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专题08 三棱镜模型
1.通过三棱镜的光线经两次折射后，出射光线向棱镜底边偏折
2.光通过全反射棱镜时的几种入射方式
入射方式
项目
方式一
方式二
方式三
光路图
入射面
AB
AC
AB
全反射面
AC
AB、BC
AC
光线方向改变角度
90°
180°
0°(发生侧移)
3.不同色光通过棱镜的比较
可见光中，由于不同颜色光的频率不相同，描述它们在发生折射和全反射时的一些物理量也有不同，如下
表：
颜色
项目
红橙黄绿青蓝紫
频率
低→高
波长
大→小
同一介质中的折射率
小→大
同一介质中的速度
大→小
临界角
大→小
通过棱镜的偏折角
小→大
1
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【例1】如图，一折射率为的棱镜的横截面为等腰直角三角形△ABC，AB＝AC＝l，BC 边所在底面上镀有
一层反射膜。一细光束沿垂直于BC 方向经AB 边上的M 点射入棱镜，若这束光被BC 边反射后恰好射向顶
点A，求M 点到A 点的距离。
【答案】 l
【解析】 光束由M 点射入后发生折射，经BC 边反射后经过A 点，作出M 点关于BC 的对称点M′，连接
M′A 交BC 于D，光路图如图所示
由几何关系可知入射角i＝45°
设折射角为r，由折射定律可知
n＝
解得r＝30°
设AM 间的距离为d，由几何关系可知
∠ABD＝∠DBM′＝45°，∠AM′M＝15°，
则∠BAD＝30°
在Rt△ABM′中，BM′＝ABtan∠BAD＝l
又BM＝BM′＝l
则d＝l－l＝l。
【总结提升】
解决光的折射问题的基本思路
(1)根据题意画出正确的光路图。
2
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(2)利用几何关系确定光路图中的边、角关系，要注意入射角、折射角分别是入射光线、折射光线与法线的
夹角。
(3)利用折射定律＝n12，结合数学三角函数关系进行运算。
【例2】 (多选)等腰三角形△abc 为一棱镜的横截面，ab＝ac；一平行于bc 边的细光束从ab 边射入棱镜，
在bc 边反射后从ac 边射出，出射光分成了不同颜色的两束，甲光的出射点在乙光的下方，如图所示。不
考虑多次反射，下列说法正确的是( )
A.在棱镜中甲光的临介角小于乙光的临界角
B.在棱镜中的传播速度，甲光比乙光的大
C.该棱镜对甲光的折射率大于对乙光的折射率
D.在棱镜内bc 边反射时的入射角，甲光比乙光的大
【答案】 BD
【解析】 光路图
如图所示，在棱镜内bc 边反射时的入射角，甲光的比乙光的大，D 正确；根据折射定律可知n 甲<n 乙，由
sin C＝知C 甲＞C 乙，A、C 错误；根据n＝可知，v 甲＞v 乙，B 正确。
【总结提升】
光学特征
(1)当光垂直于截面的直角边射入棱镜时，光在截面的斜边上发生全反射，光射出棱镜时，传播方向改变了
90°，如图甲所示。
(2)当光垂直于截面的斜边射入棱镜时，在两个直角边上各发生一次全反射，使光的传播方向改变了180°，
如图乙所示。
【例3】如图所示，一束白光通过三棱镜时发生折射，各色光偏折程度不同，a、b 是其中的两束单色光，
这两束光相比较( )
3
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A.在真空中，a 光的速度大
B.在真空中，a 光的波长大
C.三棱镜对b 光的折射率小
D.光从三棱镜中射向空气，b 光的临界角大
【答案】 B
【解析】 在真空中光速都相同，都为3.0×108 m/s，故A 错误；由题图可看出，a 光的折射角大于b 光的
折射角，根据折射定律＝n 知，na<nb，则fa<fb，由λ＝知λa>λb，故B 正确，C 错误；根据sin C＝，可知
Ca>Cb，故D 错误。
【总结提升】
(1)棱镜材料对不同色光的折射率不同，对频率越小的色光，折射率越小，通过棱镜后的偏折程度越小，不
同频率的色光穿过棱镜的光路不同，从而产生色散现象。
(2)光穿过介质，光的频率不变，由c＝λf，n＝，sin C＝，＝n，联合来解决光在介质中传播的综合问题。
一、单选题
1．如图所示，直角三角形为某种透明介质的横截面，
，P 为
边上的一点。若某单色光从
点
垂直
射入介质，在
边恰好发生全反射，则介质对该光的折射率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【详解】单色光从P 点垂直BD 射入介质，在AB 边恰好发生全反射，光路图如图所示
