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专题03 追及相遇模型
追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。追及相遇问
题的基本物理模型：以甲追乙为例。
1.二者距离变化与速度大小的关系
(1)无论v 甲增大、减小或不变，只要v 甲<v 乙，甲、乙的距离就不断增大。
(2)若v 甲＝v 乙，甲、乙的距离保持不变。
(3)无论v 甲增大、减小或不变，只要v 甲>v 乙，甲、乙的距离就不断减小。
2.解答追及相遇问题的三种方法
情境分
析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐
含条件，建立一幅物体运动关系的情境图
图像分
析法
将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一坐标系中，然后利
用图像分析求解相关问题
函数判
断法
设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x 与时间t 的函数关系，由此判
断两物体追及或相遇情况
角度一：情境分析法
【例1】 A、B 两车沿同一直线向同一方向运动，A 车的速度vA＝4 m/s，B 车的速度vB＝10
m/s。当B 车运动至A 车前方L＝7 m 处时，B 车刹车并以a＝－2 m/s2的加速度开始做匀减
速直线运动。求：
(1)从该时刻开始计时，A 车追上B 车需要的时间；
(2)在A 车追上B 车之前，二者之间的最大距离。
【听课笔记】：
1
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【方法总结】
1.情境分析法的基本思路
2.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
角度二 图像分析法
【例2】 (多选)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向沿直线运动，它们的v－
t 图像如图所示。下列判断正确的是( )
A.乙车启动时，甲车在其前方25 m 处
B.乙车超过甲车后，两车有可能第二次相遇
C.乙车启动15 s 后正好追上甲车
D.运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m
【听课笔记】
2
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【方法总结】
方法
基本思路
数理
转换
定量画图时，需根据物体在不同阶段的运动情况，通过定量计算分阶段、分区间作
出x－t 图像或v－t 图像等；或根据已知的运动图像分析物体的运动情况
用图
利用图像中斜率、面积、截距、交点等的含义进行定性分析或定量计算，进而解决
相关问题
角度三 函数分析法
函数分析法的解题技巧——在匀变速运动的位移表达式中有时间的二次方，可列出位移方
程，利用二次函数求极值的方法求解。
【例3】一汽车在直线公路上以54 km/h 的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m 处有
一辆自行车以5 m/s 的速度同向匀速行驶。经过0.4 s 的反应时间后，司机开始刹车，则：
(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
(2)若汽车刹车时的加速度只为4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度
加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
【听课笔记】
【方法总结】
函数分析法讨论相遇问题的思路
设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx 与时间t 的二次函数关系，
Δx＝0 时，表示两者相遇。若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，即有一个
解，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。当t＝－时，函数有极
值，代表两者距离的最大值或最小值。
一、单选题
1．两辆汽车A、B 沿同一条直线同向运动，B 车在前面遇到紧急情况刹车，刹车开始时两
车相距
，后面的汽车A 一直做匀速直线运动，它们的
图像如图所示，则
（ ）
3
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A．
时A、B 车相遇
B．
的过程中，两车间的距离在减小
C．
时A、B 车相遇
D．A、B 车相遇的时刻在5s 之后
2．大雾天气，一辆货车正在平直的公路上匀速行驶，某时刻，货车司机发现前方50m 远
处一辆小汽车正在向前匀速行驶，货车司机立即刹车，刹车后货车运动的
图像如图
所示，刹车后货车与小汽车的最小距离为25m，下列说法正确的是（ ）
A．货车刹车后的加速度大小为
B．小汽车匀速行驶的速度大小为12m/s
C．货车刹车5s 后货车与小汽车的距离最小
D．货车停下时货车与小汽车的距离为
75m
3．随着自动驾驶技术不断成熟，北京、上海等城市某些特定地区相继出现无人驾驶网约车，
给市民出行带来方便。甲、乙两辆无人驾驶汽车在平直公路上从同一地点同时出发，两车
位移
和时间的比值
