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专题09“
”模型
1． 悬绳加速度问题
水平加速中的悬绳
倾斜加速中的悬绳
注意“发飘”
多悬绳
①绳竖直
θ=0，a=0，μ=tanα
②绳垂直
θ=
α，a=gsinα，μ=0
③绳水平
a=g/sinα，向上减速
μ=cotα
a=g·tanθ
T=mg/cosθ
加速度大小与质量
无关，与偏角有关
a=
gsinθ
cos(θ−α )
T=mgcosα/cos(θ-α)
T=mgsinθ+macosθ
FN=mgcosθ-masinθ
a>g·cotα 发飘:
FN=0
T=√(mg )2+(ma )2
T=mg/cosθ
F=mg·tanθ-ma
a>g·tanθ 发飘:
F=0
T=√(mg )2+(ma )2
2． 类悬绳加速度问题
光滑斜面车上物体
光滑圆弧车中物体
车上死杆
车中土豆
车上人
加速度a=g·tanθ
支持力FN=mg/cosθ
加速度a=g·tanθ
支持力FN=mg/cosθ
杆对球的弹力
F=√(ma )2+(mg )2
其它土豆对黑土豆
的作用力
F=√(ma )2+(mg )2
车对人的作用力
F=√(ma )2+(mg )2
θ
m
θ
m
α
m
α
θ
m
α
m
α
m
α
a
θ
m
θ
mg
T
x
y
θ-α
mg
T
x
y
α
α
mg
T
x
y
FN
α
θ
mg
T
x
y
F
m
θ
a
m
θ
a
m θ
a
死杆
a
m
a
m
a
θ
mg
FN
x
y
θ
mg
FN
x
y
mg
F
x
y
mg
F
x
y
mg
F
x
y
FN
f
1
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【例1】．如图所示，沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中，悬挂小球的悬线偏离竖直方向37°角，球和
车厢相对静止，球的质量为1kg。（g 取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
(1)若车厢做匀速运动，因为小球受水平风力作用悬线发生偏转，求水平风力的大小；
(2)不计风力和空气阻力的作用，因为车厢做匀变速运动悬线发生偏转，求车厢运动的加速度大小并说明车
厢的运动情况。
【答案】(1)7.5N
(2)
，车厢向右做匀加速直线运动或向左做匀减速直线运动
【详解】（1）若车厢做匀速运动，则小球受平衡力作用，合力为零。对小球受力分析可得
解得，水平风力的大小为
（2）不计风力和空气阻力的作用，车厢做匀变速运动悬线发生偏转，对小球受力分析可得，小球受到的
合力为
，方向水平向右
根据牛顿第二定律有
可得，小球运动的加速度大小为
则车厢运动的加速度大小为
，方向水平向右。可知，若车厢向右运动，则车厢做匀加速直线运动。
若车厢向左运动，则车厢做匀减速直线运动。
【例2】．某学校举办了科技节活动，一位参赛选手设计了测量物体加速度的简易装置。如图1 所示，小
车在水平面上运动，将一端连有小球的细线悬于小车内O 点，OP 方向竖直，细线和小球后面有一个半圆
2
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形的刻度盘，当小球与小车保持相对静止时，根据细线与OP 方向的夹角θ，便可得到小车此时的加速度
大小，刻度盘如图2 所示。
(1)为了制作加速度测量仪的刻度盘，需要测量当地的重力加速度，该选手采用单摆进行测量，每当小球经
过最低点时计数一次，从计数1 到51 用时40s，则该单摆周期为 s。
(2)测得当地重力加速度
，则刻度盘上45°角对应的加速度大小为
。
(3)该加速度测量仪的刻度 。（填“均匀”或“不均匀”）
【答案】(1)1.6 (2)9.8 (3)不均匀
【详解】（1）由题意，知单摆周期为
s=1.6s
（2）设小车的加速度为a，绳中张力为T，则有
解得
当
°时可知
（3）由上述分析可知
可知加速度不随角度均匀变化。
【例3】．如图所示，小球质量为m，斜劈质量为M、斜面倾角为θ，用水平向右的推力作用在斜劈上时，
小球位于斜劈的斜面上和斜劈恰好相对静止。已知重力加速度为g，不计一切摩擦，求：
（1）斜劈对小球的支持力大小N；
（2）水平推力的大小F。
3
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）对小球进行受力分析，如图所示
则有
解得
（2）结合上述，对小球进行分析，牛顿第二定律有
对斜劈与小球构成的整体进行分析，根据牛顿第二定律有
F =(M +m)a
解得
F =(M +m)g tanθ
一、单选题
1．如图所示，质量为M 的某中学生背靠在地铁车厢，发现车厢内有两个质量均为m 的小球分别用细绳和
