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专题08 电磁感应中的线框模型
一．线框模型常见的运动图像
（空气阻力不计）
二．线框模型进出磁场电荷量大小相等
如图所示，在光滑的水平面上，有一竖直向下的匀强磁场分布在宽度为L 的区域内，现有一
个边长为a(a<L)的正方形闭合线圈以初速度v0垂直磁场边界滑过磁场后，速度为v(v<v0)，
线圈进入磁场过程，由动量定理有－BI1L·Δt1＝mv′－mv0
线圈离开磁场过程，同理－BI2L·Δt2＝mv－mv′
进出磁场时磁通量变化数值相同，故q0＝q
q0＝I1·Δt1，q＝I2·Δt2
联立各式得v′－v0＝v－v′
所以v′＝，
1
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【模型演练1】（22-23 高二下·宁夏固原·期中）如图所示，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高
度静止释放，用
、
分别表示线框ab 边和cd 边刚进入磁场的时刻。线框下落过程形状不变，ab 边始终
保持与磁场水平边界线OO′平行，线框平面与磁场方向垂直。设OO′下方磁场区域足够大，不计空气影响，
则下列图像可能反映线框下落过程中速度v 随时间t 变化规律的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【模型演练2】．（23-24 高二上·山东青岛·期末）由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭
合线圈，两线圈的质量相等，所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的3 倍。现两线圈在竖直平面
内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水
平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上下边保持水平。在线圈下边进入
磁场后且上边进入磁场前，关于甲、乙两物体的运动，下列说法可能正确的是（ ）
A．都减速运动
B．都加速运动
2
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C．两物体的加速度一定相同
D．两物体的加速度一定不同
【模型演练3】（23-24 高二上·福建龙岩·期末）2023 年12 月26 日，“龙龙”高铁（龙岩段）正式开通，
高铁起于福建省龙岩市，终到广东省河源市龙川县，对促进闽西革命老区和粤港澳大湾区发展合作具有重
要意义。如图所示，一列动车水平驶入新建的武平车站，其进站的电磁制动原理可简化如下：在车身下方
固定一矩形线框，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车质量为m，车身长为s，
线框的ab 和cd 长度均为L（L 小于磁场的宽度），线框的总电阻为R。站台轨道上匀强磁场方向竖直向上，
其区域足够长，左边界与ab 平行，磁感应强度大小为B。车头进入磁场瞬间的速度为
，列车停止前所受
铁轨及空气阻力的合力恒为f。则（ ）
A．列车进站过程中电流方向为badcb
B．列车ab 边进入磁场瞬间，加速度大小
C．列车从进站到停下来的过程中，线框产生的热量
D．列车从进站到停下来的过程中，通过回路的电荷量
【模型演练3】（22-23 高二上·河南·期末）如图所示，两个相同的矩形线圈甲、乙是由相同材料、粗细均
匀的金属丝做成的单匝线圈，矩形线圈的长为2L、宽为L，现分别把甲、乙两线圈从图示位置以相等的速
率匀速拉出匀强磁场，在该过程中，下列说法正确的是（ ）
3
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A．甲、乙两线圈的电流之比
B．流经甲、乙两线圈某一横截面的电荷量之比
C．甲、乙两线圈的热功率之比
D．甲、乙两线圈产生的热量之比
一、单选题
1．（23-24 高二下·黑龙江绥化·开学考试）如图甲所示，边长为
的正方形导线框
位于纸面内，匀
强磁场区域宽为
，磁场方向垂直于纸面向里。导线框以垂直于磁场边界的恒定速度通过该磁场区
域，导线框四条边电阻均为
，在运动过程中，线框
边始终与磁场区域的边界平行。线框刚进入磁场
的时刻为
，线框中感应电流随时间变化的规律（即
图像）如图乙所示，以下分析错误的是
（ ）
4
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A．在第
