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1．某光学组件横截面如图所示，半圆形玻璃砖圆心为O 点，半径为R；直角三棱镜FG 边
的延长线过O 点，EG 边平行于AB 边且长度等于R，∠FEG=30°。横截面所在平面内，单
色光线以θ 角入射到EF 边发生折射，折射光线垂直EG 边射出。已知玻璃砖和三棱镜对该
单色光的折射率均为1.5。
（1）求sinθ；
（2）以θ 角入射的单色光线，若第一次到达半圆弧AMB 可以发生全反射，求光线在EF 上
入射点D（图中未标出）到E 点距离的范围。
2．如图所示，ΔABC 为一直角三棱镜的横截面，BC 面涂有反光膜，
，CM AB
⊥
，
垂足M 与B 点的距离为L。与AC 平行的一光线PM 从M 点射入三棱镜，经BC 反射后的光
线射到CA 上的E 点（图中未画出）。三棱镜对该光线的折射率
，光在真空中的传
播速度大小为c。
（1）通过计算判断该光线射到E 点时是否发生全反射；
（2）求该光线从M 点传播到E 点的时间t。
1
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3．图示是一透明的圆柱体的横截面，其半径R=20cm，折射率为
，AB 是一条直径，今
有一束平行光沿AB 方向射向圆柱体，（光在真空中的传播速度
）试求：
（1）光在圆柱体中的传播速度；
（2）在AB 的上下两侧距离直线AB 多远的入射光线，折射后恰经过B 点。
4．在某种透明液体中有一单色点光源，光源距液面的距离为R，在液面上方可以观察到有
光射出的部分是半径为R 的圆面。已知光在真空中的传播速度为c。求：
（1）液体对该光的折射率n；
（2）射出的光线在液体中传播的最短时间。
5．在折射率为
的液体内部有一点光源，点光源可以向各个方向移动，初始时刻，
在液面上观察到半径为
的圆形光斑。
（1）求点光源S 的初始深度；
（2）让点光源向某个方向匀速移动，发现光斑最右侧边沿
位置不动，最左侧边沿
向
左侧移动，经过2s，左侧边沿
向左移动了
，侧面图如下图所示，求点光源S 的
移动速度。
2
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6．一种“光开关”的“核心区”构造如图中虚框区域所示，其中1、2 是两个完全相同且
截面边长均为
的等腰直角三角形的棱镜，直角边与虚框平行，两斜面平行且略拉开一小
段距离，在两棱镜之间可充入不同介质以实现“开关”功能。若一细束单色光
从1 的左
侧面上
点垂直于棱镜表面
射入，若能通过2，则为“开”，否则为“关”。已知棱镜
对单色光
的折射率为1.5，
与底面
间的距离为
，单色光
在真空中的传播速度
为。在两棱镜之间不充入介质情况下：
（1）请通过推导说明是否能实现“开”功能；
（2）求单色光
在棱镜中传播的时间。
7．小刘同学去科技馆参观，看到一只“萤火虫”（图中用一小点表示）被固定在透明的正
方体水晶的正中心处，如图所示。小刘发现“萤火虫”的腹部由一个很小的球状发光二极
管构成，只有在某些位置才可以看到“萤火虫”。已知正方体水晶的棱长L=0.6m，水晶对
“萤火虫”发出的单色光的折射率为
，光在真空中传播的速度为3.0×108m/s。求：
（1）“萤火虫”发出的光在水晶中传播所用的最短时间；（结果保留3 位有效数字）
（2）正方体水晶前表面上能看到“萤火虫”的区域的面积。（不考虑由其他表面反射的光，
结果用
表示）
8．翡翠文化在我国源远流长，翡翠手镯一直以来都备受人们的喜爱。翡翠的折射率是鉴定
翡翠的重要依据之一，某位同学想亲自鉴定一下家里的一块环形翡翠手镯，他将手镯平放
在水平桌面上，过环心的横截面如图所示（俯视图），内圆的半径为r。图中AB 是过环心
O 的一条直线，该同学用激光笔发出一细光束平行于AB 射入手镯，调整光束与AB 的距离
3
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d，使光束折射后在内环面上恰好发生全反射（不考虑多次折射和反射）。
（1）画出光的传播光路图（要标注法线）；
（2）求此时入射光束离AB 的距离与内圆半径的比值
。
9．如图，半圆形玻璃砖可绕过圆心的轴转动，圆心O 与足够大光屏的距离d＝10
cm，
初始玻璃砖的直径与光屏平行，一束光对准圆心沿垂直光屏方向射向玻璃砖，在光屏上O1
位置留下一光点，保持入射光方向不变，让玻璃砖绕O 点顺时针方向转动时，光屏上光点
也会移动，当玻璃砖转过30°角时，光屏上光点位置距离O1点为10cm。求
（1）玻璃砖的折射率n；
（2）当光屏上光点消失时，玻璃砖绕O 点相对初始位置转过的角度α 的正弦值。
10．如图所示，一半径为R 的半球形特种玻璃，除底面外，半球的表面均涂有一层薄薄的
吸光物质，球心为
为紧贴球面涂层下的一点，且满足
与底面垂直．将一单色点光
源置于A 点，发现半球底面的透光面积占底面面积的
，求：
（1）特种玻璃的折射率n；
（2）若半球形特种玻璃的底面涂吸光物质，而其它地方不涂，当点光源从O 点向A 点移
动过程中，距O 点多远时，球面上的某些地方开始无光透出．
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11．图甲为战国时期青铜汲酒器，根据其原理制作了由中空圆柱形长柄和储液罐组成的汲
液器，如图乙所示。长柄顶部封闭，横截面积S1=1.0cm2，长度H=100.0cm，侧壁有一小孔
A。储液罐的横截面积S2=90.0cm2，高度h=20.0cm，罐底有一小孔B。汲液时，将汲液器
竖直浸入液体，液体从孔B 进入，空气由孔A 排出；当内外液面相平时，长柄浸入液面部
分的长度为x；堵住孔A，缓慢地将汲液器竖直提出液面，储液罐内刚好储满液体。已知
液体密度ρ=1.0×103kg/m3，重力加速度大小g=10m/s2，大气压p0=1.0×105Pa。整个过程温度
保持不变，空气可视为理想气体，忽略器壁厚度。
（1）求x；
（2）松开孔A，从外界进入压强为p0、体积为V 的空气，使满储液罐中液体缓缓流出，堵
住孔A，稳定后罐中恰好剩余一半的液体，求V。
12．某种供水工作原理如图所示。由水泵将水压入罐体，当罐内气体压强增加到
