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专题10 摩擦力做功及变力做功模型
一．摩擦力做功的特点
1．不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力，都可以是动力也可以是阻力，也可能与位移方向垂直，所以不论
是静摩擦力，还是滑动摩擦力，既可能对物体做正功，也可能对物体做负功，还可能不对物体做功。
2．一对相互作用的静摩擦力等大反向且物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W＝Flcos α
可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为零。
3．一对相互作用的滑动摩擦力等大反向但物体之间相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W＝
Flcos α 可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零，且两力做功的总和一定为负值。
二．斜面摩擦力做功
如图所示，同一物体分别沿斜面AO、BO、CO 自斜面顶点由静止开始下滑，该物体与各斜面间的动摩擦
因数均相同，在滑行过程中克服摩擦力做功分别为WA、WB和WC，
设斜面的倾角为θ，O、D 间的水平距离为x，则物体下滑过程中克服摩擦力做功为W＝＝μmgx，与斜面的
倾角大小无关。
三．变力做功模型
【模型一】．将变力做功转化为恒力做功
方法一：平均值法
当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，可先求出力在这段位移内的平均值＝，再由W＝lcos α
计算功，如弹簧弹力做的功。
方法二：微元法
功的公式只能计算恒力做功，若一个力的大小不变，只改变方向时，可将运动过程分成很多小段，每一小
段内F 可看成恒力，求出每一小段内力F 做的功，然后累加起来得到整个过程中变力所做的功。
例如物体在水平面上做曲线运动，所受摩擦力大小为μmg，路程为s，采用微元法求摩擦力做的功：
1
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W1＝－μmgΔs1
W2＝－μmgΔs2
W3＝－μmgΔs3
…
W＝W1＋W2＋W3＋…＝－μmg(Δs1＋Δs2＋Δs3＋…)＝－μmgs
方法三：转换研究对象法
如图所示，人站在水平地面上以恒力拉绳，绳对小车的拉力是个变力(大小不变，方向改变)，但人拉绳的
力是恒力，于是转换研究对象，用人对绳子所做的功来求绳子对小车所做的功。
方法四：用W＝Pt 求功
当牵引力为变力，且发动机的功率一定时，由功率的定义式P＝，可得W＝Pt。
【模型二】用图像法求功
若已知F－x 图像和P－t 图像，则图像中图线与x 轴或t 轴所围的面积表示功。如图甲所示，在位移x0内力
F 做的功W＝x0。在图乙中，0～t0时间内做功W＝·t0。
【模型三】应用动能定理变力做的功
1.在某些问题中，由于力F 的大小、方向变化，不能用W＝Flcos α 求出变力做的功，此时可用动能定理W
＝ΔEk求功。
2．用动能定理求解变力做功的方法
(1)分析物体的受力情况，确定做功过程中的哪些力是恒力，哪些力是变力。如果是恒力，写出恒力做功的
表达式；如果是变力，用相应功的符号表示出变力做的功。
(2)分析物体的运动过程，确定其初、末状态的动能。
(3)运用动能定理列式求解。
2
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【模型演练1】如图所示，三个固定的斜面底边长度都相等，斜面倾角分别为30°、45°、60°，斜面的表面
情况都一样。完全相同的物体（可视为质点）A、B、C 分别从三斜面的顶部滑到底部的过程中（ ）
A．三者所受摩擦力
B．三者克服摩擦力所做的功
C．三者克服摩擦力所做的功
D．三者克服摩擦力所做的功
【模型演练2】（2024·山西吕梁·高一校联考阶段练习）某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F 与深度
h 的关系为
（k，F0已知），石头沿竖直方向做直线运动，当
时，石头陷入淤泥过程中克
服阻力做的功为（ ）
A．
B．
C．
D．
【模型演练3】（2024·河南·校联考一模）水平桌面上，长6m 的轻绳一端固定于O 点，如图所示（俯视
图），另一端系一质量m=2.0kg 的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F=10N，F 拉着物体从M
3
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点运动到N 点，F 的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空
气阻力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．拉力F 对小球做的功为16π（J）
B．拉力F 对小球做的功为8π（J）
C．小球克服摩擦力做的功为16π（J）
D．小球克服摩擦力做的功为4π（J）
