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专题06 简谐运动实例（二）单摆及类单摆模型
一．单摆模型
1.单摆的组成：由细线和小球组成。
2.理想化模型
(1)细线的长度不可改变。
(2)细线的质量与小球相比可以忽略。
(3)小球的直径与线的长度相比可以忽略。
(4)单摆运动过程中，与小球受到的重力及线的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略。
3.单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝mgsin__θ。
(2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位
置，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。
二．单摆的周期
1.探究影响单摆周期的因素
(1)探究方法：控制变量法。
(2)实验结论(都在小偏角下)
①两摆的摆球质量、摆长相同，振幅不同，两摆的周期相同，即单摆的周期与振幅无关。
②两摆的摆长、振幅相同，摆球质量不同，两摆的周期相同，即单摆振动的周期与摆球质量无关。
1
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③两摆的振幅、摆球质量相同，摆长不同，摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小，即周期与摆长有
关。
2.周期公式
(1)提出：由荷兰物理学家惠更斯首先提出。
(2)公式：T＝2π，即单摆做简谐运动的周期T 与摆长l 的二次方根成正比，与重力加速度g 的二次方根成反
比，而与振幅、摆球质量无关。
三．类单摆模型
1.几种单摆模型拓展
模型
图示(l、l1、l2为
摆线长，r 为摆
球半径)
摆长
等效重力加速度
g 效
周期T
双线摆
不变，lsin α＋r
不变，g
T＝2π
折线摆
碰到钉子后变小
不变，g
T＝π＋π
圆弧摆
不变，R－r
不变，g
T＝2π
斜面摆
不变，l＋r
不变，gsin α
T＝2π
若摆球可看为质点，以上各式中r 可为0。
2.不同系统中的等效重力加速度
在不同的运动系统中，单摆周期公式中的g 应理解为等效重力加速度，其大小等于单摆相对系统静止在平
衡位置时的摆线拉力与摆球质量的比值。
情景
等效重力加速度
情景
等效重力加速度
g 等效＝g－a
g 等效＝
2
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g 等效＝g＋a
g 等效＝g
g 等效＝
g 等效＝g
【例1】 (多选)如图所示，为一小球做简谐运动的示意图，其中O 点为平衡位置，A、B 为最大位移处，
M、N 点为关于O 点对称的两点。下列说法正确的是( )
A.小球在A、B 点受到重力和回复力
B.小球在O 点所受的合外力就是回复力
C.小球在O 点时所受合外力不为0
D.小球在M 点、N 点的回复力大小相等
【答案】 CD
【解析】小球在A、B 点受到重力和绳子拉力，故A 错误；小球在O 点的合外力不为0，合外力提供向心
力，不是回复力，故B 错误，C 正确；M、N 点关于O 点对称，根据运动的对称性可知，小球在M 点、N
点的回复力大小相等，故D 正确。
【总结提升】
理解回复力的两点提醒
(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与摆球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中摆球受力
平衡的位置。摆球摆动到平衡位置时，回复力为零，但有指向悬点的合力提供向心力。
(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ 提供的，不可误认为回复力是重力G 与
摆线拉力FT的合力。
3
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【例2】 (多选)如图甲是一个单摆振动的情形，O 是它的平衡位置，B、C 是摆球所能到达的最远位置，设
向右为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，由此可知( )
A.单摆振动的频率是1.25 Hz
B.t＝0 时摆球位于B 点
C.t＝0.2 s 时摆球位于平衡位置O，加速度为零
D.若当地的重力加速度g＝π2 m/s2，则这个单摆的摆长是0.16 m
【答案】ABD
【解析】 由振动图像可知，该单摆的周期为T＝0.8 s，频率为f＝＝ Hz＝1.25 Hz，故A 正确；由于规定
向右为正方向，B 点为摆球所能到达的左边最远位置，则t＝0 时摆球位于B 点，故B 正确；由振动图像可
判断，t＝0.2 s 时摆球位于平衡位置O，但摆球受到的合力不为零，所以加速度不为零，故C 错误；根据单
摆的周期公式T＝2π，可得l＝，把T＝0.8 s，g＝π2 m/s2，代入计算得摆长l＝0.16 m，故D 正确。