与时间之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．乙车的加速度大小为
B．3s 末两车速度相同
4
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C．乙车速度为
时，甲车速度为
D．甲车追上乙车前，两车间最远距离
为9m
二、多选题
4．假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前，乙车在后，速度均为v0
= 30 m/s，距离s0 = 100 m。t = 0 时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化
关系如图1、2 所示。取原运动方向为正方向。下面说法正确的是（ ）
A．t = 3 s 时两车相距最近
B．0 ~ 9 s 内两车位移之差为45 m
C．0 ~ 9 s 内两车距离最近为10 m
D．两车在0 ~ 9 s 内会相撞
5．甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其中v-t 图像如图所示。已知两车在
时并排行
驶，则（ ）
A．在
时，甲车在乙车后
B．在
时，甲车在乙车后7.5m
C．两车另一次并排行驶的时刻是
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m
三、解答题
6．一汽车在直线公路上以
的速度匀速行驶，突然发现在其正前方
处有一
5
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辆自行车以
的速度同向匀速行驶。司机经过
的反应时间后，开始刹车。求：
(1)汽车开始刹车时，两车之间的距离；
(2)为了避免相撞，汽车刹车的最小加速度大小；
(3)若汽车刹车时的加速度大小为
，在汽车开始刹车的同时，自行车开始以大小
为
的加速度做匀加速直线运动，但自行车的最大速度大小为
，判断两车是否
相撞。若相撞，说明理由；若不相撞，则两车的最小距离。
7．学校运动会中，
接力赛是最为激烈的比赛项目之一。甲、乙两运动员在交接棒
的过程中，甲在接力区前
处作了标记，当甲跑到此标记时向乙发出起跑口令，乙在接力
区的前端听到口令时立即起跑（忽略声音传播的时间及人的反应时间），先以
的
加速度做匀加速直线运动，速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒（忽略交接棒时
间），然后保持这个速度跑完全程。已知乙运动员跑完接力区所用时间为
，甲、乙两
运动员的最大速度均为
，甲运动员一直以最大速度做匀速直线运动，求：
(1)
大小；
(2)接力区的长度L。
8．汽船甲在雾中以大小
的恒定速度沿直线航行，某一时刻汽船甲拉响汽笛，经
过
，听到了由正前方的障碍物传来的回声。声音在空气中传播的速度
，将
汽船视为质点。
(1)若障碍物为山峰，求汽船甲接收到回声时与山峰之间的距离
；
(2)若障碍物为以大小
的恒定速度相向驶来的汽船乙，求汽船甲接收到回声时与
汽船乙之间的距离
；
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(3)若在（2）中情况下，汽船乙的运动不变，汽船甲接收到回声后急转弯以免与汽船乙相
撞，求汽船甲接收到回声到采取急转弯措施的时间t 应满足的条件。
9．长为
的警车在公路上以
的速度匀速行驶进行巡视，某时刻发现并行车道
前方一辆长
的大货车疑似超速行驶，此时货车车尾距警车车头
，如图所示，警
员于是立刻踩动油门加速追赶。为了安全，警车需行驶到车尾距货车车头前
距离处，
和货车同速行驶进行示意停车，这段时间货车一直匀速。被示意停车后，测得货车匀减速
刹车过程中，第3 秒内位移为
，第13 秒内位移为
。警车加速、减速时均以
的加速度行驶，警车的最大速度为
。
(1)如果货车限速
，判断货车是否超速；
(2)求警车从开始加速至少经过多长时间才能到达题中
距离处同速行驶；
(3)警车示意停车后即开始刹车，货车司机看到示意后，反应时间为
；若货车初速度不变，
最后能停在警车车尾
的范围内，求货车匀减速刹车时的加速度大小需满足的条件。
10．a、b 两个物体在水平面上以相同的初速度同时开始运动，初始时a 在b 前方
处，
图中的两条直线分别表示a、b 两物体的速度—时间图像，
后a 物体保持静止，试求解以
下问题：
(1)
末时，b 物体速度的大小；
(2)
末时，a、b 间的距离为多少。
11．某高速公路同一直线车道上有两辆同向匀速行驶的汽车甲、乙，其速度大小分别为
。某时刻甲车在与乙车距离
时发现前方乙车制动，乙车制动时加
速度大小为
，为避免事故，甲车司机在经历
的反应时间后立即采取制
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动措施。已知甲车以
在平直公路上行驶，制动时要经过
才能停下来。
(1)甲车制动时的加速度大小
是多少？
(2)通过计算分析为保证两车安全，
最小值为多少？
(3)若乙车仅制动
后立即以大小为
的加速度开始做匀加速直线运动，从乙
车制动开始经多长时间两车速度相等？此相等速度大小为多少？
12．汽车A 以
的速度向右做匀速直线运动，发现车头前方相距
m 处，有以
的速度同向运动的汽车B 正开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹
车的加速度大小
。从刚刹车开始计时。求：
(1)A 追上B 前，A、B 间的最远距离；
(2)经过多长时间A 恰好追上B；
(3)B 车以某一速度运动时，在B 车车厢底板距离后壁
