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专题05 简谐运动实例（一）弹簧振子模型
一．弹簧振子
(1)组成：小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子，简称振子。
(2)理想化模型：弹簧振子是一种理想化模型，条件满足
①弹簧的质量与小球相比可以忽略。
②小球运动时空气阻力很小可以忽略。
③小球与杆之间无摩擦。
(3).振子的位移：振子相对平衡位置的位移。即从平衡位置指向振子所在位置的有向线段。
二．弹簧振子的位移—时间图像
1.获取图像的目的
为了了解弹簧振子运动的特点。
2.获取图像的方法
利用频闪照相、照相机连拍或用摄像机摄像后逐帧观察的方式。拍摄时底片从下向上匀速运动，频闪仪每
隔相同的时间闪光一次，从而得到闪光时小球的位置，因此在底片上留下了小球和弹簧的一系列的像。
3.图像的建立
以小球的平衡位置为坐标原点建立坐标系，横轴表示时间，纵轴表示小球的位移。并规定正方向，在坐标
系中标出各时刻小球球心的位置，用曲线把各点连接起来，就是小球的位移—时间图像，即x－t 图像，即
振动图像，如图所示。
三．简谐运动
1.简谐运动：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t 图像)是一条正弦曲
线，这样的振动是一种简谐运动。
2.特点：简谐运动是最基本的振动，弹簧振子的运动就是简谐运动。
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四．描述简谐运动的物理量
1.振幅(A)
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。
(2)物理意义
表示振动幅度大小的物理量，是标量(选填“矢量”或“标量”)。振动物体运动的范围是振幅的两倍。
2.全振动
如果从振子向右经过O 点时开始计时，则从O →N→O→M→O 即完成了一次全振动。
一个完整的振动过程，称为一次全振动。不管从哪儿作为开始研究的起点，做简谐运动的物体完成一次全
振动的时间总是相同的。
3.周期(T)和频率(f)
(1)周期T：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期。单位：秒(s)。
(2)频率f：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率。单位：赫兹，简称赫，符号是Hz。数
值等于单位时间内完成全振动的次数。
(3)周期T 与频率f 的关系式：f＝。
(4)圆频率ω：一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”，ω＝＝2πf。
(5)T、f、ω 均是表示物体振动快慢的物理量。
(6)同一套弹簧振子的振动周期与其振幅无关。所有简谐运动的周期由振动系统本身的性质决定，均与其振
幅无关。
4.相位
(1)在x＝Asin(ωt＋φ)中，(ωt＋φ)代表做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。物理学中
把(ωt＋φ)叫作相位。φ 是t＝0 时的相位，叫作初相位或初相。
(2)相位差：两个具有相同频率的简谐运动的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2(φ1＞φ2)。我们常说1 的相位比2 超前
Δφ，或者说2 的相位比1 落后Δφ。
5.简谐运动的表达式为x＝Asin(t＋φ0)。振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物理量。
五．简谐运动的周期性与对称性
如图所示，物体在A、B 两点间做简谐运动，O 点为平衡位置，OC＝OD。
1.时间的对称性
2
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(1)图中tDB＝tBD，即物体来回通过相同两点间的时间相等。
(2)图中tBD＝tAC，tOD＝tOC，即物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等。
2.速度的对称性
(1)物体连续两次经过同一点(如D 点)的速度大小相等，方向相反。
(2)物体经过关于O 点对称的两点(如C 点与D 点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
3.位移的对称性
(1)物体经过同一点(如C 点)时，位移相同。
(2)物体经过关于O 点对称的两点(如C 点与D 点)时，位移大小相等、方向相反。
六．简谐运动的回复力
1.回复力：能够使物体在平衡位置附近做往复运动的力。
2.效果：把物体拉回到平衡位置。回复力是效果力。
3.方向：总是与位移x 的方向相反，即总是指向平衡位置。
4.表达式：F＝－kx，该式表明做简谐运动的物体的回复力与位移的大小成正比，“－”表明回复力与位移
的方向始终相反。
5.简谐运动的动力学定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总
是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。
七．简谐运动的能量
1.简谐运动的能量：指振动系统的机械能。振动过程就是动能和势能相互转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能最小为零。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。
2.决定能量大小的因素