【模型演练4】（2023 下·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）木匠师傅用铁锤把钉子砸进木梁，每次
砸钉的动作完全相同。木匠第一次砸钉就将钉子砸进了一半。已知钉子所受阻力与其进入木梁中的深度成
正比，铁锤砸钉的能量全部用来克服钉子前进中的阻力做功，则（ ）
A．木匠要把一枚钉子全部砸进木梁，他共需砸锤3 次
B．木匠要把一枚钉子全部砸进木梁，他共需砸锤4 次
C．打击第n 次与打击第一次钉子进入木梁的深度之比为
D．打击第n 次与打击第一次钉子进入木梁的深度之比为
【模型演练5】（2023 上·北京西城·高三北京四中校考期中）如图所示，一质量为m 的小球，用长为l 的轻
绳悬挂于O 点的正下方P 点。已知重力加速度大小为g。现对小球施加水平力将小球拉到Q 点，此时绳子
偏离竖直方向夹角为θ，则下列说法正确的是（ ）
A．若小球从P 点缓慢地移动到Q 点，则水平拉力F 做功为Flsinθ
4
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B．若小球从P 点缓慢地移动到Q 点，则水平拉力F 做功为mgl(1
cos
﹣
θ)
C．若水平恒力F=mg，则从P 点运动到Q 点，则水平拉力F 做功为mglsinθ
D．若水平恒力F=mg，
，则从P 点运动到Q 点，小球速度先增大后减小
一、单选题
1．（2024·甘肃·高二统考学业考试）以初速度
竖直向上抛出一个质量为m 的小球，上升最大高度是h。
如果空气阻力f 大小恒定，则从抛出到落回出发点的过程中，小球克服空气阻力做的功为（ ）
A．0
B．
C．
D．
2．（2023 下·湖南郴州·高一统考期末）某工地建房时用小车将细沙从一楼提到七楼（高度为20m），小车
和细沙总质量为10kg。由于小车漏沙，在被匀加速提升至七楼的过程中，小车和细沙的总质量随着上升距
离的变化关系如图所示。小车可以看成质点，已知小车加速度为2m/s2，不计空气阻力，重力加速度g 取
10m/s2。由图像可知，在提升的整个过程中，拉力对小车做的功为（ ）
A．2160J
B．1800J
C．2400J
D．180J
3．（2023 下·辽宁·高一统考期中）如图所示，质量均为m 的A、B 两小物块用轻质弹簧相连，A 放置在光
滑水平地面上，一轻绳通过光滑的定滑轮与物块B 相连（连接物块B 的绳子恰好伸直但不绷紧），弹簧的
劲度系数k。现用一水平向右的拉力F 作用在轻绳上，使物块B 缓慢向上运动，已知重力加速度为g，当A
物块恰好离开地面时，F 所做功为（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
4．（2023 下·江苏南通·高一江苏省如皋中学校考阶段练习）野山鼠擅长打洞，假设山鼠打洞时受到的阻力
与洞的深度
成正比，即
（
为比例常数），则野山鼠打到洞深d 的过程中，需要克服阻力做的
功为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·广东广州·高一广东实验中学校联考期末）一辆质量为m 的汽车，从静止开始运动，其阻力为车
重的
倍，其牵引力的大小
，其中k 为比例系数，x 为车前进的距离，f 为车所受的阻力，则当
车前进的距离为s 时牵引力做的功为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·广东佛山·高一佛山一中校考期中）如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平
位置后放手。设在摆球从A 点运动到B 点的过程中，空气阻力f 的大小不变，则下列说法正确的是
（ ）
6
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A．重力做功为
B．悬线拉力做负功
C．空气阻力做功为
D．空气阻力做功为
7．（2023·海南·校联考一模）如图所示，用一个大小不变的力
拉着滑块（视为质点）使其沿半径为
的
水平圆轨道匀速运动半周，若力
的方向始终与其在圆轨道上作用点的切线成
夹角，则力
做的功为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023 下·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图所示，在西部的偏远山区，人们至今
还通过“驴拉磨”的方式把小麦颗粒加工成粗面来食用。假设驴拉磨的平均拉力大小
，驴做圆周
运动的等效半径
和，则驴拉磨转动一周所做的功约为（ ）
A．
B．
C．
D．0
9．（2023 下·湖南衡阳·高二校考期末）如图甲所示，质量为4 kg 的物体在水平推力作用下开始运动，推
力大小F 随位移大小x 变化的图像如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数
取
，则该物
体在0~4 m 的运动过程中（ ）
7
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A．摩擦力的功率一直增大
B．推力的功率一直增大
C．摩擦力做功为80 J
D．推力做功为200 J
