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专题04 受力分析与共点力的平衡
目录
题型一 受力分析与整体法和隔离法的应用............................................................................................................1
题型二 共点力的静态平衡........................................................................................................................................3
类型1 合成法求解共点力静态平衡...............................................................................................................4
类型2 正交分解法求解共点力静态平衡.......................................................................................................4
类型3 相似三角形法求解共点力静态平衡...................................................................................................7
类型4 正弦定理求解共点力静态平衡.............................................................................................................9
类型5 整体法、隔离法解决共点力静态平衡................................................................................................10
题型三 动态平衡问题..............................................................................................................................................12
类型1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题..........................................................................13
类型2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题......................................................................16
类型3 轻绳套轻环的动态平衡模型.............................................................................................................17
题型四 平衡中的临界、极值问题..........................................................................................................................22
题型一 受力分析与整体法和隔离法的应用
【解题指导】1．受力分析的两种顺序：
(1) 先场力再弹力后摩擦力，接触力要逐个接触面排查．
(2)先已知的力、确定的力，而后再结合运动状态推断未知的力、不确定的力.
2. 多个物体系统问题通常整体法和隔离法交替使用.
3. 三重检验：
(1) 明确各力的施力物体、受力物体．
(2) 判断研究对象是否能保持原来运动状态．
(3)换角度(整体隔离)或换研究对象(相邻的物体)再次受力分析，判断两次分析是否一致．
【例1】（2024·四川凉山·三模）A、B两物体如图叠放，在竖直向上的力F作用下沿粗糙
竖直墙面向上匀速运动，则A的受力个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式演练1】如图所示，一质量为 的白板擦静止在竖直磁性白板上，现给白板擦一
个恒定的水平推力 ，重力加速度g取 ，则推力作用后（ ）A．白板擦可能做水平方向匀速直线运动 B．白板擦可能做匀加直线运动
C．白板擦受到的摩擦力大小为 D．白板擦共受6个力
【变式演练2】．（2024·江西南昌·三模）如图所示，一梯子斜靠在光滑的竖直墙壁上，下
端放在粗糙的水平地面上，某工人站立于梯子上，下列说法正确的是（ ）
A．地面对梯子的摩擦力方向水平向右
B．人和梯子组成的系统受三个力作用
C．梯子对工人的作用力竖直向上
D．地面对梯子的作用力竖直向上
【变式演练3】．（2024·北京朝阳·二模）如图所示，光滑水平桌面上木块A、B叠放在一
起，木块B受到一个大小为F水平向右的力，A、B一起向右运动且保持相对静止。已知A
的质量为m、B的质量为2m，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．木块A受到两个力的作用
B．木块B受到四个力的作用
C．木块A所受合力大小为
D．木块B受到A的作用力大小为
【例2】如图所示，质量为M的斜面体静止在水平地面上，质量为m的滑块沿着斜面向下
做加速运动，斜面体始终处于静止状态。已知重力加速度为g，在滑块下滑的过程中，下
列说法正确的是（ ）
A．滑块与斜面体之间的动摩擦因数μ大于tanθ
B．斜面体对滑块的支持力大小为C．地面对斜面体的支持力大于（M＋m）g
D．地面对斜面体的摩擦力方向水平向左
【变式演练1】如图所示，倾角为 的斜面体C置于水平面上，B置于斜面上，通过细绳跨
过光滑的定滑轮与A相连，连接B的一段细绳与斜面平行，A、B、C都处于静止状态。则
（ ）
A．B受到C的摩擦力一定不为零
B．C受到水平面的摩擦力一定不为零
C．水平面对C的支持力与B、C的总重力大小相等
D．若将细绳剪断后，B物体依然静止在斜面上，则水平面对C的摩擦力一定不为零
【变式演练2】如图所示，质量为m的物体A放在质量为M、倾角为 的斜面B上，斜面
B置于粗糙的水平地面上，用平行于斜面的力F拉物体A，使其沿斜面向下匀速运动，斜
面B始终静止不动，则下列说法中不正确的是（ ）
A．斜面B相对地面有向左运动的趋势
B．地面对斜面B的静摩擦力大小为
C．地面对斜面B的支持力大小为
D．斜面B与物体A间的动摩擦因数为
题型二 共点力的静态平衡
【解题指导】1．遇到多物体系统时注意应用整体法与隔离法，一般可先整体后隔离.