固定的轻杆悬挂起来。系统稳定后，他用手机拍摄下某时刻的情景，发现细绳偏离竖直方向角度是θ，而
固定的轻杆与竖直方向的夹角是β，θ < β，重力加速度是g。下列说法正确的是（ ）
4
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A．地铁一定在向右加速运动，加速度大小为gtanθ
B．中学生受到的摩擦力一定向右
C．中学生受到地铁施加的作用力大小等于
D．细绳和轻杆对小球的作用力方向不同
【答案】C
【详解】A．对小球受力分析如图所示
根据牛顿第二定律可知
可知
方向水平向右，因为列车可能向右加速，也可能向左减速，故A 错误；
B．水平方向为中学生提供加速度的力是左侧车厢壁施加的弹力和摩擦力的合力，两者合力向右，但摩擦
力不一定向右，故B 错误；
C．中学生受到地铁施加的作用力与自身的重力作用，合力为Mgtanθ，因此中学生受到地铁施加的作用力
大小等于重力与Mgtanθ 的合力大小，为
故C 正确；
D．由于两小球的质量和加速度均相同，它们的合力相同均为ma，则细绳和轻杆对小球的作用力大小均为
5
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方向与竖直方向夹角均为θ，故D 错误。
故选C。
2．小蜀同学乘坐轻轨回家时想到用随身的物品测量轻轨启动时的加速度。他用细绳的一端拴着圆珠笔，
另一端固定在扶手杆上。当轻轨启动后稳定加速时用手机抓拍了一张照片，如图所示，细绳与竖直方向夹
角为
，重力加速度为g，则此时对应的加速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】以圆珠笔为对象，根据牛顿第二定律可得
解得此时对应的加速度为
故选B。
3．如图所示，一光滑的正三角形斜面体OAB 放在光滑水平地面上，不可伸长的轻绳跨过固定在O 点的光
滑滑轮连接两物体m1、m2，m1、m2分别位于OA、OB 面上，两部分轻绳与斜面均平行。作用在斜面体上的
恒力使斜面体向右做匀加速运动，m1、m2与斜面体保持相对静止，且m1恰好没有离开斜面。若m1的质量
为0.5kg，则m2的质量为（g 取10m/s2）（ ）
A．1kg
B．2kg
C．2.5kg
D．3kg
6
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【答案】A
【详解】对m1、m2受力分析如图所示
因为m1恰好没有离开斜面，故其和斜面无弹力，则对m1有
则对m2有
联立解得
A 正确。
故选A。
4．如图，沿东西方向（以水平向右为东）直线行驶的列车顶部用细线悬挂一小球A，质量为m 的物块B
始终相对列车静止在桌面上。某时刻观察到细线偏离竖直方向θ 角，且A 相对列车静止，重力加速度为
g，则此刻（ ）
A．列车可能向东做匀速直线运动
B．列车一定向东做匀加速直线运动
C．物块对桌面的摩擦力大小为mgtanθ，方向水平向东
7
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D．轻绳对小球的拉力一定大于小球的重力
【答案】D
【详解】AB．以小球A 为研究对象，分析受力如图所示
根据牛顿第二定律得
可得
方向向东，列车的速度方向可能向东，也可能向西，则列车可能向东做加速运动，也可能向西做减速运动，
故AB 错误；
C．物块B 始终相对列车静止在桌面上，对物体B 由牛顿第二定律得
即桌面对B 的静摩擦力大小为
，方向向东，由牛顿第三定律可知物块对桌面的摩擦力大小为
mgtanθ，方向水平向西，故C 错误；
D．对A 球在竖直方向平衡可得
可得
则轻绳对小球的拉力一定大于小球的重力，故D 正确。
故选D。
5．某实验小组利用身边的器材，想粗略测量地铁启动过程中的加速度。具体操作如下：细绳的下端绑着
一支圆珠笔，细绳的上端用胶带临时固定在地铁的竖直扶手上。在地铁启动后的某段加速过程中，细绳偏
离了竖直方向，处于稳定状态，用手机拍摄了当时的照片（如图所示），拍摄方向跟地铁前进方向垂直。
8
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已知细绳悬点到圆珠笔重心的长度L，圆珠笔重心到竖直扶手的距离d，圆珠笔的质量m，重力加速度g，
则下列说法正确的是（ ）
A．根据这张照片可看出地铁运动的方向可能向右
B．细绳中的拉力大小为
C．该地铁的加速度大小为
D．该地铁在Δt 时间内的速度变化量为
【答案】C
【详解】A.根据图像可知，悬挂圆珠笔的细线与竖直方向的夹角在右侧，则可知细线对圆珠笔的拉力斜向
做上方，而圆珠笔的重力竖直向下，二者的合力水平向左，因此可知地铁在向左加速运动；A 错误；
B.设细线与竖直方向的夹角为
，圆珠笔受力分析如图：
