专题22光学中常见的物理模型(答案版)_高中物理模型题型与方法

专题 22 光学中常见的物理模型 目录 一.光的色散模型.................................................................................................................................................1 二．“三棱镜”模型..........................................................................................................................................7 （4）最小偏向角法测量三棱镜折射率原理....................................................................................................7 三．“球形玻璃砖”模型................................................................................................................................19 四．平行玻璃砖模型........................................................................................................................................34 一.光的色散模型 【模型如图】 1、偏折角：出射光线与入射光线（延长线）的夹角；偏折角越大说明棱镜对光线的改变越大。偏折角大 小与棱镜的顶角、入射角、折射率等有关系。 A 2、光线射向棱镜在AB面折射角小于入射角，AC面折射角大于入射角， θ 红 两次折射后，光线向棱镜底边偏折折射率越大偏折的越厉害。 紫 i 3、实验表明：白光色散后红光的偏折角最小，紫光的偏折角最大 B C 说明玻璃棱镜对不同色光的折射率不同，对紫光的折射率最大，红光 最小。 。 4、折射率越大的光其频率也越大 所以将不同色光照射某一金属表面紫光更容易发生光电效应现 象。 5、根据 可知频率越大的色光其波长越短则 由此可知在衍射现象中红光相比其他色光现象 更为明显（明显衍射条件： ）；让不同色光在同一套双缝干涉装置中实验根据 可知红光相比其他色光条纹间距 更宽。 6、根据 可知不同色光在同种介质中传播速度不同，折射率越大传播越慢，折射率越小传播越快即： 。 7、根据 可知当不同色光从介质射向空气时发生全反射的临界角不同，红光最大，紫光最小即 当改变入射角时紫光更容易先发生全反射而消失。 【模型演练1】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）如图所示，a、b两束光以相同的入射角射入 长方体形玻璃砖中，两束出射光在平行于玻璃砖的屏上形成M、N两个光斑，已知a光折射光线的侧移量 大于b光折射光线的侧移量。下列说法正确的是（ ） A．在真空中，a光的波长更长 B．在真空中，a光光子的动量更大 C．若a、b两束光在屏上会聚于一点，可发生干涉现象 D．若a、b两束光分别通过同一个狭缝，则a光形成的中央亮条纹更宽 【答案】B 【详解】C．由题意和图可知，玻璃砖对a光的折射率大于对b光的折射率，故a光的频率大于b光的频率， 两束光会聚于一点，不可能发生干涉现象，C错误；AD．根据 可知，在真空中a光的波长较短，根据条纹间距关系可知，若a、b两束光分别通过同一 个狭缝，则a光形成的中央亮条纹更窄，A、D错误； B．由 可知，在真空中a光光子的动量更大，B正确。 故选B。 【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一细束白光通过三棱镜折射后分为各种单色光，取 其中 、 、 三种色光，并同时做如下实验：①让这三种单色光分别通过同一双缝干涉实验装置在光屏上 产生干涉条纹（双缝间距和缝屏间距均不变）；②让这三种单色光分别照射到某金属板表面，观察与金属 板连接的静电计指针是否转动；下列说法中不正确的是（ ） A．在棱镜中 光的速度最大 B．如果减小白光在左侧面的入射角，最先消失的是 光 C． 种色光形成的干涉条纹间距最大 D．若 光能使该金属板发生光电效应， 光一定不能使该金属发生光电效应 【答案】D 【详解】A．因a光的偏折程度最小，则折射率最小，根据 可知在棱镜中a光的速度最大，故A正确，不符合题意； B．