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专题04 受力分析与共点力的平衡
目录
题型一 受力分析与整体法和隔离法的应用............................................................................................................1
题型二 共点力的静态平衡........................................................................................................................................ 3
类型1 合成法求解共点力静态平衡............................................................................................................... 3
类型2 正交分解法求解共点力静态平衡.......................................................................................................6
类型3 相似三角形法求解共点力静态平衡...................................................................................................8
类型4 正弦定理求解共点力静态平衡............................................................................................................. 9
类型5 整体法、隔离法解决共点力静态平衡................................................................................................11
题型三 动态平衡问题.............................................................................................................................................. 12
类型1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题..........................................................................13
类型2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题......................................................................15
类型3 轻绳套轻环的动态平衡模型............................................................................................................. 19
题型四 平衡中的临界、极值问题..........................................................................................................................21
题型一 受力分析与整体法和隔离法的应用
【解题指导】1．受力分析的两种顺序：
(1) 先场力再弹力后摩擦力，接触力要逐个接触面排查．
(2)先已知的力、确定的力，而后再结合运动状态推断未知的力、不确定的力.
2. 多个物体系统问题通常整体法和隔离法交替使用.
3. 三重检验：
(1) 明确各力的施力物体、受力物体．
(2) 判断研究对象是否能保持原来运动状态．
(3)换角度(整体隔离)或换研究对象(相邻的物体)再次受力分析，判断两次分析是否一致．
【例1】（2023 春·浙江·高三校联考阶段练习）如图所示，一质量为
的白板擦静止在
竖直磁性白板上，现给白板擦一个恒定的水平推力
，重力加速度g 取
，则推力
作用后（ ）
A．白板擦可能做水平方向匀速直线运动
B．白板擦可能做匀加直线运动
C．白板擦受到的摩擦力大小为
D．白板擦共受6 个力
【例2】．（2023 春·四川宜宾·校考期中）如图所示，M、N 两物体叠放在一起，在恒力F
作用下，一起沿竖直墙向上做匀加速直线运动，则关于两物体受力情况的说法正确的是（
）
1
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A．物体M 一定受到5 个力
B．物体N 可能受到4 个力
C．物体M 与墙之间一定有弹力和摩擦力
D．物体M 与N 之间一定有摩擦力
【例3】．（2023 秋·山东青岛·高三统考期末）如图，在恒力F 作用下，a、b 两物体保持
静止，关于它们的受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．a 可能受到四个力
B．b 一定受到四个力
C．a 对b 的作用力垂直二者的接触面
D．b 与墙壁之间可能有弹力和摩擦力
【例4】．（2023 秋·山东临沂·校考期末）如图所示，质量为M 的斜面体静止在水平地面
上，质量为m 的滑块沿着斜面向下做加速运动，斜面体始终处于静止状态。已知重力加速
度为g，在滑块下滑的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．滑块与斜面体之间的动摩擦因数μ 大于tanθ
B．斜面体对滑块的支持力大小为
C．地面对斜面体的支持力大于（M＋m）g
D．地面对斜面体的摩擦力方向水平向左
【例5】．（2023 秋·山东青岛·青岛二中校考期中）如图所示，倾角为
的斜面体C 置于水
平面上，B 置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与A 相连，连接B 的一段细绳与斜面
平行，A、B、C 都处于静止状态。则（ ）
2
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A．B 受到C 的摩擦力一定不为零
B．C 受到水平面的摩擦力一定不为零
C．水平面对C 的支持力与B、C 的总重力大小相等
D．若将细绳剪断后，B 物体依然静止在斜面上，则水平面对C 的摩擦力一定不为零
【例6】．（2022 秋·黑龙江哈尔滨·高三尚志市尚志中学期中）如图所示，质量为m 的物
体A 放在质量为M、倾角为
的斜面B 上，斜面B 置于粗糙的水平地面上，用平行于斜面
的力F 拉物体A，使其沿斜面向下匀速运动，斜面B 始终静止不动，则下列说法中不正确
的是（ ）
A．斜面B 相对地面有向左运动的趋势
B．地面对斜面B 的静摩擦力大小为
C．地面对斜面B 的支持力大小为
D．斜面B 与物体A 间的动摩擦因数为
题型二 共点力的静态平衡
【解题指导】1．遇到多物体系统时注意应用整体法与隔离法，一般可先整体后隔离.
