（图中没标出），电场方向突然变为竖直向上，电场强度大小不变。已知重力
加速度为g，则（ ）
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A. 小球一定带负电
B. 时间t 内小球做匀速直线运动
C. 匀强磁场的磁感应强度为
D. 电场方向突然变为竖直向上，则小球做匀加速直线运动
【参考答案】BC
【名师解析】
假设小球做变速直线运动，小球所受重力与电场力不变，而洛伦兹力随速度的变化而变化，则小球将不可
能沿直线运动，故假设不成立，所以小球一定受力平衡做匀速直线运动，故B 正确；
小球做匀速直线运动，根据平衡条件可以判断，小球所受合力方向必然与速度方向在一条直线上，故电场
力水平向右，洛伦兹力垂直直线斜向左上方，故小球一定带正电，故A 错误；
根据平衡条件，
解得
，故C 正确；
根据平衡条件可知
。
电场方向突然变为竖直向上，则电场力竖直向上，与重力恰好平衡，洛伦兹力提供向心力，小球将做匀速
圆周运动，故D 错误。
7. （2023 湖南衡阳二模）空间存在竖直向上的电场和竖直向上的磁场，磁感应强度为
，一质量为
，
带电荷量为
的微粒P 静止于
点，一质量也为
、不带电的小球Q 从纸面外垂直于纸面以速度
射
向微粒P，二者粘合在一起运动，已知微粒的落地点在
点正下方的
点，已知当地的重力加速度为
，
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求：
（1）电场强度
；
（2）微粒与小球粘合后向右运动的最大距离；
（3）
的距离
应满足的条件。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
（
，
，
）
【名师解析】
（1）带电荷量为
的微粒P 静止于
点，根据受力平衡可得
解得电场强度为
（2）微粒P 和小球Q 碰撞过程满足动量守恒，则有
碰撞后微粒在水平方向受洛伦兹力，在竖直方向所受重力
大于电场力
，在竖直方向做初速度为零
的匀变速直线运动，且竖直速度的增大不影响洛伦兹力，在水平方向，根据洛伦兹力提供向心力可得
解得
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微粒与小球粘合后向右运动的最大距离为
（3）粘合后的整体在竖直方向做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得
整体的落地点在
点正下方的
点，因此整体在水平方向刚好转动
圈，在水平方向转动一圈的时间为
粒子落地时间满足
（
，
，
）
的距离为
联立解得
（
，
，
）
8. （2023 河南开封二模）建立如图所示的坐标系xOy，x 轴紧挨着光滑绝缘的水平地面。在
且
区域内存在着彼此垂直的匀强电场与匀强磁场，匀强电场平行y 轴向上，匀强磁场垂直纸面向里
质量为m 且带电量为q 的小球（视为点电荷）从坐标原点以速度
沿x 轴射入该区域，小球在复合场中做
匀速圆周运动，并恰好从坐标为
的点飞离复合场。忽略空气阻力，小球在运动过程中电荷量保持不
变，重力加速度为g，试求：
（1）匀强电场E 及匀强磁场B 的大小；
（2）小球落地时
坐标；
（3）若小球从坐标原点以速度
沿x 轴射入该区域，此后经多长时间第5 次进入复合场，并确定进入点
的坐标。
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【参考答案】（1）
，
；（2）（
）；（3）
，（7a，a）
【名师解析】
（1）小球在复合场中做匀速圆周运动，故电场力与重力平衡，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有
解得
小球恰好从坐标为
的点飞离复合场，由几何关系得
洛伦兹力提供向心力
联立解得
（2）小球飞离复合场后做平抛运动，则有
，
解得
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故小球落地时的坐标为（
）
（3）若小球从坐标原点以速度
沿x 轴射入该区域，小球在磁场中运动的轨迹半径为
解得
根据几何关系可知，小球在磁场中运动四分之一圆弧后垂直与磁场边界方向即竖直向上做竖直上抛运动，
再竖直进入磁场做周期性运动，第5 次进入复合场时经历了四次竖直上抛的往复运动时长为
此过程在磁场中偏转的角度为
小球在磁场中的周期为
在磁场中偏转的时间为
故第5 次进入复合场对应的时间为
第5 次进入复合场的横坐标为
故进入点的坐标（7a，a）。
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9. (2023 天津一中质检) 控制带电粒子的运动在现代科学技术、生产生活、仪器电器等方面有广泛的应用。
如图，以竖直向上为
轴正方向建立直角坐标系，该真空中存在方向沿
轴正方向、电场强度大小
的匀强电场和方向垂直
平面向外、磁感应强度大小
的匀强磁场。原点
处的
粒子源连续不断地发射速度大小和方向一定、质量
、电荷量
的带负电的粒子束，
粒子恰能在
平面内做直线运动，重力加速度为
，不计粒子间的相互作用。
（1）求粒子发射速度的大小和方向；
（2）若保持E、B 初始状态和粒子束的初速度不变，在粒子从
点射出时立即取消磁场，求粒子从
点射
出后经过
轴时的坐标（不考虑磁场变化产生的影响）；
（3）若保持E、B 初始状态和粒子束的初速度不变，在粒子从
点射出时立即将电场变为竖直向下、场强
大小变为
，求从
点射出的所有粒子第一次打在
轴上的坐标（不考虑电场变化产生的影响）。
【参考答案】（1）
，与
轴负方向夹角为
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）粒子做匀速直线运动，则
解得
粒子出射的速度方向与
轴负方向夹角为
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（2）撤去磁场后，粒子做类平抛运动
解得
所以坐标
。
或粒子在水平向右的方向做匀减速运动，速度减为零后反向加速；竖直向下方向做匀加速运动，当再次回
