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12.带电粒子在有界匀强磁场中的运动
一、粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
(1)画圆弧、定半径：
从磁场的边界点或轨迹与磁场边界的“相切点”等临界点入手；充分应用圆周运动
相互垂直的“速度线”与“半径线”．
①过粒子运动轨迹上任意两点M、N(一般是边界点，即“入射点”与“出射点”)，
作与速度方向垂直的半径，两条半径的交点是圆心O，如图甲所示．
②过粒子运动轨迹上某一点M(一般是“入射点”或“出射点”)，作与速度方向垂
直的直线，再作M、N 两点连线(弦)的中垂线，其交点是圆弧轨道的圆心O，如图乙
所示．
(2)确定几何关系：
在确定圆弧、半径的几何图形中，作合适辅助线，依据圆、三角形的特点，应
用勾股定理、三角函数、三角形相似等，写出运动轨迹半径r、圆心角(偏向角)θ，
与磁场的宽度、角度，相关弦长等的几何表达式．
(3)确定物理关系：
相关物理关系式主要为半径r＝，粒子在磁场的运动时间t＝T＝T(圆弧的圆心角
φ 越大，所用时间越长，与半径大小无关)，周期T＝.
例题1. 中国近20 年来在粒子物理实验与粒子探测技术领域取得了很大进展。某研究学者
在做粒子探测实验时，将一个电量为
的粒子，自匀强磁场a 点向左水平射出，当它
运动到b 点时，与一个带电量为
静止的粒子发生碰撞并结合为一个新粒子，不考
虑粒子的重力，试分析接下来新粒子的运动轨迹是（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
练1. 如图所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，一带电微粒从磁场边界d 点垂直于磁场方
向射入，沿曲线dpa 打到屏MN 上的a 点。若该微粒经过p 点时，与一个静止的不带电微
粒碰撞并结合为一个新微粒，最终打到屏MN 上。微粒所受重力均可忽略，下列说法正确
的是（ ）
A．微粒带负电
B．碰撞后，新微粒运动轨迹不变
C．碰撞后，新微粒运动周期不变
D．碰撞后，新微粒在磁场中受洛伦兹力变大
二、 带电粒子在有界磁场中的运动
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
2
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3．圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示．
(2)不沿径向射入时，如图乙所示．
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.
例题2. 在xOy 平面的0≤y<a 的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，速率相等的大量质子
从原点O 均匀发射到第一象限内，从磁场上边界射出的质子数占总数的三分之二，不计质
子间相互作用，则质子在磁场中的临界轨迹可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
练2. 分别带正、负电荷的A、B 两个粒子，以相等速率从匀强磁场的直线边界上的M、N
点分别以60°和30°（与边界的夹角）入射方向射入磁场，又从M、N 两点之间的P 点射出，
已知MP 与PN 长度之比为
：2，如图所示。设边界上方的磁场范围足够大，不计两带电
粒子相互作用，则A、B 两粒子的比荷之比为（ ）
3
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A．2：1
B．3：2
C．2：3
D．1：2
例题3. 如图所示，边长为L 的正方形区域
内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感
应强度为B。一带电粒子以速度v 从D 点射入磁场，速度方向与
边夹角为
，垂直
边射出磁场，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子一定带正电
B．粒子的比荷为
C．粒子在磁场中的运动时间为
D．减小粒子的速度，粒子不可能从
边射
出
练3. 如图所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd，e 是ad 的中点，f 是cd 的中点，如果
在a 点沿对角线方向以速度v 射入一带负电的带电粒子，恰好从e 点射出，不计粒子重力，
则（ ）
A．如果粒子的速度增大为原来的二倍，将从d 点射出
4
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B．如果粒子的速度增大为原来的三倍，将从f 点射出
C．如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的二倍，将从d 点射出
D．只改变粒子的速度大小使其分别从e、d、f 点射出时，从f 点射出运动时间最长
三、带电粒子在匀强磁场中的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至
少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立
几何关系求解．
1．临界条件
带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，
故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．
2．几种常见的求极值情况(速度一定时)
(1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．
圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：
当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对
应的圆心角最大，粒子运动时间最长．
(2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．
如图，P 为入射点，M 为出射点．此时在磁场中运动时最短．
例题4. 如图所示，半径为R 圆形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于
纸面向外。质量为m、电荷量为q 的带正电粒子由M 点沿与过该点的直径成30°角的方向