【例3】如图所示，光滑圆槽的半径R 远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球(均可视为质点)同时
由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O 远些，丙球在槽的圆心处。则以下关于它们第一次到达点
O 的先后顺序的说法正确的是( )
A.乙先到，然后甲到，丙最后到
B.丙先到，然后甲、乙同时到
C.丙先到，然后乙到，甲最后到
D.甲、乙、丙同时到
【答案】 B
【解析】 对于甲、乙两球，都做类单摆运动，其运动周期均为T＝2π，甲、乙两球第一次到达点O 时运
动了T，则t 甲＝t 乙＝＝；对于丙球，根据自由落体运动规律有R＝gt，解得t 丙＝＜，故丙先到，然后甲、
4
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乙同时到，故B 正确。
【例4】如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，其中判断正确的是( )
A.T1＞T2＞T3＞T4
B.T1＜T2＝T3＜T4
C.T1＞T2＝T3＞T4
D.T1＜T2＜T3＜T4
【答案】 C
【解析】 题图(1)中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力mgsin θ 为等效重力，即单摆的等效重
力加速度g1＝gsin θ；题图(2)中，两个带电小球的斥力总与运动方向垂直，不影响回复力，等效重力加速
度为g；题图(3)为标准单摆；题图(4)摆球处于超重状态，等效重力增大，故等效重力加速度增大，即g4＝
g＋a。由单摆做简谐运动的周期公式T＝2π，知T1＞T2＝T3＞T4，选项C 正确。
【例5】(2024·浙江金华高二月考)如图甲所示，摆球在竖直平面内做简谐运动，通过力传感器测量摆线拉
力F，F 的大小随时间t 变化规律如图乙所示，摆球经过最低点时的速度大小v＝ m/s，忽略空气阻力，取
g＝10 m/s2，π2≈10，求：
(1)单摆的摆长l；
(2)摆球的质量m；
(3)摆线拉力的最小值。
【答案】 (1)1 m (2)0.1 kg (3)0.99 N
【解析】(1)由图乙可知单摆周期为T＝2 s
根据单摆周期公式T＝2π，解得l＝1 m。
(2)当拉力最大时，即F＝1.02 N，摆球处在最低点，
由牛顿第二定律得F－mg＝m
解得m＝0.1 kg。
(3)从最低点到最高点，由动能定理得
－mgl(1－cos θ)＝0－mv2
5
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解得cos θ＝0.99
在最高点摆线的拉力最小，最小值为
F′＝mgcos θ＝0.99 N。
一、单选题
1．将一条轻质细线下端挂上一个小球，使小球在竖直面内自由摆动，如图所示为小球的振动图像。下列
说法正确的是（ ）
A．
时，小球的向心加速度为0
B．
时，小球速度为0，加速度为0
C．从
到
的过程中，小球的动能不断增大
D．从
到
的过程中，细线中的张力不断增大
【答案】C
【详解】A．由图像可知，
时，小球处于平衡位置，此时小球的速度最大，小球的向心加速度最大，
故A 错误；
B．由图像可知，
时，小球处于负向最大位移处，此时小球的速度0，向心加速度为0，但沿切线方向
加速度不为0，故B 错误；
C．由图像可知，从
到
的过程中，小球从负向最大位移摆向平衡位置，小球的速度不断增大，
则小球的动能不断增大，故C 正确；
D．由图像可知，从
到
的过程中，小球从平衡位置摆向正向最大位移，小球的速度不断减小，
根据牛顿第二定律可得
可得
由于
逐渐增大，小球的速度不断减小，则细线中的张力不断减小，故D 错误。
6
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故选C。
2．如图甲，一个小球在
间做简谐运动，
点为最低点。以
点为坐标原点、以水平向右为正方向，
小球的振动图像如图乙所示。重力加速度
大小取
，不计空气阻力，下列说法正确的是
（ ）
A．小球的振动方程为
B．
，小球的动能逐渐增大
C．动能和重力势能相互转化的周期为
D．此单摆的摆长约为
【答案】C
【详解】A．由图乙可知，小球的振动周期为
振幅
小球的振动方程是
A 项错误；
B．
，小球远离平衡位置，动能转化为势能，小球的动能逐渐减小，B 项错误；
C．单摆周期为2s，一个周期内动能和重力势能相互转化两次，故动能和重力势能相互转化的周期为
，
C 项正确；
D．根据周期公式有
解得
7
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D 项错误。
故选C。
3．如图所示，O 点为单摆的固定悬点，现将可视为质点的摆球拉至A 点，此时细线处于张紧状态，静止
释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C 之间来回摆动，B 点为运动中的最低位置。整个过程忽略空气阻
力，则在摆动稳定后的一个周期内（ ）
A．摆球只受到重力、拉力两个力的作用
B．摆球在经过A 点和C 点处，速度为零，回复力为零
C．摆球在经过B 点处，速度最大，回复力最大