4
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根据几何关系可知，该光在AB 边上发生全反射的临界角
由
，解得
故选C。
2．如图所示，水平固定放置折射率为
的等腰三角形玻璃砖，底角为30°。两束功率同为P 的激光在与
底边中垂线对称的位置，垂直底边射入玻璃砖，真空中的光速为c，下列说法正确的是（ ）
A．经过玻璃砖的BC 界面时，单份光子能量发生变化
B．左侧激光从玻璃砖AB 边射出的方向与竖直方向夹角为60°
C．该玻璃砖所受激光对它的作用力大小为
D．若在此玻璃砖BC 边涂上有某种黑体材料，则该玻璃砖所受激光对它的作用力大小为
【答案】D
【详解】A．经过玻璃砖的BC 界面时，光的频率不变，根据
可知光子能量不发生变化，故A 错误；
B．根据折射定律，画出光路图，如图所示
5
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由几何关系可得
r = 30°
由折射定律有
解得
即
i = 60°
由几何关系可知，左侧激光从玻璃砖AB 边射出的方向与竖直方向夹角为30°，故B 错误；
CD．根据题意，设时间为t，则激光的总能量为
E = 2Pt
设光子总数为n，由爱因斯坦的质能方程式得，光子总能量为
光子总动量为
联立可得，照射到玻璃砖上光子的总动量为
由折射定律有
光子进入玻璃砖后的速度为
由于进入玻璃砖光子能量不变，则进入之后，光子的动量为
6
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进入过程，由动量定理有
解得
由牛顿第三定律可知，该玻璃砖所受激光对它的作用力大小为
，若在此玻璃砖BC 边涂上有某
种黑体材料，则光子被吸收，末动量为0，由动量定理可得
由牛顿第三定律可知，该玻璃砖所受激光对它的作用力大小为
，故C 错误，D 正确。
故选D。
3．如图所示，真空中的楔形玻璃的横截面POQ 的顶角为30°，一束激光从S 点垂直射入玻璃，从N 点射
出时的折射角为45°，已知S 点到O 点的距离为d，光在真空中的传播速度为c，激光在玻璃中传播的时间
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题图可知，折射率为
则激光在玻璃中的传播速度为
7
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激光在玻璃中传播的时间为
故选C。
4．如图所示，顶角
的等腰三棱镜
，一束单色光与
成
角射入三棱镜，恰能垂直
射
出，则三棱镜的折射率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】做出光路图，如图所示
由图可知，入射角为
，折射角为
，根据折射定律可知，折射率为
故选D。
二、多选题
5．如图所示，一束复色光从等边三棱镜
的
边中点D 射入，入射光线与水平面夹角为30°，最后色
散成两种单色光从
边射出，打在右侧白纸上，上方为a 光，下方为b 光，其中a 光的出射位置为
边
8
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中点E，下列说法中正确的是（ ）
A．经过相同的狭缝，a 光比b 光更容易发生明显的衍射现象
B．a 光在真空中的传播速度大于b 光
C．若a、b 光分别通过相同的双缝装置，a 光的条纹间距大于b 光的条纹间距
D．该复色光若垂直
方向从A、D 两点间入射，则a 光不能从
边射出
【答案】ACD
【详解】A．由图知，入射角相同，但b 光的折射角较小，根据折射定律
，可知三棱镜对b 光的折
射率较大，则b 光的波长小于a 光的波长，根据发生明显的衍射现象的条件，可知经过相同的狭缝，a 光
比b 光更容易发生明显的衍射现象，故A 正确；
B．所有单色光在真空中传播速度都是一样的，均为
，故B 错误；
C．若a、b 光分别通过相同的双缝装置，根据双缝干涉条纹间距公式
可知，由于b 光的波长小于
a 光的波长，则a 光的条纹间距大于b 光的条纹间距，故C 正确；
D．依题意，由几何知识可得a 光在AB 面上的入射角为60°时，折射角为30°，则棱镜对单色光a 的折射率
为
根据
可知
当复色光入射方向与边AB 垂直且从A、D 两点间入射时，光线在AC 边上的入射角为
，由于
所以a 光将在AC 边发生全反射，最后a 光垂直BC 边射出，故D 正确。
