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2024 版新课标高中物理模型与方法
专题03 斜面模型
目录
【模型一】 斜面上物体静摩擦力突变模型....................................................................................................1
【模型二】斜面体静摩擦力有无模型..............................................................................................................5
【模型三】 物体在斜面上自由运动的性质..................................................................................................13
【模型四】斜面模型的衍生模型----“等时圆”模型.....................................................................................20
1.“光滑斜面”模型常用结论................................................................................................................... 20
2.“等时圆”模型及其等时性的证明.......................................................................................................20
【模型五】功能关系中的斜面模型................................................................................................................32
1.物体在斜面上摩擦力做功的特点.........................................................................................................32
2.动能变化量与机械能变化量的区别.....................................................................................................32
【模型一】 斜面上物体静摩擦力突变模型
【模型构建】1.如图所示，一个质量为m 的物体静止在倾角为θ 的斜面上。
1.试分析m 受摩擦力的大小和方向
【解析】：假设斜面光滑，那么物体将在重力和斜面支持力的作用下沿斜面下滑。说明物体有沿斜面向下
运动的趋势，物体一定受到沿斜面向上的静摩擦力作用。由平衡条件易得： f =mg sinθ
2.若斜面上放置的物体沿着斜面匀速下滑时，判断地面对静止斜面有无摩擦力。
【解析】：因地面对斜面的摩擦力只可能在水平方向，只需考查斜面体水平方向合力是否为零即可。斜面
所受各力中在水平方向有分量的只有物体A 对斜面的压力N 和摩擦力f。若设物体A 的质量为m，则N 和f
的水平分量分别为
N x=mg cosθsinθ ，方向向右，f x=mg sinθcosθ ，方向向左。
可见斜面在水平方向所受合力为零。无左右运动的趋势，地面对斜面无摩擦力作用。
3.如图，在固定斜面上的一物块受到一外力F 的作用，F 平行于斜面向上。若要物块在斜面上保持静止，F
的取值应有一定的范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2（F2>0）。
设斜面倾角为θ，斜面对物块的静摩擦力为f。
θ
m
1
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(1) .当
时斜面对物块无静摩擦力
(2) . 当
时物块有相对于斜面向上运动的趋势静摩擦力方向向下平衡方程为：
随着F 的增大静摩擦力增大，当静摩擦力达到最大值时外力F 取最大值F1 时，由平衡条件可得：
F1=f+mgsinθ---------------------(1)；
(3).当
时物块有相对于斜面向下运动的趋势静摩擦力方向向上平衡方程为：
随着F 的增大静摩擦力减小当静摩擦力减小为0 时突变为(2)中的情形，随着F 的减小静摩擦力增大，当静
摩擦力达到最大值时外力F 取最小值F2时，由平衡条件可得：f+F2= mgsinθ------------------------(2)；
联立(1)(2)解得物块与斜面的最大静摩擦力f=( F2-F1)/2.
【模型演练1】(2019·高考全国卷Ⅰ)如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细
绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N.另一端与斜面上的物块M 相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力
缓慢拉动N，直至悬挂N 的细绳与竖直方向成45°.已知M 始终保持静止，则在此过程中( )
A．水平拉力的大小可能保持不变 B．M 所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D．M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
【答案】BD
【解析】 对N 进行受力分析如图所示
因为N 的重力与水平拉力F 的合力和细绳的拉力T 是一对平衡力，从图中可以看出水平拉力的大小逐渐增
大，细绳的拉力也一直增大，A 错误，B 正确；M 的质量与N 的质量的大小关系不确定，设斜面倾角为
θ，若mNg≥mMgsin θ，则M 所受斜面的摩擦力大小会一直增大，若mNg<mMgsin θ，则M 所受斜面的摩擦力
大小可能先减小后增大，D 正确，C 错误．
【模型演练2】（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）如图甲所示，倾角为
的斜面体C 置于水平地面
上，物块B 置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物块A 连接，连接B 的一段细绳与斜面平行，整个