处有一玩具小车（可视为质
点）从静止开始以加速度
向前加速运动，此时B 车将以加速度
减速，
玩具小车若与B 车共速或碰到后壁就会被固定。求B 车的最小初速度是多少时，玩具小车
在B 车中滑动时间最长？
13．为迎接市高中男子足球联赛，学校足球队演练了“边路突破，下底传中”的战术，即
攻方队员带球沿边线前进，到底线附近进行传中。如图所示，足球场长100m、宽75m，攻
方前锋小张在中线处将足球沿边线向前踢出，足球在地面上的运动可视为初速度大小
、加速度大小
的匀减速直线运动。
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(1)若无人触及被踢出后的足球，求足球做匀减速直线运动的时间
并判断此种情况下足球
是否会滚出底线；
(2)若在足球踢出的同时，小张沿边线向前追赶足球，追赶过程的运动可视为初速度为零、
加速度大小
的匀加速直线运动，求他追上足球前与足球间的最大距离
；
(3)若在（2）中情况下，小张的速度增大到最大速度
后，以此最大速度做匀速
直线运动，请通过计算判断他能否在足球停下前追上足球。
14．一辆长途客车正在以v0=20m/s 的速度匀速行驶。突然，司机看见车的正前方34m 处有
一只狗，如图甲所示（t=0），长途客车的速度时间图像如图乙所示。
(1)求长途客车从司机发现狗至停止运动的这段时间内前进的距离；
(2)求长途客车制动时的加速度；
(3)若狗正以v1=4m/s 的速度与长途客车同向奔跑，狗能否摆脱被撞的噩运？
15．一列货车以8m/s 的速度在平直铁路上运行，由于调度失误，在后面某处有一列快车以
20m/s 的速度向它靠近。快车司机发觉后立即制动，制动的加速度大小为
，若两
车恰好不相撞（货车速度保持不变），求：
(1)快车从制动至两车恰好不相撞所用时间；
(2)快车刚开始制动时两车相距的距离；
(3)若快车开始制动时距离货车300m，货车应至少以多大的加速度作加速运动才能避免两
车相撞。
16．如图所示，在平直公路上有甲、乙两辆小汽车从相距
m 的A、B 两地同向同时出
发。已知甲车在前，乙车在后，甲车初速度大小为
，加速度大小为
，
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乙车的初速度大小为
，加速度大小为
，甲车做匀加速直线运动，乙车
做匀减速直线运动，两车均可视为质点。
(1)通过计算说明两车是否能相遇，若不能相遇，求两车间相距的最小距离；
(2)若甲车加速度大小未知，其他条件均不变，要使甲、乙两车能相遇两次，则甲车的加速
度大小应满足什么条件？（结果可以保留分数）
17．长为5m 的警车在公路上以36km/h 匀速行驶进行巡视，某时刻，一辆长20m 的大货车
以72km/h 的速度从警车旁边匀速驶过，在货车车尾距警车车头25m 时，警员发现货车有
违章行为，于是立刻踩动油门进行追赶。为了安全，警车先加速后减速，需行驶到车尾距
货车车头前53m 安全距离处，和货车同速行驶，才能进行示意停车。已知警车加速、减速
时的最大加速度大小均为2m/s2，整个过程货车一直匀速行驶。求：
(1)当警车以最大加速度行驶，在超过货车之前，车头距货车车尾最远距离；
(2)警车至少经过多长时间才能到达题中安全距离处同速行驶；期间达到的最大速度。
18．停在公交站台的公交车由静止启动，以大小为
m/s2的加速度做匀加速直线运动。
公交车启动瞬间，后方距离车头
m 处，一高中生追赶公交车。高中生以
m/s 的
初速度、
m/s2的加速度做匀加速直线运动，达到最大速率
m/s 后做匀速直线运
动。求：
(1)高中生加速过程的时间
和运动距离
；
(2)该学生能否追至公交车车头处？若能，需要多长时间？若不能，和公交车车头的最短距
离为多少？
(3)若在同一位置追赶公交车的是一中老年乘客，他只能以较小速度匀速追赶。司机能够通
过后视镜看到离车头
m 以内的物体，如乘客在后视镜中能保留
s 以上，司机即
可留意到乘客从而停车等候。该中老年乘客想要乘车，追赶的速度至少多大？
19．一汽车停在小山坡底，某时刻，司机发现山坡上距坡底
处的泥石流以
的初
速度、
的加速度匀加速倾泻而下，假设泥石流到达坡底后速率不变，在水平地面上
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做匀速直线运动，司机从发现险情到发动汽车共用了
，汽车启动后以恒定的加速度一直
做匀加速直线运动，其过程简化为如下图所示，求：
(1)泥石流到达坡底的时间和速度大小；
(2)试通过计算说明：汽车的加速度至少多大才能脱离危险？
20．在平直公路上，有甲、乙两辆车，初始时，甲车在前，乙车在后，它们相距为
x0=100m，不计汽车长度。
(1)若甲车以v1=20m/s 的速度做匀速直线运动，同时，乙车以v2=30m/s 的初速度开始做加速
度大小为a=0.4m/s2的匀减速直线运动，直到速度为零。问到乙车速度为零，甲、乙两车前
进的位移各是多少？此过程中乙车能否追上甲车？
(2)若甲车以v1=20m/s 的初速度做匀速直线运动，同时，乙车以v2=30m/s 的初速度开始做匀
减速直线运动，其加速度大小至少为多少时，才能避免乙车追上甲车？
(3)若乙车以v2=30m/s 的速度做匀速直线运动，同时，甲车从静止开始做加速度为a=2m/s2
匀加速直线运动，乙车能否追上甲车？
(4)若乙车以v2=30m/s 的速度做匀速直线运动，同时，甲车以v1=20m/s 的初速度开始做加速
度为a=6m/s2的匀减速直线运动，直到速度为零，乙车何时追上甲车？
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