D．摆球相邻两次经过B 点时，细线拉力大小不相等
【答案】A
【详解】A．摆球受到重力、拉力两个力的作用。故A 正确；
B．摆球在经过A 点和C 点处，速度为零，回复力为重力沿切线方向的分力，不为零。故B 错误；
C．摆球在经过B 点（单摆的平衡位置）处，速度最大，回复力为零。故C 错误；
D．摆球相邻两次经过B 点时，速度大小相等，根据牛顿第二定律得
解得
细线拉力大小相等。故D 错误。
故选A。
4．如图甲是演示简谐运动图象的装置，它由一根较长的细线和一个较小的沙漏组成。当沙漏摆动时，匀
速拉出沙漏下方的木板，漏出的沙在板上会形成一条曲线。通过对曲线的分析，可以确定沙漏的位移随时
间变化的规律。图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线．经测量发现
，若拉动木板1 和
木板2 的速度大小分别为
和
，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】木板做匀速运动，设振动周期为T，由图乙可得
可得
故选B。
5．如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，得到摆
球相对平衡位置的位移x 随时间变化的图像，如图乙所示，不计空气阻力。对于这个单摆的振动过程，
下列说法正确的是（ ）
A．
时，摆球所受回复力最大，方向向右
B．
时，摆球偏离平衡位置位移最大，方向向右
C．从
到
的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D．该单摆摆长约为2m
【答案】A
【详解】A．以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向,
时,位移为
，即摆球在端
点A，由
可知，摆球所受回复力最大，方向向右，故A 正确；
9
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B．
时，摆球的位移为零，即摆球刚好在平衡位置，故B 错误；
C．从
到
的过程中，摆球的位移逐渐减小，即向下摆动回到平衡位置，重力做正功，重力势
能逐渐减小，故C 错误；
D．由
图像可知单摆的周期为
，由
，可得摆长为
故D 错误。
故选A。
6．如图所示，一个光滑弧形凹槽半径为R，弧长为L（已知R≫L）。现将一质量为m 的小球从凹槽边缘
由静止释放，小球以最低点为平衡位置做简谐运动。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是
（ ）
A．小球做简谐运动的回复力为重力和支持力的合力
B．小球做简谐运动的回复力为重力沿凹槽圆弧切线方向的分力
C．小球做简谐运动的周期为2π
D．小球运动到凹槽最低点时所受合力为零
【答案】B
【详解】AB．小球做简谐运动的回复力为重力沿凹槽圆弧切线方向的分力，A 错误，B 正确；
C．小球做简谐运动时，弧形凹槽的半径相当于摆长，则其周期为
，C 错误；
D．小球运动到凹槽最低点时所受合力提供向心力，不为零，D 错误；
故选B。
7．如图所示，单摆在竖直平面内的A、C 之间做简谐运动，O 点为单摆的固定悬点，B 点为运动中的最低
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位置。下列说法正确的是（ ）
A．摆球从A 点向B 点摆动过程中，重力的冲量为零
B．摆球由A 点向B 点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大
C．摆球在A 点和C 点时，速度为零，细线拉力最小，但回复力最大
D．摆球在B 点时，重力势能最小，机械能最小
【答案】C
【详解】A．根据
可知摆球从A 点向B 点摆动过程中，重力的冲量不为零，故A 错误；
B．假设单摆摆动过程中，细线与竖直方向夹角为
，摆球做圆周运动，摆球由A 点向B 点摆动过程中，
有
摆球由A 点向B 点摆动过程中
减小，速度逐渐增大，可知细线拉力
增大，回复力
减小，故B 错误；
C．摆球在A 点和C 点时，即最大位移处时，速度为零，结合选项B 分析可知，此时细线拉力最小，回复
力最大，故C 正确；
D．摆球在最低点B 处，动能最大，重力势能最小，但摆球运动过程中，机械能守恒，故D 错误。
故选C。
8．某同学在探究单摆运动中，图甲是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器
连接的计算机屏幕所显示的F-t 图像，则以下说法正确的是（ ）
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A．
时刻摆球速度最大
B．
时刻摆球经过最低点
C．单摆振动周期
D．单摆振动周期
【答案】B
【详解】A．
时刻摆球受拉力最小，则摆球在最大位移处，速度最小，故A 错误；
B．
时刻摆球受拉力最大，则摆球经过最低点，故B 正确；
CD．由图可知摆球的周期为
s=1.6s
故CD 错误；
故选B。
9．如图所示，在倾角为α 的斜面顶端固定一摆长为L 的单摆，单摆在斜面上做小角度摆动，摆球经过平衡
位置时的速度为v，重力加速度大小为g，则以下判断正确的是（ ）