射入磁场，经过圆心O，最后离开磁场。不计粒子重力，则（ ）
A．粒子的运动速度大小为
5
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B．粒子在磁场中运动的时间为
C．若仅改变粒子的入射方向，粒子离开磁场时的速度方向不变
D．若仅增大粒子的入射速度，则粒子在磁场中的运动时间变长
练4. 如图所示，以O 为圆心、半径为R 的圆形区域内存在垂直圆面向外、磁感应强度大
小为B 的匀强磁场。圆上有A、C、D 三点，从A 点沿半径AO 方向射入一个带电粒子（不
计重力），入射速度为v1时，粒子恰好从C 点离开磁场。已知粒子的比荷为k，且
∠AOC=90°，∠AOD=120°，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中的运动时间为
B．圆形区域的半径为
C．要使粒子从D 点离开磁场，入射速度为
D．若只改变入射速度方向，粒子不可能经过O 点
例题5. 如图所示为空心圆柱形磁场的截面图，O 点为圆心，半径为R 内圆与半径为3R 外
圆之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，A 为外圆上一点。一粒子源s 可持续发射出大小均
为v、质量为m，电荷量为q 的粒子，不计粒子重力，以下说法正确的是（ ）
A．若粒子源放置在O 点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，则磁
6
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感应强度最小值为
B．若粒子源放置在O 点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，则磁
感应强度最小值为
C．若粒子源放置A 点且沿
连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，则磁感应强度的
最小值为
D．若粒子源放置A 点且沿
连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，则磁感应强度的
最小值为
练5. 来自太阳和其他星体的宇宙射线含有大量高能带电粒子，若这些粒子都到达地面，将
会对地球上的生命带来危害．但由于地磁场的存在改变了宇宙射线中带电粒子的运动方向，
使得很多高能带电粒子不能到达地面。为研究地磁场，某研究小组模拟了一个地磁场，如
图所示，半径分别为R、2R 的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆之间有垂直于纸面向外
的匀强磁场、磁感应强度为B，一个不计重力比荷为k 的带正电粒子从大圆边缘的A 点沿
与AO 连线成某一θ 角（
）以速度v 射入磁场，要使粒子不进入小圆，则v 的最
大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题6. 如下图所示，电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象
限，射入时速度方向不同，速度大小均为
，现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy 平
面的匀强磁场，磁感应强度为
，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN 上，荧
7
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光屏与y 轴平行，下列说法正确的是（ ）
A．所加磁场范围的最小面积是
B．所加磁场范围的最小面积是
C．所加磁场范围的最小面积是
D．所加磁场范围的最小面积是
练6. 如图所示，在半径为R 的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场，MN 是一竖直
放置的感光板从圆形磁场最高点P 垂直磁场射入大量的带正电、电荷量为q、质量为m、
速度为v 的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是
)
A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN 上
B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心
C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长
D．只要速度满足
，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上
四、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
8
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带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定
临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
例题7. 如图甲所示，边长为L 的正方形abcd 区域内存在匀强磁场，磁感强度大小为
，
方向垂直于abed 所在平面，且周期性变化（周期T 可根据需要调整），如图乙所示，设垂
直abcd 平面向里为磁感强度的正方向。现有一电子在
时刻由a 点沿ab 方向射入磁场
区，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，图中边界上有两点f、g，且
，
关于电子在磁场中的运动，以下说法中正确的是（ ）
A．调整磁场变化周期T，让电子沿bc 方向经过c 点，电子的速度大小一定是
B．调整磁场变化周期T，让电子经过d 点，电子的速度大小一定是
C．要想让电子经过点f 点，则磁场变化周期一定是
D．要想让电子垂直bc 边过g 点，则磁场变化周期一定是
练7. 如图所示，边长为
正方形区域
内无磁场，正方形中线
将区域外左
右两侧分成两个磁感应强度均为
的匀强磁场区域，
右侧磁场方向垂直于纸面
向外，
左侧磁场方向垂直于纸面向里。现将一质量为
，电荷量为
9
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的正粒子从
中点以某一速率垂直于
射入磁场，不计粒子的重力，则关
于粒子的运动，下列说法正确的是（ ）
A．若粒子能垂直于