时，
水泵停止抽水。供水时罐内水位下降，罐内气体压强减小到
时，水泵重新启动，可如
此反复供水。罐容积为
，第一次注水前罐内气体压强等于外界大气压强
，此时罐内气
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体体积与罐容积相等，注水、供水过程中罐内气体总质量不变，罐内气体可视为理想气体，
忽略温度变化。求：
（1）水泵停止注水时罐内气体的体积
；
（2）当水的体积达到罐容积的40%，则此时罐内气体压强
。
13．如图所示，导热性能良好的汽缸开口向上竖直放在水平地面上，汽缸内封闭一定质量
的理想气体。其中缸体质量为M，活塞质量为m，活塞面积为S，活塞距汽缸底部为
，
汽缸壁厚度及活塞与汽缸之间的摩擦不计。现对活塞施加竖直向上的拉力，使活塞缓慢向
上移动，当汽缸底部将要离开地面时，使活塞停止移动。设定环境温度保持不变，外界大
气压强为
，重力加速度为g。求：
（1）未施加向上拉力之前，活塞静止时缸内气体的压强；
（2）从对活塞施加竖直向上的拉力到停止移动过程中，活塞向上移动的距离是多少。
14．如图为自动洗衣机的控水装置的示意图，细管上端封闭，并和一压力传感器相接。洗
衣缸体进水时，细管中的空气被水封闭，当细管中空气压强达到
时，压力
传感器使进水阀门关闭，达到自动控水的目的。已知细管的总长度
，管内气体可
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视为理想气体且温度始终不变，取大气压
，重力加速度
，水的
密度
。洗衣机停止进水时，求：
（1）细管中被封闭的空气柱的长度L；
（2）洗衣缸内水的高度h。
15．两端封闭、粗细均匀的细玻璃管，内部有长度为20cm 的水银柱，水银柱到玻璃管AB
两端分别封闭一定质量的理想气体。初始时，A 端在上，B 端在下竖直放置，如图甲所示，
A、B 两端的气柱长度均为20cm。若将玻璃管缓慢翻转180°，变为A 端在下，B 端在上竖
直放置,如图乙所示，A 端的气柱长度变为10cm，B 端的气柱长度变为30cm。翻转过程中
管内气体温度不变，求初始时管A、B 两端的气体压强分别是多少（以cmHg 作为压强单
位）。
16．如图，竖直放置的封闭玻璃管由管径不同、长度均为
的A、B 两段细管组成，A
管的内径是B 管的2 倍，B 管在上方。管内空气被一段水银柱隔开。水银柱在两管中的长
度均为
。现将玻璃管倒置使A 管在上方，平衡后，A 管内的空气柱长度改变
。求
B 管在上方时，玻璃管内两部分气体的压强。（气体温度保持不变，以
为压强单
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位）
17．如图所示，竖直固定的大圆筒由上面的细圆筒和下面的粗圆筒两部分组成，粗圆筒的
内径是细筒内径的4 倍，细圆筒足够长。粗圆筒中放有A、B 两个活塞，活塞A 的重力及
与筒壁间的摩擦忽略不计。活塞A 的上方装有水银，活塞A、B 间封有一定质量的空气
（可视为理想气体）。初始时，用外力向上托住活塞B 使之处于平衡状态，水银上表面与
粗筒上端相平，空气柱长
，水银深
。现使活塞B 缓慢上移，直至有一半
质量的水银被推入细圆筒中。假设在整个过程中空气柱的温度不变，大气压强p。相当于
的水银柱产生的压强，求：
（1）细圆筒中水银柱的高度；
（2）封闭气体的压强；
（3）活塞B 上移的距离。
18．一U 形玻璃管竖直放置，左端开口，右端封闭，左端上部有一光滑的轻活塞。初始时，
管内汞柱及空气柱长度如图所示。用力向下缓慢推活塞，直至管内两边汞柱高度相等时为
止。求此时右侧管内气体的压强和活塞向下移动的距离。已知玻璃管的横截面积处处相同；
在活塞向下移动的过程中，没有发生气体泄漏；大气压强
。环境温度不变。
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19．近年来越来越多的汽车搭载了“空气悬挂”结构，相比“弹簧悬挂”更加舒适，可调
节范围更广，其构造可以简化为下图所示模型。汽缸上部与汽车底盘相连，活塞通过连杆
与车轮轴连接，活塞与汽缸之间的距离为h，两者之间还连接一弹簧，弹簧一端与活塞粘
连在一起，弹簧另一端与汽缸不粘连，可以将汽车对汽缸的作用等效为质量为M 的物块压
在汽缸的上方。在某一温度下当汽车空载时M＝150kg，静止在水平路面上时
，弹
簧恰好处于原长状态。已知活塞的横截面积为
，弹簧的劲度系数
，不计弹簧体积、缸体的重力以及活塞与缸体之间的摩擦力，气体的温度
始终不变，外界大气压恒为
，
，
，g 取
，计
算：
（1）保持阀门关闭，将汽车移至倾角为
的斜面，空载时汽缸与活塞之间的距离
；
（2）某次汽车停在水平路面上装载后等效为
，此时气泵会自动给汽缸充入适
量空气，使活塞和汽缸之间的距离回到
，充入的气体与原气体的质量之比
。
20．医生在给病人输液时，若需要输送两瓶相同的药液，可采用如图所示的装置。细管a
与大气相通，细管b 是连通管（可通气也可通药液），细管c 是输液管（下端的针头与人
体相连，图中未画出）；开关K 可控制输液的快慢，也可停止输液。A、B 是两个完全相
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同的药瓶，吊置的高度相同。开始时，两药瓶内液面与通气管口的高度差均为
，液面与
瓶底的高度差均为d。已知药液的密度为
，大气压强为
，重力加速度大小为g，不考
虑温度的变化。
（1）打开K，药液缓慢输入病人体内，简要回答在A 瓶内的药液打完前，A 瓶上方气体的
压强和B 瓶上方气体的压强的变化情况；
（2）当A 瓶内液面与管口的高度差
时，求通过细管a 进入A 瓶内气体的质量与开始
时A 瓶内气体质量的比值。
21．如图甲所示，质量为M 的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖
直半圆形部分的表面光滑，两部分在P 点平滑连接，Q 为轨道的最高点。质量为m 的小物
块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦
力。已知轨道半圆形部分的半径R=0.4m，重力加速度大小g=10m/s2.