2. 三力平衡，一般用合成法，根据平行四边形定则合成后，“力的问题”转换成“三角形
问题”，再由三角函数、勾股定理、正弦定理或相似三角形等解三角形.
3.多力平衡，一般用正交分解法．
类型1 合成法求解共点力静态平衡
【例1】（2024·山东济南·三模）高空滑索因其惊险刺激而深受年轻人追捧。人通过轻绳与
轻质滑环相连，开始下滑前，轻质滑环固定在钢索 上 点处，滑环和人均处于静止状
态，钢索和轻绳的夹角关系如图所示。设 段钢索的拉力大小为 ， 段钢索的拉力大小为 ， 段轻绳的拉力大小为 ，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】在科学研究中，人们利用风速仪测量风速的大小，其原理如图所示。仪器中有一
根轻质金属丝，悬挂着一个金属球。若某次受到沿水平方向来的风时，稳定后，金属丝偏
离竖直方向夹角为 。已知风力F与风速v的大小关系为 ，k为常量，金属球的质
量为m，重力加速度为g，则风速大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练1】（2024·广西桂林·三模）如图所示，P、Q是两个光滑的定滑轮，吊着A、
B、C三个小球的三条轻绳各有一端在O点打结，悬吊A、C两个球的轻绳分别绕过定滑轮
P、Q，三个球静止时，OQ段轻绳与竖直方向的夹角 。已知B、C两球的质量均为
m， ，则A球的质量为（ ）
A．m B．1.2m C．1.5m D．1.6m
【变式演练2】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，重力为G的小滑
块在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为F ，下列关系正确的是（ ）
NA．F一定大于G
B．三个力中F 最大
N
C．F 与F大小之和等于G
N
D．F与G的合力方向沿OP连线指向O点
类型2 正交分解法求解共点力静态平衡
【例1】（2024·河北·高考真题）如图，弹簧测力计下端挂有一质量为 的光滑均匀球
体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为 ，挡板与斜面夹角为 ．若弹簧
测力计位于竖直方向，读数为 取 ,挡板对球体支持力的大小为（ ）
A． B． C． D．
【例2】．（2024·湖北·高考真题）如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水
中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在
水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大
小为（ ）
A． B． C．2f D．3f
【变式演练1】（2024·全国·高考真题）将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，
要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离。如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q，二人配
合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量 ，重力加速度大小 ，当P绳
与竖直方向的夹角 时，Q绳与竖直方向的夹角
（1）求此时P、Q绳中拉力的大小；
（2）若开始竖直下降时重物距地面的高度 ，求在重物下降到地面的过程中，两根
绳子拉力对重物做的总功。
【变式演练2】如图所示，三角形斜面A放置于水平地面上，将光滑滑块B放置于斜面A
上，在滑块B上施加水平向右的恒力F，斜面A和滑块B一起向右匀速运动，已知滑块B
的质量为m，斜面A的质量为2m，斜面倾角为30°，则斜面与地面之间的动摩擦因数为（
）
A． B． C． D．
