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1．如图（a）所示，轨道左侧斜面倾斜角满足sinθ1 = 0.6，摩擦因数
，足够长的光
滑水平导轨处于磁感应强度为B = 0.5T 的匀强磁场中，磁场方向竖直向上，右侧斜面导轨
倾角满足sinθ2 = 0.8，摩擦因数
。现将质量为m 甲 = 6kg 的导体杆甲从斜面上高
h = 4m 处由静止释放，质量为m 乙 = 2kg 的导体杆乙静止在水平导轨上，与水平轨道左端
的距离为d。已知导轨间距为l = 2m，两杆电阻均为R = 1Ω，其余电阻不计，不计导体杆
通过水平导轨与斜面导轨连接处的能量损失，且若两杆发生碰撞，则为完全非弹性碰撞，
取g = 10m/s2，求：
（1）甲杆刚进入磁场，乙杆的加速度？
（2）乙杆第一次滑上斜面前两杆未相碰，距离d 满足的条件？
（3）若乙前两次在右侧倾斜导轨上相对于水平导轨的竖直高度y 随时间t 的变化如图（b）
所示（t1、t2、t3、t4、b 均为未知量），乙第二次进入右侧倾斜导轨之前与甲发生碰撞，甲
在0 ~ t3时间内未进入右侧倾斜导轨，求d 的取值范围。
2．如图所示，
和
是两根足够长且电阻不计的固定光滑平行金属轨道，其中
和
为轨道的水平部分，
和
是倾角
的倾斜部分。在
右侧空间中
存在磁感应强度大小
，方向竖直向上的匀强磁场，不计导体棒在轨道连接处的动能
损失。将质量
，单位长度电阻值
的导体棒
于倾斜导轨上，距离斜面
1
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轨道底端高度
，另一完全相同的导体棒
静止于水平导轨上，导轨间距均为
，导体棒长度均为
。
时，导体棒
从静止释放，到两棒最终稳定运
动过程中，
棒未发生碰撞，且两导体棒始终与导轨保持垂直，g 取
。求：
（1）
棒刚滑到斜面轨道底端时回路中产生的电流；
（2）两导体棒的最终速度大小；
（3）从开始计时到两棒最终稳定运动过程中，通过回路的电荷量。
3．如图所示，两固定平行金属导轨由光滑倾斜导轨和粗糙水平导轨组成，倾斜导轨的倾角
为
，水平虚线MN 垂直于导轨，导轨间距为d，上端接有阻值为R 的定值电阻，倾斜导轨
区域存在磁感应强度大小为
、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，水平导轨区域存在方
向竖直向上的匀强磁场。质量为m、长为d、电阻为r 的金属棒从倾斜导轨上某处由静止下
滑，金属棒到达MN 时速度恰好达到最大，进入水平导轨后滑行距离x 停下。金属棒在水
平导轨上运动的过程中，通过金属棒某一横截面的电荷量为q。金属棒始终与导轨垂直且
接触良好，重力加速度大小为g，不计导轨电阻，不计金属棒通过MN 时的能量损失。
求：
（1）金属棒在倾斜导轨上运动时的最大速度
；
（2）水平导轨间磁场的磁感应强度大小
。
4．如图所示，MN、PQ 是两根足够长的光滑平行的金属导轨，导轨间距离
，导
轨平面与水平面的夹角
，导轨上端连接一个阻值R=0.4Ω 的电阻。整个导轨平面处
2
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于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.5T。现有一根质量
、电
阻
的金属棒ab 垂直于导轨放置，且接触良好，金属棒从静止开始沿导轨下滑
后达到匀速直线运动，且始终与导轨垂直。重力加速度g 取
，导轨电阻不计，
求：
（1）金属棒沿导轨下滑过程中速度最大值；
（2）金属棒沿导轨匀速下滑时ab 两端的电压；
（3）金属棒从静止达到匀速的过程中，电阻R 产生的热量。
5．电阻不计的平行金属导轨
与
如图所示放置，一段水平，一段倾斜。
与
段水平且粗糙， HG 与 QN 段倾斜且光滑，EF 段间导轨的宽度为
段间导
轨的宽度为
与
与水平面成
角， 空间中存在匀强磁场， 磁
感应强度大小均为
，方向与轨道平面垂直， 金属棒
、
与轨道垂直放置，
两金属棒质量相等， 均为
，接入电路的电阻均为
间用轻质绝
缘细线相连，中间跨过一个理想定滑轮， 两金属棒始终垂直于导轨，两金属棒始终不会与
滑轮相碰， 金属导轨足够长，
， 现将金属棒由静止释放， 释放瞬间
棒的
加速度为
。
（1）
棒与导轨间的动摩擦因数为多大；
（2） 释放
棒后， 求两金属棒的最大速度大小；
（3）假设金属棒
沿倾斜导轨下滑
时达到最大速度， 试求由静止释放金属棒
3
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至达到最大速度
棒下滑的距离。
6．如图所示，质量为M 的U 形金属框M′MNN′静置在粗糙绝缘水平面上，金属框与水平面