故细绳中的拉力
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可得
故B 错误；
C.根据牛顿第二定律可得
即
C 正确；
D.由
得
D 错误。
故选C。
6．如图所示，一位同学手持球拍托乒乓球沿水平直线跑动，球拍与乒乓球相对静止且均相对该同学静止，
球拍平面和水平面之间夹角为
。设球拍和乒乓球质量分别为M、m，不计球拍和乒乓球之间摩擦，不计
空气阻力，已知重力加速度为g，则（ ）
A．该同学做匀速直线运动
B．乒乓球处于平衡状态
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C．球拍受到的合力大小为
D．球拍对乒乓球的支持力大小为
【答案】C
【详解】AB．该同学手持球拍托乒乓球沿水平直线跑动，不计球拍和乒乓球之间摩擦，不计空气阻力，对
乒乓球受力分析如图所示，则乒乓球所受的合力为
由牛顿第二定律得
乒乓球在水平方向做匀加速运动，由于球拍与乒乓球相对静止且均相对该同学静止，乒乓球、球拍和该同
学具有相同的加速度，故AB 错误；
C．球拍受到的合力大小为
故C 正确；
D．球拍对乒乓球的支持力大小为
故D 错误。
7．列车沿平直的道路做匀变速直线运动，在车厢顶部用细线悬挂一个小球，小球相对车厢静止时，细线
与竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是（ ）
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A．列车加速度的大小为
B．列车加速度的大小为
C．细线拉力的大小为
D．细线拉力的大小为
【答案】A
【详解】AB．设列车的加速度大小为a，根据力的合成与分解以及牛顿第二定律有
得列车加速度的大小为
故A 正确，B 错误；
CD．根据
得
故CD 错误。
故选A。
8．在水平铁轨上沿直线行驶的列车车厢里，车顶上用细线悬挂一个小球，车厢地板上放置一个质量为m
的木箱。某段时间内，摆线与竖直方向夹角始终为θ，木箱相对于地板静止，如图所示。下列判断正确的
是（ ）
A．列车一定向右运动
B．列车的加速度大小为gsinθ
C．木箱所受摩擦力方向一定向右
D．如果细线悬挂的小球在竖直平面内摆动，列车的加速度一定在不断变化
【答案】C
【详解】ABC．对小球受力分析且由牛顿第二定律有
mgtanθ = ma
得小球加速度大小为
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a = gtanθ
加速度方向水平向右，由于列车、小球和木箱具有相同的加速度，则列车的加速度大小为gtanθ，方向水平
向右，由于列车的速度方向未知，则列车可能向右做加速运动，也可能向左做减速运动，对木箱受力分析
可知，无论列车向左还是向右运动，木箱所受摩擦力方向一定向右，故AB 错误、C 正确；
D．当列车由变速运动突然停止，由于惯性，小球将做竖直平面内摆动，即细线与竖直方向的夹角周期变
化，列车的加速度始终为零，故D 错误。
故选C。
二、多选题
9．一辆汽车运载着圆柱形的光滑空油桶。在车厢底，一层油桶平整排列，相互紧贴并被牢牢固定，上一
层只有一个桶C，自由地摆放在A、B 之间，没有用绳索固定，桶C 受到桶A 和B 的支持力，和汽车一起
保持静止，如图所示，下列说法正确的是（重力加速度为g）（ ）
A．当汽车向左做加速运动时，加速度变大，B 对C 的支持力变大
B．当汽车向左做加速运动，且加速度达到
时，C 将脱离A
C．汽车向左匀速运动时，速度越大，B 对C 的支持力越大
D．当汽车向右做加速运动，且加速度达到
时，C 将脱离B
【答案】AD
【详解】A．对桶C 受力分析如图
根据牛顿第二定律有
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竖直方向根据平衡条件可得
联立可知加速度变大，则B 对C 的支持力增大，A 对C 的支持力减小，故A 正确；
B．当汽车向左做加速运动，C 将要脱离A 时，A 对C 的支持力为零，此时有
其中
，解得加速度为
故B 错误；
C．汽车向左匀速运动时，C 受力平衡，无论速度多大，都有
且满足
则B 对C 的支持力不变，故C 错误；
D．当汽车向右做加速运动，C 将要脱离B 时，B 对C 的支持力为零，此时有
其中
，解得加速度为
故D 正确。
故选AD。
10．如图所示，倾角为
的斜面体固定在水平地面上，斜面体的上端固定一挡板，轻质细线一端连在挡板
上，另一端连接质量为m 的小球，小球放置在光滑的斜面上，细线与斜面平行。重力加速度大小为g，下
列说法正确的是（ ）
A．小球受到的支持力是由小球的形变产生的
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B．小球对斜面的压力大小为