装置处于静止状态。现在B 上再轻放一小物块D，整个系统仍处于静止状态，如图乙所示。则放上D 之后
与没放D 时相比（ ）
2
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A．B 受到C 的摩擦力方向可能会发生改变，地面对C 的摩擦力大小和方向都没改变
B．B 受到C 的摩擦力方向可能会发生改变，地面对C 的摩擦力大小一定变大
C．B 对C 的摩擦力大小一定发生改变，地面对C 的摩擦力大小和方向都没改变
D．B 对C 的摩擦力大小一定发生改变，地面对C 的摩擦力大小一定变大
【答案】A
【详解】CD．甲图，绳的拉力
因为A、B 间质量关系未知，故B、C 间摩擦力方向未知；乙图，绳的拉力
以B 和D 为研究对象，因为A 和BD 总质量间关系未知，故B、C 间摩擦力方向未知，则放上D 之后与没
放D 时相比B 受到C 的摩擦力方向可能会发生改变，故C、D 错误；
AB．甲图，以B、C 整体为研究对象，地面摩擦力向左，大小为
乙图，以B、C 和D 整体为研究对象，地面摩擦力向左，大小为
则地面对C 的摩擦力大小和方向都没改变，故A 正确，B 错误。
故选A。
【模型演练3】（2023·北京丰台·统考一模）如图所示，一个质量为m 的物块，在平行于斜面的拉力F 的
作用下，沿倾角为θ 的斜面匀速上滑，已知物块与斜面间的动摩擦因数为
。下列说法正确的是（ ）
A．拉力F 大小等于
B．物块受到的摩擦力大小为
C．物块受到的摩擦力的方向沿斜面向下
3
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D．物块受到的重力和拉力的合力垂直斜面向下
【答案】C
【详解】ABC．由于物块匀速上滑，摩擦力沿斜面向下，根据平衡条件可知
其中摩擦力的大小为
A、B 错误，C 正确；
D．将重力沿斜面和垂直斜面分解，在沿斜面方向，重力沿斜面分力与拉力的合力与摩擦力等大反向，沿
斜面向上，再与重力垂直斜面分力合成，合力与斜面既不垂直也不平行，D 错误。
故选C。
【模型演练4】（2023·山东德州·高三校考阶段练习）如图所示，质量为
的小球A 和质量为
的物块B
用跨过光滑定滑轮的细线连接，物块B 放在倾角为
的斜面体C 上，刚开始都处于静止状态，现用水
平外力F 将A 小球缓慢拉至细绳与竖直方向夹角
，该过程物块B 和斜面C 始终静止不动，最大静
摩擦力等于滑动摩擦力（已知
，
）。则下列说法正确的是（ ）
A．水平外力F 逐渐减小
B．物块B 和斜面C 之间的摩擦力先减小后增大
C．斜面C 对地面之间压力保持不变
D．物块B 和斜面C 之间的摩擦因数一定小于等于0.5
【答案】B
【详解】A．以小球A 为对象，当绳子与竖直方向成
角时，根据受力平衡可得
，
其中
角从0 逐渐增大到
，可知绳子拉力
逐渐增大，水平外力
逐渐增大，故A 错误；
C．以B、C 为整体，竖直方向根据受力平衡可得
由于绳子拉力
逐渐增大，可知斜面C 对地面之间压力逐渐减小，故C 错误；
4
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B．当绳子与竖直方向夹角
时，绳子拉力最小，可得
此时斜面C 对B 的静摩擦力方向沿斜面向上，大小为
当绳子与竖直方向夹角
时，绳子拉力最大，可得
此时斜面C 对B 的静摩擦力方向沿斜面向下，大小为
当绳子拉力
斜面C 对B 的静摩擦力为零，可知物块B 和斜面C 之间的摩擦力先减小后增大，故B 正确；
D．当绳子与竖直方向夹角
时，绳子拉力最大，斜面C 对B 的静摩擦力最大，则有
又
联立可得
可知物块B 和斜面C 之间的摩擦因数一定大于等于0.5，故D 错误。
故选B。
【模型二】斜面体静摩擦力有无模型
【模型要点】1.质点系牛顿定律
加速度不同时整体法的应用，大多数情况下，当两物体加速度相同时才考虑整体法，加速度不同时，考虑
隔离法。实际上加速度不同时，也可以用整体法，只是此时整体法的含义有所改变。当两个或两个以上物
体以不同形式连接，构成一个系统，且系统内各物体加速度不相同时，牛顿第二定律照样能应用于整体。
若质量为m1，m2，…，mn的物体组成系统，它们的加速度分别为a1，a2，…，an，牛顿第二定律可写为
或
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其意义为系统受的合外力等于系统内的每一个物体受的合外力的矢量和，或某个方向上，系统受的合外力
等于系统内的每一个物体在这个方向上受的合外力的矢量和。
2.自由释放的滑块能在斜面上匀速下滑时，m 与M 之间的动摩擦因数μ＝gtan θ．
3．自由释放的滑块在斜面上：
(1)静止或匀速下滑时，斜面M 对水平地面的静摩擦力为零；
(2)加速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向右；
(3)减速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向左．
4．自由释放的滑块在斜面上匀速下滑时，M 对水平地面的静摩擦力为零，这一过程中再在m 上加上任何
方向的作用力，(在m 停止前)M 对水平地面的静摩擦力依然为零．
【模型演练1】（2023·湖北·模拟预测）如图所示，足够长的斜面体静止在粗糙水平地面上，质量为m 的
物体正以速度
沿斜面向下做匀速直线运动，某时刻若对物体施加一垂直斜面向下的力F 后，下列说法正
确的是（ ）
A．物体仍将沿斜面向下匀速运动
B．物体沿斜面下滑的过程中，斜面体可能运动
C．物体沿斜面下滑的过程中，斜面体受到地面的摩擦力为零
D．物体沿斜面下滑的过程中，斜面体受到地面的摩擦力向左
【答案】C
【详解】设斜面底角为
，初始时刻物体沿斜面向下做匀速直线运动，有
即
当施加一个垂直斜面向下的分力后，物体所受的滑动摩擦力增大，将做减速运动；对斜面，压力的水平分
量为
，摩擦力水平分量为
，由于
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可知斜面体在物体沿斜面下滑的过程中，水平方向的受力始终为0，故在此过程中斜面和地面之间的摩擦
力为0 且斜面体不会运动。
故选C。
【模型演练2】（2023 春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）如图所示，足够长的斜面倾角为
，一质
量为m 的物块恰好能沿斜面匀速下滑。物块在沿斜面匀速下滑过程中，在竖直平面内给物块一任意方向
（α 角任意）的外力F，斜面始终处于静止状态。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力为零
B．当α=90°-θ 时，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面摩擦力向左