到
轴时，沿
轴负向的位移最大，此时
（3）由题意可得
粒子做匀速圆周运动
解得
由几何关系可知
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坐标
。
10. （2023 山东烟台三模）如图所示，在
区域存在沿y 轴正方向的匀强电场（图中未画出），电场
强度大小为E，在
区域存在平行于y 轴正方向的匀强磁场（图中未画出）和沿z 轴正方向的匀强电场
（图中未画出），电场强度大小为2E。质量为m、电荷量为
的小球从
处由静止释放，小
球从原点进入
区域，在
处有一垂直于y 轴的荧光屏（图中未画出），小球打在荧光屏上
点。已知重力加速度为g。
（1）求
区域匀强电场的电场强度E；
（2）求匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
（3）若磁感应强度取最小值，当小球离y 轴最远时，求小球到原点O 的距离。
【参考答案】（1）
；（2）
（
）；（3）
【名师解析】
（1）小球由静止释放，从原点进入
区域
解得
17
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（2）
区域
小球所受合力为洛伦兹力。小球在原点速度
与水平方向夹角
y 轴正方向速度
运动时间
z 轴负方向速度
由洛伦兹力提供向心力
运动周期
则
（
）
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解得
（
）
（3）若磁感应强度取最小值
半径
周期
当小球离y 轴最远时，运动时间
求小球到原点O 的距离
11. （2023 安徽考前模拟）如图所示，xOy 为竖直面内的直角坐标系，在y 轴两侧存在电场强度大小相等
的匀强电场，y 轴右侧电场方向竖直向下，y 轴左侧电场方向竖直向上。y 轴左侧还存在一个方向垂直于坐
标平面的圆形有界匀强磁场（图中未画出），磁场边界与y 轴相切于O 点。现有一个质量为m、电荷量为
q 的带正电小球，用长为l、不可伸长的绝缘细线悬挂在P 点的钉子上，P 点与坐标原点O 的距离亦为l。将
小球拉至细线绷直且与y 轴负方向成60°角无初速释放，小球摆至O 点即将进入磁场时细线恰好断裂。最
终小球刚好击中P 点的钉子，此时速度方向与y 轴正方向成30°角。已知细线能承受的最大张力Fm=4mg，
小球可视为质点，重力加速度为g，不计阻力。求：
（1）电场强度的大小；
（2）磁感应强度的大小和磁场区域的面积；
（3）小球在x＜0 区域运动的时间。（结果用m、q、l、g 表示）
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【参考答案】(1)
；(2)
，
；(3)
【名师解析】
（1）设小球从静止释放运动到O 点时的速率为v0，由动能定理得
在O 处细线恰好断裂，由牛顿第二定律得
而
Fm=4mg
联立解得
，
（2）由前面分析可知小球在O 处进入磁场后，重力与电场力恰好平衡，粒子做匀速圆周运动。出磁场后
做匀速直线运动到达P 处。粒子运动轨迹如图所示
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O1、O2分别为轨迹圆心、磁场圆心，设r、R 分别为轨迹圆、磁场圆
半径，根据几何关系有
解得
由牛顿第二定律得
解得
方向垂直于纸面向外；由几何关系可知
，
解得
21
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（3）小球在磁场中运动轨迹所对的圆心角为
，所用的时间
出磁场后匀速直线运动，所用时间
故小球在x<0 区域运动的时间
12. （2022 北京丰台模拟）2021 年4 月我国空间站天和核心舱成功发射，核心舱首次使用了一种全新的推
进装置——霍尔推力器。其工作原理简化如下：如图甲所示，推力器右侧阴极逸出（初速度极小）的一部
分电子进入放电室中，放电室内由沿圆柱体轴向的电场和环形径向磁场组成，电子在洛伦兹力和电场力的
共同作用下运动，最终大多数电子被束缚在一定的区域内，与进入放电室的中性推进剂工质（氙原子）发
生碰撞使其电离；电离后的氙离子在磁场中的偏转角度很小，其运动可视为在轴向电场力作用下的直线运
动，飞出放电室后与阴极导出的另一部分电子中和并被高速喷出，霍尔推力器由于反冲获得推进动力。设
某次核心舱进行姿态调整，开启霍尔推力器，电离后的氙离子初速度为0，经电压为U 的电场加速后高速
喷出，氙离子所形成的等效电流为I。已知一个氙离子质量为m，电荷量为q，忽略离子间的相互作用力和
电子能量的影响，求：
（1）单位时间内喷出氙离子的数目N；
（2）霍尔推力器获得的平均推力大小F；
（3）放电室中的电场和磁场很复杂，为简化研究，将图甲中磁场和电场在小范围内看做匀强磁场和匀强
电场，俯视图如图乙所示，设磁感应强度为B，电场强度为E。选取从阴极逸出的某电子为研究对象，初速
度可视为0，在小范围内运动的轨迹如图，已知电子质量为me，电荷量为e，忽略电子间，电子与离子间
的相互作用力，求电子在沿轴向方向运动的最大距离H。
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【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】（1）由电流定义，
解得
（2）以△t 时间内喷出的n 个氙离子为研究对象，设氙离子喷出速度为v，由动能定理，
由动量定理，
联立解得：
；
由牛顿第三定律，霍尔推力器获得的平均推力大小F=
（3）设电子运动到轴向最大距离H 时的速度为vm，方向垂直于E，将任意时刻电子的速度v 分解在沿F 方
向和垂直E 方向上，分别为v1 和v2，与v1 方向对应的洛伦兹力f2 垂直E 方向向上，大小为
电子由静止运动到最大距离过程中，垂直E 方向应用动量定理得
电子由静止运动到最大距离过程中，由动能定理得
23
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联立解得：
24