（1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q 点时，受到轨道的弹力大小等
于3mg，求小物块在Q 点的速度大小v；
（2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加
速度a 与F 对应关系如图乙所示。
（i）求μ 和m；
（ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力F=8N，当小物块到
P 点时撤去F，小物块从Q 点离开轨道时相对地的速度大小为7m/s。求轨道水平部分的长
度L。
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22．秋千是我国古代北方少数民族创造的一项运动，因为它设备简单，容易学习，所以深
受人们的喜爱，1986 年开始被纳入全国少数民族传统体育运动会的比赛项目。如图所示，
在两架杆的顶端架起一根横木，横木高12m，在横木上系两根长9m 的平行绳索，绳索底
部与踏板连接。在某次比赛中，质量为60kg 的运动员站在踏板上，重心距踏板1m，且保
持不变，绳索偏离竖直方向最大偏角为53°。忽略空气阻力，不计踏板及绳索的质量，取
重力加速度
。求：
（1）运动员到达最低点时速度的大小；
（2）运动员到达最低点时每根绳拉力的大小。
23．如图所示，质量为m 的小球用长为L 的轻质细线悬于O 点，与O 点处于同一水平线上
的P 点处有一颗光滑的细钉，已知
，在A 点给小球一个水平向左的初速度
，发现
小球恰能到达跟P 点在同一竖直线上的最高点B。求：
（1）小球到达B 点时的速率。
（2）若不计空气阻力及与钉子相碰时损失的能量，则初速度v0为多少？
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（3）若初速度变为
，其他条件均不变，则小球从A 到B 的过程中克服空气阻力
做了多少功？
24．如图所示，一个固定在竖直平面内的光滑四分之一圆弧，轨道半径
，下端恰
好与光滑水平面
平滑连接，质量为
的铁球（可视为质点）由圆弧轨道顶端无初
速度释放，后从
点冲上倾角为
的光滑斜面且无机械能损失，铁球在斜面上运动
后在B 点冲出斜面。（
，
，重力加速度取
）求：
（1）铁球运动到圆弧轨道底端时对圆弧轨道的压力大小；
（2）斜面的长度；
（3）在
点左侧
处放置一足够高的竖直挡板，铁球与挡板碰撞时的速度大小。
25．一只小青蛙在树林里遇到一棵放在水平地面上的半径为R 的树干横亘在它的面前，树
干的横截面如图所示，小青蛙想跳过树干，它从左侧地面上的某点以最小的初速度起跳时，
其运动轨迹与树干左侧相切于B 点，重力加速度为g。求：
（1）青蛙在B 点的速度方向与水平面的夹角θ；
（2）背蛙起跳时的最小初速度的大小
。
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26．如图所示，质量
的平板车静止在光滑水平地面上，质量也为
的滑块位于平
板车的左端。一根不可伸长的轻质细绳长为
，一端悬于滑块正上方相距为
的
点，另
一端系一质量为
的小球。现将小球拉至悬线与竖直方向成
角位置由静止释放，小球
到达最低点时与滑块发生弹性正碰，碰撞时间极短，最后滑块刚好未离开平板车。小球和
滑块均可视为质点，滑块与平板车间的动摩擦因数为
，重力加速度为
。求：
（1）碰撞后，滑块的速度；
（2）滑块与平板车刚好共同运动的速度大小；
（3）平板车的长度。
27．如图所示，质量
的小球用长
的轻绳悬挂在固定点O，质量
的物
块静止在质量
的
光滑圆弧轨道的最低点，圆弧轨道静止在光滑水平面上，悬点
O 在物块
的正上方，将小球拉至轻绳与竖直方向成37°角后，静止释放小球，小球下摆
至最低点时与物块发生弹性正碰，碰后物块恰能到达圆弧轨道的最上端。若小球、物块都
可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g 取
，
，
。求
（1）碰撞前，小球下摆至最低点时，球对轻绳拉力的大小；
（2）碰撞后瞬间物块的速度大小；
（3）圆弧轨道的半径。
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28．AstroReality（星球模型）是一款非常流行的儿童玩具，如图甲所示，它是由一组大小、
质量各不相同的硬质弹性小球组成，采用3D 打印技术真实还原不同星球的美妙纹理，弹
性极强，深受小朋友们的喜爱。某兴趣小组的同学利用它们进行了两次碰撞实验，所有碰
撞都可认为是弹性碰撞，重力加速度大小为g，忽略空气阻力影响，小球均可视为质点。
试讨论以下问题：
（1）第一次实验，他们将一个质量为
的小球1 从距离地面高度为h 处由静止释放，如
图乙所示。通过查阅资料他们估计出了球与地面的作用时间，用
表示。求球1 落地时的
速度大小，以及碰撞过程中地面对球1 的平均作用力大小；
（2）第二次实验，他们将另一个质量为
的小球2 放在小球1 的顶上，让这两个球一起
从距离地面高度为h 处自由下落并撞击地面，已知
，如图丙所示。他们惊奇地发
现小球2 反弹的高度超过了释放时的高度，试求此种情况下小球2 被反弹的高度。他们猜
想若球2 质量越小则被反弹的高度越高，试从理论角度分析若
时球2 能达到的最大
高度。
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29．如图为某游戏装置的示意图，由固定的竖直光滑圆弧轨道A、静止在光滑水平面上的
滑板B、固定竖直挡板C 组成。轨道A 的底端与滑板B 的上表面水平相切，初始时轨道A
与滑板B 左端紧靠在一起，滑板B 右端与竖直挡板C 相距
。游客乘坐滑椅（可视为
质点）从轨道A 上P 点由静止出发，冲上滑板B 时把轨道A 撤走，滑板B 足够长（滑椅不
会从滑板表面滑出），滑板B 与挡板碰撞无机械能损失。已知游客与滑椅的总质量
，圆弧轨道的半径R=10m，O 点为圆弧轨道的圆心，
与竖直方向夹角
，滑板B 的质量M＝400kg，滑椅与滑板B 间的动摩擦因数
，空气阻力可忽
略。求：
（1）游客与滑椅滑到圆弧轨道最低点时的速度大小；
（2）滑板B 与竖直挡板碰撞前，游客、滑椅和滑板B 组成的系统损失的机械能；
（3）若滑板B 右端与固定挡板C 距离d 可以改变，并要求滑板B 只与挡板C 碰撞两次，
则d 应满足的条件。
30．如图所示，倾角为37°的粗糙固定斜面AB 与光滑水平面BE 平滑连接，光滑竖直圆轨
道固定在BE 上，圆轨道左侧滑入点与向右侧滑出点在底端错开并分别与两侧直轨道平滑
连接，长木板P 静止在粗糙水平面FG 上，上表面与水平面BE 平齐，物块Ｎ静止在长木板
P 左端。小物块M 自斜面AB 高H 处由静止滑下，进入圆轨道经过最高点D 时对轨道压力
大小为3N，然后回到水平面CE 与物块Ｎ发生弹性碰撞，小物块M 被弹回后进入圆轨道且