2. 三力平衡，一般用合成法，根据平行四边形定则合成后，“力的问题”转换成“三角形
问题”，再由三角函数、勾股定理、正弦定理或相似三角形等解三角形.
3.多力平衡，一般用正交分解法．
类型1 合成法求解共点力静态平衡
【例1】（2023·福建厦门·统考二模）如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑特色之一。屋
顶部分结构如图乙所示，横截面为圆弧的瓦片静置在两根相互平行的椽子正中间。已知椽
子间距离为d，与水平面夹角均为
，瓦片质量为m，圆弧半径为d，忽略瓦片厚度，重力
加速度为g，则每根椽子对瓦片的支持力大小为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【例2】（2023·广东惠州·统考一模）在科学研究中，人们利用风速仪测量风速的大小，其
原理如图所示。仪器中有一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球。若某次受到沿水平方向来
的风时，稳定后，金属丝偏离竖直方向夹角为
。已知风力F 与风速v 的大小关系为
，k 为常量，金属球的质量为m，重力加速度为g，则风速大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】（2023 春·安徽·安徽省当涂第一中学校联考阶段练习）如图所示，质量为m 的物
块A 静置于水平台面上，质量也为m 的光滑小球B（可视为质点）放在半球体C 上，物块
A 与小球B 通过细线连接起来，并且细线绕过轻质定滑轮P。物块A 在图示位置恰好处于
静止状态，滑轮P 通过竖直的轻杆固定于半球体球心的正上方，细线PA 水平，PB 刚好与
半球体相切且与竖直方向的夹角θ=30°。重力加速度大小为g，不计细线与滑轮间的摩擦，
则（ ）
4
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A．轻杆OP 对滑轮的作用力大小为mg
B．A 受到的摩擦力大小为
C．C 受到的摩擦力大小为
D．C 对B 的弹力大小为
【例4】（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）如图所示，小球A 通过小滑轮P 用细线悬挂在
空中，细线一端固定在
点，另一端跨过小滑轮
连接一弹簧。弹簧下端与小球B 连接，
小球B 置于粗糙水平面上的光滑半圆柱体上，两球均处于静止状态。已知B 球质量为m，
小滑轮
用轻杆固定在半圆柱体圆心
的正上方，
与竖直方向成
角，
长度与
半圆柱体半径相等，
与竖直方向成
角，细线、滑轮、弹簧质量可忽略不计，则下
列叙述正确的是（ ）
A．A 球质量为
B．地面对半圆柱体的摩擦力大小为
C．杆对滑轮
作用力大小为
D．若将AB 两小球的质量均加倍，
与竖直方向夹角保持不变
【例5】（2023·高三课时练习）研究表明：头发能承受的拉力随年龄而变化，20 岁组人的
头发能承受的最大拉力平均约为1.72N，30 岁组的平均约为1.5N，40 岁组的平均约为
1.38N，60 岁组的平均约为0.95N……小萍利用简易实验器材：一把刻度尺，一质量为m =
300g 的重物，测量一根头发丝能承受的最大拉力，并与上述数据进行对比来推测该头发丝
对应者的年龄范围。实验步骤如下：
①水平固定刻度尺；
②用手指尖紧握住头发丝的两端，用直尺测量出头发丝拉直时两手指尖之间的距离a =
40.0cm；
③如图所示，用光滑轻挂钩将重物挂在头发丝上，两手缓慢沿刻度尺水平向外移动，直至
头发丝恰好被拉断；从刻度尺上读出此时两手指尖之间的距离b = 20.0cm（重力加速度g
取10m/s2）。利用所测数据可求得该头发丝能承受的最大拉力为___________N，由此可推
测该人的大致年龄。
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类型2 正交分解法求解共点力静态平衡
【例1】（2023·湖北·校联考模拟预测）如图所示，三角形斜面A 放置于水平地面上，将光
滑滑块B 放置于斜面A 上，在滑块B 上施加水平向右的恒力F，斜面A 和滑块B 一起向右
匀速运动，已知滑块B 的质量为m，斜面A 的质量为2m，斜面倾角为30°，则斜面与地面
之间的动摩擦因数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】如图所示是一竖直固定的光滑圆环，中央有孔的小球P 和Q 套在环上，由伸直的
细绳连接，它们恰好能在圆环上保持静止状态．已知小球Q 的质量为m，O、Q 连线水平，