因c光的折射率最大，根据 可知c光临界角最小，则如果减小白光在左侧面的入射角，最先消失的是c光，故B正确，不符合题意；C．a种色光频率最小，波长最长，根据 可知a光形成的干涉条纹间距最大，故C正确，不符合题意； D．c光频率最大，a光频率最小，若c光能使该金属板发生光电效应，a光不一定不能使该金属发生光电 效应，故D错误，符合题意。 故选D。 【模型演练3】（2023·天津和平·统考三模）每年夏季，我国多地会出现日晕现象如图甲，日晕是当日光通 过卷层云时，受到冰晶的折射或反射形成的。图乙所示为一束太阳光射到六角形冰晶时的光路图，a、b为 其折射出的光线中的两种单色光。下列说法正确的是（ ） A．在冰晶中，a光的传播速度小 B．通过同一装置发生双缝干涉，b光的相邻条纹间距大 C．从同种玻璃射入空气发生全反射时，a光的临界角小 D．照射同一金属发生光电效应，b光使其逸出的光电子最大初动能大 【答案】D 【详解】A．由图乙可知，b光在介质中的偏折角度较大，说明b光的折射率大于a光的折射率，根据传播 速度与折射率的关系 可知，a光的传播速度大于b光的传播速度，故A错误； B．由于b光的折射率大于a光的折射率，则b光的波长小于a光的波长，根据干涉条纹间距与波长的关系可知，通过同一装置发生双缝干涉，b光的相邻条纹间距小于a光的间距，故B错误； C．根据临界角与折射率的关系 可知，b光的临界角小于a光的临界角，故C错误； D．b光的频率大于a光的频率，根据光电效应方程 可知，照射同一金属发生光电效应，b光使其逸出的光电子最大初动能大，故D正确。 故选D。 【模型演练4】（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图所示为钻石的某个截面，其中B、 C、D处均为直角。一束复色光由AB面入射，从CD面出射时分开成a、b、c三种单色光。用这三种单色 光分别照射金属钾板，其中b光恰好可使钾板产生光电效应。下列说法正确的是（ ） A．a光在棱镜中的速度最小 B．c光打出的光电子的遏止电压最大 C．同一装置条件下c光双缝干涉条纹宽度最大 D．从CD面出射时a光、b光、c光互相平行 【答案】BD 【详解】A．由图中各色光的折射程度可知c光的折射率最大，根据 可知，c光在棱镜中的速度最小，故A错误； B．c光的折射率最大，则频率最大，根据光电效应方程 可知c光打出的光电子的遏止电压最大，故B正确； C．c光的频率最大，则波长最小，根据干涉条纹间距公式 可知c光双缝干涉条纹宽度最小，故C错误； D．C处均为直角，根据光的反射定律结合几何关系可知从CD面出射时a光、b光、c光互相平行，故D 正确； 故选BD。 【模型演练5】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图所示，由 两种单色激光组成 的一束复色光，经过半反半透镜后分成透射光和反射光。透射光经扩束器后垂直照射到双缝上并在光屏上 形成干涉条纹。 点是两单色光中央亮条纹的中心位置， 和 分别是 两种单色光形成的距离 点最 近的亮条纹的中心位置。反射光入射到三棱镜一侧面上，分别从另一侧面 和 位置射出。下列说法正 确的是（ ） A． 光的波长大于 光的波长B． 光的频率大于 光的频率 C． 光通过三棱镜后从 位置射出 D．在三棱镜中， 光的速度大于 光 【答案】AC 【详解】AB．由双缝条纹间距公式 可知当波长越长，条纹间距越宽，由屏上亮条纹的位置可知 则两束光的频率 两束光的折射率 故A正确，B错误； C．由图知进入三棱镜时 位置射出的光折射角小，根据折射定律可知， 位置射出的光折射率较大，所 以从 位置射出的应该为 光，故C正确； D．根据两束光的折射率 ，光在介质中的传播速度 在三棱镜中， 光的速度小于 光，D错误。 故选AC。 【模型演练6】．（2023春·山东·高三统考学业考试）关于以下四个示意图，下列说法正确的是（ ）A．甲图为双缝干涉示意图，可以用白炽灯直接照射双缝，在屏上可以得到等宽、等亮的干涉条纹 B．图乙所示用平行单色光垂直照射一层透明薄膜，观察到的明暗相间的干涉条纹，该区域薄膜厚度一定 沿x轴正方向逐渐变厚 C．丙图为肥皂泡薄膜干涉示意图，将框架顺时针旋转90°，条纹不会跟着顺时针旋转90° D．图丁所示泊松亮斑是由于光的衍射形成的 【答案】CD 【详解】A．甲图为双缝干涉示意图，如果用白炽灯直接照射双缝，可知白炽灯光是由多种单色光组成， 各单色光的波长不同，由双缝干涉条纹间距公式 可知，不同波长的光，产生的条纹间距不同，因 此会产生彩色条纹，在屏上不可以得到等宽、等亮的干涉条纹，故A错误； B．图乙所示用平行单色光垂直照射一层透明薄膜，观察到的明暗相间的干涉条纹，条纹间距越来越大， 说明该区域薄膜厚度一定沿x轴正方向逐渐变薄，故B错误； C．