(1)对确定的振动系统，机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能越大，振动越强。
(2)在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，所以简谐运动是等幅振动，是一种理想化的模型。
【例1】(多选)如图甲所示，一弹簧振子在A、B 间振动，取向右为正方向，振子经过O 点时为计时起点，
其振动的x－t 图像如图乙所示，则下列说法正确的是( )
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A.t2时刻振子在A 点
B.t2时刻振子在B 点
C.在t1～t2时间内，振子的位移在增大
D.在t3～t4时间内，振子的位移在减小
【总结提升】
位移—时间图像的应用
(1)确定任意时刻质点位移的大小和方向
如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。
(2)确定任意时刻质点的振动方向
看下一时刻质点的位置，如图乙中a 点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a 点对应时刻质点沿x 轴正方
向运动，图乙中b 点，下一时刻质点离平衡位置更近，故b 点对应时刻质点沿x 轴正方向运动。
(3)运动学物理量判断
先判断质点在这段时间内的振动方向，从而确定各物理量的变化。如图甲所示，质点在t1时刻到t0时刻这
段时间内，离平衡位置的位移变小，故质点正向平衡位置运动，速度增大，位移和加速度都减小；t2时刻，
质点从负位移处远离平衡位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大。
【例2】(多选)如图所示，小球在B、C 之间做简谐运动，O 为BC 的中点，B、C 间的距离为10 cm，则下
列说法正确的是( )
A.小球的最大位移是10 cm
B.只有在B、C 两点时，小球的振幅是5 cm，在O 点时，小球的振幅是0
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C.无论小球在哪个位置，它的振幅都是5 cm
D.从任意时刻起，一个完整的振动过程内小球经过的路程都是20 cm
【总结提升】
振幅与位移的区别
(1)振幅等于最大位移的数值。
(2)对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。
(3)位移是矢量，振幅是标量。
【例3 】( 多选)(2024· 山东临沂高二检测) 一弹簧振子A 的位移x 随时间t 变化的关系式为x ＝
0.1sin(2.5πt)m。则 ( )
A.弹簧振子的振幅为0.2 m
B.弹簧振子的周期为1.25 s
C.在t＝0.2 s 时，振子的运动速度为零
D.若另一弹簧振子B 的位移x 随时间t 变化的关系式为x＝0.2sin(2.5πt＋)m，则A 滞后B
【例4】 (多选)一弹簧振子做简谐运动，O 点为平衡位置，当它经过O 点时开始计时，经过0.3 s 第一次到
达M 点，再经过0.2 s 第二次到达M 点，则弹簧振子第三次到达M 点还要经过的时间可能为( )
A. s
B. s
C.1.4 s
D.1.6 s
【总结提升】
1.周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，
也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。
2.对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相
同，而速度可能相同，也可能等大反向，这也形成多解问题。
【例5】(多选)(2024·山东潍坊高二期末)如图所示，物体A 与滑块B 一起在光滑水平面上做简谐运动，A、
B 之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B 的质量分别为m 和M，下列说法正确的是( )
A.物体A 的回复力是由滑块B 对物体A 的摩擦力提供
B.滑块B 的回复力是由弹簧的弹力提供
C.物体A 与滑块B 看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k
D.若A、B 之间的动摩擦因数为μ，则A、B 间无相对滑动的最大振幅为
【总结提升】
判断振动物体是否做简谐运动的方法
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(1)振动物体的回复力满足F＝－kx；
(2)振动物体的位移x 与时间t 满足
x＝Asin(t＋φ0)函数关系；
(3)振动物体的振动图像是正弦曲线。
【例6】如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定( )
A.t1到t2时间内，系统的动能不断增大，势能不断减小
B.0 到t2时间内，振子的位移增大，速度增大
C.t2到t3时间内，振子的回复力先减小再增大，加速度的方向一直沿x 轴正方向
D.t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
【总结提升】
分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧
(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速
度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。
