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专题05 静态平衡模型
1.平衡状态：物体静止、做匀速直线运动或缓慢运动。
2.平衡条件：F 合＝0 或Fx＝0，Fy＝0。
3．求解共点力平衡问题的常用方法
(1)合成法：一个力与其余所有力的合力等大反向，常用于非共线三力平衡。
几种特殊情况的共点力的合成
类型
作图
合力的计算
两力互
相垂直
F＝
tan θ＝
两力等大，
夹角为θ
F＝2F1cos
F 与F1夹角为
两力等大，夹角为
120°
F′＝F
F′与F 夹角为60°
(2)正交分解法：Fx 合＝0，Fy 合＝0，常用于多力平衡。
(3)矢量三角形法，把表示三个力的有向线段构成一个闭合的三角形，常用于非特殊角的一般三角形。
(3)相似三角形法
(4)拉密定理(正弦定理)
(5)解析法
4．常见的平衡类型
类型一： 三力平衡，其中有两个力互相垂直，且角度均已知：优先考虑力的合成法
类型二：三力平衡，不存在垂直关系，但角度已知：优先考虑拉密定理或正交分解
1
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类型三：多力平衡:优先考虑正交分解或转化为三力平衡
类型四：多体平衡：考虑整体法隔离法与其他解决平衡的方法结合
【例1】挂灯笼是我国传统文化，人们用来表达喜庆。如图所示，一小灯笼用轻绳连接并悬挂在O 点，在
稳定水平风力作用下发生倾斜，灯笼稳定时，轻绳与竖直方向的夹角为37°，设灯笼的质量为0.2 kg。
（sin37° = 0.6，cos37° = 0.8，g 取10 m/s2）
(1)灯笼受到几个力的作用？请作出灯笼的受力示意图；
(2)求水平风力F 和悬绳拉力T 的大小；
(3)若风力增大，试分析轻绳与竖直方向夹角、轻绳拉力大小分别会怎样变化。
2
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【答案】(1)3 个力，
(2)F = 1.5 N，T = 2.5 N
(3)轻绳与竖直方向夹角θ 增大，轻绳拉力T 增大
【详解】（1）灯笼的受力示意图如下所示，灯笼受到重力mg、水平风力F 和悬绳拉力T，共3 个力作用。
（2）根据受力分析，由平衡条件可得
（3）设轻绳与竖直方向夹角为θ，由平衡条件得
3
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，
可知，当水平风力F 增大，轻绳与竖直方向夹角θ 增大，则轻绳拉力T 增大。
【例2】如图所示，P、Q 两球通过两根长度均为l 的不可伸长的细线悬挂（小球的直径远小于细线的长
度）。整个装置处于风洞实验室中，风对两个球产生大小相等、方向水平向右的恒定风力。系统静止时，
两根细线偏离竖直方向的角度分别为30°和60°，已知Q 小球的质量为m，重力加速度为g，不计风对细线
的作用力和细线的重力。
(1)求Q 球所受风力的大小；
(2)P 球的质量。
【答案】(1)
(2)5m
【详解】（1）对Q 受力分析，如图所示
根据几何关系可得
（2）对PQ 整体受力分析，如图所示
4
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根据几何关系可得
解得
【例3】．如图所示，用跨过定滑轮的轻质细绳相连的A、B 两物块处于静止状态，在水平面上的A 物块
的质量为4kg，B 物块的质量为1kg，绳与水平面夹角
，滑轮的摩擦不计，求：地面对物体A 的支
持力和摩擦力。
【答案】
，
【详解】对A 竖直方向根据平衡条件得
对B 根据平衡条件得
解得
物块A 受到的摩擦力为
5
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【例4】．如图所示，放在粗糙水平面上的物块A 和悬挂的物块B 均处于静止状态，绳AC 水平，劲度系数
为
的轻弹簧中轴线CD 与水平方向的夹角
，弹簧伸长量为
。求：
(1)物块A 受到的摩擦力大小：
(2)物块B 的重力大小。
【答案】(1)24N (2)18N
【详解】（1）由胡克定律得
对C 点受力平衡有
对A 物体受力平衡有
故
（2）对C 点受力平衡有
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解得
【例5】如图所示，质量分别为
和
的两个小球A、B 都套在一个竖直大圆环上，大圆环固定在地面上。
长为L 的细绳的两端分别拴在小球A、B 上，然后将细绳绕过小滑轮
，
位于大圆环环心O 的正上方。
所有摩擦都不计，当它们都静止时，求：
(1)大圆环对A、B 的作用力之比
；
(2)
段绳长。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设大圆环半径为R，
距离为h，A、B 都处于静止状态，对小球A、B 进行受力分析，
A、B 分别所受的三个力，平移后均构成一个闭合三角形，如图所示。
由相似三角形对应边成比例可得
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则
（2）由相似三角形对应边成比例可得
解得
一、单选题
1．如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一