【变式演练3】如图甲所示，推力F垂直斜面作用在斜面体上，斜面体静止在竖直墙面上，
若将斜面体改成如图乙所示放置，用相同大小的推力F垂直斜面作用到斜面体上，则下列
说法正确的是( )
A．墙面受到的压力一定变小
B．斜面体受到的摩擦力一定变小
C．斜面体受到的摩擦力可能变大
D．斜面体可能沿墙面向上滑动
【变式演练4】如图，环a、b的质量分别为 、 ，用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细杆OM和竖直光滑细杆ON上，O点离地面的高度 ，细线长
，且已知细线能承受的张力最大值为 。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，细
线与水平杆间夹角为θ，重力加速度为g取 。
（1）初始时整个装置静止，当 时，a、b环恰好不滑动，求a环与水平粗糙杆OM
间动摩擦因数μ；
（2）在第一问条件下，若整个装置以竖直杆ON为轴匀速转动，求当细线刚好断裂时装置
转动的角速度ω；
（3）若细线断裂时环a刚好位于横杆最右端M点，求圆环a落地时离ON轴的水平距离。
类型3 相似三角形法求解共点力静态平衡
【例1】（2024·贵州铜仁·二模）轻杆的两端固定有可视为质点的小球A和B，不可伸长的
轻质细绳两端与两小球连接，轻绳挂在光滑水平固定的细杆O上，平衡时的状态如图所示。
已知A的质量是B的质量的2倍，则OA与OB的长度之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练1】如图所示，半径为R的光滑圆环竖直固定，原长为 的轻质弹簧一端固
定在圆环的最高点A，另一端与套在环上的质量为m的小球相连。小球静止在B点时，弹
簧与竖直方向夹角θ=30°，已知重力加速度大小为g，则（ ）A．小球对圆环的弹力方向背离圆心
B．圆环对小球的弹力大小为
C．弹簧的劲度系数为
D．若换用原长相同，劲度系数更大的轻质弹簧，小球将在B点下方达到受力平衡
【变式演练2】如图所示，两个质量分别为 和 的带电小球A、B（可视为质点）通过
一根绝缘轻绳跨放在光滑的定滑轮上（滑轮大小不计），两球静止，O为滑轮正下方AB连
线上的一个点。两球到O点距离分别为 和 ，到滑轮的距离分别为 和 ，且
，细绳与竖直方向的夹角分别为 和 ，两球电荷量分别为 和 。则
（ ）
A． B． C． D．
【变式演练3】（2024·广东深圳·一模）如图所示，用一轻绳通过定滑轮将质量为m的小球
静置在光滑的半圆柱体上，小球的半径远小于半圆柱体截面的半径R，绳AB长度为L，长
度为H的杆BC竖直且与半圆柱体边缘相切，OA与水平面夹角为θ，不计一切摩擦，重力
加速度为g，下列表达式表示绳对小球的拉力F是（ ）
A． B．
C． D．类型4 正弦定理求解共点力静态平衡
【例1】（2023·河南·模拟预测）半径为 R内壁光滑的半球形碗固定放置在水平地面上，O
是球心，碗的边缘A、B 两点的连线是碗的水平直径，一质量为m的均匀硬杆放置在B、C
两点间处于静止状态，硬杆很细，B、C两点也是硬杆的两端点，硬杆的受力分析如图所示，
已知C点对硬杆的弹力与硬杆的夹角为θ，且A、B、C三点处在竖直的半圆面上，重力加
速度为g，求：
（1）硬杆的长度；
（2）B点对硬杆的弹力大小以及C点对硬杆的弹力大小。
【变式演练1】如图所示，a、b两个小球穿在一根光滑的固定杆上，并且通过一条细绳跨
过定滑轮连接，已知b球质量为1 kg，杆与水平面的夹角为30°，不计所有摩擦，当两球静
止时，Oa段绳与杆的夹角也为30°，Ob段绳沿竖直方向，则a球的质量为( )
A. kg B. kg
C. kg D．2 kg
【变式演练2】如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一
端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连．系统平衡时，O点两侧绳与竖直方
向的夹角分别为α和β.若α＝75°，β＝60°，则甲乙两物体质量之比是( )