间的动摩擦因数为
，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。MM′、NN′两边相互平行，相距为
l，两边电阻不计且足够长；底边MN 垂直于MM′，电阻为r。质量为m 的光滑导体棒ab，
电阻为R，垂直MM′放在金属框上，整个装置处于垂直金属框平面向上、磁感应强度大小
为B 的匀强磁场中、在垂直ab 棒的水平拉力F 作用下，ab 棒沿轨道由静止开始做匀加速
直线运动，经x0距离后撤去拉力，直至ab 棒最后停下，整个过程中金属框恰好没动。若导
体棒ab 与MM′、NN′始终保持良好接触，重力加速度为g，求：
（1）加速过程中通过导体棒ab 的电荷量q。
（2）导体棒做匀加速直线运动过程中，导体棒的加速度和水平拉力F 随位移x 变化的函数
关系式。
（3）导体棒ab 通过的总位移。
7．如图，两根电阻不计、足够长的平行光滑金属导轨
固定在水平面内，间距
，在导轨间宽度
的矩形区域内，有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应
强度大小
，一根质量
，电阻
的金属棒
静止在导轨上，现使另
一根质量
，电阻也为
的金属棒
以初速度
从左端开始沿导轨
滑动，穿过磁场区域后，与
发生弹性碰撞，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好。求：
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（1）金属棒
在第一次穿越磁场的过程中回路中感应电流的方向（从上向下看，是顺时针
还是逆时针，写出结果即可）；
（2）金属棒
在第一次穿越磁场的过程中流过金属棒
的电荷量
；
（3）金属棒
穿出磁场时的速度大小
；
（4）金属棒
在与金属棒碰撞后瞬间的速度
。
8．如图所示，倾角均为
、间距为L 的平行金属导轨左右对称，在底端平滑相连并固定在
水平地面上，左侧导轨光滑、长度为s，其上端接一阻值为R 的定值电阻，右侧导轨粗糙
且足够长。两导轨分别处在垂直导轨平面向下、磁感应强度大小均为
的匀强磁场中。现
将一质量为m、长度为L 的金属棒自左侧导轨顶端由静止释放，到达底端前金属棒已经达
到最大速度，金属棒滑上右侧导轨时，左侧磁场立即发生变化，使金属棒沿右侧导轨上滑
过程中通过金属棒的电流始终为0。已知金属棒与右侧导轨间的动摩擦因数
，重
力加速度为g，除定值电阻外，其余部分电阻均不计。
（1）求金属棒第一次运动到导轨底端时的速度大小；
（2）金属棒第一次沿右侧导轨上滑过程中，求左侧磁场的磁感应强度
与金属棒上滑距
离x 的关系式；
（3）金属棒在右侧导轨第一次上滑到最高点时，左侧磁场发生新的变化，使金属棒沿右侧
导轨向下做加速度大小为
的匀加速直线运动。当金属棒第二次运动到导轨底端时，
求左侧磁场的磁感应强度
的大小。
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9．如图所示，与水平方向成夹角
的两平行金属导轨
，左端连接水平金属
轨道
，右端用绝缘圆弧连接水平金属导轨
，并在轨道上放置静止的金属
导体棒b。在水平轨道末端安装绝缘的无摩擦轻质固定转轴开关，导体棒b 经过
两点
（无能量损失），进入半径
与水平面垂直的半圆形导轨。转轴开关会顺时针转动
以挡住后面的金属棒。
两点略高于
，可无碰撞通过。半圆形导轨与足够长的水
平金属导轨
平滑连接，末端连接
的电容器。已知轨道间距为
，
长度
，a、b 棒质量均为1kg，a 电阻为
，b 电阻不计，
平面、
平面、
平面内均有垂直于该平面的磁场
，不计一切摩擦，
导轨电阻不计，
。现将导体棒a 自
静止释放，求：
（1）若导体棒a 运动至
前已匀速，求匀速下滑时速度；
（2）
水平金属导轨足够长，要求a、b 棒可在水平轨道上达到共速且不会发生碰
撞，则b 初始位置至少应离
多远；
（3）b 过
后，转轴开关将a 挡住，求b 在轨道
滑行的最终速度。
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10．如图（a），一倾角为
的绝缘光滑斜面固定在水平地面上，其顶端与两根相距为L 的
水平光滑平行金属导轨相连；导轨处于一竖直向下的匀强磁场中，其末端装有挡板M、
N．两根平行金属棒G、H 垂直导轨放置，G 的中心用一不可伸长绝缘细绳通过轻质定滑轮
与斜面底端的物块A 相连；初始时刻绳子处于拉紧状态并与G 垂直，滑轮左侧细绳与斜面
平行，右侧与水平面平行．从
开始，H 在水平向右拉力作用下向右运动；
时，
H 与挡板M、N 相碰后立即被锁定．G 在
后的速度一时间图线如图（b）所示，其中
段为直线．已知：磁感应强度大小
，
，G、H 和A 的质量均为
，
G、H 的电阻均为