丙图为肥皂泡薄膜干涉示意图，将框架顺时针旋转 ，肥皂泡薄膜仍然是上薄下厚，条纹不会跟着顺 时针旋转 ，故C正确； D．图丁为泊松亮斑，是由于光的衍射形成的，故D正确。 故选CD。 二．“三棱镜”模型 【模型如图】 (1)光密三棱镜：光线两次折射均向底面偏折，偏折角为δ，如图所示． (2)光疏三棱镜：光线两次折射均向顶角偏折． (3)全反射棱镜(等腰直角棱镜)，如图所示．①当光线从一直角边垂直射入时，在斜边发生全反射，从另一直角边垂直射出 ②当光线垂直于斜边射入时，在两直角边发生全反射后又垂直于斜边射出，入 射光线和出射光线互相平行． （4）最小偏向角法测量三棱镜折射率原理 参见下图一束平行的单色光射向一棱镜，先后经棱镜表面两次折射，使得出射光线与入射光线之间有了一 个夹角 ，称其为偏向角。偏向角 随入射角 而变， 是 的函数。在入射光和出射光处于光路对称的 A 情况下，即 = ，偏向角为最小，记为 F  i r 由图1.2.1可知 =( － )＋( － )，其中 和 的意义见图，当 = r G ’ B C 时，由折射定律有 = ，得 =2（ － ) (1) 又因 + =2 = － = －（ － ）= (2) 所以 = (3) 由式（1.2.1）和 (1.2.3) 得 (4) 由折射定律 只要测量出三棱镜顶角A和最小偏向角 ，就能够求得三棱镜的折射率。【模型演练1】（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，三棱镜的横截面ABC为直角三角形， ， 。一单色光从BC边的中点E射入三棱镜，在AB边的中点F发生全反射后，从AC边的G点（图 中未画出）射出三棱镜。已知入射光线与BC边的夹角 ，求： （1）三棱镜对光的折射率n； （2）光在G点的折射角γ。 【答案】（1） ；（2） 【详解】（1）由光路图可得 光在E点的入射角 折射角 则有 解得 （2）作出光路图如图所示，光在F点的入射角为60°，在G点的入射角 则有解得 【模型演练2】（2023·河南开封·统考三模）如图所示，直角三角形 为一棱镜的横截面， ，边 长为 ，棱镜的折射率为 。一束光线从 边的中点 垂直射入棱镜，不考 虑光线在棱镜中的多次反射，已知光在真空中的传播速度为 ，求： （1）光线射出棱镜时的方向与棱镜的夹角； （2）光线在棱镜中的传播时间。 【答案】（1） ；（2） 【详解】（1）设临界角为 ，则 解得光线在棱镜中的传播路径如图所示。 由几何关系知 光线在 面发生全反射，由几何关系知 由折射定律，得 解得 则出射光线与棱镜的夹角 （2）光线在棱镜中的传播速度 由几何关系知光在棱镜中的传播路程 光在棱镜中的传播时间【模型演练3】（2023·广西南宁·南宁三中校考二模）如图所示，三角形 是由某种均匀透明物质制成 的直角三棱镜的横截面， ，相距为d的完全相同的两细光束在纸面内垂直 面射入棱镜，发 现细光束恰好不能从 面射出，最后从 面射出。已知光在真空中的传播速度为c。求： （1）三棱镜的折射率n； （2）两细光束在透明物质内传播的时间差。 【答案】（1） ；（2） 【详解】（1）由题意可知，光线从AB垂直射入，恰好在AC面发生全反射，光线最后从BC面射出，设 光发生全反射的临界角为C，由几何关系可知 则 解得 （2）由折射规律可知两束光在BC面射出也是平行光，如图所示根据几何关系可知两细光束在透明物质内传播的路程差 光在透明物质内传播速度 两细光束在透明物质内传播的时间差 【模型演练4】（2023·贵州黔东南·校考模拟预测）在材料学中可用最小偏向角法测量固体材料的折射率， 如图，当单色平行光穿过三棱镜后，α表示入射角，β表示折射角，φ表示出射角，折射方向③和入射方向 ①之间存在一定的夹角δ，此角被称为偏向角。当入射角α等于出射角φ时，偏向角具有最小值δ 。现通 min 过测角仪测量出顶角θ=60°，最小偏向角δ =30°，求该固体材料的折射率n。 min 【答案】 【详解】根据题意，当入射角α等于出射角φ时，偏向角具有最小值δ ，此时根据几何关系有 min代入数据解得 ， 根据折射定律 【模型演练4】（2023·全国·高三专题练习）如图，一折射率为 的棱镜的横截面为等腰直角三角形 ， ，BC边所在底面上镀有一层反射膜。一细光束沿垂直于BC方向经AB边上的M点射 入棱镜，若这束光被BC边反射后恰好射向顶点A，求M点到A点的距离。 【答案】 【详解】由题意可知做出光路图如图所示 光线垂直于BC方向射入，根据几何关系可知入射角为45°；由于棱镜折射率为 ，根据有 则折射角为30°； ，因为 ，所以光在BC面的入射角为 根据反射定律可知 根据几何关系可知 ，即 为等腰三角形，则 又因为 与 相似，故有 由题知 联立可得 所以M到A点的距离为 【模型演练5】（2023·河北·校联考模拟预测）如图所示，三角形 是直角三棱镜的横截面，其中 。