刚好能达到圆心等高处，再次返回到水平面后被拿走。已知H=1.0m，物块M 质量
、长木板P 质量
，圆轨道半径R=0.2m，物块N 与木板P 间动摩擦因
数
，木板P 与水平面FG 间动摩擦因数
。取
、
、
。求：
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（1）物块M 与斜面AB 间的动摩擦因数
；
（2）物块N 的质量
；
（3）物块N 停止时距E 点的距离。
31．如图所示，在Oxy 坐标系x>0，y>0 区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为B 的
匀强磁场。磁场中放置一长度为L 的挡板，其两端分别位于x、y 轴上M、N 两点，
∠OMN=60°，挡板上有一小孔K 位于MN 中点。△OMN 之外的第一象限区域存在恒定匀
强电场。位于y 轴左侧的粒子发生器在0＜y＜
的范围内可以产生质量为m，电荷量为
+q 的无初速度的粒子。粒子发生器与y 轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大
小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰
撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。
（1）求使粒子垂直挡板射入小孔K 的加速电压U0；
（2）调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔K 射出后恰好做匀速直线运动，求第一
象限中电场强度的大小和方向；
（3）当加速电压为
时，求粒子从小孔K 射出后，运动过程中距离y 轴最近位置的坐
标。
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32．如图所示，平面直角坐标系第一象限内有竖直向下的匀强电场，第四象限内有垂直纸
面向里的匀强磁场。一不计重力的正电荷（q，m）以大小为v0的初速度从A 点（0，L）沿
x 轴正方向射入，经电场偏转后恰能打到D 点（4L，0）。另一相同电荷以
的初速度仍
从A 点同向射入，第二次到达x 轴时也恰好到D 点。求：
（1）电场强度E；
（2）磁感应强度B。
33．1897 年汤姆孙设计了如图甲所示的装置，测定了电子的比荷。真空玻璃管内，阴极K
发出的电子被电场加速后，形成一细束电子流，以一定速度平行于P、P'两极板进入板间
区域，板长为L，两极板间距为d。若P、
两极板间无电压，电子将沿直线打在荧光屏上
的中点O；若在两极板间加电压为U，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的点
；保
持P、
两极板间电压不变，再在极板间施加一个方向垂直于纸面向内、磁感应强度为B
的匀强磁场，电子打在荧光屏上的光点又回到O 点；不计电子的重力和电子间的相互作用。
求：
（1）电子刚进入P、
两极板时的速度大小v；
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（2）若使两极板P、
间的电压为零，并调节匀强磁场的磁感应强度大小为
时，电子
恰好从下极板
边缘射出（如图乙所示），求电子的比荷
。
34．如图所示，在xOy 平面内的第一象限角平分线OP 两侧分布着竖直向上的匀强电场和
垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为-q 的带电粒子，先从M 点以速度
垂
直于y 轴水平向右进入电场区域，再从N 点进入磁场区域，最后从x 轴上的C 点离开磁场
区域，且离开时速度方向与x 轴垂直。已知
、
，
，粒子重力忽
略不计。求：
（1）电场强度的大小E。
（2）磁感应强度的大小B。
（3）粒子从M 点运动到C 点所用的总时间t。
35．如图所示，在
、
的区域内存在沿y 轴正方向的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大
小为
；在
、
区域内存在沿y 轴负方向的匀强电场，电场强度的大小为
18
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；
区域内存在沿z 轴负方向的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为
（未知）。
一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子由y 轴上P 点沿x 轴正方向以大小为
的速度射入
磁场Ⅰ，粒子由Q 点进入电场区域，然后从M 点进入磁场Ⅱ，从N 点射出磁场Ⅱ进入磁场
Ⅰ，以后粒子恰好不进入电场区域，P 点的坐标为
，不计粒子重力。求：
（1）M 点坐标；
（2）
的值；
（3）粒子从P 点运动N 点的时间。
36．如图所示，直线OA 与y 轴的夹角
，在此角范围内有沿y 轴负方向的匀强电场，
一质量为m、电荷量为
的粒子以速度
从y 轴上P 点平行于x 轴射入电场，粒子经
电场偏转并经过OA 上的Q 点进入一矩形匀强磁场区域（未画出，方向垂直纸面向外），
并沿x 轴负方向经过O 点。已知O 点到Q 点的距离为6l，电场强度
，不计粒子的
重力，求：
（1）O 点到P 点的距离；
（2）粒子经过Q 点时的速度；
（3）匀强磁场的磁感应强度大小；
（4）矩形磁场区域的最小面积。
19
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37．如图所示，静止于A 处的带正电粒子，经加速电场加速后沿图中
圆弧虚线通过静电
分析器，从P 点垂直CN 竖直向上进入矩形区域的有界匀强磁场（磁场方向如图所示，其
中CNQD 为匀强磁场的边界）。静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，方向如图所示。
已知加速电场的电压为U，圆弧虚线的半径为R，粒子质量为m、电荷量为q，
，
。粒子重力不计。
（1）求粒子刚进入静电分析器时的速度大小；
（2）求粒子在辐向电场时其所在处的电场强度E；
（3）要求带电粒子最终能打在QN 上，求磁场磁感应强度大小B 的取值范围。
38．如图所示，空间坐标系O—xyz 内有一由正方体ABCO—A′B′C′O′和半圆柱体BPC—
B′P′C′拼接而成的空间区域，立方体区域内存在沿z 轴负方向的匀强电场，半圆柱体区域内
存在沿z 轴负方向的匀强磁场。M、M′分别为AO、A′O′的中点，N、N′分别为BC、B′C′的
中点，P、P′分别为半圆弧BPC、B′P′C′的中点，Q 为MN 的中点。质量为m、电荷量为q
的正粒子在竖直平面MNN′M′内由M 点斜向上射入匀强电场，入射的初速度大小为v0，方