10．（2023 下·河南驻马店·高一校考阶段练习）如图1 所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，
在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动，拉力F 的大小随物块所在位置坐标x 的变化关系如图2 所示，图
线为半圆。则小物块运动到x0处时F 所做的总功为（ ）
A．0
B．
C．
D．
11．（2023 下·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）铁锹、斧头、锄头是常用农具，其
长柄多为木制。为其安装木制手柄的过程基本一致，以斧头为例对该过程进行简化：距地面一定高度，金
属头在上，用手抓住手柄向下快速砸向地面，手柄碰到地面立即停止运动，反复4 次，金属头“砸入”手
柄的总深度为d。已知金属头所受阻力与其进入手柄的深度成正比，每次动作完全相同，全程认为斧头只
有竖直方向运动。则第一次金属头“砸入”手柄的深度为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2024·高一课时练习）轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m=0.5 kg 的物块相连，如图甲所示。
弹簧处于原长状态，物块静止，物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.2。以物块所在处为原点，水平向右为
正方向建立x 轴，现对物块施加水平向右的外力F，F 随x 轴坐标变化的情况如图乙所示。物块运动至
x=0.4 m 处时速度为零，则此过程物块受到的力F 和摩擦力做功之和为（g 取10 m/s2）（ ）
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A．3.1J
B．3.5J
C．1.8J
D．2.0J
13．（2024·江苏南通·高二启东中学校考期末）大力发展地铁，可以大大减少燃油公交车的使用，减少汽
车尾气排放。无锡已经开通地铁1 号线和2 号线，其中1 号线起点堪桥站，终点长广溪站，全长
29.42km。若一列地铁列车从甲站由静止启动后做直线运动，先匀加速运动20s，达到最高速度72km/h，再
匀速运动80s，接着匀减速运动15s 到达乙站停住。设列车在匀加速运动阶段牵引力为1×106N，匀速阶段
牵引力的功率为6×103kW，忽略匀减速运动阶段牵引力所做的功。如果燃油公交车运行中做的功与地铁列
车从甲站到乙站牵引力做的功相同，则燃油公交车排放气体污染物的质量是（燃油公交车每做1 焦耳功排
放气体污染物3×10-6g）（ ）
A．2.00kg
B．2.02kg
C．2.04kg
D．2.06kg
14．（2024·福建泉州·高一福建省南安国光中学阶段练习）某同学用
的力将质量为
的足球踢出，
足球以
的初速度沿水平草坪滚出
后静止，则足球在水平草坪上滚动过程中克服阻力做的功是
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2024 上·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）如图所示，水平地面上O 点的左侧表面光滑，
右侧粗糙，长度为L 质量为m 的匀质滑块静置于地面，滑块的右端在O 处。某时刻给滑块一个向右的冲量
I 的作用，滑块向右运动了
后速度变为零，已知弹簧的弹性势能公式为
，k 为弹簧的劲度系数，
x 为弹簧的形变量，以下关于滑块与右侧表面间的动摩擦因数
正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
16．（2024 上·河南周口·高三统考阶段练习）一斜坡倾角为
，一质量为m 的重物与斜坡间的动摩擦因
数为0.25。把该重物沿斜面从坡底缓慢拉到坡顶，当拉力方向沿斜坡向上时，拉力做的功为W。若拉力可
变，则把该重物从坡底缓慢拉到坡顶，拉力所做功的最小值是（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
）（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2023 下·云南保山·高一校考阶段练习）如图所示，质量为m 的小球与长度为L 的细线连接，另一端
系于O 点，现将小球拉至水平方向，小球由静止开始释放，已知小球到达最低点时对绳子的拉力大小为
2.5mg，则小球由释放至摆到最低点过程中克服空气阻力做功大小（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
18．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图所示，乌鲁木齐机场在传输旅客行李的过程中，行李从一个斜
面滑下。为防止行李下滑时速度过大，斜面上设置了一段“减速带”（行李与“减速带”间动摩擦因数较
大）。小梁的行李箱质量为m、长度为L，“减速带”的长度为2L，该行李箱与“减速带”间的动摩擦因
数为
，斜面与水平面间的夹角为
，重力加速度的大小为g，行李箱滑过“减速带”的过程中，不会发
