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专题09 电偏转模型2-----类斜抛
1. 带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见情况
竖直向上抛出
水平抛出
斜上抛出
2. 带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动
[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]
【例1】如图所示，匀强电场水平向右，将一带正电的小球从A 点竖直上抛，小球经M 点后运动至B 点。
M 为轨迹最高点，A、B 两点在同一水平线上。小球抛出时动能为2024J，在M 点动能也为2024J，不计空
气阻力。求：
（1）小球水平位移
与
的比值；
（2）小球从A 点运动到B 点过程中的最小动能
。
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
D
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
θ
vmin
1
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【例2】如图所示，一个质量为
，带电量为
的微粒，从
点以大小为
的初速度竖直向上射入水平方
向的匀强电场中，微粒通过最高点
时的速度大小为
方向水平向右，求：
（1）该匀强电场的场强大小
；
（2）该微粒从
点到
点过程中速率的最小值
。
【例3】．（2025·安徽蚌埠·一模）如图，竖直平面内有一边长为5cm 的正方形ABCD，CD 边水平，将质
量
、电荷量
的带正电小球自A 点沿AB 方向抛出，恰好通过C 点，重力加速度
。
(1)求小球抛出时的速度大小；
(2)若只增加一个平行ABCD 平面的匀强电场
（大小未知），将小球自A 点由静止释放，恰好沿AC 运动，
求电场强度
的最小值；
(3)若只在ABCD 平面内增加一个方向平行AC 的匀强电场
（大小未知），将小球自A 点沿某方向（未
2
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知）抛出，恰好能先后通过B、C 两点，且从A 到B 和从B 到C 的时间相等，求小球通过C 点时的动能大
小。
一、单选题
1．如图所示，水平向右的匀强电场中，一带电小球从
点以竖直向上的初速度开始运动，经最高点
后
回到与
在同一水平线上的
点，小球从
点到
点的过程中克服重力做功
，电场力做功
，则（
）
A．小球在
点的动能比在
点少
B．小球在
点的电势能比在
点少
C．小球在
点的机械能比在
点多
D．小球在
点的动能为
2．（24-25 高二上·河北邢台·阶段练习）如图所示，水平地面上方有水平向右的范围足够大的匀强电场，
从地面上的A 点将一带正电的小球沿竖直方向向上以初速度
抛出，小球落在水平地面上的C 点，B 点为
小球运动过程中的最高点，B、C 两点均未画出。忽略空气阻力的影响，则A、B 两点和B、C 两点间的电
势差之比为（ ）
A．1：3
B．1：4
C．2：5
D．1：5
3
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3．如图所示，一质量为m、带正电的液滴，在水平向右的匀强电场中运动，运动轨迹在竖直平面内，A、
B 为其运动轨迹上的两点。已知该液滴在A 点的速度大小为
，方向与竖直方向的夹角为30°，它运动到B
点时速度大小仍为
，方向与竖直方向的夹角为60°。则液滴从A 运动到B 的过程（ ）
A．在水平方向和竖直方向的分位移相等
B．机械能增加
C．电势能增加
D．合外力做功
4．（22-23 高二上·安徽芜湖·期中）如图所示，一质量为m、电荷量为
的粒子，以初速度
从a 点竖直
向上射入匀强电场中，匀强电场方向水平向左。粒子通过电场中的b 点时，速率为
，方向与电场方向平
行。则a、b 两点间的电势差
为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高二上·江西南昌·期末）如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为
的带电小球，以初速
4
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度从