内，线框中感应电流为逆时针方向，大小恒定为
B．在第
内，感应电流大小为0，所以此时穿过线框的磁通量也为0
C．在第
内，线框中感应电流方向为顺时针方向，大小恒定为
D．在第
内，线框中
两点间电压大小为
2．（23-24 高二上·浙江杭州·期中）如图所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为L 和2L 的两只闭合线框
a 和b，以相同的速度从磁感应强度为B 的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外，不考虑线框的动能变化，若
外力对环做的功分别为
、
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
3．（23-24 高二上·贵州六盘水·期末）如图所示，用均匀导线做成边长为L、电阻为R 的正方形闭合线框
，在外力作用下以速度v 向右匀速进入匀强磁场的过程中，则下列说法正确的是（ ）
A．c、b 两点间的电压为
B．c、b 两点间的电压为
C．线框进入磁场过程中，产生的热量为
5
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D．线框进入磁场过程中，外力做功的功率为
4．（23-24 高二上·广东深圳·期末）用同样的金属材料制成三个大小相同的线圈a、b、c，其中线圈a 的线
径较粗，b、c 两个的线径较细，且a、b 是闭合的，c 是开口的。它们从同样高度处自由落下，途中经一匀
强磁场区域后着地，则它们运动时间的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高二上·北京海淀·期末）如图所示，将质量为m 的闭合矩形导线框abcd 先后两次从图示位置由
静止释放，穿过其下方垂直于纸面向里的匀强磁场。第一次线框恰好匀速进入磁场。已知ab 边长为3L，
bc 边长为L，磁场的宽度h>3L，不计空气阻力。下列判断正确的是（ ）
A．第一次进入磁场过程中，线框减少的重力势能为mgh
B．第二次刚进入磁场时，线框的加速度大小为2g
C．先后两次刚进入磁场时，ab 两点间的电势差之比为1:5
D．先后两次刚进入磁场时，线圈中的感应电流之比为1:1
6．（23-24 高二上·河南郑州·期末）如图所示，粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框abcd，置于有界匀强
6
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磁场中，图中虚线为磁场边界，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。现使线框以同样大小的速度
匀速
沿四个不同方向平动进入磁场，并且速度方向始终与线框先进如磁场的那条边垂直，则在通过如图所示位
置时，下列说法正确的是（ ）
A．图①中ab 两点间的电势差最大
B．图②中ab 两点间的电势差最大
C．图③中回路电流最大
D．图④中回路电流最小
7．（23-24 高二上·广东广州·期末）有一边长
、质量
的正方形导线框abcd，由高度
处自由下落，如图所示，其下边ab 进入匀强磁场区域后，线圈开始做匀速运动，直到其上边dc
刚刚开始穿出匀强磁场为止。已知匀强磁场的磁感应强度
，匀强磁场区域的高度也是l，g 取
，
则线框（ ）
A．电阻
B．进入磁场的过程通过线框横截面的电荷量
C．穿越磁场的过程产生的焦耳热
D．穿越磁场的过程，感应电流方向和安培力方向都不变
8．（2023·吉林长春·一模）如图，在光滑水平桌面上有一边长为l、电阻为R 的正方形导线框，在导线框
7
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右侧有一宽度为d（d＞l）的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的左、右边框平行，磁场方向竖直
向下。导线框以某一初速度向右运动并穿过磁场，在穿过磁场区域过程中，下列描述该过程的v—x（速度
—位移）图像中，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（23-24 高二下·黑龙江大庆·开学考试）如图所示，电阻为0.1Ω 的正方形单匝线圈abcd 的边长为
0.2m﹐bc 边与匀强磁场边缘重合。磁场的宽度等于线圈的边长，磁感应强度大小为0.5T。在水平拉力作用