C．若F 竖直向下，则物体会加速下滑
D．若F 拉着物块沿斜面匀速上滑，则F 的最小值为mgsinθ
【答案】A
【详解】AB．根据题意可知，未加
时，物块匀速下滑，受力平衡，物块的受到重力、支持力和摩擦力
的作用，由平衡条件得
解得物块与斜面间的动摩擦因数为
物块匀速下滑过程中，整体水平方向受力平衡，则地面对斜面的摩擦力为零；若对物块施加一个沿斜面方
向的力，物块下滑过程中对斜面的作用力没有变，斜面受力情况不变，则地面对斜面的摩擦力仍为零；若
对物体施加一个垂直于斜面方向的力
，物块下滑过程中，对斜面的压力增加
、摩擦力增加
，根据
几何关系可知
故此时物块对斜面的作用力方向仍向下，地面对斜面的摩擦力为零；在竖直平面内给物块一任意方向（
角任意）的外力
，此力
可以分解为垂直于斜面方向和沿斜面方向，而施加沿斜面方向的力、垂直于斜
面方向的力时，地面对斜面的摩擦力均为零，所以无论对物块施加什么方向的力，在停止运动前，地面对
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斜面的摩擦力均为零，A 正确，B 错误；
C．若F 竖直向下，物块受到的摩擦力增加了
，沿斜面向下的力增加了
，由于
，
故
物块将沿斜面匀速下滑，C 错误；
D．若外力
拉着物块沿斜面匀速上滑，设力
与斜面的夹角为
，根据平衡条件可得
解得
可知，
的最小值为
D 错误。
故选A。
【模型演练3】（2023 春·上海长宁·高三专题练习）如图所示，斜面位于光滑的水平面上，放在斜面上的
物块以初速度
沿斜面匀速下滑。若在下滑过程中再对物块施加一竖直向下的恒力
，则（ ）
A．物块仍沿斜面匀速下滑
B．物块将沿斜面加速下滑
C．物块将沿斜面减速下滑
D．斜面将沿水平面向右运动
【答案】A
【详解】ABC．设物块质量为m，斜面倾角为
，初始时根据平衡条件有
所以可得施加F 后仍有
即物块仍沿斜面匀速下滑，A 正确，BC 错误；
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D．受力分析可得物块对斜面的作用力始终竖直向下，所以斜面仍静止在光滑的水平面上，D 错误。
故选A。
【模型演练4】．（2021·湖南省长郡中学师大附中长沙一中联合体高三上学期12 月月考）如图所示，斜劈
A 静止放置在水平地面上。质量为
的物体B 以一定的初速度
沿斜面减速下滑。现突然对B 施加一水平
向左的力
，斜劈A 始终静止，则对B 施加力
后，下列说法中正确的是（ ）
A. 物体B 的加速度变大 B. 地面対A 的摩擦力变大，方向水平向左
C. 地面对A 的摩擦力减小，方向水平向左 D. 地面对A 无摩擦力
【答案】AB
【解析】
A．对物块B，没有施加水平恒力F 之前，沿斜面根据牛顿第二定律有
垂直于斜面方向有
施加水平恒力F 之后，沿斜面根据牛顿第二定律有
垂直于斜面方向有
联立解得
故A 正确；BCD．将A、B 视为整体研究对象，对整体，在没有水平拉力F 之前，整体在水平方向根据牛
顿第二定律有
施加水平拉力F 后，整体在水平方向根据牛顿第二定律有
可知
即地面对A 的摩擦力增大，故B 正确，CD 错误。故选AB。
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【模型演练5】（2023·全国·模拟预测）如图所示，质量为
，倾角
的粗糙斜面置于水平面上，质
量为
的物块在水平向右的推力
作用下，沿斜面向上匀速运动，物块上滑过程中斜面体始终静止。下列
结论正确的是（ ）
A．物块一定不受摩擦力作用
B．由于不知道
的大小，所以物块可能受到沿斜面向上的摩擦力
C．水平面对斜面体的摩擦力大小为
D．水平面对斜面体的支持力大小为
【答案】C
【详解】AB．质量为
的物块在水平向右的推力
作用下，沿斜面向上匀速运动，若物块受到摩擦力作
用，则摩擦力大小一定沿斜面向下；若满足
则物块刚好不受摩擦力作用；故AB 错误；
CD．对斜面和物体构成的整体进行受力分析，受重力、推力、地面对斜面的支持力和地面对斜面的摩擦力，
根据平衡条件可得，竖直方向有
水平方向有
故C 正确，D 错误。
故选C。
【模型演练6】（2023·江西九江·统考三模）如图甲所示，表面粗糙程度不同的三个物块a、b、c 质量均为
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m，放在三个完全相同的斜面体上，斜面体质量为M 底部倾角为θ。物块a、b、c 以相同初速度v0下滑，
其v-t 图像如图乙所示，斜面体始终保持静止。a、b、c 与斜面之间的动摩擦因数分别为μ、μ、μ，地面对
斜面体的支持力分别为FNa、FNb、FNc，地面对斜面体的摩擦力分别为f、f、f，则（ ）
A．
，
且方向水平向左
B．
，f=0
C．
，
且方向水平向左
D．μ>μ>μ
【答案】A
【详解】D．由图可知，a 沿斜面匀加速下滑，b 沿斜面匀速下滑，c 沿斜面匀减速下滑，则
所以
故D 错误；
A．对a 和斜面整体分析，物块a 有沿斜面向下的加速度，物块处于失重状态，则有
地面对斜面体的摩擦力的方向水平向左，故A 正确；
B．对b 和斜面整体分析，物块b 沿斜面匀速下滑，加速度为零，则有
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故B 错误；
C．对c 和斜面整体分析，物块c 有沿斜面向上的加速度，物块处于超重状态，则有
地面对斜面体的摩擦力的方向水平向右，故C 错误。
故选A。
【模型演练7】（2023 春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）如图，斜面体放置在水平地面上，
粗糙的小物块放在斜面上。甲图中给小物块施加一个沿斜面向上的力
，使它沿斜面向上匀速运动；乙图
中给小物块施加一水平向右的力
，小物块静止在斜面上。甲、乙图中斜面体始终保持静止。下列判断正
确的是（ ）
A．
增大，斜面对小物块的摩擦力一定增大
B．
增大，地面对斜面体的摩擦力不变
C．
增大，斜面对物块的摩擦力一定增大
D．
增大，物块最终一定能沿斜面向上滑动
【答案】B
【详解】A．小物块受F1、重力、斜面对小物块的支持力和摩擦力，则有
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增大，斜面给物块的弹力摩擦力不变，故A 错误；
B．由相互作用的关系可知，F1增大时，物块给斜面的弹力摩擦力不变，所以斜面的受力情况不变，则地
面给斜面体的弹力与摩擦力不变，故B 正确；
C．物块静止在斜面上，且斜面体始终保持静止，则小物块受F2、重力、斜面对小物块的支持力，由平衡
