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专题04 两（三）体多过程模型
一.子弹打木块模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。
(2)系统的机械能有损失。
3．两种情景
(1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)
动量守恒：mv0＝(m＋M)v
能量守恒：Q＝Ff·s＝mv0
2－(M＋m)v2
(2)子弹穿透木块
动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2
能量守恒：Q＝Ff·d＝mv0
2－(mv1
2＋Mv2
2)
二 “滑块—木板”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能。
(2)若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大。
3．求解方法
(1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统；
(2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体；
(3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律Q＝FfΔx 或Q＝E 初－E 末，研究对象为一个系统。
三．碰撞模型拓展
1．“滑块—弹簧”模型
(1)模型图示
1
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(2)模型特点
①动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。
②机械能守恒：系统所受外力的矢量和为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
③弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小。(相当于完全非弹性碰
撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)
④弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大。(相当于刚完成弹性碰撞)
四．“滑块—斜(曲)面”模型
(1)模型图示
(2)模型特点
①上升到最大高度：滑块m 与斜(曲)面M 具有共同水平速度v 共，此时滑块m 的竖直速度vy＝0。系统水平
方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v 共；系统机械能守恒，mv0
2＝(M＋m)v 共2＋mgh，其中h 为滑块上升的最大高
度，不一定等于轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块m 的重力势能)。
②返回最低点：滑块m 与斜(曲)面M 分离点。系统水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，
mv0
2＝mv1
2＋Mv2
2(相当于弹性碰撞)。
【模型演练1】如图所示，在光滑的水平桌面上静止放置一个质量为980 g 的长方形匀质木块，现有一质量
为20 g 的子弹以大小为300 m/s 的水平速度沿木块的中心轴线射向木块，最终留在木块中没有射出，和木
块一起以共同的速度运动。已知木块沿子弹运动方向的长度为10 cm，子弹打进木块的深度为6 cm。设木
块对子弹的阻力保持不变。
(1)求子弹和木块的共同速度以及它们在此过程中所产生的内能。
(2)若子弹是以大小为400 m/s 的水平速度从同一方向水平射向该木块，则在射中木块后能否射穿该木块？
【答案】 (1)6 m/s 882 J (2)能
【解析】 (1)设子弹射入木块后与木块的共同速度为v，对子弹和木块组成的系统，由动量守恒定律得
mv0＝(M＋m)v，代入数据解得v＝6 m/s
2
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此过程系统所产生的内能
Q＝mv0
2－(M＋m)v2＝882 J
(2)假设子弹以v0′＝400 m/s 的速度入射时没有射穿木块，则对以子弹和木块组成的系统，由动量守恒定
律得mv0′＝(M＋m)v′
解得v′＝8 m/s
此过程系统损失的机械能为
ΔE′＝mv0′2－(M＋m)v′2＝1 568 J
由功能关系有Q＝ΔE＝F 阻x 相＝F 阻d
ΔE′＝F 阻x 相′＝F 阻d′
则＝＝，解得d′＝ cm
因为d′>10 cm，所以能射穿木块。