下，线圈以8m/s 的速度向右穿过磁场区域，线圈在上述过程中（ ）
A．感应电动势的大小
8
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B．线框穿过整个磁场的时间是0.025s
C．所受拉力的大小
D．线框穿越磁场的整个过程中产生的热量是0.16J
10．（23-24 高二上·山东济南·期末）如图所示，
、
为相同的等腰直角三角形，且
、
、
在同一条直线上．
内有垂直纸面向里的匀强磁场，
内有垂直纸面向外的匀强磁场，两个磁场
的磁感应强度大小相等．一电阻分布均匀的正方形导线框的边长为，且为
长度的一半。该线框沿
向右以速度匀速穿过磁场，
时刻恰好位于图中所示位置．线框平行于
方向所受的安培力
为
，向左为正，导线框中电流
以顺时针方向为正方向，二者与时间的关系图像正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
9
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11．（23-24 高二上·河北邯郸·期末）如图所示，水平地面上方存在垂直纸面向里的有界匀强磁场，有界磁
场上边界与水平地面平行。两个边长相等的单匝闭合正方形线圈a 和b，分别用材料相同、粗细不同的导
线绕制，线圈a 和b 所用导线的横切面面积之比为1 3∶，线圈a 从距磁场上边界h 高处由静止开始自由下落，
再进入磁场，最后落到地面；线圈b 在相同高度以初速度
水平抛出，先做平抛运动，再进入磁场，最后
也落到地面。已知线圈运动过程中均不发生转动。设线圈a 和b 进入磁场的整个过程中，两线圈的运动时
间分别为
和
，通过两线圈的电荷量分别为
和
，不计空气阻力，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2024 高二下·河南商丘·期中）在如图所示的两平行虚线之间存在着垂直纸面向里、宽度为d、磁感
应强度为B 的匀强磁场，正方形线框abcd 的边长为L（
），质量为m，电阻为R。将线框从距离磁场
的上边界为h 高处由静止释放后，线框的ab 边刚进入磁场时的速度为
，ab 边刚离开磁场时的速度也为
，在线框进入磁场的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．a 点的电势高于b 点
B．线框一定做减速运动
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C．通过导线横截面的电荷量为
D．克服安培力所做的功为mgd
13．（23-24 高二上·重庆沙坪坝·期末）如图（a）所示，在竖直平面内有宽度为L 的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、
Ⅳ，各磁场边界平行且在水平面内，四个区域内匀强磁场磁感应强度的大小均为B，磁场Ⅰ、Ⅲ的磁感应
强度的方向垂直于纸面向外，磁场Ⅱ、Ⅳ的磁感应强度的方向垂直于纸面向里，磁场Ⅰ、Ⅱ之间的距离为
L，磁场Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ依次相邻。一质量为m、边长为L 的正方形单匝闭合导线框从磁场Ⅰ上方某一位置静
止释放，从导线框下边到达磁场Ⅰ上边界开始计时，当导线框下边到达磁场Ⅳ的下边界时停止计时，此过
程中导线框内电流大小随时间的变化规律如图（b）所示，图中开始阶段和最后阶段的电流图线平行于时
间轴。在运动过程中导线框始终在竖直平面内且上下两边与各磁场边界始终平行，不计空气阻力，重力加
速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．导线框刚进入磁场时做匀速直线运动的速度为
B．导线框的电阻R 为
C．从导线框上边到达磁场Ⅱ上边界至导线框下边到达磁场IV 下边界运动的总时间为
D．从导线框下边到达磁场Ⅱ上边界至导线框下边到达磁场IV 下边界过程中导线框中产生的热量为
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14．（23-24 高二上·黑龙江大庆·期末）如图所示，在倾角为
的光滑斜面上，存在两个大小相等、方向相
反的匀强磁场，磁场方向与斜面垂直，两磁场的宽度MJ 和JG 均为L，一个质量为m、电阻为R、边长也
为L 的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，当ab 边刚越过GH 进入磁场时，线框恰好以速度
做匀速
