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专题01 曲线运动中的轨迹模型
1．曲线运动
运动轨迹是曲线的运动称为曲线运动。
2．曲线运动的速度方向：曲线运动中某时刻的速度方向就是该相应位置点的切线方向。
【特别提示】 曲线的切线
如图所示，过曲线上的A、B 两点作直线，这条直线叫作曲线的割线。设想B 点逐渐沿曲线向A 点移
动，这条割线的位置也就不断变化。当B 点非常非常接近A 点时，这条割线就叫作曲线在A 点的切线。
3.曲线运动的轨迹与速度、合力的关系
做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，夹在速度方向与合力方向之间。并向合力方向弯曲，也就
是合力指向运动轨迹的凹侧。
【特别提示】速度方向、合力方向及运动轨迹三者的关系
1根据速度和合力的方向，可定性画出物体的运动轨迹，如图甲所示。
2根据物体的运动轨迹，可确定物体在某点的速度方向，也可定性画出受力方向，如图乙所示。
4．合外力与速率变化的关系
若合力方向与速度方向的夹角为α，则：
1
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甲 乙 丙
【模型演练1】翻滚过山车是大型游乐园里的一种比较刺激的娱乐项目。如图所示，翻滚过山车(可看成质
点)从高处冲下，过M 点时速度方向如图所示，在圆形轨道内经过A、B、C 三点。下列说法中正确的是(
)
A．过A 点时的速度方向沿AB 方向
B．过B 点时的速度方向沿水平方向
C．过A、C 两点时的速度方向相同
D．在圆形轨道上与过M 点时速度方向相同的点在AB 段上
【思路点拨】过山车做曲线运动，在任一位置的速度方向沿轨迹上该点的切线方向。
【答案】B
【解析】翻滚过山车经过A、B、C 三点的速度方向如图所示，由图可判断出B 正确，A、C 错误；翻滚过
山车在圆形轨道AB 段上的速度方向偏向左上方，不可能与过M 点时速度方向相同，D 错误。
【规律总结】在确定某点的速度方向时，要弄清两点：一是物体沿轨迹的运动方向，二是轨迹在该点的切
线方向。然后两方面结合确定该点的速度方向。
【模型演练2】（2023·全国·统考高考真题）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果
用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】AB．小车做曲线运动，所受合外力指向曲线的凹侧，故AB 错误；
CD．小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合外力与运动方向夹角为锐角，C 错误，D 正确。
2
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故选D。
【易错分析】
力和运动轨迹关系的三点提醒
(1)物体的运动轨迹由初速度、合外力两个因素决定，轨迹在合外力与速度之间且与速度相切。
(2)物体在恒力作用下做曲线运动时，速度的方向将越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。
(3)合力方向与速度方向成锐角时，物体做加速曲线运动；成钝角时，物体做减速曲线运动。
【模型演练3】（2023 上·山东潍坊·高一统考期中）如图所示为某一物块在恒力作用下运动的轨迹。物块
运动至
点时速度大小为
，一段时间后物块运动至
点，速度大小仍为
，且相对
点速度方向偏转了
，下列说法正确的是（ ）
A．轨迹可能是一段圆弧
B．物块速度可能先增大后减小
C．物块速度大小可能为
D．在
点的加速度方向与速度方向的夹角小于
【答案】D
【详解】A．由题意，物体做匀变速曲线运动，则加速度的大小与方向都不变，所以运动的轨迹是一段抛
物线，不是圆弧。故A 错误；
B．由题意，质点运动到b 点时速度方向相对a 点时的速度方向改变了90°，速度沿b 点轨迹的切线方向，
则知加速度方向垂直于ab 的连线向下，合外力也向下，质点做匀变速曲线运动，质点由a 到b 过程中，合
外力先做负功，后做正功，物体的速度先减小后增大，故B 错误；
C．物体的加速度方向垂直于ab 的连线向下，根据题意可知速度方向改变90°，则a 点的速度方向与ab 连
线方向夹角为45°，如图所示
所以在物体运动过程中的最小速度为
3
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故C 错误；
D．物体在b 点速度沿b 点轨迹的切线方向，而加速度方向垂直于ab 的连线向下，可知b 点的加速度与速
度的夹角小于90°，故D 正确。
故选D。
1．（2024 上·辽宁鞍山·高一统考期末）小车在水平地面上沿弯曲的轨道从左向右运动，速度一直减小。如
果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】小车做曲线运动，要求合外力指向轨迹的凹侧，而从左向右运动速度一直减小，需要满足沿着切
线方向的速度与合外力成钝角，故符合条件的图只有D。
故选D。
2．（2023 上·上海徐汇·高一上海市第四中学校考期末）若空气阻力不可忽略，运动员在空中滑行时所受合