关系可知斜面对小物块的摩擦力大小为
如果
增大，斜面给物块的摩擦力减小，如果
增大，斜面给物块的摩擦力增大，故C 错误；
D．如果物块沿斜面向上匀速滑动，则有
可得
F2非常大时，可忽略重力，则可得
则当
无论
多大，物块相对斜面都是静止的，所以
一直增大时，物块不一定能沿斜面向上滑动，故D 错误。
故选B。
【模型三】 物体在斜面上自由运动的性质
斜面模型是高中物理中最常见的模型之一，斜面问题千变万化，斜面既可能光滑，也可能粗糙；既可能固
定，也可能运动，运动又分匀速和变速；斜面上的物体既可以左右相连，也可以上下叠加。物体之间可以
细绳相连，也可以弹簧相连。求解斜面问题，能否做好斜面上物体的受力分析，尤其是斜面对物体的作用
13
θ
m
g
f
FN
y
x
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力（弹力和摩擦力）是解决问题的关键。
对沿粗糙斜面自由下滑的物体做受力分析，物体受重力
、支持力
、动摩擦力
，由于支持力
F N=mg cosθ ，则动摩擦力f =μF N=μ mg cosθ ，而重力平行斜面向下的分力为mg sinθ ，所以当
mg sinθ=μmg cosθ 时，物体沿斜面匀速下滑，由此得sinθ=μcosθ ，亦即μ=tanθ 。
1.所以物体在斜面上自由运动的性质只取决于摩擦系数和斜面倾角的关系。
当μ<tanθ 时，物体沿斜面加速速下滑，加速度a=g(sinθ−μcosθ)；
当μ=tanθ 时，物体沿斜面匀速下滑，或恰好静止；
当μ>tanθ 时，物体若无初速度将静止于斜面上；
2.对于光滑斜面无论物体下滑还是上滑加速度大小均为：
3.对于粗糙斜面物体下滑过程加速度大小为：a=g(sinθ−μcosθ)
上冲过程加速度大小为：a=g(sinθ+μcosθ)
【模型演练1】（2023·湖南·校联考模拟预测）当今物流业相当发达，货车货运功不可没。如图所示，司机
为方便卸货，在距水平地面的高度为
的车厢底部与地面之间用长度为
的木板搭建了一个斜面。若
货物恰好能沿木板匀速下滑，则货物与木板间的动摩擦因数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题意，设货物的质量为
，木板的倾角为
，货物与木板间的动摩擦因数为
，对货物，根
据物体的平衡条件有
又有
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解得
故选A。
【模型演练2】．（2023·湖南株洲·统考三模）如图是码头利用可升降传动装置在水平地面由高处向下堆砌
而成的沙堆，该公司为了得知沙堆的具体信息，测出沙堆的周长为s，查资料测得砂砾间的动摩擦因数为
μ，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．地面对沙堆的摩擦力不为零
B．由已知条件可估算沙堆的高度
C．由已知条件可估算沙堆的质量
D．若相同质量的沙堆靠墙堆放，则占地面积会增大
【答案】B
【详解】A．当砂砾自然成堆时，形成了圆锥体形状．地面对沙堆的摩擦力为零，故A 错误；
B．沙堆表面上的沙粒受重力、支持力、摩擦力的作用静止，则沙堆倾角满足
，若已知
与则
由几何关系可估算出沙堆的高度，故B 正确；
C．由于沙堆密度未知故不能算出其质量，故C 错误；
D．靠墙堆放沙堆只能形成半个圆锥，而圆锥表面倾角不变，故高度变高，底面积会减小，D 错误。
故选B。
【模型演练2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示为某幼儿园的一个滑梯，一名质量为m 的儿童正
沿滑梯匀速下滑。若滑梯与水平方向的夹角为
，儿童与滑梯之间的动摩擦因数为
，则（ ）
A．儿童受到滑梯的支持力为
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B．儿童受到的支持力为
，这个力就是她对滑梯的压力
C．儿童受到沿滑梯向下的摩擦力，所以她下滑
D．儿童受到滑梯的作用力的大小等于她受到的重力大小
【答案】D
【详解】A．儿童做匀速运动，对儿童进行受力分析，在垂直于滑梯方向，儿童受到滑梯的支持力与其重
力在此方向上的分力等大反向，大小为
，故A 错误。
B．儿童对滑梯的压力与儿童受到滑梯的支持力是一对作用力与反作用力，故B 错误。
C．儿童相对于滑梯向下滑动，儿童受到滑梯的摩擦力方向与儿童相对滑梯的运动方向相反，方向沿滑梯
向上，故C 错误。
D．儿童做匀速运动，其所受合外力为零，所以他受到的重力与滑梯对他的总的作用力等大反向，故D 正
确。
故选D。
【模型演练4】(多选)如图(a)，一物块在t＝0 时刻滑上一固定斜面，其运动的v t 图线如图(b)所示．若重力
加速度及图中的v0、v1、t1均为已知量，则可求出
( )
A．斜面的倾角 B．物块的质量
C．物块与斜面间的动摩擦因数 D．物块沿斜面向上滑行的最大高度
【答案】ACD
【解析】：根据牛顿第二定律，向上滑行过程＝gsin θ＋μgcos θ，向下滑行过程＝gsin θ－μgcos θ，整理
可得gsin θ＝，从而可计算出斜面的倾斜角度θ 以及动摩擦因数，选项A、C 对．小球滑上斜面的初速度
v0已知，向上滑行过程为匀变速直线运动，末速度0，那么平均速度即，所以沿斜面向上滑行的最远距离s
＝t1，根据斜面的倾斜角度可计算出向上滑行的最大高度ssin θ＝t1×＝v0，选项D 对．仅根据速度—时间图
象，无法求出物块质量，选项B 错．
【模型演练5】（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）某同学设计了一种测物块与斜面间动摩擦
因数的方法，如图所示，调整斜面的倾角为
，让物块从斜面底端以一定的初速度冲上斜面，物块到达最
高点后又滑回原处。测出物块下滑的时间是上滑时间的k 倍，则物块与斜面间的动摩擦因数为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】物块上滑过程有
物块下滑过程有
根据牛顿第二定律有
又因为
，解得
故选B。
【模型演练6】一物块沿倾角为θ 的固定斜面底端上滑，到达最高点后又返回至斜面底端。已知物块下滑
的时间是上滑时间的3 倍，则物块与斜面间的动摩擦因数为 ( )
A．tanθ
B．tanθ
C．tanθ
D．tanθ
【答案】C
【解析】向上运动的末速度等于0，其逆过程为初速度为0 的匀加速直线运动，设加速度的大小为a1，则：
x＝a1t，设向下运动的加速度的大小为a2，则向下运动的过程中：x＝a2t，由题知物块下滑的时间是上滑时
间的3 倍，即t2＝3t1，联立可得：a1＝9a2，对物块进行受力分析，可知向上运动的过程中：ma1＝mgsinθ＋