当光线垂直于 边由中点 射入时，刚好在 边上发生全反射。已知 边的长度为 ，光在 真空中的传播速度为 。 （1）求棱镜的折射率为多大；（2）若使光线从 边的中点 平行于 边射入，求光在棱镜中的传播时间（不考虑由 面返回的 光）。 【答案】（1）2 ；（2） 【详解】（1）当光线从垂直于 边的中点 射入时，在 面上的入射角 根据 解得 （2）光线从 边的中点 平行于 边射入，光在棱镜中的光路图如图所示 光线经过 两次全反射后，从 面垂直射出根据几何关系可知光在棱镜中的传播距离 光在棱镜中的传播速度 光在棱镜中的传播时间 解得 【模型演练6】（2023·湖南岳阳·湖南省平江县第一中学校考二模）如图所示， 为直角三角形棱镜的 横截面， 。有一细光束MN射到AC面上，且MN与AC面的夹角也为30°，该光束从N点进入 棱镜后再经BC面反射，最终从AB面上的O点射出，其出射光线OP与BC面平行，求： （1）求此棱镜的折射率； （2）若AC边长为l，N点为AC边中点，求光线在玻璃中传播的时间。（已知光速为c）【答案】（1） ；（2） 【详解】（1）如图所示光路 设光在N点的入射角为i，折射角为r，光在Q点的入射角为 ，则光在Q点的反射角为 ，在O点的入 射角为r，折射角为i，由几何关系得 在三角形BOQ中,其中∠B=30° 联立可得 i=60°，r=30° 由折射定律知，三棱镜材料的折射率 （2）由几何关系可知 ， ， 由几何关系可知 ∠BQO=30°=∠B 故三角形BOQ为等腰三角形，可得解得 【模型演练7】．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图所示，直角△ABC为三棱镜的横截面，∠A=90°， ∠B=53°，紧贴BC边上的P点有一点光源，BP=L，BC=5L。从P点发出的光只能在∠APB范围内射入三 棱镜，其中以37°的入射角射到AB边的光线恰好在AB边发生全反射。 ， 。求： （1）三棱镜材料的折射率； （2）P点发出的光从AC边上射出的长度（不考虑光的多次反射）。 【答案】（1） ；（2）L 【详解】（1）从P点发出的光以37°的入射角射到AB边的光线恰好在AB边发生全反射，有 解得 （2）由于从P点发出的光射到A点，能从AC边上的A点射出，逐渐减小 ，当入射角为α时，从P点发出的 光最终恰好在AC边上的E点发生全反射，如图所示 由几何关系可得 ， ， 在 中，有 由几何关系可得 又 ， 解得 【模型演练8】．（2023·江西宜春·校联考二模）如图所示， 是一块横截面为直角三角形的玻璃砖， 已知 ， 边长为L，在 面镀有反射膜，现在从 的右上方向 的中点射入一束光，这束光 恰好不会在 边射出，而且沿原路返回。（已知真空中的光速为c）求： （1）入射角i的正弦值。 （2）光束在玻璃砖里面运动的时间t。【答案】（1） ；（2） 【详解】（1）光路如图所示 可知临界角 折射率 折射角 由折射率公式 得 （2）因为 所以 ，由 ， 解得 【模型演练9】．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）如图所示，某透明介质截面为直角三角形，其中 ，与截面EFG平行的光从GF边上O点入射，OF长为 。入射角 从 逐渐减小到 的过程中， 在EF面的光点移动的距离也为L，已知光在真空中传播的速度为c。 （1）求透明介质的折射率； （2）求当光线刚好在EF面发生全反射时，光从GF面传播到EF面所需要的时间。 【答案】（1） ；（2） 【详解】（1）当 时，光射到M点，当 时，光射到N点，由题得 ， 由几何关系得 ，（2）设当折射光线刚好在EF上P点发生全反射，则 所以 ， 故 在介质中 所以三．“球形玻璃砖”模型 (1)法线过圆心即法线在半径方向。 (2)半径是构建几何关系的重要几何量 【模型演练1】（2024·广东惠州·统考一模）2021年12月9日，航天员王亚平在中国空间站为青少年带来 了一场精彩纷呈的太空科普课，她在水膜里注水，得到了一个晶莹剔透的水球，如图所示，MN是通过该 水球球心O的一条直线，与球右表面交于C点，一束单色光AB平行于MN从B点射入球体时，光线从C 点射出，已知水球半径为R，光线AB距MN的距离为 ，光在真空中的速度为c。求： （1）水对此单色光的折射率； （2）此单色光在水球内传播所用的时间。 【答案】（1） ；（2） 【详解】（1）依题意，可画出光线在水球内的折射光线如图所示 根据几何知识可得根据折射定律，可得水对此单色光的折射率为 （2）光在该水球中的传播速度为 由几何知识可得，光在水球中传播的距离为 则此单色光在水球内传播所用的时间 【模型演练2】（2023春·江西赣州·高三兴国平川中学校联考阶段练习）如图所示，一玻璃砖的横截面由 半径为R的四分之一圆AOB和矩形OBCD组成， 。