射入正方形区域内，则粒子的最大速度为
B．若粒子能垂直于
射入正方形区域内，则粒子的速度可能为
C．若粒子能垂直于
射入正方形区域内，则粒子的速度可能为
D．若粒子能垂直于
射入正方形区域内，则粒子的速度可能为
例题8. 如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足
够长的平面感光板MN，点a 为MN 与水平直线ab 的交点，MN 与直线ab 的夹角为
，
ab 间的距离为
。在b 点的点状的电子源向纸面内各个方向发射电子，电子做圆周
运动的半径为
，不计电子间的相互作用和重力，
，则MN 上被电子打中
的区域的长度为（ ）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
练8. 如图所示，边长为L 的等边三角形区域ACD 内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均
为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A 处有一质子源，能沿∠A 的角平分线
发射速度大小不等、方向相同的质子（质子重力不计、质子间的相互作用可忽略），所有
质子均能通过D 点，已知质子的比荷
，则质子的速度不可能为（ ）
10
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A．
B．
C．
D．
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．由
粒子打在Al27上形成的P30是不稳定的，它衰变后会成为
。将P30放射源的小孔
正对垂直纸面的圆形磁场区域的直径，假设在某段时间内只有一个P30的原子核发生衰变，
则放出粒子的径迹可能是下列图像中的（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，虚线圆形区域内、外均分布着垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出），磁感应强
度大小相同、方向相反，一带电粒子从圆上的
点正对圆心入射。仅改变带电粒子的入射
速率，可分别得到图甲和图乙中实线所示的运动轨迹。则甲、乙两图中粒子的入射速率之
比为（ ）
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A．3
B．2
C．
D．
3．如图所示，在无限长直边界CD 的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小
为B，无限大挡板EF 平行于CD 放置，与CD 相距为d，带电粒子达到挡板时能够被挡板
吸收，在A 处有一粒子源能够在纸面内持续发射速度大小相等的电子。当电子在纸面内沿
AO 方向垂直匀强磁场边界射入时，恰好未被EF 吸收。已知电子的质量为m，电荷量为
e，不计电子重力及电子间的相互作用。若磁感应强度大小变为原来的一半，电子速度方向
缓慢从AO 沿顺时针旋转到AD 时，在挡板上能够吸收到电子的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图所示，在等腰直角三角形abc 区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度为B 的匀强磁
场，O 为ab 边的中点，在O 处有一粒子源沿纸面内不同方向、以相同的速率
不断
向磁场中释放相同的带正电的粒子，已知粒子的质量为m，电荷量为q，直角边ab 长为
，不计重力和粒子间的相互作用力。则（ ）
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A．从ac 边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为
B．从ac 边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为
C．粒子能从bc 边射出的区域长度为L
D．粒子能从bc 边射出的区域长度为2L
5．一磁约束装置的简化示意图如图所示。在内、外半径分别为R、
R 的环状区域内有方
向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q 的粒子从P
点沿圆的半径方向射入磁场后恰好不会穿出磁场的外边界，且被约束在大圆以内的区域内
做周期性运动，不计粒子重力。则该粒子的运动周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，半径为R 的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应
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强度B，一比荷为
的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A 点以
的速度垂直直径
MN 射入磁场，恰好从N 点射出，且
，下列选项正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的时间为
B．粒子从N 点射出方向竖直向下
C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C 点以相同的速度入射，一定从N 点射出
D．若要实现带电粒子从A 点入射，从N 点出射，则所加圆形磁场的最小面积为
7．如图所示，在边长为L 的正方形PQMN 区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为
B 的匀强磁场，在MN 边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量
为同m、带电荷量为q 的粒子以某一速度从P 点射入，恰好从Q 点射出，下列说法正确的
是
A．带电粒子一定带负电荷
B．带电粒子的速度最小值为
C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量为
D．带电粒子在磁场中运动时间可能为
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8．科学家可以利用磁场对带电粒子的运动进行有效控制。如图所示，圆心为O、半径为r
的圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B。P 是圆外
一点，