直线运动；当ab 边下滑到JP 与MN 的中间位置时，线框又恰好以速度v 做匀速直线运动，则（ ）
A．
B．线框离开MN 的过程中电流方向为
C．当ab 边刚越过JP 时，线框加速度的大小为
D．从ab 边刚越过GH 到ab 边刚越过MN 过程中，线框产生的热量为
三、解答题
15．（23-24 高二下·河南·阶段练习）如图所示，光滑的绝缘斜面倾角为
，水平虚线上方存在垂直
斜面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为
，边长为
、质量为
、电阻值为
的正方形线框abcd 放在虚线下侧，其中cd 边与虚线平行，现在线框上施加沿斜面向上的恒力
使其由静止开始运动，经过一段时间线框刚好匀速进入磁场，直到ab 边与虚线重合，重力加速度
为
，整个过程线框没有发生转动，求：
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（1）线框出发瞬间cd 边到虚线的间距；
（2）线框从开始运动到ab 边与虚线重合的过程产生的焦耳热，以及该过程流过线框某一横截面的电荷量。
16．（2024·陕西·模拟预测）如图所示，在竖直面内有一宽
长
、垂直纸面向里的有界匀强
磁场区域，在磁场正上方
处有一边长
为
的正方形导线框，导线框的质量
，电阻
，当导线框做自由落体运动，其下边刚接触磁场区域时恰好可做匀速直线运动，取重力加速度大
小
，求：
（1）磁感应强度B 的大小；
（2）导线框下边刚离开磁场区域时的加速度
；
（3）导线框下边刚接触磁场至下边刚要离开磁场的过程中产生的焦耳热Q。
17．（23-24 高二上·浙江杭州·期末）如图，在光滑水平面上存在宽度为d（d>2L）、方向竖直向上磁感应
强度为B 的匀强磁场。边长为L，质量为m，电阻为R 的单匝正方形线圈ABCD（AB、CD 边和磁场边界平
行）在外力作用下以速度v 向右匀速穿过该磁场。求：
（1）线圈进入磁场时线圈中电流的大小以及外力做功的功率；
（2）线圈进入磁场和离开磁场的过程中A、B 两点的电势差；
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（3）如果线圈不受外力，线圈要穿过磁场需要的最小速度。
18．（23-24 高二下·河南·开学考试）如图所示，固定光滑绝缘斜面与水平面的夹角
，斜面所在空
间存在两个相邻且互不影响的有界匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁场边界水平，磁场Ⅰ的方向垂直斜面向里、磁感应
强度大小
，磁场Ⅱ的方向垂直斜面向外、磁感应强度大小
，磁场Ⅰ、Ⅱ的宽度均为L＝
2m。现有一边长也为2m、电阻
的正方形闭合导线框abcd 从距磁场Ⅰ上边界
处由静止释
放，已知线框ab 边刚进入磁场Ⅰ时线框恰好做匀速直线运动，进入磁场Ⅱ经一段时间后，在ab 边未出磁
场Ⅱ区域下边界之前线框又做匀速直线运动，整个线框在穿过磁场区域的过程中，ab 边始终水平，取重力
加速度大小
。求：
（1）线框abcd 的质量m；
（2）线框ab 边刚到达磁场Ⅱ下边界时线框的速度大小。
19．（23-24 高二上·河北邢台·期末）如图所示，固定光滑绝缘斜面与水平面的夹角θ=30°，斜面所在空间
存在两个相邻且互不影响的有界匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁场边界水平，磁场Ⅰ的方向垂直斜面向里、磁感应强
度大小B1=0.5T，磁场Ⅱ的方向垂直斜面向外、磁感应强度大小B2=0.5T，磁场Ⅰ、Ⅱ的宽度均为L=2m。
现有一边长也为2m、电阻R=2.0Ω 的正方形闭合导线框abcd 从距磁场Ⅰ上边界x=1.6m 处由静止释放，已
知线框ab 边刚进入磁场Ⅰ时线框恰好做匀速直线运动，进入磁场Ⅱ经一段时间后，在ab 边未出磁场Ⅱ区
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域下边界之前线框又做匀速直线运动，整个线框在穿过磁场区域的过程中，ab 边始终水平，取重力加速度
大小g=10m/s2。求：
（1）线框abcd 的质量m；
（2）线框ab 边刚到达磁场Ⅱ下边界时线框的速度大小；
（3）线框从开始运动至ab 边刚到达磁场Ⅱ下边界的过程中，线框内产生的焦耳热Q。
20．（23-24 高二上·河南洛阳·期末）如图所示，在倾角为
的粗糙绝缘斜面
上有一垂直斜面向
上的有界匀强磁场，虚线为磁场边界，
，磁场的边界与斜面底边
平行，在斜面上有一个
质量为
、电阻为
、边长为
的正方形金属线框，从磁场上方某一位置由静止释