故选 ACD。
9
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三、解答题
6．如图，以
为截面的直角三角形棱镜，AB 边上存在点D，
。现有一束单色光从
D 点平行于AC 边射入三棱镜，该光在AC 边发生全反射且反射光线与AB 边平行。已知光在真空中传播的
速度为c，不考虑光在BC 边的反射。求：
(1)三棱镜的折射率n；
(2)该单色光自D 点入射到从BC 边出射的时间t。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，作出光路图，如图所示
根据几何关系可知，光线在D 点的入射角为
，折射角为
，根据折射定律，有
（2）由几何关系可知
光在介质中的传播速度为
传播时间为
10
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解得
7．如图所示，一束平行于直角三棱镜截面ABC 的单色光从真空垂直BC 边从P 点射入三棱镜，P 点到C 点
的距离为1.6L，AB 边长为3L，光线射入后恰好在AC 边上发生全反射。已知∠C = 37°，光在真空中的传
播速度为c，sin37° = 0.6，cos37° = 0.8，求：
(1)该三棱镜的折射率n；
(2)光线从BC 边传播到AB 边所用的时间t（只考虑一次反射）。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）作出光路图如图所示，根据几何关系可知，光在AC 面上的临界角C = 37°，则
解得
（2）由几何关系得
11
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由介质的折射率公式和运动学公式得
解得
8．如图所示为横截面是直角三角形的三棱镜，棱镜材料对紫光的折射率为
，对红光的折射率为
，一
束很细的白光由棱镜的一侧面AB 垂直射入，从另一侧面AC 射出。已知棱镜的顶角为
，AC 边平
行于光屏MN，并且与光屏相距L，试求在光屏MN 上得到的可见光的宽度。
【答案】
【详解】由光的色散可知，光谱上下边缘分别为紫光和红光，它们的入射角相同，均为
，设它们在侧
面AC 射出时的折射角分别为
和
，如图所示
12
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由折射率的公式可得
由几何关系可得
又有
联立解得
光屏MN 上得到的可见光的宽度为
9．如图所示，正三角形ABC 为玻璃薄板，以正三角形ABC 的几何中心O 点为圆心挖出一圆孔（可视为真
空），现将一点光源放置在O 点处，该光源向各方向均匀发光且发射波长为
的蓝光，CH 为AB
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边的中垂线。已知光在真空中的传播速度为c，蓝光在正三角形ABC 玻璃薄板中传播的波长为
，
求：
(1)蓝光在玻璃薄板中传播时的速度；
(2)正三角形ABC 玻璃薄板对蓝光的折射率；
(3)射到AB 边的光子中能直接从AB 边射出和不能直接从AB 边射出的光子个数比（不考虑多次反射）。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设蓝光在玻璃薄板中传播时的速度为，由波速公式、折射率和波速关系可得
解得
（2）正三角形ABC 玻璃薄板对蓝光的折射率
（3）如图所示
设
点为光线在
区域恰好发生全反射的点，设玻璃介质的临界角为
，由临界角公式可得
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解得
易得
对于玻璃薄板
段，由几何关系可得出
段区域的入射角大于临界角
，发生全反射无光线射出，
区域对应光线的入射角小于临界角
，由于各方向发光均匀，则辐射区域光子数目与辐射角成正比，对
区域，设能够射出的光子数为
，不能射出的为
，可得
由于
段和
段对称，故射到
边的光子能直接从
边射出和不能直接从
边射出的光子个数比
为
。
10．如图，直角三角形ABO 为一棱镜的截面，
，
，一束光线垂直于AO 从D 点射入棱镜，
经AB 边反射后，从BO 边上的F 点沿平行于AB 边的方向射出。
(1)求棱镜的折射率；
(2)若将光线从F 点入射，调整入射角，使其在AB 边上恰好发生全反射，求这种情况下光线从F 点入射时