A．1∶1 B．1∶2
C.∶ D.∶
【变式演练3】如图所示，内壁光滑的等边三角形框架中放置一铁球，铁球跟三角形框架
的三个面刚好接触，在一次搬运过程中，工人将框架以A为轴逆时针缓慢抬起，当AC边转到向左偏离竖直方向的夹角为15°时 。AB边与AC受到的压力之比为
（ ）
A． B． C． D．
类型5 整体法、隔离法解决共点力静态平衡
【例1】如图所示，带有 弧形槽的滑块A放在水平面上，其中O为弧的圆心，P为弧的
最低点， 垂直于水平面，可视为质点的光滑小球B用轻质线拴接并固定在天花板上，
当整个装置静止时，细线与竖直方向的夹角为 ，小球到 的距离为圆弧半径的 。
已知小球B的质量为m，滑块A的质量为2m，重力加速度为g。
（1）整个装置静止时，轻质线对小球的拉力为多大；
（2）如果滑块与地面之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且滑块与地面之间的动摩擦因
数为 ，欲使整个装置保持静止状态，分析 应满足的条件。
【变式演练1】（2024·浙江金华·三模）新春佳节，大街小巷总会挂起象征喜庆的中国红灯
笼。如图所示，由4根等长轻质细绳AB、BC、CD、DE悬挂起3盏质量相等的灯笼，绳两
端的结点A、E等高，AB绳与竖直方向的夹角为 ，绳中张力大小为 ；BC绳与竖直方
向的夹角为 ，绳中张力大小为 ，则（ ）A．
B．若将悬挂点A往E靠近少许， 的大小保持不变
C．若在C处再增加一盏质量较大的灯笼，平衡时 可能等于
D．若在B、D处各增加一盏质量较大的灯笼，平衡时 可能等于90°
【变式演练2】如图所示，竖直平面内的支架 由粗糙的水平细杆 和光滑的倾斜细
杆 组成，用细线相连的两个小球A、B分别穿在两根细杆上。初始时，两小球均处于静
止状态。现用外力 将小球 缓慢向 点推动一小段距离到图中虚线位置处后，撤去外力
，小球A、B仍能保持静止状态，则该状态与初始状态相比，下列说法正确的是
（ ）
A．细线中的拉力变大 B．小球 受到细杆的支持力不变
C．小球A受到细杆的摩擦力变小 D．小球B受到细杆的支持力变大
【变式演练3】如图所示，质量为m的正方体和质量为M的正方体放在两竖直墙和水平面
间，处于静止状态。m和M的接触面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g，若不计一
切摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．水平面对正方体M的弹力大于(M＋m)g
B．水平面对正方体M的弹力大小为(M＋m)gcosα
C．墙面对正方体m的弹力大小为mgtanαD．墙面对正方体M的弹力大小为
【变式演练4】(多选)如图所示，滑块A与小球B用同一根不可伸长的轻绳相连，且滑块 A
套在水平杆上。现用大小为10 N、与水平方向成30°角的力F拉B，使A、B一起向右匀速
运动，运动过程中保持相对静止。已知A、B的质量分别为2 kg、1 kg，取g＝10 m/s2，则(
)
A．轻绳与水平方向的夹角θ＝60°
B．轻绳与水平方向的夹角θ＝30°
C．滑块A与水平直杆之间的动摩擦因数为
D．滑块A与水平直杆之间的动摩擦因数为
题型三 动态平衡问题
【解题指导】1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状
态均可视为平衡状态．
2．做题流程
受力分析――――――→画不同状态平衡图构造矢量三角形―――――→
3．三力平衡、合力与分力关系
如图，F 、F 、F 共点平衡，三力的合力为零，则F 、F 的合力F′与F 等大反向，F 、
1 2 3 1 2 3 3 1
F、F′构成矢量三角形，即F′为F、F 的合力，也可以将F、F、F 直接构成封闭三角形．
2 3 3 1 2 1 2 3
类型1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下
的直角三角形，比较力的大小变化，利用三角函数关系确定三力的定量关系．