μmgcosθ，向下运动的过程中：ma2＝mgsinθ－μmgcosθ，联立得μ＝tanθ，故C 正确，ABD 错误，故选C。
【模型演练7】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考二模）如图甲所示，倾角为
的斜面固定在水平地面
上，一木块以一定的初速度从斜面底端开始上滑。若斜面足够长，取斜面底端为重力势能的零势点，已知
上滑过程中木块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图乙所示，则下列说法正确的是（ ）
17
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A．木块上滑过程中，重力势能增加了
B．木块受到的摩擦力大小为
C．木块的重力大小为
D．木块与斜面间的动摩擦因数为
【答案】BD
【详解】根据题意，由图乙可知，木块初状态的机械能全部为动能，大小为
，末状态动能为0，机械能
全部为重力势能，大小为
AC．由上述分析可知，木块的重力势能增加了
，由功能关系可知，克服重力做功为
，设木块的重
力大小为
，由公式
可得
解得
故AC 错误；
BD．根据题意可知，除重力做功外，只有摩擦力做功，设摩擦力大小为
，由功能关系有
18
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解得
又有
解得
故BD 正确；
故选BD。
【模型演练8】．如图a 所示，一可视为质点的物块在t＝0 时刻以v0＝8 m/s 的速度滑上一固定斜面，斜面
足够长，斜面的倾角θ＝30°，物块与斜面间的动摩擦因数μ＝。经过一段时间后物块返回斜面底端，取重
力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)物块向上和向下滑动过程中，物块的加速度大小；
(2)物块从斜面底端出发到再次返回斜面底端所用的总时间；
(3)求出物块再次返回斜面底端的速度大小，并在图b 中画出物块在斜面上运动的整个过程中的速度—时间
图象，取沿斜面向上为正方向。
【答案】(1)8 m/s2 2 m/s2 (2)3 s(3)4 m/s 图象见解析
【解析】(1)物块上滑过程，由牛顿第二定律有：
mgsinθ＋μmgcosθ＝ma1，
则a1＝gsinθ＋μgcosθ＝8 m/s2，
物块下滑过程，由牛顿第二定律有：
mgsinθ－μmgcosθ＝ma2，
则a2＝gsinθ－μgcosθ＝2 m/s2。
(2)物块上滑过程：t1＝＝1 s
s1＝t1＝4 m
19
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物块下滑过程：s2＝s1＝a2t
得t2＝2 s
故总时间t＝t1＋t2＝3 s。
(3)物块下滑过程：v2＝a2t2＝4 m/s。物块在斜面上运动的整个过程中的vt 图象如图所示。
【模型四】斜面模型的衍生模型----“等时圆”模型
1.“光滑斜面”模型常用结论
如图所示，质量为m 的物体从倾角为θ、高度为h 的光滑斜面顶端由静止下滑，则有如下规律：
(1)物体从斜面顶端滑到底端所用的时间t，由斜面的倾角θ 与斜面的高度h 共同决定，与物体的质量无关。
关系式为t＝ 。
(2)物体滑到斜面底端时的速度大小只由斜面的高度h 决定，与斜面的倾角θ、斜面的长度、物体的质量无
关。
关系式为v＝。
2.“等时圆”模型及其等时性的证明
1．三种模型(如图)
2．等时性的证明
20
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设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d(如图)。根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速直
线运动，加速度为a＝gsin α，位移为x＝dsin α，所以运动时间为t0＝＝＝。
即沿同一起点(圆的最高点)或终点(圆的最低点)的各条光滑弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短
无关。
【模型演练1】(2023 年重庆模拟)春秋末年，齐国著作《考工记：轮人》篇中记载：“轮人为盖”，“上
欲尊而宇欲卑，上尊而宇卑，则吐水，疾而霤远。”意思是车盖中央高而四周低，形成一个斜面，泄水很
快，而且水流的更远。如图甲所示是古代马车示意图，车盖呈伞状，支撑轴竖直向上，伞底圆面水平。过
支撑轴的截面图简化为如图乙所示的等腰三角形，底面半径恒定为r，底角为
。
取不同的值时，自车盖
顶端A 由静止下滑的水滴（可视为质点）沿斜面运动的时间不同。已知重力加速度为g，不计水滴与伞面
间的摩擦力和空气阻力。
（1）倾角
为多大时，水滴下滑时间最短，并求出最短时间
；
（2）满足（1）问条件，在车盖底面下方
的水平面内有一长为L＝r 的水平横梁（可看成细杆），横
梁位于支撑轴正前方，其俯视图如图丙所示，横梁的垂直平分线过支撑轴。现保持车辆静止，大量水滴沿
车盖顶端由静止向各方向滑下，整个横梁恰好“被保护”不被淋湿。求水平面内横梁中点到支撑轴的距离
d。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）水滴沿伞面下滑过程中有
21
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①
②
由①②得
又
，则当
时水滴滑落伞面时间最短，解得
（2）水滴沿伞面下落过程有
③
水滴离开伞后做斜下抛运动，且有：水平和竖直两个分速度
④
竖直方向
⑤
水平方向
⑥
由题意几何关系可知
⑦
由③~⑦式得
【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，1、2、3、4 四小球均由静止开始沿着光滑的斜面
从顶端运动到底端，其运动时间分别为
，已知竖直固定的圆环的半径为r，O 为圆心，固定在
水平面上的斜面水平底端的长度为
，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
22
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A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】1 号小球的加速度为
位移为
运动时间为
2 号小球的加速度为
位移为
运动时间为
3 号小球的加速度为
位移为
23
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运动时间为