根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球
与O 点的连线与水平面的夹角α＝60°，则两小球的质量之比
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对小球m2受力分析，受重力
和细线拉力
，由于二力平衡，由平衡条件可得
8
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对小球m1受力分析，如图所示，由几何关系可知，力
与x 轴的夹角为
，由共点力平衡条件可得，在
x 轴方向则有
在y 轴方向则有
由牛顿第三定律可知，
与
大小相等，方向相反。联立以上各式解得
故选C。
2．如图所示，用三根相同细线a、b、c 将重力均为G 的两个灯笼1 和2 悬挂起来。两灯笼静止时，细线a
与竖直方向的夹角为30°，细线c 水平。则（ ）
A．a 中的拉力大小为
B．c 中的拉力大小为
C．b 中的拉力小于c 中的拉力
D．只增加灯笼2 的质量，b 最先断
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【答案】A
【详解】AB．将两小球看作一个整体，对整体受力分析，如图所示
根据平衡条件可得
，
解得
，
故A 正确，B 错误；
C．对2 小球隔离分析，利用平衡条件可得
故C 错误；
D．三根相同细线a、b、c 的拉力大小关系为
因三根相同细线所能承受的最大拉力相同，故只增加灯笼2 的质量，由上可知，a 最先断，故D 错误。
故选A。
3．春节挂灯笼的习俗起源于1800 多年前的西汉时期，人们挂起灯笼来营造一种喜庆的氛围。如图所示，
由五根等长的轻质细绳悬挂起四个质量相等的灯笼，中间的细绳是水平的，另外四根细绳与水平天花板面
所成的角分别为
和
（未知）。设悬挂在天花板处绳子的拉力大小为
，水平段绳子的拉力大小
为
，每个灯笼的质量为m，重力加速度为g，下列关系式中正确的是（ ）
10
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对左边两个灯笼整体受力分析，如答图所示。
由力的平衡条件可知
解得
故选A。
4．用两个相同的足够大的水平力 F 将2016 个完全相同的木块夹在两个相同的竖直木板之间，所有木块
都如图所示保持静止状态，每个木块的质量都为m，则编号2015 和2016 号木块之间的摩擦力的大小为(木
块从左至右编号依次为1、2、3、……、2014、2015、2016) （ ）
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A．mg
B．1007mg
C．1008mg
D．2016mg
【答案】B
【详解】将2016 个木块看成一个整体，对整体进行受力分析，在竖直方向，共受到三个力的作用，分别为
竖直向下的重力2016mg，两个相等的竖直向上的摩擦力
，由平衡条件可得
解得
所以第1 个木块和第2016 个木块受到木板的摩擦力均为1008mg；对2016 号木块受力分析，它受到木板对
它的摩擦力为1008mg，方向竖直向上，远大于自身所受到竖直向下的重力mg，故木块2015 要给木块
2016 一个竖直向下的摩擦力，大小为
故选B。
5．如图所示， A、B 两小球的质量之比为3：1，用轻质细杆相连。同时用一根细绳将两个小球系住，绳
子跨过光滑的定滑轮 C，并设法让两球和轻杆组成的系统保持平衡，则系统平衡时，AC 绳与BC 绳的长
度之比为（ ）
A．1:1
B．1:2
C．1:3
D．1:4
【答案】C
【详解】以两个小球及杆组成的系统为研究对象，以C 为支点，并作出力臂LA、LB如图所示
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C 为定滑轮，则AC、BC 对滑轮的拉力相等，如图所示
所以
以C 为支点，根据杠杆的平衡条件
由
，则
由图知，ΔACE 与ΔBCF 均为直角三角形，
，则
，
所以
则
故选C。
6．如图所示，小圆环
吊着一个质量为
的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细绳一端拴在
13
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小圆环
上，另一端跨过固定在大圆环最高点
的一个小滑轮后吊着一个质量为
的物块。如果小圆环、
滑轮、细绳的大小和质量以及相互之间的摩擦均忽略不计，细绳不可伸长，且平衡时弦
所对应的圆心
角为
，则两物块的质量之比
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解法一：对小圆环
受力分析，建立如图甲所示的坐标系，在
轴方向上合力为零，则有
由几何知识可知
解得
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C 正确。
故选C。
解法二：由题可知绳长
力的三角形和几何三角形
相似，则对应边成比例，如图乙所示，则有
解得
C 正确。
故选C。
7．杆秤是延续千年的华夏国粹，如图所示，三根轻绳与秤盘的捆绑点E、F、G 将圆形秤盘三等分，每段