向与x 轴正方向夹角为θ = 53°。一段时间后，粒子垂直于竖直平面BCC′B′射入匀强磁场。
20
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已知正方体的棱长和半圆柱体的直径均为L，匀强磁场的磁感应强度大小为
，不计
粒子重力，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6。
（1）求匀强电场的电场强度E 的大小；
（2）求粒子自射入电场到离开磁场时的运动时间t；
（3）若粒子以相同的初速度自Q 点射入匀强电场，求粒子离开匀强磁场时的位置坐标。
39．如图所示，在xoz 平面的第二象限内有沿x 轴负方向的匀强电场，电场强度的大小
，空间某区域存在轴线平行于z 轴的圆柱形磁场区域，磁场方向沿z 轴正方向。
一比荷为
的带正电粒子从x 轴上的P 点以速度
射入电场，方向与x 轴的夹角
。该粒子经电场偏转后，由z 轴上的Q 点以垂直于z 轴的方向立即进入磁场区域，
经磁场偏转射出后，通过坐标为（0，0.15m，0.2m）的M 点（图中未画出），且速度方向
与x 轴负方向的夹角
，其中
，不计粒子重力。求：
（1）粒子速度
的大小；
（2）圆柱形磁场区域的最小横截面积Smin（结果保留两位有效数字）；
（3）粒子从P 点运动到M 点经历的时间t（结果保留三位有效数字）。
21
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40．在如图所示的坐标中，第二、三象限内有一电场强度为E、方向竖直向下的有界匀强
电场，电场宽度为
，O1O2为电场左边边界。在第四象限的某一区域内有一个矩形
有界匀强磁场（图中未标出，磁感应强度大小未知）。现有一个带正电、电荷量为q、质
量为m 的电荷从电场左边边界上Q 点以某一速度垂直电场方向进入电场，然后再从O 点进
入了第四象限，粒子随后进入了磁场，运动一段时间后粒子到达x 轴上并沿x 轴反方向向
O 点运动并返回了电场中，忽略粒子的重力，点Q 距x 轴的距离为1.5d。
（1） 求粒子从O 点刚进入第四象限时的速度大小和方向；
（2） 若粒子在磁场中做匀速圆周运动时的向心加速度大小与其在电场中的加速度大小相
同，从粒子第一次经过O 点开始计时，经多长时间粒子再次回到O 点？
（3） 在满足（2）问和题干中的条件下，求第四象限中的磁场的最小面积。
22
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参考答案：
1．（1）
；（2）
【详解】（1）由题意设光在三棱镜中的折射角为
，则根据折射定律有
由于折射光线垂直EG 边射出，根据几何关系可知
代入数据解得
（2）根据题意作出单色光第一次到达半圆弧AMB 恰好发生全反射的光路图如图
则根据几何关系可知FE 上从P 点到E 点以
角入射的单色光线第一次到达半圆弧AMB 都
可以发生全反射，根据全反射临界角公式有
设P 点到FG 的距离为l，则根据几何关系有
又因为
联立解得
所以光线在EF 上的入射点D 到E 点的距离范围为
1
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2．（1）会，见解析；（2）
【详解】（1）光路如图所示，
由几何关系可知，该光线在M 点的入射角
，设该光线在M 点的折射角为r，有
解得
设临界角为
，有
解得
由几何关系可知，该光线在E 点的入射角
因为
，即
，所以该光线射到E 点时会发生全反射。
（2）由几何关系可知
，
该光线从M 点传播到E 点的时间
又折射率与速度关系
2
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解得
3．（1）
；（2）
。
【详解】（1）光在圆柱体中的传播速度为
（2）设光线PC 经折射后经过B 点，光路图如图所示
由折射定律
根据图中几何关系可知
联立解得
光线PC 离直线AB 的距离
则在AB 的上下两侧与直线AB 距离
的入射光线，折射后恰经过B 点。
4．（1）
；（2）
【详解】（1）由题意可得，该单色光在液面发生全反射时的临界角为
液体对该光的折射率为
3
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（2）该单色光在液体中的传播速度为
当光的路程最短时，射出的光线在液体中传播的最短时间
5．（1）0.2m；（2）
m，方向沿左下方
角
【详解】（1）在B 处发生全反射，如图
临界角C 满足
由几何关系得
联立解得，点光源的初始深度为
（2）由图可知
光源移动的位移s 满足
由公式
联立解得，光源移动速度为
4
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方向为光源S 沿着左下方
角。
6．（1）不能；（2）
【详解】（1）发生全反射的临界角满足
故不充入介质情况下，单色光
在1 中发生全反射，不能实现“开”的功能。
（2）单色光
在棱镜中的传播速度为
由几何关系可知单色光
在1 中运动的路程
又
代入数据解得
7．（1）
；（2）
【详解】（1）“萤火虫”发出的光在水晶中的传播速度为
该光在水晶中传播的最短时间为
（2）“萤火虫”到前表面的距离为
，光路图如图所示
5
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“萤火虫”发出的光在前表面恰好发生全反射时，有
解得
设“萤火虫”发出的光在前表面形成的光斑半径为
，由几何关系可知
解得
光斑的面积为
解得
8．（1）
；（2）1
【详解】（1）光路图如图所示
6
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（2）如图，根据折射定律有
在
中，根据正弦定理有
根据全反射临界角公式有
根据几何关系有
联立解得
即
9．（1）
；（2）
【详解】（1）璃砖转过
角时，折射光路如图
7
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由几何关系可知入射角
又
则
那么折射角
由折射定律可知
解得
（2）发生全反射时有
所以玻璃砖绕O 点相对初始位置转过的角度α 的正弦值为
8
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10．（1）2；（2）
【详解】（1）做出光的传播图像，如图
半球底面的透光面积占底面面积的
，根据
可知
设临界角为C，则有
根据全反射临界角公式有
解得
（2）根据几何关系如图，此时有
解得
11．（1）
；（2）
【详解】（1）由题意可知缓慢地将汲液器竖直提出液面过程，气体发生等温变化，所以有
又因为
9
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代入数据联立解得