放，沿斜面滑下，线框底边始终与斜面底边平行，若线框刚进入磁场时，恰好能做匀速运动，重力加速度
，求：
（1）线框刚进入磁场时的速度大小v；
（2）磁场宽度
，若线框上边框穿出磁场前也已匀速运动，则线框在穿过磁场的整个过程中产生的焦
耳热为多少？
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21．（23-24 高二上·河南南阳·期末）一边长为
、质量为
、总电阻为
的正方形导线框
，自磁场
上方某处自由下落，如图所示。区域Ⅰ、Ⅱ内均为匀强磁场，磁感应强度大小分别为
，方向如图所
示，宽度分别为
，且
。导线框恰好匀速进入区域Ⅰ，一段时间后又恰好匀速离开区域Ⅱ，忽
略空气阻力，重力加速度为
，求：
（1）导线框释放时
边与区域Ⅰ上边界的距离；
（2）导线框
边刚进入区域Ⅱ时的加速度大小；
（3）导线框穿过区域Ⅰ的过程产生的焦耳热。
22．（23-24 高二上·山西运城·期末）如图所示，相距为
的两条水平虚线间存在垂直纸面向里的匀
强磁场，磁感应强度大小为
。一质量为
、电阻为
、边长为
的正方形金属
框从磁场上方某处自由下落，之后匀速进入磁场区域，重力加速度g 取
，求：
（1）金属框自由下落的高度h；
（2）穿过磁场区域的过程中，金属框中产生的焦耳热Q。
23．（23-24 高二上·河北承德·期末）边长
、质量
、电阻
的正方形线框cdef 以速度
沿倾角
的光滑斜面向上运动，在斜面上方有垂直斜面向下的匀强磁场区域，其宽度
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，
，取重力加速度大小
，cf 边与磁场边界平行，当cf 边刚进入磁场区域时，
在cf 边加一沿斜面向上、大小为
的拉力F，线框恰好可做匀速直线运动，当线框完全进入磁场时撤去
F。
（1）求线框刚开始运动时，cf 边离磁场区域下边界的距离d；
（2）判断cf 边能否通过磁场区域上边界；
（3）求线框产生的焦耳热Q。
24．（23-24 高二上·辽宁丹东·期末）在如图所示的倾角为
的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度
大小为分别为
，
的匀强磁场，区域Ⅰ的磁场方向垂直斜面向上，区域Ⅱ的磁场方向垂
直斜面向下，磁场的宽度均为L=1m，一个质量为1kg、电阻为
、边长也为L 的正方形导线框，由静止
开始沿斜面下滑，当ab 边刚越过GH 进入磁场Ⅰ区时，恰好以速度
做匀速直线运动；当ab 边下滑至JP
与MN 的中间位置时，线框又恰好以速度
做匀速直线运动。g=10m/s²，求：
（1）线框刚开始下滑时ab 边距GH 的距离x；
（2）线框ab 边刚越过JP 时的加速度大小；
（3）从ab 开始进入GH 到下滑至MN 与JP 的中间位置的过程中，线框产生的热量（结果保留到整数）。
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25．（21-22 高二下·天津南开·期末）如图所示，竖直平面内的两条水平虚线之间有垂直于纸面向外的匀强
磁场，磁场宽度
。一质量
，电阻
，边长
的正方形单匝导线框abcd，由
距磁场上边界高度
处自由下落，其ab 边进入磁场区域瞬间，线框恰好能匀速运动，其cd 边离开
磁场瞬间速度
。空气阻力忽略不计，重力加速度
求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
（2）导线框穿越匀强磁场的整个过程中产生的焦耳热Q。
26．（23-24 高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，在绝缘的滑块上方固定一个竖直放置的正方形闭合线框，
线框边长为L，总电阻为R，滑块连同线框的质量为 m，滑块与水平地面间的动摩擦因数为μ。右侧长、
高均大于L 的虚线区域内存在垂直线框平面向里、大小为B 的匀强磁场，磁场区域的下边界恰好与线框的
中心线在同一水平面上。现给滑块施加一水平向右的拉力，使其以速度v 匀速进入磁场区域，重力加速度
为g，求：
（1）线框右侧刚进入磁场区域时，框中的电流I；
（2）线框右侧刚进入磁场区域时，拉力F 的大小；
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（3）线框左侧进入磁场区域前的瞬间，拉力F 的大小；
（4）将线框拉进磁场的过程中，滑块与地面摩擦产生的热量Q 的大小。
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