A．单摆在斜面上摆动的周期为
B．摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为
C．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将增大
D．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将减小
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【答案】D
【详解】A．单摆在平衡位置时，等效重力加速度为
所以单摆在斜面上摆动的周期
故A 错误；
B．回复力大小与摆球偏离平衡位置位移大小成正比，故摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为0，故B
错误；
CD．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，摆球在平衡位置时，受力分析如图所示
等效重力加速度为
所以单摆在斜面上摆动的周期
故C 错误，D 正确。
故选D。
10．如图所示，在地球上同一个地区创设不同的条件进行单摆实验。图甲装置置于真空中，悬点处固定一
带正电的小球，绝缘细线下端连接另一带正电小球，周期记为
；图乙中，单摆的悬点在一向下加速的电
梯顶端，周期记为
；图丙中的摆球带正电，在如图所示的匀强磁场中进行摆动，周期记为
；图丁中的
摆球带正电，在如图所示的匀强电场中进行摆动，周期记为
。若四个单摆的摆长一样长，则周期关系正
确的是（ ）
13
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】单摆甲所受的库仑力和单摆丙受的洛伦兹力总是沿半径方向，不影响回复力，则
根据等效重力加速度的求法，在平衡位置处，对乙有
解得
则有
对丁有
则
故
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综上比较四个单摆的周期可知
故选D。
二、多选题
11．如图所示，光滑圆弧槽半径为R（未知），A 为最低点，C 到A 的距离远远小于R，小球B 位于A 点的
正上方，且到A 点的距离为H。若同时释放小球B、C，则要使两小球B 和C 在A 点相遇（小球B 和C 可
视为质点），R 的可能值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】小球C 做简谐运动，根据题意得
（n = 0，1，2…）或
（n = 0，1，2…）
解得
（n = 0，1，2…）或
（n = 0，1，2…）
当n = 0 时，则有
或
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故选AD。
12．图1、2 分别是甲、乙两个单摆在同一位置做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两单摆的振幅之比为
B．
时，甲单摆的重力势能最大，乙单摆的动能最小
C．甲、乙两单摆的摆长之比为
D．甲、乙两单摆的摆球在最低点时，向心加速度大小一定不相等
【答案】AD
【详解】A．甲、乙两单摆的振幅分别为
和
，则振幅之比为
，，故A 正确；
B．
时，甲单摆在最低点，则重力势能最小，乙单摆在最高点，则动能最小，故B 错误；
C．甲、乙两单摆的周期之比为
，根据
可知，摆长之比为
，故C 错误；
D．设摆球摆动的最大偏角为
，由
及
可得，摆球在最低点时向心加速度
因两摆球的最大偏角
满足
16
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所以
故D 正确。
故选AD。
13．一根不可伸长的细线，上端悬挂在O 点，下端系一个小球，如图甲所示，某同学利用此装置来探究周
期与摆长的关系．该同学用米尺测得细线的长度，用游标卡尺测得小球的直径，二者相加为l，通过改变
细线的长度，测得对应的周期T，得到该装置的
图像如图乙所示，则下列说法正确的是（取
）（ ）
A．
时摆长为
B．
时摆长为
C．摆球半径为
D．当地的重力加速度为
【答案】BCD
【详解】D．设摆长为
，小球半径为r，单摆的周期公式
整理得
可知
为
图像的斜率，所以有
解得
17
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D 正确；
ABC．由题图乙可知，
图像的纵轴截距为小球的半径r，则
当
时摆长
A 错误，B、C 正确。
故选BCD。
14．如图甲所示，一光滑绝缘小圆槽MN 固定在水平面上，M、N 两点之间的弧长远小于圆槽的半径R。将
该装置置于加速上升的电梯中，如图乙所示；将该装置置于竖直向下的匀强电场中，如图丙所示；将该装
置置于方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图丁所示。一个带正电的小球(可视为质点)从M 点静止释放，
图甲、乙、丙和丁四种情形下，设小球由M 运动到N 的时间分别为t 甲、t 乙、t 丙和t 丁，则（ ）
A．t 甲>t 乙
B．t 丙>t 丁
C．t 甲＝t 丁
D．t 乙>t 丁