C．小球对细线的拉力与挡板对细线的拉力是一对相互作用力
D．剪断细线后瞬间，小球的加速度大小为
【答案】BD
【详解】A．根据弹力的定义知，小球受到的支持力是由斜面体的形变产生的，故A 错误；
C．小球对细线的拉力与挡板对细线的拉力都作用在细线上，是一对平衡力，故C 错误；
B．对小球受力分析如图
根据平衡关系知小球受到的支持力
根据牛顿第三定律知小球对斜面的压力大小为
，故B 正确；
D．剪断细线后瞬间，只有细线的拉力消失，根据牛顿第二定律
解得小球的加速度大小为
故D 正确。
故选BD。
11．如图所示，小球A 和B 用轻弹簧相连后，再用细线悬挂在车厢顶端。小车向右匀加速直线运动时，两
小球与车厢保持相对静止，轻绳与竖直方向的夹角
，轻弹簧与竖直方向夹角为β，剪断细线的瞬间，
小球B 的加速度大小为
，取重力加速度为
，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】对
整体，根据牛顿第二定律有
解得
对B 有
故
剪断细绳，弹簧弹力不突变，B 球受力不变，故
故选BD。
12．如图所示，质量m＝2kg 的小球用细绳拴在倾角
的光滑斜面体斜面上，此时细绳平行于斜面。g
取10
。下列说法正确的是（ ）
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A．当斜面体以5
的加速度向右加速运动时，绳子拉力为20N
B．当斜面体以12
的加速度向右加速运动时，绳子拉力与水平方向夹角大于37°
C．当斜面体以20
的加速度向右加速运动时，绳子拉力为
N
D．当斜面体以20
的加速度向右加速运动时，绳子拉力与水平方向向夹角等于30°
【答案】AC
【详解】当小球刚好只受重力和轻绳拉力作用时，如图所示
根据牛顿第二定律
解得
A．当斜面体以5
的加速度向右加速运动时，即a1<a0，此时物体受重力，支持力和绳的拉力，如图
所示
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水平方向有
竖直方向有
联立解得
，
故A 正确，
B．当斜面体以12
的加速度向右加速运动时，即a2<a0，此时物体受重力，支持力和绳的拉力，物体
在斜面上，绳子拉力与水平方向夹角等于37°，故B 错误；
CD．当斜面体加速度为20m/s2时，即a3>a0，此时物体受重力和绳的拉力，且小球已和斜面分离，如图所
示
解得
，
故C 正确，D 错误。
故选AC。
三、解答题
13．直升机因为有许多其他飞行器难以办到或不可能办到的优势（如可以垂直起飞降落，不用大面积机
场），所以受到广泛应用，主要用于观光旅游、火灾救援、海上急救、缉私缉毒、消防、商务运输、医疗
救助、通信以及喷洒农药杀虫剂消灭害虫、探测资源等国民经济的各个部门。如图是在某次救灾中直升机
沿水平方向做匀加速运动时的情境，不计空气阻力，悬挂箱子的绳子长l = 10 m，与竖直方向的夹角保持
为10°，此时箱子距水平地面高20 m，sin10° = 0.174，cos10° = 0.984，tan10° = 0.176，g 取10 m/s2，箱子
18
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可以看作质点。求：
(1)直升机的加速度a 的大小；
(2)某时刻直升机上仪表显示飞行速度为100 km/h，若此时有一可以看作质点的小物体从箱子中掉落，直升
机仍以上述加速度运动，小物体落在水平地面时距直升机上O 点的水平距离d 的大小。
【答案】(1)1.76 m/s2 (2)5.26 m
【详解】（1）对箱子受力分析，由牛顿第二定律
解得
（2）依题意，小物体从箱子中掉落后，做平抛运动，初速度为100 km/h，下落高度为20 m，则有
直升机自此之后做初速度为100 km/h，加速度为1.76 m/s2的匀加速直线运动，取小物体为参考系，则小物
体落在水平地面时距箱子的水平距离为
可得小物体落在水平地面时距直升机上O 点的水平距离的大小
联立，解得
14．如图所示，一辆货车载着许多相同的圆柱形空油桶在高速公路上匀速行驶，由于雾霾影响，该车驾驶
员的能见度为
。已知每只空油桶质量为
，重力加速度g 取
，不计油桶之间的摩
擦力，计算结果可以保留根号。
19
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(1)货车匀速行驶时，桶C 受到桶A 给它的支持力为多大？
(2)为防止紧急刹车时，桶C 脱离桶B 砸向前方的驾驶室而发生危险，刹车时的加速度不能超过多少？
(3)已知司机的质量为
，则在以最大加速度刹车时，货车对司机的作用力多大？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）货车匀速行驶，对桶C 受力分析如图所示