入射角的正弦值。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）画出光路图，如图所示
15
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由折射定律得
由几何关系可知
，
解得
（2）光线从F 点入射时，画出光路图，如图所示
由折射定律得
光线在AB 边上恰好发生全反射，设入射角为C，则
由几何关系得
联立，解得
16
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11．如图所示，一束单色光从AB 中点沿垂直于直角三棱镜AB 边的方向射入棱镜，在AC 边发生全发射后
再从BC 边射出棱镜，出射光线恰好与AC 平行，已知
，
，光在真空中的速度为c。求：
(1)该棱镜的折射率n；
(2)该单色光在棱镜中传播的时间t（不考虑光在BC 边上的反射）。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）作出完整的光路如图
根据几何关系可知，入射角
做AC 界面法线交于BC 于D 点，光线在AB 界面交于O 点，P 点发生全反射，Q 点发生折射，则
，
可知
为等边三角形，所以
因为最终出射光线与AC 平行，所以
由
可得
17
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（2）根据几何关系可知
光在玻璃内传播速度为
光在玻璃内传播的时间
解得
12．如图所示，一横截面为直角三角形ABC 的玻璃砖，∠A=15°，∠B=75°，一束光线从AC 边的M 点射入
玻璃砖，入射角为45°，光线第一次到达AB 边时恰好发生全反射。已知
，
，求：光线在AC 边发生折射时的折射角α 和该玻璃砖的折射率n。
【答案】30°，
【详解】作出光路图如图所示
18
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设从AC 边入射时折射角为α，根据折射定律有
光线第一次到达AB 边时恰好发生全反射，则在AB 边的入射角为临界角C，则
根据几何关系有
因为
则
则
即
则
联立可得
所以
，
联立解得
，
13．如图所示，
为直角三棱镜的横截面，
，
，AC 边的长度为a，一束单色光从
AC 边的中点D 沿与AC 边成
角方向斜向右下射入三棱镜，从AB 边上的E 点（图中未画出）射出，在
BC 边上没有光线射出，不考虑光的多次反射。已知光在真空中的传播速度为c，三棱镜对该光的折射率为
，求：
19
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(1)光束从E 点射出时的出射角和BE 的长度；
(2)光束从D 点射入到从E 点射出所用的时间。
【答案】(1)45°；
(2)
【详解】（1）根据题意做图，如图所示
根据折射定律有
解得
根据几何关系可知
同理根据折射定律有
解得
根据几何关系可知
则
20
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其中
解得
（2）光在介质中的传播速度为
传播时间为
14．ABC 为一直角三角形玻璃砖的截面，∠A=30°，∠B=90°，一束光线平行AC 边，从D 点射入玻璃砖，
已知BC 边长为L，AD 边长为AB 的三分之一，玻璃砖折射率为
，真空中光速为c，求解光线从射入到
第一次射出过程：
(1)光线射出玻璃砖时与BC 边的夹角；
(2)光线在玻璃砖中传播的时间。
【答案】(1)90° (2)
【详解】（1）入射光线平行于AC，则入射角
θ1=90°-30°=60°
根据折射率的定义式有
解得折射角
θ2=30°
21
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根据几何关系，光在AC 界面上的入射角
θ3=90°-30°=60°
设全反射临界角为C，则有
由于
可知，光线在AC 界面全反射，根据几何关系可知，光线从BC 射出，与BC 夹角为90°。
（2）（2）光在介质中传播的距离
根据折射率与光速的关系有
光在介质中传播的时间
解得
15．如图所示，一棱镜的横截面
为等边三角形，一束单色光从
的中点射向棱镜，经
面折射进
入棱镜的光线与
平行，再经
面折射射出棱镜后的光线共偏转了60°。已知三角形的边长为L，光在
真空中的传播速度为c，求：
(1)该棱镜对该单色光的折射率n；
(2)光在棱镜中传播的时间。
【答案】(1)
(2)