（2）当外界气体进入后，以所有气体为研究对象有
又因为
代入数据联立解得
【点睛】
12．（1）
；（2）
【详解】（1）对罐内所封气体，根据玻意耳定律可知
解得
（2）当水的体积达到罐容积的40%，则此时罐内气体的体积为
根据玻意耳定律可知
压强
10
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13．（1）
；（2）
【详解】（1）选活塞为研究对象，根据平衡条件有
解得
（2）选缸体为研究对象，当气缸底部将要离开地面时，根据平衡条件有
解得
选封闭气体为对象，根据玻意耳定律有
解得
则活塞移动的距离为
14．（1）
；（2）
【详解】（1）吸管中的气体初始压强为
，初始体积为
，吸管中的
气体末态压强为
，设末态体积为
，由波意尔定律可得
解得
（2）设洗衣机缸与细管中的水面差为
，细管中气体的压强为
11
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洗衣机的水位
解得
15．
；
【详解】初始状态
翻转后
气体发生等温变化，根据玻意耳定律
联立解得
16．
，
【详解】设B 管在上方时上部分气压为pB，则此时下方气压为pA，此时有
12
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倒置后A 管气体压强变小，即空气柱长度增加1cm，A 管中水银柱减小1cm，A 管的内径
是B 管的2 倍，则
可知B 管水银柱增加4cm，空气柱减小4cm；设此时两管的压强分别为
、
，所以有
倒置前后温度不变，根据玻意耳定律对A 管有
对B 管有
其中
联立以上各式解得
17．（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设粗圆筒的截面积为S1，细圆筒的截面积为S2。由于粗圆筒的内径是细圆筒
内径的4 倍，所以有
水银总体积
一半水银上升到细圆筒中，设细圆筒中水银柱的高度为h。因为水银体积不变，所以有
13
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解得
（2）此时封闭气体的压强
（3）初态封闭气体的压强
初态封闭气体的体积
设初态到末态活塞B 上移的距离为x，则末态气体体积
由玻意耳定律有
解得
18．144cmHg，9.42cm
【详解】设初始时，右管中空气柱的压强为p1，长度为l1；左管中空气柱的压强为
p2＝p0
长度为l2，活塞被下推h 后，右管中空气柱的压强为p1′，长度为l1′；左管中空气柱的压强
为p2′，长度为l2′，以cmHg 为压强单位，由题给条件得
p1＝p0＋(20.0－5.00)cmHg①
l1′＝
cm②
由玻意耳定律得
p1l1＝p1′l1′③
联立①②③式和题给条件得
p1′＝144 cmHg④
依题意
14
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p2′＝p1′⑤
l2′＝4.00 cm＋
cm－h＝(11.5－h)cm⑥
由玻意耳定律得
p2l2＝p2′l2′⑦
联立④⑤⑥⑦式和题给条件得
h＝9.42cm
19．（1）
；（2）
【详解】（1）选择汽缸受力分析，静止在水平路面时：
解得
停在斜面上时
解得
由玻意尔定律得
解得
（2）充气前后温度不变
解得
15
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20．（1）见解析；（2）
【详解】（1）细管
与大气相通，管口处的压强为
，药液逐渐流出时，大气通过
管进
入A 瓶，由于管口上方的液柱逐渐变小，所以A 瓶内气体的压强逐渐增大；药液逐渐流出
时，只要A 瓶管口上方还有药液，B 瓶内药液的体积就不变，其上方气体的体积就不变，
压强不变。
（2）通气管a 与大气相通，管口处的压强为
。开始时A 瓶内气体的压强为
通入气体后，A 瓶内气体的压强为
设药瓶的内横截面积为S，则开始时A 内气体的体积
通入气体后，A 内气体的体积
由于气体等温变化，设通入压强为
的气体的体积为
，则有
设通入A 内的气体在等温条件下压强为
时的体积为
，则有
又
可知，通过通气管进入瓶内气体的质量与开始时A 瓶内气体质量的比值为
16
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联立解得
21．（1）
；（2）（i）
，
；（3）
【详解】（1）根据题意可知小物块在Q 点由合力提供向心力有
代入数据解得
（2）（i）根据题意可知当F≤4N 时，小物块与轨道是一起向左加速，根据牛顿第二定律可
知
根据图乙有
当外力
时，轨道与小物块有相对滑动，则对轨道有
结合题图乙有
可知
截距
联立以上各式可得
，
，
（ii）由图乙可知，当F=8N 时，轨道的加速度为6m/s2，小物块的加速度为
17
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当小物块运动到P 点时，经过t0时间，则轨道有
小物块有
在这个过程中系统机械能守恒有
水平方向动量守恒，以水平向左的正方向，则有
联立解得
根据运动学公式有
代入数据解得
22．（1）
；（2）
【详解】（1）根据题意可知，运动员在最低点重心距横木的距离为
设在最低点的速度为，从最高点到最低点由机械能守恒定律有
代入数据解得
（2）运动员到达最低点时，设每根绳拉力的大小为
，由牛顿第二定律有
解得
18
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23．（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球恰能到达最高点B，根据牛顿第二定律有
解得B 点时的速率为
（2）若不计空气阻力及与钉子相碰时损失的能量，小球从A 到B 机械能守恒，令A 点重力
势能为0 则有
则初速度v0为
（3）小球从A 到B 的过程中，由动能定理
解得
24．（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意，设铁球运动到圆弧轨道底端时速度的大小为
，铁球从圆弧轨道
顶端滑到轨道底端，根据机械能守恒定律得
解得
小球在最低点由牛顿第二定律有
19
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解得
根据牛顿第三定律可知，铁球运动到圆弧轨道底端对圆弧轨道的压力大小为
。
（2）设铁球在斜面上的加速度大小为
，由牛顿第二定律得
解得
铁球在斜面上运动时间
由运动学规律得铁球运动到
点的速度
斜面的长度
（3）将铁球在
点的速度沿着水平和竖直方向分解有
上升时间
这段时间内，铁球在水平方向的位移
则铁球与挡板碰撞时恰好运动到最高点，竖直方向的速度为零，则铁球与挡板碰撞时的速
度大小
20