4 号小球的加速度为
位移为
运动时间为
则
故选BC。
【模型演练3】．（2023·新疆·统考二模）如图所示，两条光滑的轨道下端固定在P 点，上端分别固定在竖
直墙面上的A、B 两点，A、B 离地面的高度分别为
。现使两个小滑块从轨道上端同时由静止开始释
放，由A、B 滑到P 的时间均为t，
间的距离为L，下列说法正确的是（ ）
24
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A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】AB．设斜面与水平方向夹角为θ，在沿斜面方向上，根据牛顿第二定律得，物体运动的加速度
根据几何关系可知，物体发生的位移为
物体的初速度为零，有
解得
设AP、BP 与水平方向的夹角分别为θ1、θ2，有A、B 滑到P 的时间均为t，可得
可得
整理可得
根据
则
25
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A 正确，B 错误；
CD．根据几何关系
则
根据
可得
可得
C 正确，D 错误。
故选AC。
【模型演练4】（2023·湖南岳阳·高三阶段练习）如图所示，AC、BC 为位于竖直平面内的两根光滑细杆，
A、B、C 三点恰好位于同一圆周上，C 为该圆周的最低点，a、b 为套在细杆上的两个小环．两小环同时分
别从A、B 点由静止下滑，则（ ）
A．a、b 环同时到达C 点
B．a 环先到达C 点
C．b 环先到达C 点
D．a 到达C 点的速度比b 到达C 点的速度大
【答案】AD
26
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【详解】ABC．做出辅助线，如图所示
小环在杆上做初速度为0 的匀加速直线运动，设
，小环在杆上下滑时加速度有
解得
设圆的半径为R，根据几何关系有
根据位移时间关系得
解得
由上述式子可知，环到底底端所用时间与杆的倾角无关，故A 项正确，B 项和C 项错误；
D．设到达底端速度为v，则有
解得
由上述式子可知，到达底端速度与杆的倾角有关，倾角越大，速度越小，故D 项正确。
故选AD。
【模型演练5】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，竖直墙与水平地面交点为O，从竖直墙上的A、B
两点分别搭两条光滑直轨道到M 点，M 点正上方与A 等高处有一C 点。现同时将完全相同的a、b、c 三球
分别从A、B、C 三点由静止开始释放。则从开始释放至小球运动到M 点的过程（ ）
27
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A．a 球的加速度小于b 球的加速度
B．c 球最先到达M 点
C．a、c 两球所受重力的冲量相同
D．a 球到达M 点的速度比c 球的大
【答案】B
【详解】A．对a、b 小球
a 球所在斜面倾角较大，则a 球的加速度大于b 球的加速度，A 错误；
B．设CM 距离为R，则
解得
对于c 小球有
解得
可见c 球最先到达M 点，B 正确；
C．根据动量定理有
可见a 球所受重力的冲量较大，C 错误；
28
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D．根据动能定理有
得
两球速度相等，D 错误。
故选B。
【模型演练6】．（2023·陕西安康·统考三模）如图所示，光滑直杆
处在竖直面内，杆的端点A、
B、C 均在同一竖直圆周上，A 点为圆周的最低点，直杆
与水平面之间的夹角分别为
；现将
P、Q 两个完全相同的滑块（滑块均看成质点）分别从B 点和C 点由静止释放，则滑块P、Q 从杆顶端到达
杆底端A 点过程中，有（ ）
A．P、Q 加速度大小之比为
B．P、Q 运动时间相等
C．P、Q 所受支持力的冲量大小相等
D．P、Q 所受合外力的冲量大小相等
【答案】B
【详解】A．设圆周半径为R，沿杆
和
下滑的时间分别为
，由于是光滑杆则下滑的加速度分别
为
所以
选项A 错误；
29
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B．又根据
解得
选项B 正确；
C．由于支持力大小和方向均不相同，所以支持力的冲量大小不同，选项C 错误；
D．合外力大小不同，所以合外力的冲量大小不同，选项D 错误。
故选B。
【模型演练7】．（2023·全国·统考模拟预测）如图所示，竖直的圆环置于水平向左的匀强电场中，三个完
全相同的带正电的绝缘小球（未画出）分别套在固定于AB、AC、AD 的三根光滑细杆上，其中AB 与竖直
方向夹角为60°，AC 经过圆心，AD 竖直。现将小球无初速度地从A 端释放，小球分别沿AB、AC、AD 下
滑到B、C、D 三点。已知小球所受电场力大小与重力大小之比为
，则小球在三根细杆上运动的时间关
系为（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】B
【详解】小球所受电场力大小与重力大小之比为
，可知小球所受重力与电场力的合力F 的方向恰好与
平行，且由A 指向B。延长
，作
交
于M，以
为直径画一个圆（图中虚线），
与该圆交于N。
30
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设
，则小球沿
杆运动的加速度为
位移为
由
得
与
无关，由等时圆模型知
而
，
，故
故选B。
【模型演练8】．（2023·河北张家口·统考二模）如图所示，竖直平面内半径
的圆弧AO 与半径
的圆弧BO 在最低点C 相切。两段光滑的直轨道的一端在O 点平滑连接，另一端分别在两圆弧上
且等高。一个小球从左侧直轨道的最高点A 由静止开始沿直轨道下滑，经过O 点后沿右侧直轨道上滑至最
高点B，不考虑小球在O 点的机械能损失，重力加速度g 取10m/s。则在此过程中小球运动的时间为（
）
A．1.5 s
B．2.0 s
C．3.0 s
D．3.5 s
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【答案】C
【详解】设左侧轨道倾角为
，小球在左侧斜面上下滑的加速度大小为
左侧轨道长
小球在左侧轨道上运动时间为
同理，小球在右侧斜面上上滑的时间为
故小球在此过程中运动的时间为
故选C。
【模型演练9】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，甲、乙两个材料和粗糙程度均相同的斜面固定在
水平面上，甲、乙两斜面的高度与长度的比值分别为
、
。一小木块分别沿甲、乙两斜面下滑