基本矢量图，如图所示2．一力恒定(如重力)，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角
形，确定力大小的变化，恒力之外的两力垂直时，有极值出现．
基本矢量图，如图所示
作与F 等大反向的力F′，F、F 合力等于F′，F、F、F′构成矢量三角形．
1 1 2 3 1 2 3 1
3.动态分析常用方法
解析法：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得到
因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量
的变化．
图解法：此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况．
【例1】（2024·湖北武汉·二模）如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个重环，绕过光滑
定滑轮的轻绳一端与重环相连，另一端施加拉力F使重环从A点缓慢上升到B点。设杆对
重环的弹力大小为 ，整个装置处于同一竖直平面内，在此过程中（ ）
A．F逐渐增大， 逐渐增大
B．F逐渐增大， 先减小后增大
C．F先减小后增大， 逐渐增大
D．F先减小后增大， 先减小后增大
【变式演练1】如图所示，光滑的轻质滑轮通过竖直杆固定于天花板上，一根不可伸长的
轻绳跨过滑轮分别系着物块M和N，M静止在光滑水平地面上，N在水平拉力F作用下处
于静止状态。现将F沿逆时针方向缓慢转至竖直方向，此过程中M和N始终静止不动。下
列说法正确的是（ ）A．F先增大后减小
B．绳的弹力先减小后增大
C．M对地面的压力逐渐减小
D．滑轮对杆的作用力逐渐减小
【变式演练2】如图所示，一个圆环竖直固定在水平地面上，圆心为O，两根不可伸长的
轻绳A、B一端系在圆环上，另一端通过结点悬挂一个重物，开始时，重物静止，结点位
于O点，A绳竖直，B绳与A绳的夹角 。现保持结点位置和B绳的方向不变，让A
绳绕着O点缓慢转至水平虚线位置。则在这个过程中，下列说法正确的是（ ）
A．开始时，B绳上的张力不为零 B．A绳上的张力一直减小
C．A绳上的张力先增大后减小 D．B绳上的张力一直增大
【变式演练3】消防员在抢险救灾工作中常常需要从顶楼直降到某一楼层（如图甲所示），
其下降过程可简化为如图乙所示的物理模型：脚与墙壁接触点为A点，人的重心在B点，
A到B可简化为轻杆，OB为轻绳，O点为轻绳悬挂点且保持固定。已知下降过程中AB长
度以及AB与竖直方向的夹角均保持不变。初始时∠OBA=90°且消防员保持静止，从该时刻
起，消防员在缓慢下移的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．AB杆提供支持力且支持力变小B．AB杆提供拉力且拉力大小保持不变
C．OB绳拉力减小
D．消防员所受合力增大
【变式演练4】筷子是中华饮食文化的标志之一。如图所示，用筷子夹质量为m的小球处
于静止，筷子均在竖直平面内，且筷子与竖直方向的夹角均为 。忽略小球与筷子之间的
摩擦，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．筷子对小球的合力大于重力
B．筷子的弹力大小均为
C．保持左侧筷子固定不动，右侧筷子缓慢变为竖直，左、右筷子的弹力均逐渐变大
D．保持左侧筷子固定不动，右侧筷子缓慢变为竖直，左、右筷子的弹力均逐渐变小
【变式演练5】如图所示，一内表面光滑的半圆形凹槽放在粗糙的水平地面上，物块（可
看做质点）静置于槽内最底部的A点处。现用一方向不变的斜向上的推力F把物块从A点
沿着凹形槽缓慢推至B点，整个过程中，凹槽始终保持静止。设物块受到凹槽的支持力为
，则在上述过程中下列说法正确的是（ ）
A．F和 都一直增大
B．F一直增大， 先减小后增大
C．地面对凹槽的支持力一直减小
D．地面对凹槽的摩擦力保持不变