【模型演练2】质量m1＝0.3 kg 的小车静止在光滑的水平面上，车长L＝1.5 m，现有一质量为m2＝0.2 kg、
可视为质点的物块，以水平向右的速度v0＝2 m/s 从左端滑上小车，如图所示，最后在小车上某处与小车保
持相对静止，物块与小车间的动摩擦因数μ＝0.5，g 取10 m/s2，求：
(1)物块与小车的共同速度大小v；
(2)物块相对小车滑行的时间t；
(3)从开始到共速，小车运动的位移大小x1；
(4)从开始到共速，物块运动的位移大小x2；
(5)在此过程中系统产生的内能；
(6)若物块不滑离小车，物块的速度不能超过多少。
【答案】 (1)0.8 m/s (2)0.24 s (3)0.096 m (4)0.336 m (5)0.24 J (6)5 m/s
【解析】 (1)设物块与小车的共同速度为v，以水平向右为正方向，根据动量守恒定律有m2v0＝(m1＋
m2)v，解得v＝＝0.8 m/s
(2)对物块由动量定理有－μm2gt＝m2v－m2v0
解得t＝＝0.24 s
(3)对小车，根据动能定理有μm2gx1＝m1v2－0，解得x1＝＝0.096 m
(4)x2＝t＝×0.24 m＝0.336 m
(5)方法一 Δx＝x2－x1＝0.24 m
Q＝μm2g·Δx＝0.24 J
方法二 Q＝ΔE＝m2v0
2－(m1＋m2)v2
＝0.24 J
(6)m2v0′＝(m1＋m2)v′
3
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m2v0′2－(m1＋m2)v′2＝μm2gL
联立解得v0′＝5 m/s。
【模型演练3】如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m 的物块A、B、C，B 的左侧固定一轻弹簧(弹簧
左侧的挡板质量不计)。设A 以速度v0向B 运动，压缩弹簧；当A、B 速度相等时，B 与C 恰好相碰并粘在
一起，然后继续运动。假设B 和C 碰撞过程时间极短。求从A 开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中：
(1)整个系统损失的机械能；
(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能。
【答案】 (1)mv0
2 (2)mv0
2
【解析】 (1)从A 压缩弹簧到A 与B 具有相同速度v1时，对A、B 与弹簧组成的系统，取水平向右为正方
向，由动量守恒定律得mv0＝2mv1①
此时B 与C 发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v2，损失的机械能为ΔE，对B、C 组成的系统，
由动量守恒定律和能量守恒定律得
mv1＝2mv2②
mv1
2＝ΔE＋(2m)v2
2③
联立①②③式得ΔE＝mv0
2④
(2)由②式可知v2<v1，A 将继续压缩弹簧，直至A、B、C 三者速度相同，设此速度为v3，此时弹簧被压缩
至最短，其弹性势能为Ep。
由动量守恒定律和能量守恒定律得mv0＝3mv3⑤
mv0
2－ΔE＝(3m)v3
2＋Ep⑥
联立④⑤⑥式得Ep＝mv0
2。
【模型演练4】如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一个蹲在滑板上的小孩和其
面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面3 m/s 的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上
斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3 m(h 小于斜面体的高度)。已知小孩与滑板的总质量为m1＝
30 kg，冰块的质量为m2＝10 kg，小孩与滑板始终无相对运动。重力加速度的大小取g＝10 m/s2。
(1)求斜面体的质量；
(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？
【答案】 (1)20 kg (2)不能，理由见解析
【解析】 (1)规定向左为正方向。冰块在斜面体上上升到最大高度时两者达到共同速度，设此共同速度为
v，斜面体的质量为m3。对冰块与斜面体分析，由水平方向动量守恒和机械能守恒得
m2v0＝(m2＋m3)v①
4
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m2v0
2＝(m2＋m3)v2＋m2gh②
式中v0＝3 m/s 为冰块推出时的速度，联立①②式并代入数据得v＝1 m/s，m3＝20 kg③
(2)设小孩推出冰块后的速度为v1，对小孩与冰块分析，由动量守恒定律有m1v1＋m2v0＝0④
代入数据得v1＝－1 m/s⑤