轻绳与竖直方向的夹角为
，秤盘的质量为80g，重力加速度g 取
。某次称量药材时，保持杆秤静
止，称得盘中药材的质量为120g，则此时每根绳子的拉力大小为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】以秤盘和盘中药材为整体，竖直方向根据受力平衡可得
解得每根绳子的拉力大小为
故选A。
二、多选题
8．用绳AC 和BC 吊起一重物处于静止状态，如图所示。若AC 能承受的最大拉力为150 N，BC 能承受的
最大拉力为105N。那么，下列正确的说法是（ ）
A．当重物的重力为150N 时，AC、BC 都不断，AC 拉力比BC 拉力大
B．当重物的重力为150N 时，AC、BC 都不断，AC 拉力比BC 拉力小
C．当重物的重力为175N 时，AC 不断，BC 刚好断
D．当重物的重力为175N 时，AC 断，BC 也断
【答案】AC
【详解】AB．取C 点为研究对象进行受力分析如图所示
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当重物的重力为150N 时，AC 拉力为
BC 拉力为
可知，当重物的重力为150N 时，AC、BC 都不断，且AC 拉力比BC 拉力大，故A 正确，B 错误。
CD．当重力为175N 时，假设绳子不断时，AC 拉力为
BC 拉力为
所以AC 不断，BC 绳刚好断，故C 正确，D 错误。
故选AC。
9．如图所示，三段轻绳在
点打结，
点下方的轻绳与甲物体相连，
点左侧的轻绳的一端固定在墙上，
点右侧的轻绳通过光滑定滑轮与乙物体相连，
点两侧的轻绳与竖直方向的夹角均为
。下列说法正
确的是（ ）
A．
点左、右两侧轻绳的拉力大小之比为
B．
点左、右两侧轻绳的拉力大小之比为
C．甲、乙的质量之比为
D．甲、乙的质量之比为
【答案】AC
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【详解】AB．设
点左、右两侧轻绳的拉力大小分别为
、
，有
解得
故A 正确；B 错误；
CD．设甲、乙的质量分别为
、
，有
又
解得
故C 正确；D 错误。
故选AC。
三、解答题
10．如图所示，在倾角为
的斜面上，用沿斜面向上
的拉力
拉着一质量为6kg 的物体向上做
匀速直线运动，取
，求：
(1)斜面对物体的支持力的大小；
(2)斜面和物体间的摩擦因数。
(3)若拉力
的方向变为水平向右，此时想让物体保持沿斜面向上的匀速直线运动，需要将拉力
的大小变
为多少？
【答案】(1)48N (2)0.5 (3)120N
【详解】（1）对物体受力分析，如图所示
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根据平衡条件，在垂直斜面方向可得
（2）在沿斜面方向有
解得
根据
解得
（3）若拉力
的方向变为水平向右，则物体的受力分析，如图所示
根据平衡条件，在沿斜面方向上有
在垂直斜面方向上有
又根据
联立解得
11．如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平面上，一横截面半径为R 的半圆柱体丙放在水平面上，可
视为质点的光滑小球乙质量
，用轻绳拴接置于半圆柱体上；物块甲用轻绳拴接放在斜面体上且轻
绳与斜面平行，拴接小球乙与拴接物块甲的轻绳与竖直的轻绳系于O 点，且O 点位于半圆柱体圆心的正上
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方。已知O 点到水平面的高度为2R，拴接小球乙的轻绳长度为
，物块甲与斜面间的动摩擦因数
，整个装置始终处于静止状态。取重力加速度
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
（结果可用分式、根式表示）
(1)拴接小球乙的轻绳拉力的大小；
(2)半圆柱体丙受到水平地面摩擦力的大小；
(3)物块甲质量的取值范围。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）对小球乙受力分析如图1 所示，由相似三角形得
解得拴接小球乙的轻绳拉力大小为
（2）设拴接小球乙的轻绳与竖直方向的夹角为
，由几何关系可知
所以拴接乙球的轻绳与半圆柱体相切，可得
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解得
以小球乙和半圆柱体丙整体为研究对象，可知半圆柱体所受的摩擦力方向水平向左、大小等于拉力T 沿水
平向右方向的分力，即
解得
（3）以结点O 为研究对象，对其受力分析如图2 所示，由平衡关系得
代入数据解得
以甲为研究对象，设物块甲的质量为
，当静摩擦力沿斜面向上达到最大值时有
与
是一对相互作用力，由牛顿第三定律可知
，解得
当静摩擦力沿斜面向下达到最大值时有
解得
物块甲质量的取值范围为
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12．如图所示，一个切面为半圆、质量为
的柱体放在水平地面上，柱体上放置一个质量为
的可视为质点的物块，物块与圆心的连线与水平面的夹角为30°。现施加一水平恒力F 给物块，物块和柱