细绳与水平方向的夹角为30°，重力加速度为g.则( )
A．细绳对Q 球的拉力大小为mg
B．环对Q 球的支持力大小为mg
C．P 球的质量为2m
D．环对P 球的支持力大小为mg
【例3】（2022·湖南永州·模拟预测）如图所示，一条细绳跨过定滑轮连接物体
A、B，A 悬挂起来，B 穿在一根竖直杆上，两物体均保持静止，不计一切摩擦，
已知绳与竖直杆间的夹角为θ，则物体A、B 的质量之比mA：mB等于（ ）
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A．1：sinθ
B．sinθ：1
C．tanθ：1
D．1：cosθ
【例4】（2022·山东临沂·高三期中）如图所示，倾斜直杆的左端固定在水平地面
上，与地面成角，杆上穿有质量为m 的小球a 和轻质环b，两者通过一条细绳跨
过定滑轮相连接。当a、b 静止时，Oa 段绳与杆的夹角也为
，不计一切摩擦，重
力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．a 受杆的弹力方向垂直杆向上
B．杆对a 的支持力大小为
C．绳对a 的拉力大小为
D．b 受到杆的弹力大小为
【例5】(2022·江西八所重点中学联考)如图甲所示，推力F 垂直斜面作用在斜面体上，斜
面体静止在竖直墙面上，若将斜面体改成如图乙所示放置，用相同大小的推力F 垂直斜面
作用到斜面体上，则下列说法正确的是( )
A．墙面受到的压力一定变小
B．斜面体受到的摩擦力一定变小
C．斜面体受到的摩擦力可能变大
D．斜面体可能沿墙面向上滑动
【例6】．（2023 春·湖北恩施·校联考期中）如图，环a、b 的质量分别为
、
，用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细杆OM 和竖直光滑细杆ON 上，O
点离地面的高度
，细线长
，且已知细线能承受的张力最大值为
。最
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大静摩擦力等于滑动摩擦力，细线与水平杆间夹角为θ，重力加速度为g 取
。
（1）初始时整个装置静止，当
时，a、b 环恰好不滑动，求a 环与水平粗糙杆OM
间动摩擦因数μ；
（2）在第一问条件下，若整个装置以竖直杆ON 为轴匀速转动，求当细线刚好断裂时装置
转动的角速度ω；
（3）若细线断裂时环a 刚好位于横杆最右端M 点，求圆环a 落地时离ON 轴的水平距离。
类型3 相似三角形法求解共点力静态平衡
【例1】（2023·全国·统考模拟预测）如图所示，半径为R 的光滑圆环竖直固定，原长为
的轻质弹簧一端固定在圆环的最高点A，另一端与套在环上的质量为m 的小球相连。
小球静止在B 点时，弹簧与竖直方向夹角θ=30°，已知重力加速度大小为g，则（ ）
A．小球对圆环的弹力方向背离圆心
B．圆环对小球的弹力大小为
C．弹簧的劲度系数为
D．若换用原长相同，劲度系数更大的轻质弹簧，小球将在B 点下方达到受力平衡
【例2】（2023·浙江台州·统考二模）如图所示，两个质量分别为
和
的带电小球A、
B（可视为质点）通过一根绝缘轻绳跨放在光滑的定滑轮上（滑轮大小不计），两球静止，
O 为滑轮正下方AB 连线上的一个点。两球到O 点距离分别为
和
，到滑轮的距离分别
为
和
，且
，细绳与竖直方向的夹角分别为
和
，两球电荷量分别为
和
。则（ ）
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A．
B．
C．
D．
类型4 正弦定理求解共点力静态平衡
【例1】如图所示，a、b 两个小球穿在一根光滑的固定杆上，并且通过一条细绳跨过定滑
轮连接，已知b 球质量为1 kg，杆与水平面的夹角为30°，不计所有摩擦，当两球静止时，
Oa 段绳与杆的夹角也为30°，Ob 段绳沿竖直方向，则a 球的质量为( )
A. kg
B. kg
C. kg
D．2 kg
【例2】.(2022·湖南雅礼中学高三月考)如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质
细绳上O 点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连．系统平衡时，
O 点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α 和β.若α＝75°，β＝60°，则甲乙两物体质量之比是(
)
A．1 1
∶
B．1 2∶
C.