一细束单色光线从圆弧AB上的E点平行AD 射入玻璃砖，折射后经过OD的中点F。已知E点距AD边的距离为 ，求： （1）玻璃砖对该单色光的折射率； （2）光线第一次射出玻璃砖时的折射角。【答案】（1） ；（2） 【详解】（1）单色光在此玻璃砖中的光路如图所示 由几何关系 可得在E点的入射角 根据几何关系可得 解得 因 OE=OF 得折射角 该单色光对此玻璃砖的折射率 （2）玻璃砖右侧出射时入射角根据 光线第一次射出玻璃砖时的折射角 【模型演练3】（2023·四川·校联考模拟预测）如图所示，用折射率 玻璃做成内径为 、外径为 的半球形空心球壳，一束平行光射向此半球的外表面，且与中心对称轴 平行，不计多次反射。 已知光在真空中的传播速度为 。试求： （1）光线在玻璃中传播的最短时间； （2）球壳内部有光线射出的圆弧区域所对应的圆心角。（用与 所成夹角表示） 【答案】（1） ；（2） 【详解】（1）光线在玻璃中传播的速度为 光线在玻璃中传播的最短时间为 （2）设光线 射入外球面，沿 方向射向内球面，刚好发生全反射，如图所示则有 可得 在 中 ， 由正弦定理得 解得 由 解得 又因为 ，所以 当射向外球面的入射光线的入射角小于 时，这些光线都会射出内球面，因此，以 为中心线，上、 下（左、右）各 的圆锥球壳内均有光线射出，球壳内部有光线射出的圆弧区域所对应的圆心角为 。 【模型演练4】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）半径为R的半圆柱体玻璃砖的横截面如图所示， OD为直径，一束由a光和b光组成的复色光从A点以 的入射角由真空经OD面的O点射入玻璃砖， a光和b光的折射光分别射到半圆弧的B、C点，其中B点是半圆弧OD的三等分点，C点是半圆弧OD的 中点。求： ①半圆柱体对a光和b光的折射率 和 。 ②a光和b光在玻璃砖中传播的时间之比（不考虑折射后的反射）。 【答案】① ， ；②3：1 【详解】①分别连接半圆圆心 与B、C两点，如图所示。由于B为圆弧OD三等分点，C为圆弧OD中 点，可得 玻璃砖根据几何关系可知，a光线的折射角 玻璃砖对a光的折射率 解得 b光线的折射角 r=45° 2 玻璃砖对b光的折射率 解得 ②a光的临界角 则有可知 光路如图所示根据几何关系可知 可知a光在B点发生全反射，同理可得a光在E点发生全反射，a光从D点射出半圆柱体玻璃砖，易知a 光在半圆柱体玻璃砖中经过的路程 a光在玻璃砖中的传播速度 a光在玻璃砖中传播的时间 故 b光在C点的入射角与 相等，故b光从C点出射，光路如图所示 b光在半圆柱体玻璃砖中经过的路程 b光在玻璃砖中的传播速度b光在玻璃砖中传播的时间 故 所以 t：t=3：1 a b 【模型演练5】（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考一模）如图所示，半径为R的半圆柱体玻璃砖置 于水平桌面上方，玻璃砖的上表面水平。O为半圆形截面的圆心，O′为O在水平桌面上的竖直投影点，该 截面内的两束相同的平行单色光与上表面成θ=45°角射向玻璃砖，光线A从O点进入，光线B从玻璃砖射 出后恰好与入射光线平行，不考虑光在玻璃砖内的反射，两束光通过半圆柱体后相交于桌面上的P点，已 知 ，光在真空中传播速度为c。求： （1）该玻璃砖的折射率。 （2）光线B通过玻璃砖射到P点所需的时间。 【答案】（1） ；（2） 【详解】（1）光线B从玻璃砖射出后恰好与入射光线平行，所以光线B的出射点为玻璃砖的最低点C，光路图如图所示 由几何关系可得 所以 由几何关系可得 所以玻璃砖的折射率 （2）光线B在玻璃的中传播的时间 光线B从C点射到P点所需的时间故光线B通过玻璃砖射到P点所需的时间 【模型演练6】（2023·四川眉山·校考三模）介质均匀的圆柱形玻璃棱镜的截面图如图所示，建立直角坐标 系，圆心O点为坐标原点。一束激光平行x轴从A点入射，AO连线与x轴负方向的夹角 ，光从B 点出射，求 （1）该玻璃棱镜的折射率； （2）用此玻璃材料制成半径为R的半球形玻璃砖，如图所示，有一束平行光从左侧垂直射向此玻璃砖， 求能从玻璃砖射出的入射光的横截面积。 【答案】（1） ；（2） 【详解】（1）入射角为 折射角为 折射率为 （2）当某光线在右侧面出现全反射，临界角为C如图，此光线与O的距离为 在此范围内的光线可从右侧射出，则能从玻璃砖射出的入射光的横截面积为 【模型演练7】（2023·江西九江·统考三模）“天宫课堂”逐渐成为中国太空科普的国家品牌。某同学观看 太空水球光学实验后，想研究光在水球中的传播情况，于是找到一块横截面如图所示的半圆柱形玻璃砖模 拟光的传播，半圆的半径为R，O为圆心。