【变式演练6】如图所示，轻绳OA将一质量为 的小球悬挂于 点，OA与竖直方向的夹
角为 ，在水平力 作用下，小球静止。现使力 沿逆时针方向缓慢旋转至竖直向上，
小球位置始终不变，上述过程中（ ）
A．小球的合力逐渐减小B．力 先减小后增大
C．轻绳OA对球的拉力先增大再减小
D．力 最小值为
类型2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
1．一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向
等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边
相比相等．
基本矢量图，如图所示
基本关系式：＝＝
2．一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，
利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根
据不同位置判断各力的大小变化．
基本矢量图，如图所示
【例2】如图所示，为一儿童玩具的起吊部件，B处为一小型的电动机，OA是可自由转动
的轻杆，电动机启动后可将OB绳缓慢的抽进内部，使OA杆从接近水平位置缓慢的逆时针
转动，直到OA杆竖直为止，用这种方式把小物块C提起，物体的质量为m，此时OA与竖
直方向的夹角为30°，OB与竖直方向的夹角为60°，下列说法中正确的是（ ）
A．此时OA杆所承受的力为 mg
B．此时OB的力为2mgC．随着小物块缓慢抬起杆OA的力保持不变
D．随着小物块缓慢抬起绳OB的力越来越大
【变式演练1】如图，轻绳两端固定在一硬质轻杆上的A、B两点，在轻绳中点O系一重物，
OB段绳子水平，OA段绳子倾斜。现将轻杆在竖直面内逆时针缓慢转动直到OA段绳子竖
直，在此过程中，绳OA、OB的张力 和 的大小变化情况是（ ）
A． 先减小后增大， 一直减小 B． 先减小后增大， 先增大后减小
C． 一直减小， 一直减小 D． 一直减小， 先增大后减小
【变式演练2】（2024·福建宁德·三模）某物理兴趣小组为了模拟机器人“手臂”，制作了
如图所示装置，A、B类似于人手臂的关节，能在竖直面内自由转动，前臂BC末端系一重
物和一轻绳，轻绳另一端跨过滑轮牵拉前臂。初始时，关节A、B均锁定，前臂BC水平。
小组成员解除关节A的锁定，通过拉绳缓慢提升重物，上臂AB转过60°。不计“手臂”重
力及一切摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．绳CD拉力先减小后增大
B．绳CD拉力先增大后减小
C．前臂BC受到的压力大小不变
D．前臂BC受到的压力先减小后增大
【变式演练3】如图所示﹐木板B放置在粗糙水平地面上，O为光滑铵链。轻杆一端与铰
链O固定连接，另一端固定连接一质量为m的小球A。现将轻绳一端拴在小球A上，另一
端通过光滑的定滑轮O′由力F牵引，定滑轮位于O的正上方，整个系统处于静止状态。现
改变力F的大小，使小球A和轻杆从图示位置缓慢运动到O′正下方，木板始终保持静止，
则在整个过程中（ ）A．外力F逐渐增大 B．轻杆对小球的作用力减小
C．地面对木板的支持力逐渐减小 D．地面对木板的摩擦力逐渐减小
【变式演练4】（2024·福建龙岩·三模）如图所示，带电小球P固定在绝缘竖直墙面上，用
绕过固定在竖直墙上O点的小定滑轮的细线拉着带电小球Q。小球Q静止时P、Q间的距
离为r，O、P间的距离为h， 。现用拉力F缓慢拉动绳端，使小球Q缓慢移动，在小
球Q从图示位置缓慢移动到O点的过程中（ ）
A．拉力F先增大后减小
B．小球P、Q间的库仑力逐渐减小
C．小球P、Q系统的电势能先不变后减小
D．小球Q在P球位置产生的电场强度大小不变
类型3 轻绳套轻环的动态平衡模型
1.如图所示，绳上套的是光滑轻环，作用在绳上形成“活结”，此时绳上的拉力处处相等，
平衡时与水平面所成夹角相等，即α＝β。当动点P移至P′时，绳长保持不变，夹角α＝β