力的图示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】运动员在空中受到方向竖直向下的重力与空气阻力，空气阻力方向与速度方向相反，根据力的合
4
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成规律，合力方向指向右下方。
故选B。
3．（2024 上·河北沧州·高一泊头市第一中学校考阶段练习）汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M 向N 方
向行驶，速度逐渐减小，则汽车在P 位置时受到的合力的方向可能是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】C
【详解】由曲线运动条件可知，汽车受到指向轨迹内侧的合力，同时由于速度逐渐减小，故受力方向应为
③。
故选C。
4．（2024 上·河北张家口·高一统考期末）弹力球从A 点斜向上射出，运动轨迹如图所示，弹力球速度v 与
所受合外力F 的关系可能正确的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】A
【详解】速度方向沿运动轨迹的切线方向，所受合力F 与速度v 分居轨迹的两侧，F 指向轨迹的凹侧。
故选A。
5．（2023 上·江苏泰州·高一校考阶段练习）一质点在恒力F 的作用下，从A 点沿如图所示的曲线运动到B
点，经过B 点时，力F 突然消失，则质点从B 点开始可能的运动轨迹是图中的虚线（ ）
5
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A．a
B．b
C．c
D．d
【答案】B
【详解】根据曲线运动速度方向总是沿轨迹切线方向，则力F 突然消失，质点将做匀速直线运动，所以它
从B 点开始可能沿图中的b 虚线运动。
故选B。
6．（2023 上·河北唐山·高一迁西县第一中学校考阶段练习）一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M 向
N 行驶，速度逐渐减小，下图中分别画出了汽车转弯时加速度a 的四种方向，你认为正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】汽车由M 向N 做曲线运动，必有分力提供向心力，向心力是指向圆心的，速度逐渐减小，所以加
速度与速度夹角大于90°。
故选B。
7．（2023 下·广东·高二统考学业考试）初速度为v0的质点分别在下列不同方向的合外力F 作用下，能做
直线运动的是（ ）
A．
B．
6
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C．
D．
【答案】C
【详解】根据直线运动的条件可知，当合外力方向与速度方向在同一条直线上时，质点做直线运动，可知，
给出的运动情景中，只有第三个选择项满足要求。
故选C。
8.（2023 上·贵州·高一校联考阶段练习）草原上，一只野兔发现潜伏在周围的狼群后开始全速奔跑，某段
时间内它们依次经过水平面内A、B、C、D 四点，其运动轨迹为如图所示的虚线，此过程中野兔的速度大
小不变，在这四点中，野兔的速度与所受合力
的示意图可能正确的是（ ）
A．图中A 点
B．图中B 点
C．图中C 点
D．图中D 点
【答案】C
【详解】由于此过程中野兔的速度大小不变，所以野兔的速度与所受合力
必需垂直，故C 正确，ABD
错误。
故选C。
9.（2023 上·江苏淮安·高三校联考阶段练习）如图所示，一质点沿曲线从
点减速运动到
点，它在
点
时速度的方向和加速度
的方向可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【详解】质点沿曲线从
点减速运动到
点，则需要满足运动轨迹夹在加速度和速度之间且二者方向夹
角为钝角。
故选C。
10.（2023 上·青海西宁·高三校考阶段练习）若已知物体运动的初速度
的方向及它受到的恒定合外力
的
方向，图中
表示物体运动的轨迹，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】物体的初速度方向与力的方向不在同一直线上，可知物体做曲线运动，运动轨迹在初速度与力的
方向之间，物体受到恒定的合力，合力指向运动轨迹弯曲的内侧。
故选B。
11.（2023 上·贵州贵阳·高一清华中学校考阶段练习）如图，一质点在恒力作用下经过时间t 从a 点运动到b
点，速度大小由2v0变为v0，速度方向偏转60°角，则（ ）
A．质点在曲线ab 间的运动是非匀变速曲线运动
B．质点在a 到b 运动的过程中，速度变化量方向发生改变
C．质点的加速度大小为
D．质点的加速度大小为
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【答案】D
【详解】A．质点在恒力作用下从a 点运动到b 点，则根据牛顿第二定律可知，该质点的加速度恒定，则
可知，该质点做的是匀变速的曲线运动，故A 错误；
B．由于该质点做的是匀变速的曲线运动，其速度的变化量