∶
D.∶
【例3】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，长度为
的木棒一端支在光滑竖直墙上的
A 点，另一端B 点被轻质细线斜拉着挂在墙上的C 点而处于静止状态，细线与木棒之间的
夹角为
，A、C 两点之间的距离为
，墙对木棒的支持力为F，重力加速度为g，下列说
法正确的是（ ）
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A．细线与竖直墙之间的夹角的正弦值为
B．木棒受到三个力（或延长线）可能
不交同一点
C．细线对木棒的拉力大小为
D．木棒的质量为
【例4】（2023 春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图所示，一轻杆两端分别固
定着质量为
和
的两个小球A 和B（可视为质点）。将其放在一个直角形光滑槽中，
已知轻杆与槽右壁成
角，槽右壁与水平地面成
角时，两球刚好能平衡，且
，则
B、A 两球质量之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5】（2023 春·浙江嘉兴·高三嘉兴高级中学校考阶段练习）如图所示，内壁光滑的等
边三角形框架中放置一铁球，铁球跟三角形框架的三个面刚好接触，在一次搬运过程中，
工人将框架以A 为轴逆时针缓慢抬起，当AC 边转到向左偏离竖直方向的夹角为15°时
。AB 边与AC 受到的压力之比为（ ）
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A．
B．
C．
D．
类型5 整体法、隔离法解决共点力静态平衡
【例1】（2023 春·湖南岳阳·高三岳阳一中校联考阶段练习）如图所示，倾角为
、
AB 面光滑的斜面体放在水平地面上，一个重为G 的小球在弹簧秤的水平拉力F 作用下静止
在斜面上。现沿逆时针方向缓慢转动弹簧秤，直到弹簧秤的示数等于初始值，在此过程中，
小球与斜面体始终处于静止状态。下列说法正确的是（ ）
A．力F 先变大后变小
B．地面对斜面体的支持力一直变大
C．地面对斜面体的摩擦力一直变小
D．斜面体对小球的支持力一直变大
【例2】如图所示，两个质量均为m 的小球通过两根轻弹簧A、B 连接，在水平外力F 作用
下，系统处于静止状态，弹簧实际长度相等．弹簧A、B 的劲度系数分别为kA、kB，且原长
相等．弹簧A、B 与竖直方向的夹角分别为θ 与45°.设A、B 中的拉力分别为FA、FB，小球
直径相比弹簧长度可忽略，重力加速度为g，则( )
A．tan θ＝
B．kA＝kB
C．FA＝mg
D．FB＝2mg
【例3】（2023·广东·模拟预测）如图所示，质量为m 的正方体和质量为M 的正方体放在
两竖直墙和水平面间，处于静止状态。m 和M 的接触面与竖直方向的夹角为α，重力加速
度为g，若不计一切摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．水平面对正方体M 的弹力大于(M＋m)g
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B．水平面对正方体M 的弹力大小为(M＋m)gcosα
C．墙面对正方体m 的弹力大小为mgtanα
D．墙面对正方体M 的弹力大小为
【例4】(多选)如图所示，滑块A 与小球B 用同一根不可伸长的轻绳相连，且滑块A 套在水
平杆上。现用大小为10 N、与水平方向成30°角的力F 拉B，使A、B 一起向右匀速运动，
运动过程中保持相对静止。已知A、B 的质量分别为2 kg、1 kg，取g＝10 m/s2，则( )
A．轻绳与水平方向的夹角θ＝60°
B．轻绳与水平方向的夹角θ＝30°
C．滑块A 与水平直杆之间的动摩擦因数为
D．滑块A 与水平直杆之间的动摩擦因数为
题型三 动态平衡问题
【解题指导】1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状
态均可视为平衡状态．
2．做题流程
受力分析――――――→画不同状态平衡图构造矢量三角形―――――→
3．三力平衡、合力与分力关系
如图，F1、F2、F3共点平衡，三力的合力为零，则F1、F2的合力F3′与F3等大反向，F1、
F2、F3′构成矢量三角形，即F3′为F1、F2的合力，也可以将F1、F2、F3直接构成封闭三角形．
类型1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下