(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确
定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。
一、单选题
1．如图所示是某振子做简谐运动的图像，以下说法正确的是( )
A.因为振动图像可由实验直接得到，所以图像就是振子实际运动的轨迹
B.振动图像反映的是振子位移随时间的变化规律，并不是振子运动的实际轨迹
C.振子在B 位置的位移就是曲线BC 的长度
D.振子运动到B 点时的速度方向即该点的切线方向
2.在水平方向做简谐运动的质点，其振动图像如图所示，假设向右的方向为正方向，则物体的位移向左且
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速度向右的时间段是( )
A.0 到1 s 内
B.1 s 到2 s 内
C.2 s 到3 s 内
D.3 s 到4 s 内
3.如图甲所示，弹簧振子运动的最左端M(最右端N)距离平衡位置的距离为l，规定向右为正方向，其振动
图像如图乙所示，下列说法中正确的是( )
A.图中x0应为l
B.0～t1时间内振子由M 向O 运动
C.t1～t2时间内振子由M 向O 运动
D.0～t2时间内与t2～t3时间内振子运动方向相反
4.如图所示，弹簧振子在A、B 之间做简谐运动，O 为平衡位置，测得A、B 间距为8 cm，小球完成30 次
全振动所用时间为60 s，则 ( )
A.振动周期是2 s，振幅是8 cm
B.振动频率是2 Hz
C.小球完成一次全振动通过的路程是8 cm
D.小球过O 点时开始计时，3 s 内通过的路程为24 cm
5.在1 min 内甲振动30 次，乙振动75 次，则( )
A.甲的周期为0.5 s，乙的周期为1.25 s
B.甲的周期为0.8 s，乙的周期为2 s
C.甲的频率为0.5 Hz，乙的频率为1.25 Hz
D.甲的频率为0.5 Hz，乙的频率为0.8 Hz
6.如图所示，弹簧振子在B、C 间振动，O 为平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若振子从B 到C 的运动时间是1
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s，则下列说法中正确的是( )
A.振子从B 经O 到C 完成一次全振动
B.振动周期是1 s，振幅是10 cm
C.经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D.从B 开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
7.如图甲所示为以O 点为平衡位置，在A、B 两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动
图像，以向右为正方向，由图可知下列说法中正确的是( )
A.在t＝0.2 s 时刻，弹簧振子运动到O 位置
B.在t＝0.1 s 与t＝0.3 s 两个时刻，弹簧振子的速度相同
C.从t＝0 到t＝0.2 s 的时间内，弹簧振子的动能持续地减小
D.在t＝0.2 s 与t＝0.6 s 两个时刻，弹簧振子的加速度相同
8.(2024·浙江衢州五校联考)如图甲所示，在光滑的水平面上，劲度系数为k 的轻质弹簧的一端固定在墙壁
上，另一端与一个质量为M 的物体相连，在物体上放质量为m 的木块，压缩弹簧，释放后两者一起运动，
运动过程中始终保持相对静止。图乙是两物体一起运动的振动图像，振幅为A，则下列说法正确的是(
)
A.0～t1内物体速度在减小，加速度在减小
B.t2～t3内木块受到的摩擦力在增大
C.t2时刻木块受到的摩擦力大小为
D.t3时刻木块受到的摩擦力大小为
9.如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k 的轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、带电荷量为
＋q(q>0)的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上。在施加一个电场强度为E、方向水平向右的匀强电
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场后，小球开始做简谐运动。那么( )
A.小球到达最右端时，弹簧的形变量为
B.小球做简谐运动的振幅为
C.运动过程中小球的机械能守恒
D.运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变
10.一弹簧振子沿水平方向放置，取向右为正方向，其振动图像如图所示。由图可知( )
A.t＝1.0 s 时振子的速度为零，加速度为正的最大值
B.在1.0～1.5 s 内振子的速度增加，加速度为负值
C.在2.0～2.5 s 内振子的速度减小，加速度为负值
D.t＝2.5 s 时振子的速度为零，加速度为负的最大值
11.如图所示是竖直方向的弹簧振子在0～0.4 s 内做简谐运动的图像，由图像可知( )
A.在0.25～0.3 s 内，弹簧振子受到的回复力越来越小
B.t＝0.7 s 时刻，弹簧振子的速度最大
C.系统的动能和势能相互转化的周期为0.4 s
D.系统的动能和势能相互转化的周期为0.2 s
12.(2024·江苏宿迁高二期末)如图所示，竖直悬挂的弹簧振子，把小球向下拉一小段距离后，放开小球，下
列说法正确的是( )
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A.小球在振动过程中动量守恒
B.弹簧恢复原长时，小球动能最大
C.弹簧恢复原长时，小球位于振动的平衡位置