点竖直向上运动，通过
点时，速度大小为
，方向与电场方向相反，则小球从
运动到
的
过程中，速度大小的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
6．（21-22 高二下·云南大理·阶段练习）如图所示，质量为m，带电量为q 的粒子，以初速度v0，从A 点
竖直向上射入真空中的沿水平方向的匀强电场中，粒子通过电场中B 点时，速率
，方向与电场的
方向一致，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球做类平抛运动
B．电场力的大小等于重力
C．小球的水平位移等于
D．小球从A 运动到B 的时间为
二、多选题
7．（24-25 高二上·广东江门·期中）如图所示，平面内存在着电场强度大小为E、方向水平向右的匀强电
场，一质量为m、带电荷量为
的小球自水平面上的O 点以初速度
竖直向上抛出，最终落在水平面上
的A 点，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
5
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A．小球被抛出后做类平抛运动
B．小球上升到最高点时的速度大小为
C．O、A 两点间的距离
D．小球上升时间内水平方向的距离等于下降时间内水平方向的距离
8．（24-25 高二上·河北·阶段练习）如图所示，在足够长的光滑绝缘水平面上竖直固定一光滑绝缘、半径
为R 的四分之一圆弧轨道BC，B 为圆弧的最低点，A 点在圆弧左侧的水平面上，且A、B 间距为2R。整个
装置处于水平向右的匀强电场中，电场强度大小为E。一质量为
，电荷量为
的带正电小球从A 点由
静止释放，忽略空气阻力，重力加速度大小为g，则（ ）
A．小球运动到B 点时的速度大小
B．小球在圆弧BC 上运动过程中的最大动能
C．小球从离开圆弧轨道到落地过程中的最小速率
D．小球落地点离圆弧轨道B 点的距离
9．（23-24 高二下·湖南益阳·期末）在电场方向水平向右的匀强电场中，一带电小球从A 点竖直向上抛出，
其运动轨迹如图所示。小球运动的轨迹上A、B 两点在同一水平线上，M 为轨迹的最高点。小球抛出时的
动能为8.0J，在M 点的动能为6.0J，不计空气阻力。设带点小球的电场力为F、重力为G，则（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
10．（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在匀强电场中一带正电粒子受重力和电场力作用在竖
直平面内运动。粒子运动过程中先后经过a、b、c 三点，其中a、c 两点在同一水平线上。粒子在a 点的速
度大小为
，方向与加速度方向垂直；粒子在b 点的速度大小
，速度方向平行于ac 连线；ac 两点间
的距离为
。已知粒子质量为m、电荷量为q，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子从a 点运动到c 点的时间为
B．粒子在c 点的速度大小为
C．电场强度的大小为
D．a、c 两点间的电势差为
11．（2024·辽宁·一模）如图所示，xOy 为竖直平面内的直角坐标系，该空间存在平行xOy 平面但方向未
知的匀强电场，将一质量为
、带电量为
的小球从O 点抛出，抛出的初速度大小均为
，抛
出的方向可沿xOy 平面内的任意方向。将小球沿某一方向抛出，一段时间后小球通过
点时速度
大小为
；若将小球向另一方向抛出，一段时间后小球通过
点时速度大小为
，则下
列说法正确的是（ ）
7
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A．O、B 两点间的电势差
B．匀强电场强度的大小为
，方向与x 轴正方向夹
斜向下
C．若将小球沿y 轴正方向抛出，小球运动过程中的最小速度为
，方向与x 轴正方向成
斜向
上
D．若小球初速度方向与x 轴正向夹
斜向上抛出，到达x 轴的时间为
12．真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为m、带正电的小球
由静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为37°。现将该小球从电场中A 点以初速度
竖直向上抛