设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3，对冰块与斜面体分析，由动量守恒定律和机械能守恒定律有
m2v0＝m2v2＋m3v3⑥
m2v0
2＝m2v2
2＋m3v3
2⑦
联立③⑥⑦式并代入数据得v2＝－1 m/s
由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且冰块处在小孩后方，故冰块不能追上小孩。
【模型演练5】．如图所示，光滑的
圆弧槽B 静止在光滑水平面上，圆弧槽的最低点与光滑水平面相切，
其半径为R。在水平面上有一质量为m 的小球C 处于静止状态，其左边连接着轻质弹簧。现将一质量也为
m 的小球A 从圆弧槽最高点由静止释放，小球A 和小球C 均可视为质点，圆弧槽质量
，重力加速
度为g，不计一切摩擦和空气阻力，求：
（1）圆弧槽B 的最终速度大小；
（2）弹簧的最大弹性势能；
（3）小球C 的最终速度大小。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球A 沿着圆弧槽下滑过程中，水平方向动量守恒有
根据机械能守恒有
解得
5
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，
（2）在小球A 压缩弹簧的过程中，当两球速度相等时，弹簧具有的弹性势能最大，
根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
解得
（3）当弹簧再次恢复原长时两球分离，根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
解得
【模型演练6】．如图所示，在光滑的水平面上有一长L=1m 的木板B，木板与右侧光滑平台等高，平台上
有一光滑
圆弧槽C，半径R=0.05m，圆弧槽下端与平台表面相切，开始B、C 都静止，现有小物块A 以初
速度v0=4m/s 从B 左端滑上，木板和平台相碰时物块恰好以速度vA=2m/s 滑离木板，之后物块滑上圆弧槽，
A、B、C 的质量分别为1kg、2kg、0.5kg，重力加速度g=10m/s2，求：
（1）木板B 刚要与平台碰撞时速度v；
（2）物块与木板间的动摩擦因数µ；
（3）物块离平台最大高度h。
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【答案】（1）1m/s；（2）0.5；（3）
【详解】（1）当物块A 滑上木板B，二者组成的系统动量守恒，所以
代入数据解得
（2）A 从滑上B 到滑离木板，根据能量守恒定律有
代入数据解得
（3）当物块A 滑上圆弧槽C 后，圆弧槽向右加速，二者组成的系统水平方向动量守恒，所以
联立解得
【模型演练7】．如图所示，小物块A 与小物块B 相距
，A 的质量为2m，B 的质量为m，A、B 之间的水
平地面粗糙，A 与粗糙水平地面间的动摩擦因数为
，在B 右侧光滑水平地面上有一曲面劈C，C
的质量为M=5m，曲面下端与水平面相切，曲面劈的弧面光滑且足够高。现让小物块A 以水平速度
向右
运动，与小物块B 发生碰撞，碰撞后两个小物块粘在一起滑上曲面劈C，沿曲面滑行到某高度后又滑下，
重力加速度为g。求：
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（1）A、B 碰撞过程中系统损失的机械能
；
（2）碰后物块A、B 在曲面劈C 上能够达到的最大高度h；
（3）物块A、B 与曲面劈分离时，A、B 和曲面劈的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）物块A 在与B 碰撞之前，根据动能定理有
A、B 碰撞过程中，根据动量守恒定律有
A、B 碰撞过程中系统损失的机械能
解得
（2）A、B 碰撞后对A、B、C 构成的系统，水平方向动量守恒，则有
根据能量守恒定律有
解得
（3）物块A、B 与曲面劈分离过程，根据动量守恒定律有
根据能量守恒定律有
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解得
，
可知，A、B 和曲面劈的速度大小分别为
，
。
1．如图所示，在固定的光滑水平杆（杆足够长）上，套有一个质量为
的光滑金属圆环，轻绳一
端拴在环上，另一端系着一个质量为
的物块，现有一质量为
的子弹以
的水
平速度射入物块并留在物块中，子弹射入物块的时间极短，不计空气阻力和子弹与物块作用的时间，g 取
，求：
(1)物块所能达到的最大高度；
(2)金属圆环的最大速度。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）子弹射入物块过程中，系统的动量守恒，取向右方向为正方向，根据动量守恒定律得
得
物块（含子弹）在向上摆动过程中，以物块（含子弹）和圆环组成的系统为研究对象，根据系统水平方向