D.某四分之一周期的时间内小球的动量变化量可能为零
13.如图所示，弹簧振子在d、c 间振动，振子从a 到b 历时0.2 s，振子经a、b 两点时速度相同，若它从b
再回到a 的最短时间为0.4 s，则该振子的振动周期为( )
A.0.6 s
B.0.8 s
C.1.0 s
D.1.2 s
14.一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B 两点，历时1 s，质点通过B 点后，再经过1 s，
第二次通过B 点，在这2 s 内，质点的总路程是12 cm，则质点振动的周期和振幅分别可能为( )
A.2 s，6 cm
B.4 s，6 cm
C.4 s，9 cm
D.2 s，8 cm
二、多选题
16.关于简谐运动的回复力，下列说法正确的是( )
A.简谐运动的回复力可能是恒力
B.做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反
C.回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
D.做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力一定为零
17.当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是( )
A.振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等
B.振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹力始终做负功
C.振子在运动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子所受重力的合力提供
D.振子在运动过程中，系统的机械能守恒
18..(多选)如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时
沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P 就在纸带上画出一条振动曲线。若振动曲线如图乙所示，由图像
可知下列说法正确的是( )
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A.小球偏离平衡位置的最大距离为10 cm
B.1 s 末到5 s 末小球运动的路程为40 cm
C.2 s 末和4 s 末小球的位移相等，运动方向也相同
D.小球2 s 完成一次往复运动
19.(多选)如图是弹簧振子做简谐运动的振动图像，下列说法中正确的是( )
A.曲线上A、C、E 点对应的弹簧振子的势能最大
B.曲线上A、E 点对应的弹簧振子的势能最大，C 点对应的弹簧振子的势能最小
C.曲线上B、D 点对应的弹簧振子的机械能相等
D.曲线上F 点对应的弹簧振子的动能最大
20.(多选)(2024·山东临沂一中月考)弹簧振子以O 点为平衡位置，在水平方向上的A、B 两点间做简谐运动，
以下说法正确的是( )
A.振子在A、B 两点时的速度为零，位移不为零
B.振子在通过O 点时速度的方向将发生改变
C.振子所受的弹簧弹力方向总跟速度方向相反
D.振子离开O 点的运动总是减速运动，靠近O 点的运动总是加速运动
21.(多选)如图为某鱼漂的示意图。当鱼漂静止时，水位恰好在O 点。某次鱼咬钩后将鱼漂往下拉了一小段
距离后松口，鱼漂将上下振动，不考虑阻力的影响，在M、N 之间上下振动，鱼漂的运动是简谐运动。下
列说法正确的是( )
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A.水位由O 点到N 点，鱼漂的位移向下最大
B.水位在O 点时，鱼漂的速度最大
C.水位到达M 点时，鱼漂的速度为零，鱼漂具有向上的加速度
D.鱼漂由上往下运动时，速度越来越大
22.某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝3sin(t＋)cm，则( )
A.质点的振幅为3 m
B.质点的振动周期为 s
C.t＝0.75 s 时，质点到达距平衡位置最远处
D.质点前2 s 内的位移为－4.5 cm
三、解答题
23.(2024·山东日照高二检测)如图所示，一轻质弹簧上端系于天花板上，一端挂一质量为m 的小球，弹簧的
劲度系数为k，将小球从弹簧原长处由静止放手，小球在竖直方向做简谐运动，重力加速度为g，则：
(1)小球从放手运动到最低点，下降的高度为多少？
(2)小球运动到最低点时的加速度大小为多少？
24.如图所示，一个轻弹簧与一个质量为m＝0.5 kg 的小球所构成的弹簧振子穿在光滑水平金属杆上，已知
该弹簧的劲度系数k＝200 N/m，O 点是弹簧振子静止时的位置，今将振子缓慢向右拉10 cm 到A 点，此时
外力对弹簧振子做功为1 J，然后由静止释放，则它在A、B 之间运动，不计其他阻力，求：
(1)振子在哪点的速度最大？最大速度为多少？
(2)振子在A 点的位移；
(3)振子在B 点的加速度。
25.(2024·四川成都高二月考)如图所示，盛水(密度为ρ1)容器的水面上漂浮着一块质量分布均匀的高为h、
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底面积为S 的长方体木块(密度为ρ2)，浸入水中的深度为a，O 为木块质心，现在将木块相对于原来静止的
位置轻轻按下距离A(木块没有完全浸没)，木块就在水面上下振动(木块始终没有离开水面)，不考虑任何阻
力，重力加速度为g，试证明木块做简谐运动。
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