由几何关系可知
由对称性可知
故
联立解得
（2）为防止紧急刹车时桶C 脱离B 砸向前方的驾驶室而发生危险，刹车时的加速度大小最大为
，此时
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B 对C 刚好无支持力，设此时A 对C 的的支持力为
，对C 受力分析如图所示
有
解得
（3）司机只受到重力和货车对他的力，水平方向有
竖直方向有
则货车对司机的作用力
解得
15．将质量为
的小球用轻质细绳拴在质量为M 的倾角为
的楔形木块B 上，如下图所示，已知B 的倾斜
面光滑，底面与水平地面之间的摩擦因数为
。
（1）若对B 施加向右的水平拉力，使B 向右运动，而
不离开B 的斜面，这个拉力不得超过多少？
（2）若对B 施以向左的水平推力，使B 向左运动，而
不致在B 上移动，这个推力不得超过多少？
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）A 恰好不离开B 的斜面时斜面对A 的支持力为零，以A 为研究对象，分析A 的受力情况，
其合力水平向右，如图：
由牛顿第二定律得
可得
对整体，由牛顿第二定律得
解得
所以若对B 施加向右的水平拉力，使B 向右运动，而
不离开B 的斜面，这个拉力需满足
（2）A 恰好不在B 上移动时，细绳对A 的拉力为零，以A 为研究对象，分析A 的受力情况，其合力水平
向左，如图：
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由牛顿第二定律得
可得
对整体，由牛顿第二定律得
解得
所以若对B 施以向左的水平推力，使B 向左运动，而
不致在B 上移动，这个推力需满足
16．一辆卡车向右运动，现用卡车运输质量为m 的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑
斜面之间，如图所示。两斜面I、II 固定在车上，倾角分别为
和
，重力加速度为g，求：
（1）若卡车匀速直线运动，求斜面I、II 对工件m 的作用力大小；
（2）若卡车启动时的加速度为
，求斜面II 对工件m 的作用力大小；
（3）若要保证行车安全，求汽车启动、刹车的加速度的范围。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
方向向右，
方向向左
【详解】（1）受力分析如图所示
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卡车匀速直线运动，取水平向右为正方向，由受力平衡得水平方向有
竖立方向有
联立解得
（2）若卡车启动时的加速度为
，取水平向右为正方向，受力分析可知水平方向有
竖立方向有
联立解得
（3）随着汽车加速时加速度逐渐增大，工件恰好要沿斜面I 向上滑动，此时加速度达到最大值，根据牛顿
第二定律可得
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解得
即汽车启动时加速度应该满足
加速度方向向右；随着汽车减速时加速度逐渐增大，工件恰好要沿斜面II 向上滑动，此时加速度达到最大
值，根据牛顿第二定律可得
解得
即汽车刹车时加速度应该满足
加速度方向向左。
17．“低空经济”使无人机得到越来越广泛的应用。用无人机运送某货物时，货物用轻绳悬吊在无人机下，
如图所示，货物的质量为10kg，开始时无人机带着货物从地面开始向上做初速度为零的匀加速运动，加速
度大小为3m/s2，达到最大速度9m/s 后向上做匀减速运动，减速到速度为零时悬停，然后无人机开始沿水
平方向先做加速度为7.5m/s2的匀加速运动最后匀速运动，无人机上升的最大高度为27m，重力加速度为
10m/s2，
，不计空气阻力，求：
(1)向上加速运动时，轻绳的拉力多大；
(2)向上减速运动的时间为多少；
(3)无人机与货物沿水平方向做匀加速运动时，悬绳与竖直方向夹角为多少。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）向上加速运动时，以货物为对象，根据牛顿第二定律可得
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解得轻绳的拉力大小为
（2）无人机向上加速的时间为
无人机向上加速的位移大小为
则无人机向上减速的位移大小为
根据运动学公式可得
可得无人机向上减速运动的时间为
（3）无人机与货物沿水平方向做匀加速运动时，设悬绳与竖直方向夹角为
，根据牛顿第二定律可得
解得
可得
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