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25．（1） 45°；（2）
【详解】（1）设青蛙在B 点的速度为v，从B 点到最高点C 的时间为t，则有
由抛物线的对称性可知，最高点C 位于圆心O 点的正上方，则有
解得
设青蛙的质量为m，从起跳点到B 点由机械能守恒定律得
解得
根据数学方法可知
当初速度
最小时
解得
θ=45°
（2）解得最小初速度的大小为
26．（1）
，方向水平向右；（2）
；（3）
【详解】（1）设小球与滑块碰撞前的速度为
，根据动能定理可得
解得
21
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小球与滑块发生弹性正碰，设碰后小球的速度为
，滑块的速度为
，根据系统动量守恒
和机械能守恒可得
联立解得碰后滑块的速度为
方向水平向右。
（2）以滑块和平板车为系统，根据动量守恒可得
解得滑块与平板车刚好共同运动的速度大小为
（3）设平板车的长度为，根据能量守恒可得
解得
27．（1）0.07N；（2）
；（3）
【详解】（1）小球下摆至最低点，满足机械能守恒定律
小球在最低点，由牛顿第二定律
解得
22
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由牛顿第三定律，球对轻绳的拉力大小为0.07N。
（2）小球与物块碰撞，满足动量守恒定律、机械能守恒定律
解得
（3）物块滑到圆弧轨道最高点的过程中，满足动量守恒定律、机械能守恒定律
解得
28．（1）
，
；（2）
，
【详解】（1）1 球下落高度为，此时1 球的速度大小为
，由自由落体规律可得
1 球受竖直向下的重力
，设地面的平均作用力为F，方向竖直向上，1 球与地面发生弹
性碰撞后速度大小仍为
，方向竖直向上。以竖直向下为正方向，根据动量定理，有
联立解得
（2）两球在落地前均有向下的速度
，
先与地弹性碰撞后速度变为向上的
，
23
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与2 球发生碰撞。取向上为正方向，设碰后的1 球和2 球的速度大小分别为
和
，根据
动量守恒和机械能守恒，有
解得
与
发生弹性碰撞后的速度大小为
由题意可知
，则有
故
反弹后能达到的最大高度为
若
，则有
故
反弹后能达到的最大高度为
29．（1）10m/s；（2）4000J；（3）
【详解】（1）设滑椅滑到圆弧轨道最低点时速度为
，由动能定理有
在圆弧轨道最低点时游客与滑椅的速度大小为
v0＝10m/s
（2）游客和滑椅滑上滑板B 到与滑板共速的过程遵循动量守恒，设共同速度为v，由动量
24
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守恒定律
解得
设在此过程中滑板的位移为
，对滑板受力分析，由动能定理有
解得
x1＝4m
因
，故达到共同速度后才与C 碰撞，对系统应用能量守恒，有
解得
Q＝4000J
（3）设B 与C 板第一次碰撞前瞬间，两者的速度大小分别为
，由动量守恒定律
设B 与C 板第二次碰撞前瞬间，两者的速度大小分别为
，由动量守恒定律
若要碰撞两次，则需要满足
，
根据B 往返运动的对称性
，对B 由动能定理，有
联立上式，由
可得
25
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由
可得
即d 应满足的条件
30．（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）物块M 从A 点运动至D 点，根据牛顿第二定律有
根据动能定理有
解得物块M 与斜面AB 间的动摩擦因数为
（2）物块M 从A 点运动至C 点，根据动能定理有
解得
小物块M 被弹回后进入圆轨道且刚好能达到圆心等高处，根据机械能守恒可得
解得
小物块M 与物块Ｎ发生弹性碰撞，根据动量守恒与能量守恒可得
26
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解得
，
（3）物块N 在长木板P 上做减速运动的加速度为
对长木板P，根据牛顿第二定律有
解得
设经历
物块N 与长木板P 共速，此时速度为，则
解得
，
共速后，物块N 与长木板P 一起运动，加速度为
解得
物块N 停止时距E 点的距离为
27
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31．（1）
；（2）
，方向沿x 轴正方向；（3）
(n=0,1,2
)
⋅⋅⋅
【详解】（1）根据题意，作出粒子垂直挡板射入小孔K 的运动轨迹如图所示
根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
在
区域根据洛伦兹力提供向心力有
在匀强加速电场中由动能定理有
联立解得
（2）根据题意，当轨迹半径最小时，粒子速度最小，则作出粒子以最小的速度从小孔K
射出的运动轨迹如图所示
28
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根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
在
区域根据洛伦兹力提供向心力有
粒子从小孔K 射出后恰好做匀速直线运动，由左手定则可知粒子经过小孔K 后受到的洛伦
兹力沿x 轴负方向，则粒子经过小孔K 后受到的电场力沿x 轴正方向，粒子带正电，则
之外第一象限区域电场强度的方向沿x 轴正方向，大小满足
联立可得
（3）在匀强加速电场中由动能定理有
可得
在
区域根据洛伦兹力提供向心力有
可得粒子在
区域运动的轨迹半径
作出从小孔K 射出的粒子的运动轨迹如图所示
设粒子从小孔
射出的速度方向与
轴正方向夹角为
，根据几何关系可知
29
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则粒子从小孔
射出的速度方向与
轴正方向的夹角为
，该速度沿
轴和
轴正方向的
分速度大小为
，
则粒子从
射出后的运动可分解为沿
轴正方向的匀速直线运动和速度大小为
的匀速圆周运动，可知
解得
粒子做圆周运动的周期为
，粒子至少运动
距离
轴最近，加上整周期则粒子
运动
，
时距离
轴最近，则最近位置的横坐标为
纵坐标为
，
综上所述，最近的位置坐标
，
。
32．（1）
；（2）
【详解】（1）正电荷在电场中做类平抛运动，x 轴方向有
y 轴方向有
30
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，
联立解得电场强度大小为
（2）另一相同电荷以
的初速度仍从A 点同向射入，在电场中沿x 轴方向有
电荷离开电场时，沿y 轴方向分速度为
则电荷进入磁场时的速度大小为
进入磁场时速度与x 轴夹角为
，则有
解得
电荷在磁场中，由洛伦兹力提供向心力得
由几何关系可得