入射光线 以 的方向射入玻璃砖，入射点Q到圆 心O的距离为 ，光线恰好从玻璃砖圆弧 的中点E射出。 （ⅰ）求玻璃砖的折射率； （ⅱ）现使光线 向左平移，求移动多大距离时恰不能使光线从圆弧面射出。（不考虑经半圆柱内表面 反射后射出的光）【答案】（ⅰ） ；（ⅱ） 【详解】（ⅰ）光线 入射到玻璃砖表面，入射角 ，设对应折射光线 的折射角为 ，如图所 示 由几何关系得 即得 根据折射定律有 即得 （ⅱ）若使光线 向左平移距离 ，折射光线 ，到达圆弧面的入射角恰好等于临界角 ，则 在 应用正弦定理有联立解得 【模型演练8】（2023春·山西晋中·高三统考阶段练习）我国航天员王亚平在空间站进行太空授课时，往 水球里注入一个气泡，观察水球产生的物理现象．一同学画了过球心的截面图，如图所示，内径是 ，外 径是 ．假设一束单色光（纸面内）从外球面上A点射入，光线与 直线所成夹角 ，经折射后 恰好与内球面相切。已知光在真空中传播速度为c，求： （1）单色光在水球中的折射率和传播时间； （2）入射角的正弦值为多大时，光束在内球恰好发生全反射。 【答案】（1） ， ；（2） 【详解】（1）在A点时，由题意可知，入射角为 由几何关系有 由折射定律得该束单色光在该透明材料中的传播速度为 单色光在该材料中的传播时间为 代入数据解得 （2）光束从A点入射，入射角为 时光束经折射到达内球面的 点，恰好发生全反射。如图： 此时有 由正弦定理得 又解得 由折射定律得 解得 【模型演练9】（2023·江西南昌·统考三模）如图所示，半圆玻璃砖的半径 ，直径AB与光屏MN 垂直并接触于A点。一束激光a从半圆弧表面上射向半圆玻璃砖的圆心O，光线与竖直直径AB之间的夹 角为 ，最终在光屏MN上出现两个光斑，且两个光斑之间距离为 。求： （i）玻璃砖的折射率； （ⅱ）改变激光Q的入射方向，使光屏MN上只剩一个光斑，求此光斑离A点的最远距离。 【答案】（i） ；（ⅱ） 【详解】（i）光路如上图所示，由题意可得，激光在AB面上发生折射时的入射角设半圆玻璃砖的折射率为n，折射角为 ，则 其中 ，由于 所以 且 解得 （ⅱ）分析可得，当激光在AB面上恰好发生全反射时，光屏MN上只剩一个光斑，且光斑离A点的距离 最远，光路如下图所示。 设激光在AB上恰好发生全反射时的临界角为C，则 由数学知识可得光斑离A点的最远距离 【模型演练10】（2023·山东·高三专题练习）一个折射率 、半径 、底面镀银的球冠形玻璃球 放置在水平桌面上，横截面如图所示，底面圆的半径是球半径的 倍。一条光线从玻璃球冠上表面的 点通过球心 射到球冠的底面 点，该光线与底面的法线 间的夹角 ，观测到射出光线的 延长线恰好垂直底面且过底面边缘的 点。已知光在真空中的传播速度 。求： （1）光线射出球冠形玻璃球时的折射角； （2）光线在球冠形玻璃球中传播的时间。（结果可保留根号）。 【答案】（1） ；（2） 【详解】（1）光线的光路图如图所示 光线在底面发生反射，据反射定理有球冠底面中心为 ，连接 ，则 ， 中，有 即 由题意知 所以 为等边三角形，设光线在 点的入射角为 ，所射角为 ，有 ，由折射定律有 得折射角 （2） 中，有 光线在球冠形玻璃球中传播的时间四．平行玻璃砖模型 1． 有关平行玻璃砖中侧移的比较 如图所示，光从空气射向上下表面平行的玻璃砖时，入射角为ｉ，折射角为 θ，经折射从下表面射出。设 玻璃的折射率为n，厚度为d，求侧移量D，并对不同的光的侧移量进行大小比较。 sinθ sinθ √n2 −sin2θ n= sinα= cosα= sinα n n 【解析】： 得 ，则 d dn l= = 由几何关系得 cosα √n2 −sin2θ 图 dn D=lsin(θ−α)= sin(θ−α) √n2 −sin2θ 侧移量 1 =dsinθ(1− ) D=dsinθ(1− cosθ ) √ n2 −1 +1 经化简后得 2√n2 −sin2θ cos2θ 1 1− √ n2 −1 +1 cos2θ 讨论：（１）对于同种色光，由于n不变，当入射角θ增大时，sinθ增大，cosθ减小， 增 大，所以Ｄ增大.即入射角大则侧移大． （２）对于同一个入射角，由于 不变，很容易由以上关系得到：折射率大则侧移大． ２.关于光通过玻璃砖所用时间的比较 l nd n2d c c n= v= t= = = v n v ccosθ c√n2 −sin2θ 由于 ，得到 ，结合以上的计算易得 讨论：（１）对于同种色光，入射角θ越大，则光线通过玻璃的时间t越长． （２）对于不同种的光时，由于1 c2 1 sin2θ c2 [ 1 1 1 ] = ( − )= −sin2θ( − )+ t2 d2 n2 n4 d2 n2 2sin2θ 4sin2θ ，所有可见光中，红光的折射率最小为 1 1 0.5 1 1 ≤0.44 = ≥0.5 < n2 2sin2θ sin2θ n2 2sin2θ 1.513，约为1.5．