速度变化量与加速度方向相同，而加速度恒定，则可知，速度变化量的方向不变，故B 错误；
CD．做出速度变化的矢量图如图所示
根据矢量运算法则，利用三角形法则可得
则由加速度的定义式可得
故C 错误，D 正确。
故选D。
12．（2023·广东·高三专题练习）如图是物体做曲线运动的轨迹，A、B、C、D 是其中的四点，运动从
A→B→C→D，则下图画出这四个点的速度方向和受力方向，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【详解】曲线运动的速度的方向与该点曲线的切线方向相同，轨迹在力与速度方向的夹角之中，弯向力的
方向。故A 正确，BCD 错误。
故选A。
13．（2023 上·四川成都·高三校考期中）质点A 在光滑水平面上运动；它受另一质点B 的排斥力的作用。
已知质点A 的轨迹如图中实线所示。图中P、Q 为轨迹上的点，虚线是经过P、Q 两点并与轨迹相切的直
线，两虚线和轨迹将平面分为几个区域。试判断质点B 可能所在的区域是（ ）
A．④
B．③
C．②
D．①
【答案】D
【详解】做曲线运动物体的轨迹一定处于合外力与速度方向之间且弯向合外力这一侧，所以如果这个力是
引力，则施力物体一定在③区域，如果这个力是斥力，则施力物体一定在①区域，由于题中所述它受另一
质点B 的排斥力的作用，故质点B 可能所在的区域是①。
故选D。
14.（多选）（2023 上·全国·高一期末）如图，一质量为m 的质点在空间中除重力外，还受到一个恒力F
（未画出）的作用，其轨迹在竖直面（纸面）内如图所示，轨迹相对于过轨迹最低点P 的竖直线对称。质
点从轨迹右侧某点出发，Q 和
是轨迹上的两个对称点，不计空气阻力。由此可知（ ）
A．
点的合外力方向斜向右上与速度方向垂直
B．质点在
点动能比它在P 点的大
C．质点在P 点的加速度比在Q 点的加速度大
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D．恒力F 的大小可能为
【答案】BD
【详解】A．对于曲线运动而言，其轨迹夹在速度方向与合外力方向之间，且合外力指向轨迹的凹侧面，
因此根据该质点的运动轨迹可知，其合外力一定向上，而轨迹相对于过轨迹最低点P 的竖直线对称，由此
可知，该恒力
一定竖直向上，所以可知该质点所受合力一定竖直向上，A 错误；
B．根据以上分析可知，质点从P 点到
点的过程中，速度方向与合力方向之间的夹角为锐角（不包括P
点），由此可知，质点从P 点到
点的过程中，做加速运动，因此可得质点在
点动能比它在P 点的大，
B 正确；
C．两个恒力的合力一定为恒力，则由牛顿第二定律可知，该质点在运动过程中加速度恒定，C 错误；
D．根据该质点的运动轨迹，结合以上分析可知，该质点所受合力竖直向上，因此恒力
一定大于该质点
的重力，则恒力
的大小可能为
，D 正确。
故选BD。
15．（多选）（2023 上·湖北·高一荆门市龙泉中学校联考阶段练习）如图所示为一个做匀变速曲线运动的
质点的轨迹示意图，已知在B 点的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是（ ）
A．在D 点的速度比在C 点的速度大
B．在A 点到B 点的过程中，合外力做正功
C．在A 点的加速度和在D 点的加速度相等
D．从A 到D 过程中，合外力先做负功，后做正功，总功之和为零
【答案】AC
【详解】A．由于在B 点时速度方向与加速度方向垂直，故加速度方向向下，可知质点从C 点到D 点的过
程中，速度方向与加速度方向的夹角为锐角，合外力做正功，动能增大，所以质点由C 点到D 点速度增大，
故A 正确；
B．从A 点到B 点，力和速度夹角大于90°，合外力做负功，故B 错误；
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C．质点做匀变速曲线运动，所以加速度不变，故C 正确；
D．从A 到D 过程中，合力与速度的夹角先是钝角后为锐角，所以合外力先做负功，后做正功，由于D 点
比A 点低，总功之和为正功，故D 错误。
故选AC。
16．（多选）（2023 上·北京海淀·高三统考期中）如图所示的曲线
是某一质点的运动轨迹，
为曲
线上A 点处的切线。质点从
点运动到A 点所发生的位移为
，所用时间为。下列说法正确的是（ ）
A．
表示质点从
点运动到A 点过程的平均速度
B．质点从
点运动到A 点的过程，平均速度的方向由
点指向A 点
C．若
点越接近A 点，则
越接近质点在A 点时的瞬时速度
D．质点经过A 点时所受合力可能沿着
的方向
【答案】ABC
【详解】A．因x 为由B 到A 的位移，则
表示质点从
点运动到A 点过程的平均速度，选项A 正确；
B．质点从
点运动到A 点的过程，平均速度方向与位移方向相同，则平均速度的方向由
点指向A 点，
选项B 正确；
C．若
点越接近A 点，则t 越短，则
越接近质点在A 点时的瞬时速度，选项C 正确；
D．
的方向是质点在A 点的瞬时速度方向，质点做曲线运动，则速度方向与合力方向不共线，则质点
经过A 点时所受合力不可能沿着
的方向，选项D 错误。
故选ABC。
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