也保持不变，Q移至Q′，这与绳“死结”模型截然不同。
此类问题破题关键有两点：
(1)不计轻环与绳间的摩擦时，左右两段绳中张力相等，左右两段绳与竖直方向的夹角也
相等。
(2)绳总长度不变时，sin θ＝，绳中张力和绳与竖直方向的夹角θ随两悬点水平距离d的
变化而变化。
2.如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，Fsin θ ＝Fsin θ ，
1 2
故θ ＝θ ＝θ ，根据几何关系可知，sin θ＝＝，若两杆间距离d不变，则上下移动悬线结
1 2 3
点，θ不变，若两杆距离d减小，则θ减小，2F cos θ＝mg，F ＝也减小．
T T【例1】如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，
悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架
静止时，下列说法正确的是（ ）
A．绳的右端上移到b’，绳子拉力不变
B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
【例2】．如图所示，水平横杆上套有圆环A，圆环A通过轻绳与重物B相连，轻绳绕过
固定在横杆下光滑的定滑轮，轻绳通过光滑动滑轮挂着物体C，并在某一位置达到平衡，
现将圆环A极缓慢向右移动一小段距离后，系统仍保持静止，则下列说法中正确的是（
）
A．轻绳的拉力变大 B．横杆对圆A的摩擦力不变
C．物块C的高度下降 D．物块B的高度下降
【变式演练1】如图，A、B两物体通过两个质量不计的光滑滑轮悬挂起来，处于静止状态。
现将绳子一端从P点缓慢移到Q点，系统仍然平衡，以下说法正确的是（ ）
A．夹角θ将变小 B．夹角θ将变大C．物体B位置将变高 D．绳子张力将增大
【变式演练2】如图所示，一根不可伸长的细绳的一端固定在天花板上的B点，另一端固
定在墙壁上的A，一滑轮放置在细绳上，滑轮下面挂着质量为m的重物，若将细绳的A端
沿墙壁缓慢向上移动一小段距离，则移动过程中（ ）
A．细绳所受拉力保持不变
B．细绳所受拉力逐渐增大
C．细绳所受拉力逐渐减小
D．细绳与竖直方向的夹角α和β都减小
【变式演练3】如图所示，A、B两物体的质量分别为m 和m ，且m >m ，整个系统处于
A B A B
静止状态，滑轮的质量和一切摩擦均不计。如果绳一端由Q点缓慢地向下移到P点，整个
系统重新平衡后，物体A的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角θ如何变化（ ）
A．物体A的高度升高，θ角变大
B．物体A的高度降低，θ角变小
C．物体A的高度升高，θ角不变
D．物体A的高度不变，θ角不变
【变式演练4】一杂技演员表演单车过钢丝，如图所示。在两固定杆等高处各挂一个光滑
的圆环，两圆环上系一段钢丝，钢丝的长度大于两杆间距，不计钢丝重力。演员从一端缓
慢骑单车到另一端。下列说法正确的是（ ）
A．到最低点时，演员受到的合力竖直向上
B．表演用的钢丝可能是光滑的
C．两个圆环对钢丝的拉力，大小始终相等D．两个圆环对钢丝的拉力的合力，方向始终竖直向上
题型四 平衡中的临界、极值问题
【解题指导】1．三力平衡下的极值问题，常用图解法，将力的问题转化为三角形问题求某
一边的最小值.
3. 多力平衡时求极值一般用解析法，由三角函数、二次函数、不等式等求解.
3.若物体受包括弹力、摩擦力在内的四个力平衡，可以把弹力、摩擦力两个力合成一个力，
该力方向固定不变(与弹力夹角正切值为μ)，从而将四力平衡变成三力平衡，再用图解法求
解．
【必备知识】
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出
现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常
见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力F ＝0.