故 ，而 ，可得 ，由函数的单调性可 知，折射率大的所用时间比较多． 3 两束平行光经过平行玻璃砖后的变化 （1）平行单色光经过平行玻璃砖后的变化情况 如图所示，由于每条单色光的侧移量D相同，所以得到结论：平行单色光通过相同的平行玻璃砖后依然平 行，且距离不变。 图 （2）不同色平行光通过平行玻璃砖后的变化 b a i θ r h 图1 图3 图2如图1所示，若a光的折射率大于b光的折射率，则通过平行玻璃砖后距离变的更大；若a光的折射率小 于b光的折射率，则通过平行玻璃砖后距离变的更小（如图2），且最小值可能为零（如图3） 【模型演练1】（2023·江苏镇江·统考三模）如图，某长方体透明材料长为L，一单色光斜射到上表面A点， 反射光线和折射光线恰好垂直且入射光线的延长线与折射光线间的夹角为30°，折射光线经长方体侧面反 射后射到下表面，已知光在真空中的传播速度为c，求： （1）透明材料对此单色光的折射率； （2）光从透明材料上表面射到下表面的时间。 【答案】（1） ；（2） 【详解】（1）由几何关系 可得 再根据折射定律有 解得 （2）光在透明材料中的速度为如图所示将光速沿水平方向和竖直方向分解有 则在竖直方向有 则光从透明材料上表面射到下表面的时间 【模型演练2】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）如图所示，一种光学传感器是通过接收器Q接 收到光的强度变化而触发工作的，光从挡风玻璃内侧P点射向外侧M点再折射到空气中，测得入射角为 ，折射角为 ；光从P点射向外侧N点，刚好发生全反射并被Q接收，已知挡风玻璃的厚度 为d，光在真空中的传播速度为c，求： （1）该挡风玻璃的折射率； （2）光从接光源P经过N点到收器Q的时间t。 【答案】（1） ；（2） 【详解】（1）光线在M点发生折射，由折射定律得（2）光在N点恰好发生全反射，则 根据几何关系 光在介质中的传播速度为速度 光从接光源P经过N点到收器Q的时间 【模型演练3】（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）如图所示，一细束单色光由空气以 入射角斜射 入平行玻璃砖，已知玻璃砖厚度为 ，玻璃砖对该单色光的折射率为 ，该单色光在空气中的传播速 度为 。 （1）求这束单色光穿过玻璃砖所用的时间 ； （2）通过作图说明通过玻璃砖的出射光束与入射光束平行，并求出出射光束相对入射光束的侧移量 。【答案】（1） ；（2） 【详解】由折射定律可知 所以折射角 作出光路图，如图所示。由可以此求出该单色光在玻璃中的传播距离 该单色光在玻璃砖中的传播速度 这束单色光穿过玻璃砖所用的时间为 （2）作出该单色光通过玻璃砖的完整光路图，如图所示由于玻璃砖两表面平行，两次折射时的法线平行，则 。再结合单色光射出玻璃砖时，由折射定律 则 因此通过玻璃砖的出射光束与入射光束平行。再由图中几何关系可知 【模型演练4】（2023·重庆·统考模拟预测）用插针法测量上、下表面平行的玻璃砖的折射率。 （ⅰ）如图甲，实验中测量AO距离为 ，AM距离为 ， 距离为 ，玻璃砖厚度为d，请利用测量结 果表示玻璃的折射率； （ⅱ）在实验中，某同学从玻璃砖侧壁观察到了两枚大头针位置，如图乙所示，经过测量得到 。 求此玻璃砖的折射率。【答案】（ⅰ） ；（ⅱ） 【详解】（ⅰ）折射率 由几何关系可知 联立可得 （ⅱ）光路图如图所示 根据折射定律得 代入数据解得【模型演练5】（2023·广东·高三统考阶段练习）某同学为了测量玻璃砖的折射率，准备了下列器材：激光 笔、直尺、一面镀有反射膜的平行玻璃砖。如图所示，直尺与玻璃砖平行放置，激光笔发出的一束激光从 直尺上O点射向玻璃砖表面，在直尺上观察到A、B两个光点，读出O、A间的距离为 ，A、B间的 距离为 ，测得图中直尺到玻璃砖上表面的距离 ，玻璃砖厚度 。光在真空中的传 播速度为c。求： （ⅰ）光线在玻璃砖上表面的入射角的正弦值； （ⅱ）光线在玻璃砖中的传播速度。 【答案】（ⅰ） ；（ⅱ） 【详解】（ⅰ）光路如图所示 由几何关系可知，光线从O点射到玻璃砖上表面的入射角的正切值 则（ⅱ）光线在玻璃砖中折射角的正切值 则 解得 【模型演练6】（2023·全国·高三专题练习）在“测定玻璃的折射率”实验中，某同学经正确的操作，插好 了4枚大头针 ，如图所示。求： (1)在坐标纸上画出完整的光路图，并标出入射角 和折射角 ； (2)写出该玻璃的折射率n的表达式； (3)在不用量角器的条件下，设计测量玻璃砖折射率大小合理的方案。