【答案】AC
【详解】依题意，小球自M 运动至N 可视为简谐运动，其运动时间为
tMN＝
＝
其中g 等为等效重力加速度，图甲中
g 甲等＝g
图乙中
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g 乙等＝g＋a>g
图丙中
g 丙等＝g＋
>g
图丁中
g 丁等＝g
所以
t 甲＝t 丁>t 乙，t 甲＝t 丁>t 丙
但t 乙、t 丙大小关系不能确定。
故选AC。
15．做单摆实验时，小球可能在水平面内做圆周运动形成圆锥摆。为避免单摆做圆锥摆引起的误差，可采
用双线摆代替单摆来改进实验装置。如图所示，两根线的一端都系在小球的同一点，另一端分别固定在天
花板上，两根线的长度均为、与竖直方向的夹角均为θ，小球的直径为d，重力加速度为g。现将小球垂
直纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个很小的角度后由静止释放，若不计空气阻力，下列说法正确的
是（ ）
A．若单摆微圆锥摆运动，其做圆锥摆运动的周期小于单摆的周期
B．这个双线摆的摆长为
C．这个双线摆的周期为
D．图中双线摆的θ 角越小越好
【答案】AC
【详解】A．若为圆锥摆时，则
解得
19
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而单摆的周期为
可知做圆锥摆运动的周期小于单摆的周期，故A 正确；
BC．这个双线摆的摆长为
则这个双线摆的周期为
故B 错误，C 正确；
D．图中双线摆的θ 角太小的话，摆动起来越不稳定，故D 错误。
故选AC。
16．惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期
与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结
论，某同学创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境。如图1 所示，在水平地面上固定一倾角
可
调的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的
点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至A 点，静止释放后，摆球在
之间做简谐运动，摆角为
。摆球自然悬垂时，通过力传感器（图中未画出）测得摆线的拉力为
，
摆球摆动过程中，力传感器测出摆线的拉力随时间变化的关系如图2 所示，其中
、
、
均已知。当地
的重力加速度为
。下列选项正确的是（ ）
A．多次改变图1 中
角的大小，即可获得不同的等效重力加速度
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B．单摆
次全振动的时间为
C．多次改变摆角
，只要得出
就可以验证该结论成立
D．在图2 的测量过程中，满足
的关系
【答案】AD
【详解】A．对小球进行受力分析可知，小球的 垂直于斜面的分力始终与斜面的支持力平衡，令等效重力
加速度为g0，则有
解得
可知，多次改变图1 中
角的大小，即可获得不同的等效重力加速度，故A 正确；
B．单摆在运动过程中，A、C 两位置摆线的拉力最小，根据图2 可知，相邻两个摆线拉力最小的位置的时
间间隔为半个周期，可知，单摆
次全振动的时间为
故B 错误；
C．根据单摆周期公式有
可知，多次改变斜面倾角
，只要得出
就可以验证该结论成立，故C 错误；
D．摆球自然悬垂时，通过力传感器（图中未画出）测得摆线的拉力为
，根据平衡条件有
在图2 的测量过程中，摆球在A 位置有
21
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摆球在B 位置有
摆球从A 位置运动到B 位置过程有
解得
故D 正确。
故选AD。
17．将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行（图甲），让秋千以小摆角（小
于
）自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为L。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方
向的
关系图，如图乙所示．则以下说法不正确的是（ ）
A．忽略空气阻力，秋千的回复力由重力和拉力的合力提供
B．当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力大于手机所受的重力
C．秋千摆动的周期为
D．该地的重力加速度
【答案】AC
【详解】A．忽略空气阻力，秋千的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，故A 错误，满足题意要求；
B．当秋千摆至最低点时，有
可知秋千对手机的支持力大于手机所受的重力，故B 正确，不满足题意要求；
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CD．秋千摆动到最高点时，垂直手机平面方向的加速度（向心加速度）为0，根据题图乙可得秋千摆动的