22
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【详解】（1）根据题意作出光路图如图所示
根据题意可得
根据图中几何关系可知
，可得
则该棱镜对该单色光的折射率为
（2）光在棱镜中传播的速度为
光在棱镜中传播的距离为
则光在棱镜中传播的时间为
16．如图所示，一个棱镜的截面为等腰直角三角形ABC，腰长为a，
。一束细光线沿此截面所在
的平面且平行于BC 边的方向从真空射到AB 边中点M，光在M 点发生折射后射到AC 边上，并刚好在AC
边上发生全反射。已知光在真空的传播速度为c，求
(1)该棱镜材料的折射率n；
(2)光从AB 边到AC 边的传播时间t。
23
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【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设光从AB 边射入时，折射角为α，射到AC 面上N 点时，入射角为β，光路图如图所示
根据折射定律
光在AC 边上恰好全反射
sin β=
根据几何关系
故
联立解得
（2）由图中几何关系可得MN 之间的距离为
由（1）可解得
光在棱镜内的传播速度
光从AB 边到AC 边的传播时间为
24
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解得
17．如图所示，一透明体的截面为等边三角形OPQ，边长为L，某光线垂直OP 从M 点射入透明体，恰好
在PQ 边的中点N 发生全反射。光在真空中的传播速度大小为c。求：
(1)透明体对该光线的折射率n；
(2)该光线从M 点传播到N 点的时间t。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）光线恰好在PQ 边的中点N 发生全反射，则临界角为60°，根据全反射临界角公式有
（2）光在介质中的传播速度为
传播时间为
解得
18．如图所示，
为直角三角形，
，
，AB 边的长度为l。一细束绿光从AB 边中点
D 垂直入射，恰好在BC 边发生全反射，光在真空中的传播速度为c，求：
（1）该玻璃材料对绿光的折射率；
25
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（2）光束从进入玻璃砖到第一次射出经历的时间。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）由题意光束恰好在BC 边发生全反射，光路如图所示
由几何关系，恰好全反射时临界角为30°，又因为
解得
（2）由几何关系，光束进入玻璃砖内传播路程
光在玻璃砖中的传播速度
从光束进入玻璃砖到第一次射出经历的时间为
19．用透明材料制成的等腰直角三棱镜ABC 如图所示，AB 边长为a，一束红光垂直AB 面从距离A 点
位置处射入棱镜，在AC 面恰好发生全反射。已知光在真空中的传播速度为c，不考虑多次反射。
（1）画出红光在三棱镜中传播的光路图；
（2）求这种透明材料的折射率n；
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（3）求红光在棱镜中传播的总时间。
【答案】（1）见解析；（2）√2；（3）
【详解】（1）红光在三棱镜中传播的光路图如图所示
（2）根据
由几何关系可得
解得
（3）由图可知，红光在棱镜中的路程为a，则有
又
联立，解得
20．如图所示，三棱镜的横截面为直角三角形ABO，∠A=30°，∠B=60°。一束平行于AO 边的光线自AB
边的P 点射入三棱镜，在AO 边发生反射后从BO 边的M 点射出。若光线在P 点的入射角和在M 点的折射
角相等。
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(1)求三棱镜的折射率；
(2)在三棱镜的AO 边是否有光线射出，写出分析过程。（不考虑多次反射）
【答案】(1)
(2)无光线射出，见解析
【详解】（1）因为光线在P 点的入射角和在M 点的折射角相等，知光线在AB 面上的折射角等于光线在
BO 面上的入射角。根据几何关系知，光线在AB 面上的折射角为30°。根据
（2）光线在AO 面上的入射角为60°。由临界角公式得
因为
sin60°>sinC
故光线在AO 面上发生全反射，无光线射出。
28
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29