；导轨电阻、细绳与滑轮的摩擦力均忽略不计；H 与挡板碰撞时间
极短；整个运动过程A 未与滑轮相碰，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好：
，
，重力加速度大小取
，图（b）中e 为自然常数，
．求：
（1）在
时间段内，棒G 的加速度大小和细绳对A 的拉力大小；
（2）
时，棒H 上拉力的瞬时功率；
（3）在
时间段内，棒G 滑行的距离．
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参考答案：
1．（1）a 乙0 = 2m/s2，方向水平向右；（2）d ≥ 24m；（3）
【详解】（1）甲从静止运动至水平导轨时，根据动能定理有
甲刚进人磁场时，平动切割磁感线有
E0 = Blv0
则根据欧姆定律可知此时回路的感应电流为
根据楞次定律可知，回路中的感应电流沿逆时针方向（俯视），结合左手定则可知，乙所
受安培力方向水平向右，由牛顿第二定律有
BI0l = m2a 乙0
带入数据有
a 乙0 = 2m/s2，方向水平向右
（2）甲和乙在磁场中运动的过程中，系统不受外力作用，则系统动量守恒，若两者共速时
恰不相碰，则有
m1v0 = (m1＋m2)v 共
对乙根据动量定理有
其中
联立解得
dmin = Δx = 24m
则d 满足
d ≥ 24m
（3）根据（2）问可知，从甲刚进入磁场至甲、乙第一次在水平导轨运动稳定，相对位移
为Δx = 24m，且稳定时的速度v 共 = 6m/s 乙第一次在右侧斜轨上向上运动的过程中，根
据牛顿第二定律有
m2gsinθ2＋μ2m2gcosθ2 = m2a 乙上
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根据匀变速直线运动位移与速度的关系有
2a 乙上x 上 = v 共
2
乙第一次在右侧斜轨上向下运动的过程中，根据牛顿第二定律有
m2gsinθ2－μ2m2gcosθ2 = m2a 乙下
再根据匀变速直线运动位移与速度的关系有
2a 乙下x 下 = v1
2
且
x 上 = x 下
联立解得乙第一次滑下右侧轨道最低点的速度
v1 = 5m/s
由于两棒发生碰撞，则为完全非弹性碰撞，则甲乙整体第一次在右侧倾斜轨道上向上运动
有
（m1＋m2）gsinθ2＋μ2（m1＋m2）gcosθ2 = (m1＋m2)a 共上
同理有
2a 共上x 共上 = v2
且由图（b）可知
x 上 = 4.84x 共上
解得甲、乙碰撞后的速度
乙第一次滑下右侧轨道最低点后与甲相互作用的过程中，甲、乙组成的系统合外力为零，
根据动量守恒有
m1v2－m2v1 = (m1＋m2))v
解得乙第一次滑下右侧轨道最低点时甲的速度为
若乙第一次滑下右侧轨道最低点时与甲发生碰撞，则对应d 的最小值，乙第一次在右侧斜
轨上运动的过程，对甲根据动量定理有
其中
2
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解得
根据位移关系有
dmin′－Δx = Δx1
解得
若乙返回水平导轨后，当两者共速时恰好碰撞，则对应d 的最大值，对乙从返回水平导轨
到与甲碰撞前瞬间的过程，根据动量定理有
其中
解得
根据位移关系有
dmax－Δx－Δx1 = Δx2
解得
则d 的取值范围为
2．（1）0.1A；（2）0.5m/s；（3）3.125C
【详解】（1）
棒从斜面轨道滑到底端，根据动能定理，有
切割产生的感应电动势为
根据闭合电路欧姆定律，有
3
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联立解得
（2）因为两导体棒所受的安培力始终大小相等、方向相反，所以将两棒组成的系统作为研
究对象，由动量守恒得
解得
（3）从
棒刚进入磁场到与
棒共速，对导体棒
，由动量定理得
代入数据解得
3．（1）
；（2）
【详解】（1）金属棒在倾斜导轨上受重力、支持力和沿斜面向上的安培力，金属棒在倾斜
导轨上运动达到最大速度时，匀速运动，根据平衡条件
其中
感应电动势为
根据闭合电路欧姆定律，有
联立解得
4
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（2）在水平导轨上产生的平均感应电动势为
通过的电荷量为
联立可得
4．（1）2.5m/s；（2）0.2V；（3）
【详解】
（1）金属棒匀速运动时，由平衡条件知
棒匀速切割磁感线时
回路电流
代入得
解得
（2）匀速时，代入公式，知
（3）由能量守恒定律知
5
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解得
5．（1） 0.3 ；（2）
；（3）
【详解】（1） 释放时对金属棒
由牛顿第二定律分别可得
联立解得