（解题过程中需要用到、但题目没有 给出的物理量，要在解题时做必要的说明）【答案】(1) ；(2) ；(3)方案见解析 【详解】(1)光路图如图所示 (2)根据光的折射定律，得 (3)由图可知，设小格子的边长为l，则玻璃砖的厚度为根据正弦定理，分别对 和 按照纸上对应的格子数取直角三角形，据图纸中的格子数，可知 由光的折射定律可得 【模型演练7】．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校考三模）在“测玻璃的折射率”实验中： （1）如图1，用插针法测定玻璃砖折射率的实验中，下列说法中正确的是 。 A．若不小心用手触摸了光学表面，不会影响测量 B．为减少测量误差， 的连线与法线 的夹角应尽量小些 C．为了减小作图误差， 和 的距离应适当取大些 D． 界面一定要与 平行，否则会有误差（2）如果有几块宽度大小不同的平行玻璃砖可供选择，为了减小误差，应选用宽度 （填“大”或 “小”）的玻璃砖来测量。 （3）在该实验中，光线是由空气射入玻璃砖，根据测得的入射角和折射角的正弦值画出的图像如图2所示， 从图像可知玻璃砖的折射率等于 。 （4）如图3所示，在实验过程中画出界面a后，不小心将玻璃砖向上平移了一些，导致界面 面到图中虚 线位置，而在作光路图时界面a仍为开始所画的，则所测得的折射率将 （填“偏大”“偏小”或 “不变”）。 【答案】 C 大 1.5 偏大 【详解】（1）[1]A．手拿光学元器件时切忌用手触摸“工作面”，以防脏污甚至腐蚀光学面造成永久的损 坏，故A错误； B．为减少测量误差，入射角应适当大一些，即 的连线与法线 的夹角应尽量大些，故B错误： C．为了减小作图误差，将出射光线确定得更准确些， 和 的距离应适当取大些，故C正确： D．测折射率时，只要操作正确，与玻璃砖形状无关，故玻璃的两个光学面 不平行，对玻璃折射率 的测定结果没有影响，故D错误。 故选C。（2）[2]如果有几块宽度不同的平行玻璃砖可供选择，为了减小误差，应选用宽度大的玻璃砖来测量，宽 度越大，出射光线的侧位移越大，折射角的测量越准确，故为了减小误差应选用宽度大的玻璃砖来测量。 （3）[3]根据折射率定义公式有 代入数据可得玻璃砖的折射率为 （3）[4]在实验过程中，画出界面a后，不小心将玻璃砖向上平移了一些，导致界面 画到图中虚线位置， 而在作光路图时界面a仍为开始所画的，实际光线如图中的 所示，而作图光线如图中OQ所示，导致 折射角偏小，所测得的折射率偏大。 【模型演练8】（2023·安徽芜湖·统考二模）在“测定玻璃的折射率”的实验中，在白纸上放好平行玻璃砖， a和a′分别是玻璃砖与空气的两个界面，如图（a）所示。在玻璃砖的一侧插上两枚大头针P 和P，然后在 1 2 另一侧透过玻璃砖观察，并插上大头针P，使其挡住P、 P 的像；接着插上大头针P，使其挡住P、P 3 2 1 4 3 2 和P 的像，用“·”表示大头针的位置，这样大头针P、P 就确定了射入玻璃砖的光线。 1 1 2 （1）根据以上信息，请在图（a）中画出光路图 。 （2）正确做出光路图后，测量a分界面上的入射角i和折射角r。多次改变入射角，测得多组入射角和折 射角，根据测得的入射角和折射角的正弦值，画出了如图（b）所示的图像，由图像可知该玻璃的折射率 n= （保留两位有效数字）。（3）如图（c）所示，在实验过程中画出界面a后，不小心将玻璃砖向上平移了一些，导致界面a′画到图 中虚线位置，而在作光路图时界面a仍为开始所画的，则所测得的折射率将 （填“偏大”“偏 小”或“不变”）。 【答案】 1.5 偏大 【详解】（1）[1]画出的光路图如图所示 （2）[2]根据折射定律 所以根据图像得 解得 （3）[3]如图（c）所示，在实验过程中画出界面a后，不小心将玻璃砖向上平移了一些，导致界面a′画到 图中虚线位置，而在作光路图时界面a仍为开始所画的，入射角i不变，导致折射角r偏小，则所测得的折 射率将偏大。 【模型演练9】（2023·海南·统考模拟预测）某同学做测定玻璃的折射率实验。 （1）实验室提供了图1所示的两块表面平行的玻璃砖A和B，玻璃砖两表面的间距 ，实验时应选 （填“A”或“B”）。 （2）实验步骤如下：A．如图2，在白纸上放好玻璃砖，描出玻璃砖的两个边a和 ； B．在玻璃砖的一侧同一直线上插两个大头针 、 ， 所在直线作为入射光线； C．在另一侧透过玻璃砖观察，依次插上大头针 和 ，插 时，应使 挡住 （填“ ”、 “ ”、“ 和 ”）的像，同样插上 ， 确定了从玻璃砖射出的光线； D．在白纸上描出光线的径迹，测量相应的角度，计算玻璃的折射率n。 【答案】 B 和 【详解】（1）[1]为了使折射光线的方向画得较准确，减小实验误差，应使入射点与出射点距离稍大一些， 则玻璃砖应选宽一些的。 故选B。 （2）[2]在另一侧透过玻璃砖观察，依次插上大头针 和 ，插 时，应使 挡住 和 的像。