体保持相对静止一起向右做匀速直线运动。柱体与水平地面间的动摩擦因数为
，物块与柱体间的
动摩擦因数为
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
。求：
(1)水平恒力F 的大小；
(2)柱体给物块的支持力大小和摩擦力大小；
(3)物块与柱体间动摩擦因数
至少为多大？（第3 问结果保留一位有效数字）
【答案】(1)16N (2)18.6N 0.5N (3)0.03
【详解】（1）对物块和圆柱体整体分析，水平方向根据受力平衡可得
（2）对物块受力分析，柱体给物块的支持力为
摩擦力为
（3）物块与柱体间的动摩擦因数至少为
13．如图所示，质量
物块甲置于倾角为37°的斜面，物块甲与斜面间动摩擦因数
，物块与
斜面间最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小。质量为
的物块乙通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的
结点为O，水平轻绳OA 与物块甲连接于A 点，轻绳OB 与水平方向夹角也为37°。对物块甲施加沿斜面向
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上的力F（图中未画出）使甲、乙两物体均静止。已知
，
，重力加速度
。
求：
(1)轻绳OA、OB 的弹力大小；
(2)斜面对甲的弹力大小；
(3)力F 大小的取值范围。
【答案】(1)
，
(2)20N (3)
【详解】（1）对结点O 进行受力分析，根据受力平衡可得轻绳OA 的弹力大小为
轻绳OB 的弹力大小为
（2）对物块甲进行受力分析，在垂直斜面方向，由受力平衡可得
（3）甲受到的最大静摩擦力为
当拉力F 较小，且沿斜面向上的摩擦力达到最大静摩擦力时，由平衡条件可得
解得
当拉力F 较大，且沿斜面向下的摩擦力达到最大静摩擦力时，由平衡条件可得
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解得
故力F 大小的取值范围为
14．如图所示，放在粗糙的固定斜面上的物块A 和悬挂的物体B 均处于静止状态。轻绳AO 绕过光滑的定
滑轮与轻弹簧的右端及轻绳BO 的上端连接于O 点，轻弹簧中轴线沿水平方向，轻绳的OC 段与竖直方向
的夹角θ=53°，斜面倾角α=37°，物块A 和B 的质量分别为mA=6kg、mB=1.5kg，弹簧的劲度系数k=400N/m
（sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2），求：
（1）弹簧的伸长量x；
（2）物块A 受到的摩擦力。
【答案】（1）0.05m；（2）11N，方向沿斜面向上
【详解】（1）根据题意，对结点受力分析，设弹簧的弹力为T，绳子的拉力为F，由平衡条件有
由胡克定律可得
所以弹簧的伸长量为
（2）对物块A，由于
由此可知，物块A 所受摩擦力方向沿斜面向上，根据平衡条件可得
解得
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15．如图甲所示，在建筑装修中，工人用质量为5.0kg 的磨石A 对地面和斜壁进行打磨，当A 受到方向斜
向右下与水平方向夹角
、大小为
的推力时，A 恰好在水平地面上做匀速直线运动。已知A
与地面、A 与斜壁间的动摩擦因数
均相同。（
取
）
(1)求A 与地面间的动摩擦因数
；
(2)若用A 对倾角
的斜壁进行打磨，如图乙所示，当对A 施加方向竖直向上、大小为
的推
力时，求磨石A 从静止开始沿斜壁向上运动4m（斜壁足够长）时的速度大小。
【答案】(1)0.5 (2)4m/s
【详解】（1）A 恰好在水平地面上做匀速直线运动，根据平衡条件可得
且
联立解得
（2）对A 受力分析如图所示
在沿斜壁方向有
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在垂直斜壁方向有
又
根据动力学公式
联立解得
16．如图所示，在竖直面内，光滑的硬直杆OA、OB 对接成V 形并固定在水平天花板上，OA 与天花板之
间的夹角为
，轻质小环（视为质点）套在OA 上，质量为m 的小球（视为质点）套在OB 上，长度为
的轻质细线与小环、小球连接，当环与球都静止时，OA 对小环的弹力为
，小球静止在P
点，小环静止在Q 点，O、P 两点之间的距离为
，重力加速度g 取
，
，
，求：
(1)细线的拉力大小以及OB 与天花板之间的夹角；
(2)小球的质量m 以及OB 对小球的弹力大小。
【答案】(1)2N，53° (2)
，
【详解】（1）由于OA 杆是光滑的，所以小环与OA 杆间没有摩擦力。轻质小环要处于静止状态，OA 对
环的弹力
与细线的拉力必须等大反向，则细线拉力大小
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OA 对环的弹力垂直OA，则细线与OA 垂直。由几何关系可得
则
OB 与天花板之间的夹角为
解得
（2）由几何关系可知，细线对小球的拉力与杆OB 之间的夹角为
，对小球进行受力分析，
杆OB 对小球的弹力F 与杆OB 垂直，如图所示
将重力和细线的拉力分别沿垂直OB 和平行OB 方向分解，可得
联立解得
，
27