的直角三角形，比较力的大小变化，利用三角函数关系确定三力的定量关系．
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基本矢量图，如图所示
2．一力恒定(如重力)，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角
形，确定力大小的变化，恒力之外的两力垂直时，有极值出现．
基本矢量图，如图所示
作与F1等大反向的力F1′，F2、F3合力等于F1′，F2、F3、F1′构成矢量三角形．
3.动态分析常用方法
解析法：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得到
因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量
的变化．
图解法：此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况．
【例1】（2023·西藏拉萨·统考一模）如图所示，一个圆环竖直固定在水平地面上，圆心为
O，两根不可伸长的轻绳A、B 一端系在圆环上，另一端通过结点悬挂一个重物，开始时，
重物静止，结点位于O 点，A 绳竖直，B 绳与A 绳的夹角
。现保持结点位置和B 绳
的方向不变，让A 绳绕着O 点缓慢转至水平虚线位置。则在这个过程中，下列说法正确的
是（ ）
A．开始时，B 绳上的张力不为零
B．A 绳上的张力一直减小
C．A 绳上的张力先增大后减小
D．B 绳上的张力一直增大
【例2】如图所示，用光滑铁丝弯成的四分之一圆弧轨道竖直固定在水平地面上，O 为圆
心，A 为轨道上的一点，一中间带有小孔的小球套在圆弧轨道上，对小球施加一个拉力，
若在拉力方向从水平向左在纸面内顺时针转至竖直向上的过程中，小球始终静止在A 点，
则拉力F（ ）
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A．先变大，后变小
B．先变小，后变大
C．一直变大
D．一直变小
【例3】（2023 春·安徽·高三校联考阶段练习）筷子是中华饮食文化的标志之一。如图所
示，用筷子夹质量为m 的小球处于静止，筷子均在竖直平面内，且筷子与竖直方向的夹角
均为
。忽略小球与筷子之间的摩擦，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．筷子对小球的合力大于重力
B．筷子的弹力大小均为
C．保持左侧筷子固定不动，右侧筷子缓慢变为竖直，左、右筷子的弹力均逐渐变大
D．保持左侧筷子固定不动，右侧筷子缓慢变为竖直，左、右筷子的弹力均逐渐变小
【例4】（2023·全国·二模）如图所示，一内表面光滑的半圆形凹槽放在粗糙的水平地面上，
物块（可看做质点）静置于槽内最底部的A 点处。现用一方向不变的斜向上的推力F 把物
块从A 点沿着凹形槽缓慢推至B 点，整个过程中，凹槽始终保持静止。设物块受到凹槽的
支持力为
，则在上述过程中下列说法正确的是（ ）
A．F 和
都一直增大
B．F 一直增大，
先减小后增大
C．地面对凹槽的支持力一直减小
D．地面对凹槽的摩擦力保持不变
【例4】（2023 秋·云南玉溪·云南省玉溪第一中学校考阶段练习）如图所示，轻绳OA 将一
质量为
的小球悬挂于
点，OA 与竖直方向的夹角为
，在水平力
作用下，小球
静止。现使力
沿逆时针方向缓慢旋转至竖直向上，小球位置始终不变，上述过程中（
）
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A．小球的合力逐渐减小
B．力
先减小后增大
C．轻绳OA 对球的拉力先增大再减小
D．力
最小值为
类型2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
1．一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向
等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边
相比相等．
基本矢量图，如图所示
基本关系式：＝＝
2．一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，
利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根
据不同位置判断各力的大小变化．
基本矢量图，如图所示
【例1】（2023·浙江台州·校联考模拟预测）如图所示，一玻璃清洁工人坐在简易的小木板