周期为
根据单摆的周期公式有
可得
故C 错误，满足题意要求；D 正确，不满足题意要求。
故选AC。
18．某研究性学习小组设计了如图1 所示的实验装置，将一倾角可调的光滑斜面固定在水平面上，斜面上
固定一力传感器，将小球通过摆线挂在力传感器上，摆线与斜面始终保持平行，小球能在斜面上做单摆运
动。当斜面倾角
时，传感器输出的细线拉力F 随时间t 的变化曲线如图2 所示，则下列说法正确的
是（ ）
A．由图2 可知单摆的周期为
B．只减小斜面倾角，则单摆周期将变大
C．摆线应选用不易伸缩的轻质细绳
D．只增大摆线的长度，则单摆周期将减小
【答案】BC
【详解】A．根据题意，由图乙可知，小磁铁摆动的周期为
s=1.6s
故A 错误；
BD．根据题意可知，斜面倾角为
时，等效重力加速度为
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由单摆周期公式有
只减小斜面倾角，则单摆周期将变大，只增大摆线的长度，则单摆周期将增大，故B 正确，D 错误；
C．为避免单摆摆动过程中摆长变化，摆线应选用不易伸缩的轻质细绳，故C 正确；
故选BC。
三、解答题
19．正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到
房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他
打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1 次通过图中的B 点开始计时，第
21 次通过B 点时用30s；球在最低点B 时，球心到窗上沿的距离为1m，当地重力加速度g 取
；
(1)小球第1 次从左向右经过B 点开始计时，则第2 次经过B 点时，时间间隔是多少？
(2)根据以上数据求房顶到窗上沿的高度。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）从小球第1 次通过图中的B 点开始计时到第21 次通过B 点共用时30s，则周期为
则球第1 次从左向右经过B 点开始计时，则第2 次经过B 点时，时间间隔为
（2）球心到窗上沿的距离
，由于该单摆在左右两侧摆动的摆长变化，根据单摆周期公式可得
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g 值取
，代入数据解得，房顶到窗上沿的高度为
20．图甲中O 点为单摆的固定悬点，现将摆球拉至A 点，此时细线处于张紧状态。由静止释放摆球，则摆
球将在竖直平面内的A、C 之间来回摆动。
小于5°且大小未知，同时由连接到计算机的力传感器得到了
摆线对摆球的，如图乙所示（图中所标字母以及重力加速度g 均为已知量）。不计空气阻力。根据题中
（包括图中）所给的信息，求：拉力大小F 随时间t 变化的曲线
(1)该单摆的摆长；
(2)摆球的质量？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由拉力大小F 随时间t 变化的曲线可读出单摆的周期为
根据单摆的周期公式
，可得该单摆的摆长为
（2）设摆角为
，则在最高点时，速度为零，则向心力为零，有
在最低点时，有
其中
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联立解得
21．如图所示，半径很大的光滑球面固定在水平桌面上，小球甲从球面上的A 点由静止释放，在球面上
之间来回运动，已知
远小于球面的半径，当甲从A 点释放时，同时在球面上的最低点
以某一初
速度竖直上抛小球乙，经过时间小球乙恰好第一次下落至
点且与甲球相碰，此时小球甲第5 次通过
点。已知重力加速度为
，不计空气阻力，两小球均可视为质点。求：
(1)小球乙的初速度
；
(2)光滑球面的半径
。（保留
）
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）小球乙上抛再落回
点的时间为
解得
（2）设小球甲做简谐运动的周期为
，则
又
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解得
22．如图所示，单摆摆长为l，摆球质量为m，带正电q，悬挂在电场强度大小为E、方向竖直向下的匀强
电场中，使摆球在偏离最低点、摆角很小的位置释放。（忽略空气阻力）
（1）求摆角为
时，摆球所受回复力的大小；
（2）证明：在摆角很小时，摆球的运动是简谐运动。（
很小时，
）
【答案】（1）
；（2）见解析
【详解】（1）在摆球运动到圆弧上某一位置P 点时，受力如图所示
摆球受到的重力和电场力沿圆弧切线方向的分力之和充当回复力，其大小
（2）证明：当摆角
很小时，摆球运动的圆弧可以看成直线，
相对位置O 的位移x 大小与弧长
相等，
有
回复力大小
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回复力方向，与位移x 方向相反
又因为
是一定的，可以用一个常量k 表示，则回复力可表示为
证得摆球的运动是简谐运动。
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