解得
联立解得磁感应强度为
33．（1）
；（2）
【详解】（1）根据题意可知，在两极板间加电压为U 和垂直于纸面向内、磁感应强度为B
31
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的匀强磁场时，电子在
间做匀速直线运动，则有
又有
解得
（2）根据题意，由牛顿第二定律有
由图乙，根据几何关系有
联立解得，电子的比荷为
34．（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由题意，粒子从M 到N 做类平抛运动，轨迹如图所示
在沿-y 方向，有
位移大小为
沿x 正方向做匀速运动，由几何关系
32
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解得
又
联立求得电场强度大小为
（2）由题意，粒子从N 点垂直OP 进入磁场，到从C 点垂直x 轴离开磁场，由几何关系，
则粒子在磁场中做圆周运动的半径
在N 点粒子速度与OP 垂直，大小为
由牛顿第二定律
解得
（3）由运动规律，粒子在电场中做类平抛的时间为
，有
粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间为
，有
故从M 点运动到C 点所用的总时间为
33
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35．（1）
；（2）
或
；（3）
【详解】（1）粒子在匀强磁场Ⅰ中运动
解得
运动半圆后从Q 点进入电场区域，竖直方向
x 轴方向
解得
M 点坐标（
）；
（2）粒子进入磁场的速度
分速度关系为
得
粒子恰好完全在磁场中Ⅰ运动，运动轨迹和y 轴相切，在磁场中Ⅱ运动
34
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解得
或
（3）粒子在磁场中Ⅰ运动时间
粒子在电场中运动时间
粒子在磁场中Ⅱ运动时间
粒子从P 点运动N 点的时间
36．（1）
；（2）
，方向为与
轴正方向的夹角为
；（3）
；（4）
【详解】（1）根据题意可知，粒子在电场中做类平抛运动，垂直电场方向上有
沿电场方向，设O 点到P 点的距离为，则有
，
联立解得
，
（2）根据题意可知，粒子经过Q 点时的速度
35
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设速度方向与
轴正方向的夹角为
，则有
解得
即速度方向为与
轴夹角为
。
（3）根据题意，画出粒子的运动轨迹如图所示
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，由几何关系得
解得
由牛顿第二定律有
解得匀强磁场的磁感应强度大小
（4）带电粒子从
点射人磁场，包含圆弧的最小矩形此场区域，如图中虚线所示，矩形区
域长为
矩形区域宽为
所以该区域的最小面积为
36
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37．（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在加速电场中加速，根据动能定理有
求得
（2）粒子在辐向电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力有
解得
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，则由
，
求得
粒子能打在
上，则既没有从
边出去也没有从
边出去，则粒子运动径迹的边界如
图
由几何关系可知，粒子能打到
上，必须满足
37
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求得
38．（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在电场中运动时，沿x 轴方向
解得
沿z 轴方向
由牛顿第二定律可知
解得
（2）粒子进入匀强磁场后，由牛顿第二定律可知
解得
由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为60°，粒子在磁场中运动的周期
粒子在匀强磁场中运动的时间
故
38
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（3）若粒子以相同的初速度自Q 点射入匀强电场，在匀强电场中运动的时间
进入磁场时，沿x 轴方向的速度大小为
沿z 轴方向的速度大小为
故粒子沿x 轴方向做匀速圆周运动，半径
沿z 轴方向做匀速直线运动，因粒子做圆周运动的半径不变，故在磁场中运动的时间不变，
在磁场中沿z 轴方向运动的位移大小为
在电场中沿z 轴方向运动的位移大小为
故粒子离开磁场时，z 轴方向的坐标
y 轴方向的坐标
x 轴方向的坐标
即离开磁场时的位置坐标为
。
39．（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在电场中沿x 轴正方向的分运动是匀速直线运动，沿z 轴正方向的分运
39
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动是匀变速直线运动，沿z 轴方向根据匀变速直线运动的规律可得
1
根据牛顿第二定律可得
沿x 轴正方向
联立可得
（2）由几何关系得
圆柱形磁场区域的最小横截面积
（3）洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得
解得
，
粒子在磁场和电场中运动的时间围为
40
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解得
40．（1）
，与x 轴正向夹角60°；（2）
；（3）
【详解】（1）设粒子第一次通过坐标原点O 时速度大小为，方向与x 轴正向夹角为θ，
粒子从Q 到O 时间为t0，由类平抛运动规律，水平方向有
竖直方向有
根据牛顿第二定律有
联立解得
θ=60°
（2）设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为r，则
又
解得
根据粒子进入磁场和粒子飞出磁场的速度方向可确定磁场的位置，如图所示
41
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假设OP 间的距离为s，由几何关系得
粒子从O 点到刚进入磁场所用的时间
粒子的匀强磁场中运动时间
从粒子第一次经过O 点开始计时，到粒子再次回到O 点的时间
将
代入上式，解得
（3）满足条件的磁场为图中的矩形abcd，最小面积为
代入
，解得
42
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