上，通过楼顶的滑轮和轻质绳索
在竖直平面内缓慢下降。工人两腿并拢伸直，腿与
竖直玻璃墙的夹角，
，在下降过程中
角保持不变。玻璃墙对脚的作用力始终沿腿
方向，小木板
保持水平且与玻璃墙平行。某时刻轻绳
与竖直玻璃墙的夹角
，
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连接小木板的两等长轻绳
的夹角
，且与
在同一倾斜平面内。已知工人
及工具的总质量
，小木板的质量可忽略不计。工人在稳定且未擦墙时，下列说法
正确的是（ ）
A．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，脚对墙的作用力增大
B．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，绳
的弹力增大
C．此时若工人不触碰轻绳，小木板受的压力大小为
D．此时若工人不触碰轻绳，绳
的张力大小为
【例2】．（2023·上海·高三专题练习）两根通电直导线a、b 相互平行，a 通有垂直纸面向
里的电流，固定在O 点正下方的地面上；b 通过一端系于O 点的绝缘细线悬挂，且
Oa=Ob，b 静止时的截面图如图所示。若a 中电流大小保持不变，b 中的电流缓慢增大，则
在b 缓慢移动的过程中（ ）
A．细线对b 的拉力逐渐变小
B．地面对a 的作用力变小
C．细线对b 的拉力逐渐变大
D．地面对a 的作用力变大
【例3】．（2023 春·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）如图所示，导体棒P 通过两等
长细线悬挂在竖直墙面上等高的两点，并通以恒定电流
，另一长直导体棒Q 位于AB 连
线正下方，并与一滑动变阻器串联，闭合开关前滑片位于最左端，已知通电直导线产生的
磁场的磁感应强度与通电导线的电流大小成正比，与到通电导线的距离成反比。不计电源
与导体棒电阻，现闭合开关，将滑动变阻器的滑片自最左端缓慢滑至中间，导体棒P 绕AB
连线缓慢转动，下列说法正确的是（ ）
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A．导体棒P 所受安培力始终垂直于两棒所在平面
B．绳子拉力将减半
C．两棒间的安培力将翻倍
D．两棒的间距将变为原来的
倍
【例4】．（2023·河北唐山·统考三模）如图所示，木板B 放置在粗糙水平地面上，O 为光
滑铰链。轻杆一端与铰链O 固定连接，另一端固定连接一质量为m 的小球A。现将轻绳一
端拴在小球A 上，另一端通过光滑的定滑轮
由力F 牵引，定滑轮位于O 的正上方，整个
系统处于静止状态。现改变力F 的大小使小球A 和轻杆从图示位置缓慢运动到
正下方，
木板始终保持静止，则在整个过程中（ ）
A．外力F 大小不变
B．轻杆对小球的作用力大小变小
C．地面对木板的支持力逐渐变小
D．地面对木板的摩擦力逐渐减小
【例5】(2022·贵州贵阳市2 月适应性考试)如图所示，轻绳两端固定在一硬质轻杆上的A、
B 两点，在轻绳中点O 系一重物。现将杆顺时针在竖直面内缓慢旋转，使OA 从水平位置
转到竖直位置的过程中，绳OA、OB 的张力FA和FB的大小变化情况是( )
A.FA先增大后减小，FB一直减小
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B.FA先减小后增大，FB一直增大
C.FA先减小后增大，FB先增大后减小
D.FA先增大后减小，FB先减小后增大
【例6】.(2022·天一大联考)如图所示，半径为R 的圆环竖直放置，长度为R 的不可伸长的
轻细绳OA、OB，一端固定在圆环上，另一端在圆心O 处连接并悬挂一质量为m 的重物，
初始时OA 绳处于水平状态.把圆环沿地面向右缓慢转动，直到OA 绳处于竖直状态，在这
个过程中( )
A.OA 绳的拉力逐渐增大
B.OA 绳的拉力先增大后减小
C.OB 绳的拉力先增大后减小
D.OB 绳的拉力先减小后增大
类型3 轻绳套轻环的动态平衡模型
1.如图所示，绳上套的是光滑轻环，作用在绳上形成“活结”，此时绳上的拉力处处相
等，平衡时与水平面所成夹角相等，即α＝β。当动点P 移至P′时，绳长保持不变，夹角
α＝β 也保持不变，Q 移至Q′，这与绳“死结”模型截然不同。
此类问题破题关键有两点：
(1)不计轻环与绳间的摩擦时，左右两段绳中张力相等，左右两段绳与竖直方向的夹角也相
等。
(2)绳总长度不变时，sin θ＝，绳中张力和绳与竖直方向的夹角θ 随两悬点水平距离d 的变