的动量守恒则有
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解得
根据机械能守恒定律有
代入数据可解得
（2）当子弹、物块、圆环达到共同速度后，子弹和物块将向下摆动，在此过程中圆环一直受绳子水平向
右的分力作用，圆环速度一直增大，当子弹和物块运动到圆环正下方时圆环速度最大。设此时子弹和物块
的速度为
，圆环速度为
，则有
由上述两式联立可解得
，
故金属圆环的最大速度为
。
2．如图所示，可固定的四分之一圆槽AB 的半径为R、质量为3m，静止放在水平地面上，圆槽底端B 点的
切线水平，距离B 点为R 处有一质量为3m 的小球2。现将质量为m 的小球1（可视为质点）从圆槽顶端的
A 点由静止释放，重力加速度为g，不计一切摩擦，两小球大小相同，所有的碰撞均为弹性碰撞。
(1)若圆槽固定，求小球2 最终的速度大小；
(2)若圆槽不固定，求小球1 下滑到圆槽底端B 点时圆槽移动的距离
(3)若圆槽不固定，求小球1 与小球2 刚碰撞完之后的小球1 速度大小及方向。
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【答案】(1)
(2)
(3)
，方向与初始运动方向相反
【详解】（1 ）若圆槽固定，则小球1 下落速度为
接下来小球1 与小球2 发生弹性碰撞，动量守恒有
机械能守恒有
解得
（2 ）设小球1 刚离开圆槽时，圆槽的位移为
，此时小球的位移为
，有
小球1 滑下过程水平方向动量守恒，设小球1 运动方向为正方向有
由于两者运动时间相同，有
即
解得
（ 3）小球1 滑下过程，由能量守恒有
水平方向动量守恒有
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小球1 与小球2 发生碰撞，动量守恒有
机械能守恒有
解得
“－”表方向与初始速度方向相反。
3．如图所示，长板A 和滑块B 间隔一定距离静置于光滑水平轨道上，滑块C 以
的速度从A 左端
滑上木板，C 相对A 静止后、A 与B 发生碰撞，A、C 再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与B 碰
撞。已知A、B、C 质量分别为
、
、
，C 与A 上表面间的滑动摩擦因数
，
碰撞时间极短，重力加速度大小取
(1)求与B 碰撞前A 的速度
的大小；
(2)求与B 碰撞后瞬间A 的速度
大小；
(3)若最终C 恰好末从A 上滑落，求木板A 的长度d。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）C 滑上A 到两者相对静止过程两者动量守恒设与B 碰撞前A 的速度大小为
代入数据解得
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（2）A 与B 碰撞过程两者动量守恒，设碰后A 速度为
、B 速度为
由题意可知，A、C 第二次同速时速度大小为
，C 第二次相对A 滑动过程两者动量守恒
联立解得
（3）设C 第一次相对A 滑动过程相对位移为
C 第二次相对A 滑动过程两者动量守恒
设C 第二次相对A 滑动过程相对位移为
木板长度
代入数据解得
4．如图所示，光滑水平面上质量为
，
的A、B 两物块用轻质弹簧连接，一起以
的速度向右匀速运动，与静止在水平面上质量
的物块C 发生碰撞，碰撞时间极短，弹簧
始终在弹性限度内，忽略一切摩擦阻力。
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(1)若物块B 与C 碰撞后粘合在一起运动，求碰后瞬间C 的速度大小；
(2)若物块B 与C 碰撞后粘合在一起运动，求此后弹簧能获得的最大弹性势能；
(3)若物块B 与C 发生弹性碰撞，求碰撞完后B 的最大速度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据动量守恒
解得
（2）当三个物体速度相等时，弹簧能获得最大弹性势能，根据动量守恒
得
根据能量守恒
解得
（3）物块B 与C 发生弹性碰撞，则BC 整体由动量守恒和能量守恒有
解得
对AB 整体
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解的得
5．如图所示，水平轨道左端与圆弧轨道平滑连接，小球A、B 及半径
的
圆弧形滑块C 的质量分别
为
、
、
，小球B 与滑块C 静止在水平面上。现从圆弧轨道上高
处将小
球A 由静止释放，小球A 与小球B 发生正碰，经过一段时间后小球B 滑上滑块C。小球B 到滑块C 底端的
距离足够长，一切摩擦均可忽略，假设所有的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度取
。