出，经过最高点B 后回到与A 在同一水平线上的C 点，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，则（ ）
A．小球所受的电场力为
B．小球在最高点B 的动能为
C．小球在C 点的机械能比在A 点多
D．小球在C 点的动能为
13．（23-24 高二上·河北石家庄·期中）小明同学在水平向右的匀强电场中做带电小球的竖直上抛实验，带
电小球抛出后的运动轨迹如图所示，轨迹上A、B 两点在同一水平线上，M 为轨迹的最高点，上升高度为
h，小球在A 点抛出时的动能为
，在M 点的动能为
，不计空气的阻力，下列说法正确的是
（ ）
A．全过程中小球水平位移
与最大高度h 的比值为3:4
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B．全过程中小球水平位移
与
的比值为1:3
C．小球落到B 点时的动能为
D．小球从A 点运动到B 点的过程中最小动能为
三、解答题
14．如图所示的坐标系，在第一象限内存在水平向右的匀强电场，一带电小球由y 轴上的P 点以水平速度
抛出，经过一段时间小球刚好落在坐标原点。已知小球的质量为m、带电荷量为q，电场强度
，
重力加速度为g。
(1)判断小球所带电荷的电性并求出小球从P 到O 的过程中中间时刻的坐标值；
(2)求小球动能的最小值。
15．（24-25 高二上·河南开封·阶段练习）如图所示，在光滑绝缘水平桌面上方空间中存在水平方向电场
，
方向水平向右。从A 点有带正电小球（可视为质点）以初速度
竖直上抛，其上抛的最高点坐标为（1，
1.25），落点为B。已知电量为
，质量为
，重力加速度
不计空气阻力。求：
(1)小球上抛的初速度
；
(2)水平方向电场强度
；
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(3)落点B 的坐标。
16．（24-25 高二上·吉林长春·阶段练习）一匀强电场，电场强度方向水平向左，如图所示，一个质量为
m、带正电的小球以初速度v 从O 点出发，在静电力与重力的作用下，恰能沿与电场强度的反方向成θ 角
的直线运动（如图所示）。
(1)求小球运动到最高点时的电势能与在O 点时的电势能之差；
(2)若电场方向变为水平向右，其他初始条件不变，求小球运动到最高点时的电势能与在O 点时的电势能之
差；
18．（23-24 高一下·辽宁葫芦岛·期末）空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P 是电场中的两点。从
O 点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m 的小球A、B。A 不带电，B 的电荷量为q（q>0）。A
从O 点发射时的速度大小为
，到达P 点所用时间为t。B 从O 点到达P 点所用时间为
。重力加速度为
，求：
（1）O 点到达P 点的高度差；
（2）B 从O 点发射时的速度大小；
（3）B 运动的加速度大小和电场强度的大小。
20．如图所示，M、N 是一方向竖直向上的匀强电场中的两点。从M 点先后以不同速率沿水平方向抛出两
个质量均为m 的小球A、B，A 不带电，B 带正电，电荷量为q。小球A 从M 点抛出时的速度大小为
，
到达N 点所用时间为t；小球B 从M 点抛出到达N 点所用时间为2t，已知重力加速度为g，求：
（1）M、N 两点的高度差h；
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（2）电场强度E 的大小；
（3）小球B 运动到N 点时的速度大小。
21．如图所示，水平面上竖直固定绝缘的四分之一圆弧轨道BC，轨道AB 和BC 均光滑，水平面AB 与圆弧
BC 相切于B 点，О 为圆心，OB 竖直，OC 水平，BC 轨道半径为R。整个空间有足够大、水平向右的匀强
电场。一质量为m、电荷量为q 的带正电绝缘小球自A 点由静止释放，小球沿水平面向右运动，AB 间距离
为2R，匀强电场的电场强度
，重力加速度大小为g，不计空气阻力。求：
（1）小球到达C 点时对轨道的压力；
（2）小球从A 点开始，经过C 点脱离轨道后上升到最高点过程中，小球电势能的变化量
Ep；
（3）小球离开圆弧轨道到落地前的最小速率，以及小球从离开圆弧轨道到最小速率时经历的时间。
22．如图所示，坐标系xOy 位于竖直平面内，y 轴正方向竖直向上，整个空间存在着匀强电场（电场强度
E 的大小未知，方向平行于xOy 平面）。为了确定场强的大小和方向，研究人员先后进行了两次操作。第