化而变化。
2.如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，Fsin θ1＝Fsin θ2，
故θ1＝θ2＝θ3，根据几何关系可知，sin θ＝＝，若两杆间距离d 不变，则上下移动悬线结
点，θ 不变，若两杆距离d 减小，则θ 减小，2FTcos θ＝mg，FT＝也减小．
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖
直杆M、N 上的a、b 两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只
人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是（ ）
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A．绳的右端上移到b’，绳子拉力不变
B．将杆N 向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
【例2】．（2023 秋·天津河西·高三天津市新华中学阶段练习）如图所示，水平横杆上套
有圆环A，圆环A 通过轻绳与重物B 相连，轻绳绕过固定在横杆下光滑的定滑轮，轻绳通
过光滑动滑轮挂着物体C，并在某一位置达到平衡，现将圆环A 极缓慢向右移动一小段距
离后，系统仍保持静止，则下列说法中正确的是（ ）
A．轻绳的拉力变大
B．横杆对圆A 的摩擦力不变
C．物块C 的高度下降
D．物块B 的高度下降
【例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，A、B 两物体通过两个质量不计的光滑滑轮悬
挂起来，处于静止状态。现将绳子一端从P 点缓慢移到Q 点，系统仍然平衡，以下说法正
确的是（ ）
A．夹角θ 将变小
B．夹角θ 将变大
C．物体B 位置将变高
D．绳子张力将增大
【例4】．（2023 秋·广东揭阳·高三阶段练习）如图所示，一根不可伸长的细绳的一端固
定在天花板上的B 点，另一端固定在墙壁上的A，一滑轮放置在细绳上，滑轮下面挂着质
量为m 的重物，若将细绳的A 端沿墙壁缓慢向上移动一小段距离，则移动过程中（ ）
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A．细绳所受拉力保持不变
B．细绳所受拉力逐渐增大
C．细绳所受拉力逐渐减小
D．细绳与竖直方向的夹角α 和β 都减小
【例5】．（2023 秋·全国·高三期中）如图所示，A、B 两物体的质量分别为mA和mB，且
mA>mB，整个系统处于静止状态，滑轮的质量和一切摩擦均不计。如果绳一端由Q 点缓慢
地向下移到P 点，整个系统重新平衡后，物体A 的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角θ
如何变化（ ）
A．物体A 的高度升高，θ 角变大
B．物体A 的高度降低，θ 角变小
C．物体A 的高度升高，θ 角不变
D．物体A 的高度不变，θ 角不变
【例6】（2021·全国·高三专题练习）一杂技演员表演单车过钢丝，如图所示。在两固定杆
等高处各挂一个光滑的圆环，两圆环上系一段钢丝，钢丝的长度大于两杆间距，不计钢丝
重力。演员从一端缓慢骑单车到另一端。下列说法正确的是（ ）
A．到最低点时，演员受到的合力竖直向上
B．表演用的钢丝可能是光滑的
C．两个圆环对钢丝的拉力，大小始终相等
D．两个圆环对钢丝的拉力的合力，方向始终竖直向上
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题型四 平衡中的临界、极值问题
【解题指导】1．三力平衡下的极值问题，常用图解法，将力的问题转化为三角形问题求某
一边的最小值.
3. 多力平衡时求极值一般用解析法，由三角函数、二次函数、不等式等求解.
3.若物体受包括弹力、摩擦力在内的四个力平衡，可以把弹力、摩擦力两个力合成一个力，
该力方向固定不变(与弹力夹角正切值为μ)，从而将四力平衡变成三力平衡，再用图解法求
解．
【必备知识】
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出
现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常
见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0.