(1)求小球A 与小球B 第一次碰撞后，小球B 的速度大小；
(2)求小球B 第一次在滑块C 上能达到的最大高度；
(3)求小球B 第一次返回滑块C 底端时的速度大小；
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设碰前小球A 的速度为
，从圆弧轨道上高
处将小球A 由静止释放，由机械能守
恒可得
代入数据解得
设球A、B 碰撞后瞬间的速度分别为
、
，根据系统动量守恒和机械能守恒可得
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解得
，
即小球A 与小球B 第一次碰撞后，小球B 的速度大小为
。
（2）小球B 与滑块C 在水平方向上共速时小球B 上升的高度最大。设共同的速度为
，小球B 与滑块C 组
成的系统在水平方向上动量守恒，有
小球B 与滑块C 组成的系统满足机械能守恒，则有
联立解得
（3）设小球B 返回滑块C 底端时，B 与C 的速度分别为
、
，根据系统水平方向动量守恒和机械能守恒
可得
联立解得
，
即小球B 返回滑块C 底端时的速度大小为
。
6．在固定的光滑水平杆（杆足够长）上，套有一个质量m=0.5kg 的光滑金属圆环，一根长L=1m 的轻绳一
端拴在环上，另一端系着一个质量M=1.98kg 的木块，如图所示。现有一质量为m0=0.02kg 的子弹以
v0=1000m/s 的水平速度射向木块，最后留在木块内（不计空气阻力和子弹与木块作用的时间），g 取
10m/s2，求：
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(1)当子弹射入木块后瞬间，木块的速度大小v；
(2)木块向右摆动的最大高度h；
(3)木块向右摆动到最高点过程中绳子拉力对木块做的功W。
【答案】(1)10m/s (2)1m (3)-16J
【详解】（1）子弹射入木块的过程中，子弹和木块组成的系统动量守恒，则
解得
（2）子弹、木块和金属圆环组成的系统水平方向动量守恒，当木块向右摆动到最大高度时，有
联立解得
，
（3）对木块和子弹整体，根据动能定理可得
解得
7．如图所示，物块
和上表面粗糙的长木板
放置在光滑水平面上，质量为
的物块
静止在长木板
的右端，物块
的质量为
，长木板
的质量为
。物块
以速度
向右运动，与长木板B 发生碰撞
（碰撞时间极短），物块
始终未滑离长木板
，稳定后
、B、C 恰好不再碰撞。求：
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(1)
碰撞后瞬间
的速度；
(2)
间摩擦产生的热量。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意A 与B 碰撞时间极短，则A、B 之间的碰撞可视为弹性碰撞时，动量守恒，机械能
守恒，有
联立解得
（2）根据稳定后A、B、C 恰好不再碰撞可知稳定后三者共速，B、C 到达共速的过程中动量守恒，类似于
完全非弹性碰撞，再根据能量守恒定律，则有
联立解得
8．如图，质量为
、长为
的薄木板AB 放在光滑的平台上，木板
端与台面右边缘齐平．
端上放有质
量为
且可视为质点的滑块C，C 与木板之间的动摩擦因数为
，质量为
的小球用长为
的细绳悬
挂在平台右边缘正上方的
点，细绳竖直时小球恰好与C 接触．现将小球向右拉至细绳水平并由静止释放，
小球运动到最低点时细绳恰好断裂，小球与C 碰撞后反弹速率为碰前的一半．已知重力加速度为
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(1)求细绳能够承受的最大拉力；
(2)若
点与地面高度
不变，平台高度和细绳长度可调，要使小球反弹后作平抛运动的水平距离最大，
与
的比值应为多大；
(3)通过计算判断C 能否从木板上掉下来。
【答案】(1)
(2)
(3)滑块C 不会从木板上掉下来
【详解】（1）设小球运动到最低点的速率为
，小球向下摆动过程机械能守恒，由机械能守恒定律得
解得
小球在圆周运动最低点，由牛顿第二定律得
由牛顿第三定律可知，小球对细绳的拉力
解得
（2）小球碰撞后平抛运动．在竖直方向上有
水平方向有
解得
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所以要使小球反弹后作平抛运动的水平距离最大，则
可得
与
的比值
（3）小球与滑块C 碰撞过程中小球和C 系统满足动量守恒，设C 碰后速率为
，以小球的初速度方向为正
方向，由动量守恒定律得
设木板足够长，在C 与木板相对滑动直到相对静止过程，设两者最终共同速率为
，由动量守恒定律得
由能量守恒定律得
联立解得
由
知，滑块C 不会从木板上掉下来。
9．如图所示，竖直平面内有一高为
的光滑倾斜圆弧轨道，末端水平。质量
的小滑块B 静
止在圆弧轨道末端。轨道右方有一辆质量为