的加速度大小之比为1 2∶，该小木块与斜面间的动摩擦因数为（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
【答案】C
【详解】设动摩擦因数为
，甲、乙两斜面的倾角分别为
、
，木块沿斜面下滑加速度大小分别为
、
，由牛顿第二定律可知
由题意有
32
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，
，
，
解得
故选C。
【模型五】功能关系中的斜面模型
1.物体在斜面上摩擦力做功的特点
如图所示，斜面长，倾角
．一个质量为
的物体沿斜面由顶端向底端滑动，动摩擦因数为
．则物体克服摩擦力所做
的功为
．式中
为物体所受的重力，
为物体在水平方向上的位移（即位移的
水平分量
）．可见，当物体只受重力、弹力和摩擦力作用沿斜面运动时，克服摩擦力所做的功等于动摩擦因
数、重力的大小和水平位移的大小三者的乘积．
由推导过程易知，如果物体在摩擦力方向上还受其它力，公式仍成立；若在重力方向上还受其它力，则式中的
为等效重
力．公式不仅适用于平面，而且在相对速度较小的情况下还适用于曲面（可用微元法化曲为直证明）．
结论 若滑动物体对接触面的弹力只由重力（或等效重力）引起， 则物体克服摩擦力所做的功相当于物体沿水平的投影面运
动克服其摩擦力所做的功，即
．
2.动能变化量与机械能变化量的区别
(1).动能变化量等于合外力做的功，即：△Ek=W 总= F 合x，
(2).机械能变化量等于除重力以外的力做的功，即：△E= W 除G= F 除Gx
(3).在匀变速直线运动中，动能变化量与机械能变化量之比等于的比值合外力与除重力以外的力之比，即：
ΔEK
ΔE =
F合
F
G
除
。
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例如，物体沿粗糙斜面上滑x 的过程中，
动能变化量△Ek=-mg(sinθ+μcosθ)·x;
机械能变化量△E=-μmgcosθ·x;
二者比值
ΔEK
ΔE = mg (sinθ+μcosθ)
μ mg cosθ
，为一定值。
【模型演练1】如图所示，固定斜面，AB 倾角θ=30°，物块从斜面底端以沿斜面向上的初速度v 冲上斜面
（未离开斜面），若能到达的最大高度为h=
，则下列说法中正确的是（ ）
A. 斜面光滑 B. 斜面动摩擦数μ=0.25
C. 重力与摩擦力力之比为4：1 D. 重力做功与摩擦力做功之比为4：1
【答案】C
【解析】
AB．假设斜面不光滑，则向上运动的加速度
则
解得
选项AB 错误； C．重力与摩擦力力之比为
选项C 正确；D．重力做功与摩擦力做功之比为
选项D 错误。故选C。
【模型演练2】如图所示，物体在平行于斜面向上
拉力作用下，分别沿倾角不同的斜面由底端匀速运动
到高度相同的顶端，物体与各斜面间的动摩擦因数相同，则（ ）
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A. 无论沿哪个斜面拉，克服重力做的功相同
B. 无论沿哪个斜面拉，克服摩擦力做的功相同
C. 无论沿哪个斜面拉，拉力做的功均相同
D. 沿倾角较小的斜面拉，拉力做的功较小
【答案】A
【解析】A．重力做功为
质量m 和高度h 均相同，则重力做功相同，克服重力做功相同，故A 正确；
B．克服摩擦力做的功
所以倾角越大，摩擦力做功越小，故B 错误；
CD．设斜面倾角为θ，斜面高度h，斜面长度
物体匀速被拉到顶端，根据动能定理得
联立解得拉力做功
则h 相同时，倾角较小，拉力做的功较多，故CD 错误。故选A。
【模型演练3】（2023·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）如图，三个斜面1、2、3，斜面1 与2 底边
相同，2 和3 高度相同，同一物体与三个斜面的动摩擦因数相同。若物体分别沿三个斜面从顶端由静止下
滑到底端，则物体（ ）
A．到达斜面底端时的速度v1>v2=v3
B．到达斜面底端时重力的瞬时功率P1>P2>P3
C．克服摩擦力做功W3>W1>W2
D．损失的机械能
【答案】B
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【详解】C.设斜面水平距离为d，与水平面夹角为
，则摩擦力作功有
可知，在摩擦系数及重力相同的情况下，摩擦力做功只与斜面的水平距离有关，有图像可知克服摩擦力做
功
故C 错误；
D.损失的机械能等于克服摩擦力做功，根据C 项分析，D 错误；
A.设斜面的高度为h，根据动能定理有
解得
1 与2 比较，d 相同，1 的h 比2 的大，故
；2 与3 比较，h 相同，2 的d 比3 的小，故
，综合则
有
，故A 错误；
B.物体滑至斜面底端的瞬时功率
1 与2 比较，
，且
大于
，故
；2 与3 比较，
，且
大于
，故
,综合有
，故B 正确。
故选B。
【模型演练4】（2023·四川遂宁·统考三模）“太阳落到大门西, 爬上山坡打滑梯。你也争来他也抢, 回家
都是满身泥”。滑梯始小朋友们最喜爱的娱乐项目之一。某幼儿园在空地上做了一个滑梯，如图甲所示，
可简化为图乙所示模型。其主要结构由倾斜部分AB 和水平部分BC 组成，中间平滑连接，根据空地的大小，
滑梯的倾斜部分水平跨度为2.4m，高1.8m。滑梯和儿童裤料之间的动摩擦因数为0.4，一质量为20kg 的小
孩（可看成质点）从滑梯顶部A 由静止开始无助力滑下，g 取10m/s2，则（ ）
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A．小孩在斜面上下滑的加速度大小为
B．小孩滑到B 点的速度
C．为了使小孩不滑出滑梯，水平部分BC 长度至少为
D．保持A 点不变，减小倾斜滑梯的长度而增大滑梯的倾角（如图中虚线AB'所示），则下滑过程中小孩所
受重力做功的平均功率不变
【答案】AC
【详解】A．对小孩在滑梯上由牛顿第二定律有
根据已知条件可得
则可得
，
解得
故A 正确；
B．对小还从A 点到B 点的过程应用动能定理，有
其中
，
解得
故B 错误；
37
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C．假设小孩恰好不滑出滑梯，设水平部分BC 长度最小长度为
，对小孩在水平面应用动能定理，有
解得
故C 正确；
D．设小孩在斜面上下滑的时间为，则有
可得
增大滑梯的倾角
，则可知下滑时间将减小，由此可知下滑过程中小孩所受重力做功的平均功率
将增大，故D 错误。
故选AC。
【模型演练4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，固定斜面倾角为
，质量为2kg 的小物块自斜
面底端以一定初速度沿斜面向上运动，加速度大小为