一次，将一带正电的小球从原点O 处以速率
沿x 轴正方向抛出，小球在y 轴右侧运动中与y 轴的最远距
离为
；第二次，将该小球从原点O 处以速率
沿y 轴正方向抛出，小球在x 轴上方运动中与x 轴的最远
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距离为
。已知小球的质量为m、电荷量为
，小球可视为质点，且
，忽略空气阻
力，重力加速度为g，求场强E 的大小和方向（结果用m、g、q 表示）。
23．如图所示，圆心为O、半径为R 的圆形区域内存在一个平行于该区域的匀强电场，MN 为圆的一条直
径。质量为m、电荷量为
的粒子从M 点以速度v 射入电场，速度方向与MN 夹角
，一段时间后
粒子运动到N 点，速度大小仍为v，不计粒子重力。求：
（1）电场强度的方向；
（2）匀强电场的场强大小E；
（3）仅改变粒子速度大小，当粒子离开圆形区域的电势能最小时，粒子速度改变量的大小。
24．（23-24 高二上·湖北武汉·期末）水平地面上有匀强电场如图所示，电场方向水平向右。一个质量为
、
电荷量为
的小球，从距地面高
处由静止释放，落地速度大小
，重力加速度为
。
（1）求电场强度
的大小。
（2）若将小球以初速度从距地面高
处竖直向上拋出，求经过多长时间，小球的速度最小，最小速度是
多大？
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25．（23-24 高二上·安徽亳州·期末）如图所示，距离水平地面
处有水平方向的匀强电场，电场的宽度
为d，长度足够长。有一质量为m、电荷量为q 的带正电小球，在电场的下边界处以某一初速度竖直向上
抛出，小球从电场的上边界离开电场，再次进入电场时开始做直线运动，直线运动的轨迹与水平方向的夹
角为53°，小球最终落至水平地面上。已知重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，不计空气阻力，求：
（1）匀强电场的电场强度E 的大小；
（2）小球从竖直向上抛出到落地过程的时间t。
26．如图所示，在竖直平面的xOy 坐标系内，Oy 表示竖直向上方向。该平面内存在沿x 轴方向的匀强电场。
一个带电小球从坐标原点沿Oy 方向竖直向上抛出，初速度大小为v0=2m/s，不计空气阻力，g 取10m/s2。
它达到的最高点位置如图中M 点所示。求：
（1）小球在M 点时的速度大小；
（2）小球落回x 轴的位置坐标；
（3）小球在x 轴上方运动过程中的最小速度及所需的时间。
27．（23-24 高二上·云南大理·期末）如图所示，xOy 为竖直平面内的直角坐标系，该空间存在平行xOy 平
面但方向未知的匀强电场，将一质量为m、带电量为＋q 的小球从O 点抛出，抛出的初速度大小均为
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，抛出的方向可沿xOy 平面内的任意方向。将小球沿某一方向抛出后，一段时间后小球通过
点时速度大小为
；若将小球向另一方向抛出，一段时间后小球通过
点时速度
大小为
。求：
（1）O、A 两点间的电势差
及O、B 两点间的电势差
；
（2）电场强度的大小和方向；
（3）若将小球沿y 轴正方向抛出，小球运动过程中的最小速度。
28．（23-24 高二上·云南大理·期末）如图所示，位于竖直平面内的正方形电场区域abcd 的ab 边沿竖直方
向，边长为L，该区域以竖直对称轴为界分为左右两半，左边有竖直向上的匀强电场，右边有竖直向下的
匀强电场，两区域电场强度大小相等。质量为m、带电量为＋q 的带电小球（可视为质点）以某一初速度
从ab 边中点水平向右射入电场，小球在左边电场中做匀速直线运动，进入右侧电场偏转后恰好从c 点射出
电场，重力加速度为g。求：
（1）电场强度的大小；
（2）小球进入电场时的速度大小。
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29．水平地面上有匀强电场如图所示，电场方向水平向右。一个质量为m、电荷量为
的小球，从距地面
高h 处由静止释放，落地速度大小
，重力加速度为g。
（1）求电场强度E 的大小。
（2）若将小球以初速度v 从距地面高h 处竖直向上抛出，求经过多长时间，小球的速度最小，最小速度是
多大？
（3）若将小球以初速度v 从距地面高h 处竖直向上抛出，求小球的最高点距地面的高度以及小球在最高点
时的速度大小。
15