的小车C 静止在光滑水平面上，小车上表面与轨道末
端平齐且挨在一起。另一个质量为
的小滑块A 从圆弧轨道上端由静止释放，下滑后与B 发生弹性
碰撞。已知B 与小车C 上表面的动摩擦因数为
，滑块A 在整个过程中与小车C 都没有相互作用，
取
。求：
20
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(1)A 与B 碰撞前瞬间滑块A、B 的速度大小；
(2)要保证滑块B 不从小车C 上滑下，小车至少要有多长。
【答案】(1)2m/s，0 (2)0.1m
【详解】（1）根据题意，由动能定理有
解得A 与B 碰撞前瞬间滑块A 的速度大小
由题可知，B 的速度为
（2）根据题意可知，A 与B 发生弹性正碰，由动量守恒定律有
由能量守恒定律有
解得
B 和C 组成的系统合外力为零，要保证滑块B 不从小车C 上滑下，即滑块B 滑到小车右端时与小车速度相
等，由动量守恒定律有
由能量守恒定律有
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解得小车至少长为
10．如图所示，固定在轻质弹簧两端质量分别是
、
的两个物体置于光滑水平地面上，
靠在光滑竖直墙上。现有一颗质量
的子弹水平射入
中，使弹簧压缩而具有12J 的弹性势能，
然后
和
都将向右运动。试求：
(1)子弹入射前的速度；
(2)竖直墙对
的冲量；
(3)
离开挡板后弹簧具有的最大弹性势能。
【答案】(1)600m/s，水平向左 (2)12N·s，水平向右 (3)3J
【详解】（1）取向左为正方向，子弹射入时，弹簧还没来得及压缩，根据动量守恒有
弹簧压缩后根据机械能守恒有
联立两式，代入数据
方向水平向左。
（2）根据对称性，子弹和
都以大小为
的速度向左压缩弹簧，而后又以同样大小的速度向右反弹离开
墙面，以向右为正方向，根据动量定理可得
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代入数据
方向水平向右。
（3）运动中，弹簧弹性势能最大时为三者共速，有
则据能量守恒，运动后的最大弹性势能为
代入数据
11．如图所示，质量为3m 的木板静止在足够大的光滑水平地面上，质量为m 的滑块静止在木板的左端。
质量为m 的子弹以大小为
的初速度射入滑块，子弹射入滑块后未穿出滑块，且滑块恰好未滑离木板。滑
块与木板间的动摩擦因数为u，重力加速度大小为g，子弹与滑块均视为质点，不计子弹射入滑块的时间。
求：
（1）木板最终的速度大小v；
（2）滑块在木板上相对木板滑动的过程中系统因摩擦而产生的热量Q；
（3）滑块在木板上相对木板滑动的过程中系统克服摩擦力做功（产生热量）的平均功率P。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设子弹射入滑块后瞬间子弹和滑块的共同速度大小为
，根据动量守恒定律有
得
根据动量守恒定律有
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得木板最终的速度大小
（2）根据能量守恒，滑块在木板上相对木板滑动的过程中系统因摩擦而产生的热量
（3）木板在摩擦力作用下做匀加速直线运动，加速度
加速时间
滑块在木板上相对木板滑动的过程中系统克服摩擦力做功（产生热量）的平均功率
12．如图所示，足够大的光滑水平面上静置有三个小滑块A、B、C（均视为质点），A、B 用细线连接且
A、B 间夹有压缩的水平轻弹簧（弹簧在弹性限度内）。弹簧的左端与A 连接，右端与B 不粘连，C 的右侧
有一固定的竖直挡板。现将细线烧断，B 以速率v 离开弹簧，与C 发生碰撞。已知A、B 的质量分别为4m
和3m，所有碰撞均为弹性碰撞，A、B、C 始终在一条直线上。
（1）求细线烧断后的瞬间，A 的速度大小及方向；
（2）若C 的质量为3m，求在B 返回后压缩弹簧的过程中弹簧的最大弹性势能。
【答案】（1）
；方向水平向左；（2）
【详解】（1）A、B 弹开的过程：取向右为正方向
由动量守恒定律有
解得
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方向水平向左
（2）B、C 弹性碰撞：取向右为正
由动量守恒定律有
由能量守恒定律有
解得
，
C 与挡板弹性碰撞，以速率v 反弹
C 与B 发生第二次弹性碰撞，与第一次碰撞同理可得：碰后B 的速率为v，C 的速率为0
B 压缩弹簧过程：当A 与B 的速度相等时弹簧的弹性势能最大
由动量守恒定律有
由能量守恒定律有
解得
13．如图，一滑板的上表面由长度为L 的粗糙水平部分AB 和半径为R 的四分之一光滑圆弧BC 组成，滑板
静止于光滑的水平地面上，物体P（可视为质点）置于滑板上面的A 点，物体P 与滑板水平部分的动摩擦
因数为
（已知
，但具体大小未知），一根长度为L、不可伸长的轻细线，一端固定于
点，另一端