N
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临
界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推
向极端，即极大和极小．
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画
出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用
平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．
【例1】（2024·河北唐山·一模）如图所示，用一根轻质细绳将重为10N的画框对称悬挂在
竖直墙上，画框上两个挂钉间的距离为0.5m。若绳能承受的最大拉力为10N，要使绳不会
被拉断，绳子的最短长度为（ ）
A． B．0.5m C． D．1.0m【例2】一个箱子在平行于斜面的轻绳拉动下，沿倾角为30°的固定斜面匀速上滑。已知箱
子与斜面间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小为 。若轻绳能承受的最大拉力为
，则箱子的质量最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式演练1】港珠澳大桥的人工岛创新围岛填土在世界范围内首次提出深插式钢圆筒快
速成岛技术，1600t起重船“振浮8号”吊起巨型钢筒直接固定在海床上插入到海底，然后
在中间填土形成人工岛，如图甲，每个圆钢筒的直径为22.5m，高度为55m，质量为
550t，由若干根特制起吊绳通过液压机械抓手连接钢筒。某次试吊将其吊在空中，每根绳
与竖直方向的夹角为 ，如图乙所示，每根绳所能承受的最大拉力为 ，则至少
需要多少根绳子才能成功起吊（ ， ）（ ）
A．7根 B．8根 C．9根 D．10根
【变式演练2】如图所示，不可伸长的轻绳AO和BO共同吊起质量为m的重物，AO与BO
垂直，BO与竖直方向的夹角为θ，OC连接重物，已知OA、OB、OC能承受的最大拉力相
同，则下列说法中正确的是（ ）
A．AO所受的拉力大小为
B．AO所受的拉力大小为
C．BO所受的拉力大小为
D．若逐渐增加C端所挂重物的质量，一定是绳AO先断【变式演练3】小明在观察如图所示的沙子堆积时，发现沙子会自然堆积成圆锥体，且在
不断堆积过程中，材料相同的沙子自然堆积成的圆锥体的最大底角都是相同的。小明测出
这堆沙子的底部周长为31.4m，利用物理知识测得沙子之间的动摩擦因数为0.5，估算出这
堆沙子的体积最接近（圆锥体的体积公式 ，其中S是圆锥体的底面积，h是圆锥体
的高， 取3.14）（ ）
A． B． C． D．
【变式演练4】（2024·重庆·二模）如图所示，两根半圆柱体静止于粗糙程度处处相同的水
平地面上，紧靠但无相互作用力。现将一根圆柱体轻放在这两根半圆柱体上，三者均静止。
已知圆柱体和两半圆柱体的材料、长度、半径、密度均相同，不考虑它们之间的摩擦，则
半圆柱体与水平地面间的动摩擦因数至少为（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（ ）
A． B． C． D．
【变式演练5】扩张机的原理如图所示，A、B、C为活动铰链，在A处作用一水平力 ，
滑块D就能在比 大得多的压力下向上顶起物体，已知滑块D与左壁接触面间的动摩擦因
数为 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若要扩张机能够顶起质量为 的物体，并使其上
升，必须满足的条件为（ ）
A． B．
C． D．
【变式演练6】质量为M的木楔倾角为θ（θ<45°），在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。当用与木楔斜面成α角的力F拉木块时，
木块匀速上滑，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止，木块与木楔间的动摩擦因数
为μ，重力加速度为g）。下列结论正确的是（ ）
A．当α＝0时，F有最小值，最小值为mgsinθ+μmgcosθ
B．当α＝0时，F有最小值，最小值为mgsinθ
C．当α＝θ时，F有最小值，最小值为mgsinθ+μmgcosθ
D．当α＝θ时，F有最小值，最小值为mgsin2θ
【变式演练7】如图，斜面固定，倾角为30°，斜面底端固定一挡板．轻弹簧劲度系数为
1000N/m，原长10cm，一端与挡板相连，另一端放上重为100N的物体后压缩到8cm，已
知物体与斜面间最大静摩擦力为35N。现在用力F沿斜面向上拉物块，物块保持静止，则
力F的取值可能为（ ）
A．60N B．70N C．80N D．90N