，物块沿斜面向上运动的最大距离为0.8m。斜
面足够长，g 取
，物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。关于小物块在斜面上的运动，下列说
法中正确的是（ ）
A．物块最终会回到斜面底端
B．物块克服重力做功的平均功率为20W
C．合力对物块做功-16J
D．物块机械能损失了16J
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【答案】BC
【详解】A．物块上滑过程中，由牛顿第二定律有
解得
，
由此可知，当物块滑上斜面，速度减为零之后将静止在斜面上，故A 错误；
B．设物块滑上斜面的时间为，应用逆向思维，由运动学公式可得
解得
在滑块速度减为零时，克服重力做的功为
则可知物块克服重力做功的平均功率为
故B 正确；
C．由运动学公式可得物块上滑时的初速度为
则由动能定理可得，合外力对物块做的功为
故C 正确；
D．损失的机械能等于克服摩擦力做的功，由能量守恒可得
解得
故D 错误。
故选BC。
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【模型演练5】如图所示，光滑水平面OB 与足够长粗糙斜面BC 交于B 点．轻弹簧左端固定于竖直墙面，
用质量为m1的滑块压缩弹簧至D 点，然后由静止释放滑块，滑块脱离弹簧后经B 点滑上斜面，上升到最
大高度，并静止在斜面上．换用相同材料、质量为m2的滑块(m2>m1)压缩弹簧至同一点D 后，重复上述过
程．不计滑块经过B 点时的机械能损失，下列说法正确的是( )
A. 两滑块到达B 点的速度相同
B. 两滑块沿斜面上升过程中的加速度相同
C. 两滑块上升到最高点的过程中克服重力做的功相同
D. 两滑块上升到最高点的过程中因摩擦产生的热量相同
【答案】BCD
【解析】
A、两次实验，弹簧压缩形变是相同的，所以弹性势能相等，两滑块到达B 点的动能是相等的，
，又m2>m1，所以v1>v2，两滑块到达B 点的速度不相同，A 错误
B、根据牛顿运动定律可得，沿斜面上升时，物体收到重力、支持力、摩擦力，将重力垂直斜面和平行斜
面分解，可得
，
，两滑块材料相同，B 正确
C、设初始弹簧压缩了x，滑块沿斜面运动的距离为s，根据能量守恒可知
，
所以
，C 正确
D、滑块上升到最高点的过程中因摩擦产生的热量
，D 正确
【模型演练6】（2023·北京西城·统考三模）将三个木板1、2、3 固定在墙角，木板与墙壁和地面构成了三
个不同的三角形，如图所示，其中1 与2 底边相同，2 和3 高度相同。现将一个可以视为质点的物块分别从
三个木板的顶端由静止释放，并沿斜面下滑到底端，物块与木板之间的动摩擦因数
均相同。在这三个过
40
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程中，下列说法正确的是（ ）
A．沿着1 和2 下滑到底端时，物块的速度不同；沿着2 和3 下滑到底端时，物块的速度相同
B．沿着1 下滑到底端时，物块的速度最大
C．物块沿着3 下滑到底端的过程中，产生的热量是最少的
D．物块沿着1 和2 下滑到底端的过程，产生的热量是一样多的
【答案】BD
【详解】AB．设任意一斜面倾角为，斜面的长度为L，则物体下滑过程中克服摩擦力做功为
Lcosθ 即为斜面底边的长度，设物体滑到底端时的速度为v，根据动能定理得：
根据图中斜面高度和底边长度可知，滑到底边时速度大小关系为
即沿着1 下滑到底端时，物块的速度最大，故A 错误，B 正确。
CD．摩擦生热等于物块克服摩擦力做功，即
由图可知1 和2 底边相等且小于3 的底边，故摩擦生热关系为
即物块沿着1 和2 下滑到底端的过程中，产生的热量一样多，物块沿着3 下滑到底端的过程中，产生的热
量最多，故C 错误，D 正确；
故选BD。
【模型演练7】（2023·云南·统考二模）某幼儿园要修建一个如图甲所示的儿童滑梯，设计师画出了如图乙
所示的模型简图，若滑梯由长度为
、倾角
的斜面AB 和长度为
的水平部分BC 组成，AB 和
BC 由一小段圆弧（图中未画出且长度可忽略）平滑连接，儿童裤料与滑梯之间的动摩擦因数为
，
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取重力加速度
。
（1）儿童（可视为质点）从A 点由静止开始下滑，求他到达C 点时的速度大小及从A 到C 所需的时间；
（2）考虑安全因素，应使儿童到达C 点时速度尽量小，同时因场地限制，斜面顶端到滑梯末端C 的水平
距离不能改变，但斜面长度、高度h 和倾角
都可以调整。若设计要求儿童从斜面顶端由静止开始下滑，
滑到C 点时速度恰好为零，则滑梯的高度h 应为多少。
【答案】（1）
,
；（2）
【详解】（1）从A 到B，据牛顿第二定律及运动学规律可得
解得
从B 到C，据牛顿第二定律及运动学规律可得
解得
总时间
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解得
（2）调整后，从
到C，据动能定理可得
设调整后的斜面
与水平面的夹角为
，据几何关系可得
解得
【模型演练8】（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，左侧光滑曲面轨道与右侧倾角
的斜面在底部
平滑连接且均同定在水平地面上，质量为m 的小滑块从斜面上离斜面底边高为H 处由静止释放，滑到斜面
底端然后滑上左侧曲面轨道，再从曲面轨道滑上斜面，滑块第一次沿斜面上滑的最大高度为
，多次往
复运动。不计空气阻力，重力加速度为g，
。求：
（1）滑块与斜面间的动摩擦因数；
（2）滑块第1 次下滑的时间与第1 次上滑的时间之比；
（3）滑块从静止释放到第n 次上滑到斜面最高点的过程中，系统产生的热量。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设滑块与斜面间的动摩擦因数为
，根据功能关系有
而
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联立解得
（2）滑块第一次下滑过程，根据牛顿运动定律有
由运动学公式有
滑块第一次上滑过程，根据牛顿运动定律有
由运动学公式有
联立解得
（3）滑块第二次下滑过程，根据动能定理有
滑块第二次上滑过程，根据动能定理有
结合
解得
滑块第n 次沿斜面上升的最大高度为
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滑块在斜面上滑行的路程为
由于摩擦系统产生的热量为
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