（2） 由右手定则可知， 金属棒
中的电流方向从
到
， 经分析， 当两金属棒
加速度为 0 时速度最大， 设最大速度为
， 对
棒有
对
棒有
此时感应电动势为
由闭合电路欧姆定律可得
解得
（3） 设金属棒由静止释放至最大速度所需时间为 ， 则对
棒有
对
棒有
而
6
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解得
6．（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由电流的定义得
又
解得
（2）由题意可知，当金属框恰好不动时，导体棒速度最大，故
而
且
得到
7
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由
得到
设位移为x 时导体棒速度为v，对导体棒由牛顿第二定律有
而
，联立解得
（3）选向右的方向为正方向，撤去拉力后，导体棒在安培力作用下做减速运动，由动量定
理可知
而
总位移
7．（1）逆时针；（2）0.5C；（3）1.5m/s；（4）
【详解】（1）由右手定则可知，第一次穿过磁场时回路中有逆时针方向的感应电流。
8
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（2）a 棒在第一次穿过磁场的过程中平均电动势
通过的电量
（3）第一次穿过磁场的过程中由动量定理可知
解得
v1=1.5m/s
（4）两棒发生弹性碰撞，则
解得
v2=-0.5m/s
8．（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）金属棒在左侧导轨上，当沿导轨向下重力的分力与金属棒所受安培力等大时，
金属棒速度达到最大，将做匀速直线运动，设此时速度大小为
，则此时的感应电动势为
电路中的电流为
金属棒所受安培力为
解得
9
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（2）金属棒第一次沿右侧导轨上滑过程中，因为通过金属棒的电流始终为0，所以回路中
的磁通量不变，则
即
（3）金属棒在右侧导轨运动，根据牛顿第二定律
解得
金属棒在右侧导轨运动的最大位移为
，则
解得
若金属棒沿右侧导轨向下做加速度大小为
的匀加速直线运动，则根据牛顿第二
定律
解得
此时电路中的电流为
金属棒下滑时间为t，则
10
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解得
则此过程通过金属棒的电荷量为
金属棒在右侧导轨最高处时，回路中的磁通量为
金属棒在最低出的时，回路中的磁通量为
又
以上各式联立，解得
9．（1）12m/s；（2）12m；（3）6m/s
【详解】（1）对a 匀速时
又
E=Bdv
解得
v=12m/s
（2）a 滑上CD、C′D′后与b 动量守恒，则
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解得
对b 有
又
可得
故至少离CC′12m。
（3）b 进入圆轨道时，因为
故沿轨道做圆周运动至GG′由
可得
v3=12m/s
对b 有
又
且
U=Bdv4
可得
可得
v4=6m/s
12
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10．（1）
；
；（2）
；（3）
【详解】（1）由
图像可得在
内，棒G 做匀加速运动，其加速度为
依题意物块A 的加速度也为
，由牛顿第二定律可得
解得细绳受到拉力
（2）由法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律推导出“双棒”回路中的电流为
由牛顿运动定律和安培力公式有
由于在
内棒G 做匀加速运动，回路中电流恒定为
，两棒速度差为
保持不变，这说明两棒加速度相同且均为a；
对棒H 由牛顿第二定律可求得其受到水平向右拉力
由
图像可知
时，棒G 的速度为
此刻棒H 的速度为
其水平向右拉力的功率
．
（3）棒H 停止后，回路中电流发生突变，棒G 受到安培力大小和方向都发生变化，棒G
是否还拉着物块A 一起做减速运动需要通过计算判断，假设绳子立刻松弛无拉力，经过计
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算棒G 加速度为
物块A 加速度为
说明棒H 停止后绳子松弛，物块A 做加速度大小为
的匀减速运动，棒G 做加速度
越来越小的减速运动；由动量定理、法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可以求得，
在
内
棒G 滑行的距离
这段时间内物块A 速度始终大于棒G 滑行速度，绳子始终松弛。
14