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临
界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推
向极端，即极大和极小．
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画
出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用
平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．
【例1】（2023 春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）一个箱子在平行于斜面的轻
绳拉动下，沿倾角为30°的固定斜面匀速上滑。已知箱子与斜面间的动摩擦因数为
，重
力加速度大小为
。若轻绳能承受的最大拉力为
，则箱子的质量最大值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
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【例2】．（2023 秋·湖南衡阳·高三统考期末）港珠澳大桥的人工岛创新围岛填土在世界
范围内首次提出深插式钢圆筒快速成岛技术，1600t 起重船“振浮8 号”吊起巨型钢筒直接
固定在海床上插入到海底，然后在中间填土形成人工岛，如图甲，每个圆钢筒的直径为
22.5m，高度为55m，质量为550t，由若干根特制起吊绳通过液压机械抓手连接钢筒。某次
试吊将其吊在空中，每根绳与竖直方向的夹角为
，如图乙所示，每根绳所能承受的最
大拉力为
，则至少需要多少根绳子才能成功起吊（
，
）
（ ）
A．7 根
B．8 根
C．9 根
D．10 根
【例3】．（2022·全国·高三假期作业）如图，将物体用细绳OC 悬于O 点，现用细绳AB
绑住绳OC 上的A 点，再缓慢增大AB 上的水平力，已知各部分绳子所能承受的最大拉力是
相同的，若此过程中某段绳子被拉断，则（ ）
A．绳AC 段先断
B．绳OA 段先断
C．绳AB 段先断
D．OA 与AB 段可能同
时拉断
【例4】．（2023 春·辽宁朝阳·高三统考期中）用AB 和CD 两根细绳悬挂一小轻环，A、C
两点在同一水平面上，如图所示。已知AC=50cm，AB=30cm，CD=40cm，AB 绳能承受的
最大拉力为5N，CD 绳能承受的最大拉力为4N，环下悬挂重物的悬绳能承受的最大拉力为
9N，则所悬挂重物受到的重力最大为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【例4】．（2023·江西南昌·统考一模）如图所示，在建筑沙石料产地常将沙石颗粒输送到
高处落下，在水平地面上堆积成圆锥体，若沙石颗粒间的动摩擦因数为
，则该圆锥体表
面与水平地面的最大夹角
满足的关系式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5】（2023·山东·模拟预测）在吊运表面平整的重型板材（混凝土预制板、厚钢板）时，
如因吊绳无处钩挂而遇到困难，可用一根钢丝绳将板拦腰捆起（不必捆的很紧），用两个
吊钩勾住绳圈长边的中点起吊（如图所示），若钢丝绳与板材之间的动摩擦因数为
，为
了满足安全起吊（不考虑钢丝绳断裂），需要满足的条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】．（2023·江苏苏州·苏州中学校考开学考试）竖直门闩简化结构的侧视图如图所示。
下方部件A 可以在水平槽内向前推进。槽表面光滑，摩擦力可以不计；部件A 与部件B 界
面具有摩擦系数
，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，界面与水平面呈
夹角。部件B
质量为m，重力加速度为g，为了使门闩启动，施加在部件A 上的水平力F 至少是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例7】．（2023 秋·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考期中）扩张机的原理如图所示，A、
B、C 为活动铰链，在A 处作用一水平力
，滑块D 就能在比
大得多的压力下向上顶起
物体，已知滑块D 与左壁接触面间的动摩擦因数为
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若
要扩张机能够顶起质量为
的物体，并使其上升，必须满足的条件为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【例8】．（2023 秋·广东深圳·高三校考阶段练习）筷子是中华饮食文化的标志之一，我
国著名物理学家李政道曾夸赞说：“筷子如此简单的两根木头，却精妙绝伦地应用了物理
学杠杆原理。”如图所示，用筷子夹住质量为m 的小球，两根筷子均在竖直平面内，且小
球静止，筷子和竖直方向的夹角均为
。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为
，设最大
静摩擦力等于滑动摩擦为，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球受到3 个力作用
B．当
增大时，筷子对小球的作用力增大
C．当
减小时，筷子对小球的作用力增大
D．筷子对小球的最小压力是
【例9】（2023·全国·高三专题练习）质量为M 的木楔倾角为θ（θ<45°），在水平面上保
持静止，当将一质量为m 的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。当用与木楔斜面成
α 角的力F 拉木块时，木块匀速上滑，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止，木块
与木楔间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g）。下列结论正确的是（ ）
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A．当α＝0 时，F 有最小值，最小值为mgsinθ+μmgcosθ
B．当α＝0 时，F 有最小值，最小值为mgsinθ
C．当α＝θ 时，F 有最小值，最小值为mgsinθ+μmgcosθ
D．当α＝θ 时，F 有最小值，最小值为mgsin2θ
【例10】．（2023 秋·浙江杭州·期中）如图，斜面固定，倾角为30°，斜面底端固定一挡
板．轻弹簧劲度系数为1000N/m，原长10cm，一端与挡板相连，另一端放上重为100N 的
物体后压缩到8cm，已知物体与斜面间最大静摩擦力为35N。现在用力F 沿斜面向上拉物
块，物块保持静止，则力F 的取值可能为（ ）
A．60N
B．70N
C．80N
D．90N
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