系一小球Q，小球Q 位于最低点时与物体P 处于同一高度并恰好接触。现将小球Q 拉至与
同一高度（细
线处于水平拉直状态），然后由静止释放，小球Q 向下摆动并与物体P 发生弹性碰撞（碰撞时间极短）。
已知小球Q 的质量为m，物体P 的质量为2m，滑板的质量为6m，
，重力加速度为g，不计空气阻
力。
（1）小球Q 与物体P 碰撞后瞬间，求物体P 速度的大小；
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（2）若物体P 恰不从C 点滑出，求
的值；
（3）若要保证物体P 既能到达圆弧BC，同时不会从C 点滑出，求物体P 在AB 上滑行路程s 与
的关系。
（结果均可用根式和分式表示）
【答案】（1）
；（2）
；（3），当
时，
，当
时，
【详解】（1）小球Q 下摆过程，根据动能定理有
小球Q 与物体P 发生弹性碰撞过程有
解得
（2）若物体P 恰不从C 点滑出，即P 运动到C 点时与滑板的速度相等，则有
解得
（3）若要保证物体P 既能到达圆弧BC，同时不会从C 点滑出，则（2）中求出的动摩擦因数为最小值，
即有
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当P 恰好能够运动到B 点，此时的动摩擦因数为最大值，则有
解得
综合上述有
若物体P 最终恰好运动至滑板上的A 点与滑板保持相对静止，则有
解得
可知，当动摩擦因数小于
时，P 最终将从滑板的A 点飞出，可知，当
时有
当
时，P 最终在AB 之间的某一位置与滑板保持相对静止，则有
解得
14．一轻质弹簧，两端连接两滑块A 和B，已知mA=0.99kg，mB=3kg，放在光滑水平桌面上，开始时弹簧处
于原长，现滑块A 被水平飞来的质量为mC=10g，速度为800m/s 的子弹击中，且子弹立即留在滑块A 中，
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如图所示，试求：
（1）子弹击中滑块A 后瞬间，子弹和滑块A 的共同速度多大；
（2）运动过程中弹簧的最大弹性势能。
【答案】（1）8m/s；（2）24J
【详解】（1）子弹击中滑块A 的过程，子弹与滑块A 组成的系统动量守恒，子弹与A 作用过程时间极短，
B 没有参与，速度仍为零
解得
vA= 8m/s
（2）对子弹、滑块A、B 和弹簧组成的系统，A、B 速度相等时弹性势能最大，根据动量守恒定律和功能关
系可得
解得
v=2m/s
则弹性势能为
15．如图所示，一根劲度系数为k 的轻质弹簧左端固定，右端与静置在光滑水平面上K 点的小球B 相连，
小球B 的右侧静置着一滑块C，其上表面是半径为R 的
光滑圆弧轨道。现将一质量为m 的小球A 从圆弧
最高点M 由静止释放，小球A 沿轨道滑下后，在水平面上与小球B 发生弹性碰撞，碰撞时间忽略不计。已
知小球B、滑块C 的质量均为2m，小球A、B 均可视为质点，重力加速度为g，求：
（1）小球A 下滑到圆弧轨道最低点N 时，滑块C 的速度大小；
（2）判断小球A 与小球B 作用后能否追上滑块C？
（3）弹簧弹性势能的最大值；
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【答案】（1）
；（2）不能；（3）
【详解】（1）小球A 下滑过程中，AC 组成的系统在水平方向上动量守恒，则
根据动能定理
解得
（2）小球A 与小球B 发生弹性碰撞，根据动量守恒
根据动能守恒
解得
负号说明A 与B 碰撞后，A 的速度方向与原来方向相反，即向右运动，又因为
所以，小球A 与小球B 作用后不能追上滑块C；
（3）当小球B 的动能全部转化为弹簧的弹性势能时，弹簧的弹性势能最大
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16．如图所示，质量为M 的滑块套在光滑的水平杆上，长为L 的轻杆一端连着质量为m 的小球，另一端与
滑块上面的活动饺链相连，不计一切靡擦，重力加速度
，已知：
，
，
，
。
（1）若滑块锁定，在杆的中点处施加一大小恒定方向始终垂直于杆的力
，杆转过
时撤去拉力，小球
恰好到达最高点，求拉力
的大小。
（2）若滑块解除锁定，给小球一个竖直向上的速度
，求小球通过最高点时的速度大小
，以及
此时小球对杆的作用力
。
（3）在满足（2）的条件下，试求小球到最高点时滑块的位移大小。
【答案】（1）
；（2）
，
，方向竖直向上；（3）
【详解】（1）由于施加的为大小恒定方向始终垂直于杆的力，由动能定理得
代入数据解得
（2）到最高点时设小球速度为
，滑块速度为
，水平方向动量守恒，则有
系统机械能守恒则有
代入数据则有
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，
，
由向心力表达式可得
代入数据则有
方向竖直向下