生转动且箱内物品相对行李箱静止。设该行李箱质量分布均匀和不均匀的两种情况下滑过“减速带”的过
程中，克服“减速带”的摩擦力做的功分别为
和
。则（ ）
10
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A．
一定等于
B．
一定大于
C．
一定等于
D．
可能大于
19．（2024 下·高一课时练习）如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，
并留在木块当中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为
F，则（ ）
A．F 对木块做功为Fl
B．F 对木块做功为F(l＋d)
C．F 对子弹做功为-Fd
D．F 对子弹做功为-F(l＋d)
20．（2024·全国·模拟预测）比亚迪E-SEED 概念车是基于人类未来发展而倾力打造的一款全新型纯电动
汽车，其中“E-SEED”五个英文字母分别代表：电动、运动、体验、环保和装置，蕴含着比亚迪绿色环保
的设计理念。为了获取该款车的有关数据，某次试车过程中，试车员驾驶汽车由静止沿光滑平直公路启动，
并控制汽车功率按图示规律变化。已知汽车的质量为m，额定功率为
，汽车在行驶过程中所受阻力恒为
车重的K 倍，在
时刻汽车刚好获得最大速度。则下列说法正确的是（ ）
11
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A．在t1~t2时间内汽车做匀速直线运动
B．在0~t1时间内汽车平均功率为
C．在0~t2时间内汽车发动机所做的功为
D．在t2时刻汽车的运动速度为
三、解答题
21．（2024·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）民航客机一般都有紧急出口，发生意外情况的
飞机紧急着陆后，打开紧急出口，狭长的气囊会自动充气，形成一个连接出口与地面的斜面，人员可沿斜
面滑行到地上，如图甲所示，图乙是其简化模型．若紧急出口下沿距地面的高度
，气囊所构成的
斜面长度
。质量
的某旅客从斜面顶端由静止开始滑到斜面底端．已知旅客与斜面间的动
摩擦因数
，不计空气阻力及斜面的形变，旅客下滑过程中可视为质点，取重力加速度
。
求：（
）
（1）旅客沿斜面下滑时的加速度大小与滑到斜面底端时的速度大小；
（2）旅客从斜面顶端滑到斜面底端的过程中，斜面对旅客所施加的支持力大小和摩擦力所做的功。
21．（2024·高一课时练习）人在A 点拉着绳通过一个定滑轮匀速吊起质量
的物体，如图所示，
开始时绳与水平方向成
角，当人拉着绳由A 点沿水平方向运动
而到达B 点时，绳与水平方向成
角，求人对绳的拉力做了多少功？（不计摩擦，g 取
）
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22．（2024·高一课时练习）某人利用如图所示的装置,用100 N 的恒力F 作用于不计质量的细绳的一端,将
物体从水平面上的A 点移到B 点。已知α1=30°,α2=37°,h=1.5 m,不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦。求绳的
拉力对物体所做的功（sin 37°=0.6,cos 37°=0.8）。
23．（2023 上·辽宁大连·高三大连长兴岛高级中学校考阶段练习）一物块在一个水平拉力作用下沿粗糙水
平面运动，物块与水平面间的动摩擦因数全程不变，其
图象如图甲所示，水平拉力的
图象如图乙
所示，
，求：
（1）物块与水平面间的动摩擦因数
；
（2）物块运动全过程中水平拉力所做的功W；
（3）物块在
内所受的水平拉力大小
；
（4）物块质量m。
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24．（2023 上·山西大同·高三统考阶段练习）如图1 所示，一质量为0.4kg 的小物体静止在水平台面上，
在水平推力
的作用下从坐标原点
开始沿
轴运动，
与物体坐标
的关系如图2 所示。在
时撤
去力
，同时物体从平台飞出。物体与水平台面间的动摩擦因数为
，重力加速度
取10m/s2，不计空气
阻力。求：
（1）
时，物体的加速度大小
；
（2）从坐标原点到
处，水平推力所做的功
；
（3）物体即将离开平台时力
的功率
。
25．（2023 上·江苏扬州·高三统考阶段练习）一种自动计数的呼拉圈深受人们欢迎，如图甲，腰带外侧带
有轨道，轨道内有一滑轮，滑轮与配重通过轻绳连接，其模型简化如图乙所示，已知配重质量
，绳
长为
，悬挂点到腰带中心的距离为
，水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重在水平面内
做匀速圆周运动。不计一切阻力，绳子与竖直方向夹角
，配重距离地面高度为
，
，求：
（1）细绳的拉力；
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（2）若配重不慎脱落，脱落后平抛的水平距离（结果用根号表示）；
（3）配重从静止开始加速旋转至
的过程中，绳子对配重所做的功。
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