。一质量为m，电荷量为
的粒子从P 点在纸面内沿着与PO 成
角的方向射出，不计粒子重力。若要求粒子不能进入圆形区域，则粒子运动速度可
以的为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．如图所示，空间中有一个底角均为
的梯形，上底与腰长相等为L，梯形处于磁感应
强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c 点存在一个粒子源，可以源源不断射
出速度方向沿cd，大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab 边射出，速度大小
可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，xOy 平面内有两个相邻的带状匀强磁场I 和匀强磁场Ⅱ，方向垂直xOy 平面向下，
磁场强度大小分别为B 和2B，磁场区域宽度分别为
和
，一电荷量为
、质量为m 的
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带点粒子从y 轴P 点以与y 轴夹角
的方向进入磁场I，经过磁场I 和磁场Ⅱ后从磁场Ⅱ右
边界以与边界夹角
的方向离开磁场Ⅱ，若不计重力，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子在匀强磁场I 运动的轨迹半径是在匀强磁强Ⅱ运动轨迹半径的2 倍
B．粒子在匀强磁场Ⅱ运动的轨迹半径是在匀强磁强I 运动轨迹半径的2 倍
C．粒子的入射速度为
D．粒子的入射速度为
11．如图所示，半径为R 的一圆形区域，O 为圆心，P 为边界上的一点，区域内有垂直纸
面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。电荷量为-q、质量为m 的相同带电粒子a、b
（不计重力）从P 点先后以大小相等的速率
射入磁场，粒子a 正对圆心射入，粒
子b 射入磁场时的速度方向与粒子a 射入时的速度方向夹角为
。下列说法正确的是
（ ）
A．两粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R
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B．a 粒子在磁场中运动的时间为
C．b 粒子在磁场中运动的时间为
D．a、b 粒子离开磁场时的速度方向夹角为30°
12．如图所示，矩形ABCD 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小
为B，AB 边长为d，BC 边长为2d，O 是BC 边的中点，E 是AD 边的中点，在O 点有一粒
子源，可以在纸面内向磁场内各个方向射出质量均为m、电荷量均为q、有同种电性的带
电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB 边的夹角为600的粒子恰好从E 点射出磁场，
不计粒子的重力，则（ ）
A．粒于带正电
B．粒子运动的速度大小为
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．磁场区域中有粒子通过的面积为
三、解答题
13．CT 技术是通过高能电子撞击目标靶，使目标靶放出X 射线，对人体进行扫描取得信息
的，其原理如图所示：半径为
的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，水平放置的目
标靶长为
，靶左端点
、右端点
与磁场圆心
的距离相等、竖直距离为
。从阴
极逸出的电子（初速度可忽略），经电场加速后瞄准圆心
沿着水平方向进入磁场，经磁
场偏转后恰好击中
点。设电子质量为
、电荷量为，电子枪的加速电压为
，不考虑
电子受到的重力，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度的大小。
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（2）仅通过调节匀强磁场
的大小，可实现电子束在目标靶上从
到
的扫描，求
的
大小范围。
14．如图所示，直角坐标系中，有一平行于y 轴长度为0.5L 的线状离子源MN，M 端在x
轴上，坐标
，离子源发射的正离子初速度大小均为
，方向平行于x 轴正方向，且
发射的正离子沿MN 均匀分布，每个离子质量为m，电荷量为q；在
、
区间内
加一垂直于纸面向里，磁感应强度大小为
的圆形边界匀强磁场，能使离子源发射的全部
正离子经过原点O，不计离子重力及离子间的相互作用。
（1）求磁感应强度
的取值范围；
（2）若磁感应强度
取最小值，在第一象限加垂直纸面向里、磁感应强度大小为
的匀
强磁场，在第二象限加垂直纸面向外、磁感应强度大小为
的匀强磁场，已知
。
离子发射前，在y 轴上放置长度为0.8L 的探测板PQ，只有打到探测板左侧表面的离子才
能被探测到。
①求全部正离子经过原点O 时与y 轴正方向夹角
的范围；
②若探测板下端Q 纵坐标
，求离子探测率
（即探测板探测到的离子数占总离子
数的比例）；
③若探测板位置在y 轴上可变，Q 端纵坐标满足
，求离子探测率
与
的关系。
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15．如图甲是一种利用磁场约束离子运动的装置原理图，内、外半径分别为R 和3R 的圆筒
共轴放置，轴线
水平，在轴线正下方是一对平行金属板，上板正中间的小孔a 与外筒
正中间的小孔b 在通过轴线的同一竖直线上，a、b 间距离为d、两筒之间分布着以轴为圆
心的同心磁场，各处磁感应强度大小近似相等，磁感应强度为B，从右往左看截面如图乙
所示。在平行板下板中央的一个质量为m、电量为e 的氢离子（
）从静止加速经小孔a
从小孔b 进入磁场，在磁场中的轨迹恰好与内筒下边缘相切；一段时间后调节板间电压为
原来的2 倍，并让一个氘核（
）在下极板同一位置从静止加速也进入磁场。已知离子与
筒壁正碰后均原速反弹且碰撞时间极短，离子与筒壁接触其电荷量不变，筒壁光滑，忽略
离子间的相互作用和它们在平行板间加速的时间。
（1）求加速氢离子时平行板间的电压U 多大；
（2）分析氘核是否与内筒壁碰撞，如果与内筒壁碰撞，求它与内筒壁第一次碰撞的点P
（未在图中画出）与小孔b 的水平距离s 的大小；
（3）若氢离子第一次与筒左侧壁垂直碰撞后沿直线返回，运动到P 点时与氘核相遇，筒长
，求氢、氘核释放的时间间隔。
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