根据牛顿第三定律可知小球对杆的作用力
方向竖直向上
（3）设小球到达最高点时小球向右移动位移大小为
，滑块向左移动位移大小为
，根据动量守恒有
则
所以
且
解得
代入数据
17．如图所示，光滑的水平面上固定半径为
的
光滑圆弧轨道，质量为
的木板放在水平面
上，木板的上表面与圆弧轨道的末端相切且并排地放在一起但不粘连，质量为
物体B 放在木板的
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最左端，质量为
物体A 从圆弧轨道的最高点由静止释放，经过一段时间与物体B 发生弹性碰撞。
碰后马上将物体A 撤去，已知物体B 与木板之间的动摩擦因数为0.3，A、B 均可视为质点，重力加速度g
取
。求：
（1）碰后瞬间物体B 的速度大小；
（2）欲使物体B 不能从木板上掉下来，求木板的长度满足的条件。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）物体A 从圆弧轨道的最高点由静止释放到与B 碰撞前瞬间，根据动能定理可得
解得
物体A 与物体B 发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可得
联立解得碰后瞬间物体B 的速度大小
（2）设物体B 运动木板C 右端时，两者刚好共速，根据系统动量守恒可得
解得
根据能量守恒可得
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解得
则欲使物体B 不能从木板上掉下来，木板的长度应满足
18．如图，光滑水平面上有带有
光滑圆弧轨道的滑块，其质量为2m，一质量为m 的小球以速度v0沿水
平面滑上轨道，并能从轨道上端飞出，则：
(1)小球从轨道上端飞出后，能上升的最大高度为多大？
(2)滑块能达到的最大速度为多大？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）小球和滑块在水平方向上动量守恒，规定小球运动的初速度方向为正方向，当小球从轨道
上端飞出时，小球与滑块具有水平上的相同的速度，根据动量守恒，则有
解得
根据机械能守恒，有
解得小球能上升的最大高度为
（2）小球从轨道左端离开滑块时，滑块的速度最大，根据动量守恒，则有
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根据机械能守恒，则有
联立可得
此时滑块的速度大小为
。
19．如图所示，质量为
、半径为R 的四分之一光滑圆弧槽静止在光滑水平地面上，且底端与水平面相
切。质量为m 的小球（可视为质点）以初速度
沿着水平面水平向右运动，重力加速度为
，求：
（1）小球最终由圆弧槽底端离开时的速度；
（2）小球由圆弧槽顶端滑出圆弧槽在空中运动过程中，圆弧槽的水平位移。
【答案】（1）
，方向水平相左；（2）
【详解】（1）小球滑上圆弧槽到由低端离开，过程中动量守恒、机械能守恒，即
联立解得
方向水平向左；
（2）小球滑上光滑圆弧槽至滑出圆弧槽上升到最高点的过程，系统水平方向动量守恒，机械能守恒
联立解得
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小球滑出圆弧槽后又落回圆弧槽的这段时间为
故圆弧槽的水平位移为
20．如图甲所示，一质量为M 的小车静止在光滑水平地面上，其左端P 点与平台平滑连接。小车上表面
PQ 是以O 为圆心、半径
的四分之一圆弧轨道。质量
的光滑小球，以某一水平速度冲上
小车的圆弧面。测得小球与小车在水平方向上的速度大小分别为
、
，并作出图像如图乙所示。已知
OP 竖直，OQ 水平，水平台面高
，小球可视为质点，g 取10m/s2，不计一切摩擦。求：
（1）小球落地时的速度大小；
（2）小球从Q 点上升的最大高度；
（3）小球运动到Q 点的竖直分速度。
【答案】（1）
；（2）0.3m；（3）
【详解】（1）由题意可知，小球和小车组成的系统在水平方向动量守恒，由图乙可知，当
时
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，当
时
，则有
解得
小球从P 点离开小车，小球离开小车时的速度为
，小车的速度为
，由动量守恒定律和能量守恒定律可
得
小球落地时的速度为
，由机械能守恒定律可得
联立解得
（2）设小球在Q 点的速度为
，小球在Q 点时，在水平方向与小车共速，由动量守恒定律可得
解得
小球由P 点运动到最高点时，由机械能守恒定律可得
解得
从Q 点上升的高度
（3）小球由P 点运动到Q 点时，由机械能守恒定律可得
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解得
则小球此时的竖直分速度为
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